Cơ chất lỏng, ví dụ và bài tập dùng cho cao học

CCL-THÍ DỤ VÀ BÀI TẬP
(Cho Cao Học)
1.Chuyển động thế, thế vận tốc, hàm dòng.
Dòng chẩy mà các phần tử chất lỏng không có chuyển động quay đơn thuần gọi là chuyển động
không xoáy hay chuyển động thế, có véc tơ xoáy bằng không,
(1.1)
  .V  0 hay x  0;  y  0; z  0 hay RotV = 0 (trong đó   RotV / 2 )
Trong chất lỏng không xoáy V  0 hay:
 uz u y


z
 y

  ux uz   u y ux 

j 

i  
k  0
x   x
y 
  z

(1.2)

Rot là một toán tử, biến một véc tơ thành một véc tơ khác
i

RotV 
x

ux

j

y
uy

k

z
uz

(1.3)

u z u y u x u z u y u x
;
;



z
x
y
z
x
y
Biểu thức (1.4) là điều kiện cần và đủ để tồn tại hàm   x, y, z, t  sao cho

RotV=0 tức là:

ux 

(1.4)




, uy 
, uz 
x
y
z

(1.5)

Hàm  được gọi là hàm thế tốc độ, do đó:
V  grad  
Trường tốc độ gọi là dòng thế (hay dòng không xoáy). trong đó:



d 
dx 
dy 
dz  ux dx  u y dy  u z dz
x

y

z

(1.6)
(1.7)

Mặt có   const hay d  = 0 là mặt đẳng thế vận tốc.
Đối với dòng chẩy phẳng (dòng chẩy hai chiều) thường ký hiệu trục tung là y và trục hoành là
x, do đó góc quay quanh trục z đối với dòng thế:
1  u y u x

2  x
y

z  

u y u x


  0 hay
x
y


(1.8)

Phương trình đường đẳng thế vận tốc của dòng chẩy phẳng chẩy ổn định là:


d  ux dx  u y dy 
dx 
dy  0

Đặt

x


và u y  
ux 
x
y

(1.9)

y

và hàm  ( xy) được gọi là hàm dòng. Đối với đường dòng ta có:
uxdy – uydx = 0


dq  d 
dy 
dx  0
y

(1.10a)
(1.10b)

x

2

Hiệu số của hai đường dòng ( 2- 1) là lưu lượng giữa hai đường dòng, q   d   2  1
1


Trong chuyển động phẳng có thế có sự liên hệ giữa hàm thế và hàm dòng

 

x
y


 
y
x







(1.11)

   

0
x x y y

dẫn đến:

(1.12)

Biểu thức (1.12) chỉ ra họ đường dòng  = const và họ đường  = const trực giao với nhau tạo
thành lưới thủy động trong dòng chẩy phẳng; nghĩa là tất cả các điểm giao cắt đều hình thành
góc vuông vì tích độ dốc (hay hệ số góc ) của chúng bằng -1(Hình 1.1).

Hình 1.1(a) Sơ đồ đường
trực giao

Hình 1.1(b) Dòng đều //
với trục x

uy
dy

dx  const u x

Dọc theo đường dòng  =const

Dọc theo đường đẳng thế  =const
Dòng đều tạo góc α với trục x ta có:
Thế tốc độ
Hàm dòng
Thành phần tốc độ
Trong tọa độ cực thì
và
2: Lưu số và xoáy
Lưu số được định nghĩa là:

Hình 1.1(c) Dòng đều tạo
góc α với trục x

u
dy
 x
dx  const
uy

φ = V0 ( x cosα + y sinα)
ψ = V0 ( y cosα - x sinα)
ux = V0 cosα, uy = V0 sinα
  f (r ,  )


d 
dr 
d
r

   us ds

(1.13)
(1.14)

Trong dòng chẩy phẳng ở tọa độ Oxy có dA  dxdy

 u y ux
 ABCD  


y
 x


 dxdy   z dA


(1.15a)

Đây là định lý Stốc. Đối với đường cong C bất kỳ
C   ucos ds    z dA

(1.15b)



3. Điểm nguồn và điểm tụ
Điểm nguồn là điểm mà chất lỏng từ đó chẩy đi theo mọi hướng dọc theo phương bán
kính. Ngược lại nếu chất lỏng từ mọi hướng chẩy về theo phương bán kính ta có điểm tụ
3.1 Hàm  và  cho điểm nguồn (q > 0)


Tại điểm M(r,  ) có tốc độ:
q x
qx

2 r
2 r r 2 r 2
q
q y

qy
u y  V sin  
sin  

2 r
2 r r 2 r 2
u x  V cos  

 nguôn 

q

cos 

q
q
y
 hay  nguôn  arctg
2
2
x

Hình 1.2 Điểm nguồn

Định nghĩa cho ta lưu lượng q từ điểm nguồn là tâm của vòng tròn có bán kính r
q  2 rV
q
 xdx  ydy 
2 r 2
x2  y 2  r 2  xdx  ydy  rdr

q

ln r  C
2
q
q
nguôn 
ln r 
ln x 2  y 2
2
2

(1.16)

d  ux dx  u y dy 

do đó
Biết:
Tích phân cho
Ta có
Tìm hàm dòng 
Biết

d  ux dy  u y dx 

(1.17)

q
 xdy  ydx 
2 r 2

Vì dọc theo đường dòng  = const làm cho xdy = ydx
Tích phân cho
lny = lnx + C hay y = Cx

là phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ, đường dòng là đường thẳng dọc theo phương bán
kính. Hàm   x, y   C thay đổi theo  do đó:
  C1 hay   C1tg

y
.
x

(1.18)

Tìm hằng số C1 . Biết q   2  1 với  1  0 ;  2  2 thì: q  C1 2 , rút ra C1 
do đó hàm dòng  có dạng :
hay

q
,
2

q

2
q
y
 nguôn  arctg
2

x

 nguôn 

(1.19a)
(1.19b)

3.2 Hàm  và  cho điểm tụ (q < 0)
Tương tự ta có hàm  và  cho điểm tụ với chiều ngược lại

và
Trong tọa độ cực ta có

tu  

q
q
ln r  
ln x 2  y 2
2
2

(1.20)

 tu  

q
y
arctg
2

x

(1.21)

  f  r , t  do đó:
d  ur  rdt   u dr

Do dòng chẩy theo phương bán kính u  0 , đối với nguồn ur 

(1.22a)
q
2 r

làm cho


d 
Tích phân cho  

q
rd
2 r

(1.22b)

q
  C ,khi  = 0 thì C = 0, do đó đối với điểm nguồn ta có
2

 nguôn 

q
 và tu   q 
2
2

(1.23)

4 Xoáy tự do
Trong xoáy tự do lưu số  > 0 (quay ngược chiều kim đồng hồ),  < 0 (quay thuận chiều
kim đồng hồ)


2

   ln r
2



Thế tốc độ:
Hàm dòng:

Các thành phần tốc độ: vr  0, v 

(1.24)
(1.25)

2 r

(1.26)

Hình 1.3 Xoáy tự do
5 Lưỡng cực
5.1Vấn đề lý thuyết (Hình 1.4)
Đặt nguồn tại gốc tọa độ, tụ cách nguồn ds về phía dương trục x
q
q

  d 
2
2
qd
  r ,   
2

  r ,  

Hình 1.4

Quy luật hàm sin cho

do đó
trong đó m =

sin d sin 

. Khi ds  0  sin d  d và r-dr  r dẫn đến
ds
r  dr

ds sin 
d 
r
qd
qds sin 
sin 
  r ,   

 m
(1.27a)
2
2 r
r

qds
là cường độ của lưỡng cực, thể hiện hàng loạt vòng tròn có tâm ở trục oy,
2
m sin 
y/r
y
  x, y   
 m
 m 2
(1.27b)
r
r
x  y2

Tọa độ:
u  x, y   m

y 2  x2

x

2

 y2



2

..., v  x, y   2m

xy

x

2

 y2



2

(1.28)

5.2 Hàm dòng và thế tốc độ khi nguồn và tụ đối xứng
Gọi cường độ lưỡng cực là m 
Thế tốc độ:
Hàm dòng:

mcos
r
m sin 

r





Thành phần tốc độ:
mcos
vr  

qa

r

2

; v  

(1.29)
(1.30)
(1.31)

m sin 
r2

(1.32)

Hình 1.5 Nguồn đối xứng tụ qua trục y

5.3 Dòng đều kết hợp với nguồn
Dòng đều song song với trục ox có tốc độ ở xa vô cùng là V0 kết hợp với nguồn tại gốc
tọa độ Oxy ta được:

Hình 1.6 Dòng đều kết hợp với nguồn
Thế tốc độ:
Hàm dòng:
Thành phần tốc độ:

q
ln r
2
q
  V0 r sin   
2
q
vr  
; v  V0 sin 
2 r

  V0 r cos  

(1.33)
(1.34)
(1.35)

5.4 Ôvan Rankin
(a) Định nghĩa

Hình 1.7 Ovan Rankin
Ovan Rankin: kết hợp dòng đều V0 với nguồn và tụ trên trục ox cách đều gốc tọa độ là –a và a
Thế tốc độ:
Hàm dòng:

q
 ln r1  ln r2 
2
q
 2ar sin  
  V0 r sin   tg 1  2 2 
2
 r a 

  V0 r cos  

(1.36)
(1.37)

Điểm dừng có tốc độ bằng không, điểm dòng tách đôi bao lấy nguồn và tụ được coi như
một vật thể có dạng ôvan

1/2

 qa

l 
 a2 
  V0

2
2
2 V0 h
h a
h
tg
2a
q

Chiều dài nửa vật thể:
Chiều rộng nửa vật thể:

(1.38)
(1.39)

Nếu khoảng cách a→ 0, nguồn chập vào tụ thì ô van hình thành đường tròn.
(b) Nguồn ở vị trí bất kỳ (x0,y0)
Hàm dòng và tốc độ:
q 1  y  y0 
tg 

2

 x  x0 
x  x0
q
u
2  x  x0 2   y  y0 2



v

(1.40)

y  y0
q
2  x  x0 2   y  y0 2

(c) Đường có tốc độ bằng không để xác định hình dạng vật thể khí động học (Hình 1.8)
Hàm dòng trên đường này có giá trị giống như giá trị tại điểm dừng của dòng chẩy đều
kết hợp với nguồn.
q   
q
(1.41)
 s  v0 y 
 V0 .0 
2
2
y = 0 tại trục x, có 2 đường là đường dòng trên và đường dòng dưới
s  

q

2

Hình 1.8
(d) Vật thể Rankin là sự kết hợp dòng đều với nguồn và tụ
Cho nguồn ở (x0,y0) và tụ tại (x1,y1) sẽ có hàm dòng:
  V0 y 

tốc độ
u  V0 

q 1  y  y0  q 1  y  y1 
tg 
tg 


2
 x  x1 
 x  x0  2

x  x0
x  x0
q
q

2
2
2  x  x0    y  y0  2  x  x1 2   y  y1 2

(1.42)

(1.43)

Khi y0 = 0 và y1 = 0 đồng thời x0 = - a, x1 = a sẽ có các điểm dừng tạo ra vật thể Rankin-các điểm
dừng:
q  xa
xa 



2
2   x  a   x  a 2 


q  xa
xa
 2
 0  V0 
 2
2
2  x  a
x  a2

q  2a 


 0  V0 
2  x 2  a 2 


0  V0 



 












  x2  a2  

qa
 V0

6 Dòng chẩy bao trụ tròn
6.1 Hàm dòng, thế tốc độ
  V0 y  m

Hàm dòng

(1.44)

sin 

r

(1.45)

Gọi là hình trụ có đường kính d, bán kính a được xác định thông qua điểm dừng (r=a)
Tại mặt trụ
y  a sin 
sin 
do đó
(1.46)
  V0a sin   m
a

Cho   0 tại mặt trụ sẽ được V0a = m/a, do đó m = V0a2 hay a  m / V0 và


a2 

r2 

(1.47)

m cos 
r

(1.48)

Hàm dòng   V0 y 1 


Thế tốc độ:
  V0 r cos  

Thành phần tốc độ
 a2 
 a2 
vr  V0 1  2  cos ; v  V0 1  2  sin 
 r 
 r 

(1.49)

Hình 1.9 Dòng chẩy bao trụ tròn
Các điểm dừng là các điểm có v  0 , và tại mặt trụ r = a; do đó v  2V0 sin   0 tại  0=
00 và  0= 1800, còn tại góc  0 = 900 và  0 = 2700 có giá trị V ( max)  2V0
6.2 Áp lực lên trụ
Mô hình chất lỏng không nhớt (Hình 1.9)
Áp suất nén tác dụng lên phần tử diện tích ds = rdθ là df = pds = p rdθ, thành phần lực
theo trục x là
df = - p rdθcosθ
(1.50)
Tích phân cho tổng áp lực lên một đơn vị chiều sâu trụ
2

f    pr cos  d , sử dụng hệ số áp suất:
0

Cd 

p  p0

f
, Cp 
1
1
V02 D
V02
2
2
2

Cd   
0



2
p 
pr cos  d
cos  

C p  1
 d
1
2 
0
V02 D
V02 
2
2




Hình 1.10 Sơ đồ tính áp lực lên trụ

Vì thành phần thứ hai của tích phân bằng không, do đó:
2

 Cd 

C
0

p

cos  d

(1.51)


Hình 1.11 hệ số áp lực Cp thay đổi dọc
theo dòng chẩy

Hình 1.12 Quan hệ giữa các thành phần
ở tọa độ xoy và tọa độ cực

Hình 1.13 Hàm dòng và thế tốc độ
Hình 1.14 (a). So sánh phân phối tốc độ
với bước = 0,2vr
Hình 1.14 (b). So sánh phân phối áp suất
6.3 Các lực tác dụng vào hạt đất ở chân trụ

6.3.1 Dòng chẩy bao trụ tròn.
Ψ = V0rsinθ[1-(a/r)2]
(1.47)
trong đó Ψ- hàm dòng, V0 – tốc độ trung bình của dòng chẩy đến trụ, r- bán kính cực, θ- góc
cực, a- bán kính trụ = b/2. Phương trình đường dòng cho thành phần tốc độ theo phương bán
kính vr và theo góc cực Vθ là:
1 
 V0 cos  1  (a / r ) 2 
Vr =
(1.49a)
r 

 V0 sin 1  (a / r ) 2 
Vθ=
(1.49b)
r

4

Tốc độ v sẽ là:

V = v  v  V0
2
r

2

2

a

a
   2   cos 2  1
r
r

(1.49c)


Hình1.15(a) Đường dòng bao trụ (lý tưởng) Hình1.15(b) Đường dòng bao trụ(chất lỏng thực)

Hình1.15(c) Sơ đồ trụ tròn và tọa độ độc cực Hình1.16.Đường đẳng gradien chuẩn hóa của
dòng chẩy bao trụ tròn
Áp suất tại điểm bất kỳ trong dòng chẩy là:
p - p0 =
Đặt V= v/v0, R= r/a và P =


2

v

2
0

v

2

v
p  p0

 1  
hay
1 2
 v0 
 v0
2



2

(1.52)

p  p0
p p
 2 0 sẽ được
ps  p0  v0 / 2
4

V=

2

1
1
   2   cos 2  1
R
R

1

P = - 
R

2

 1  2

   2 cos 2 
 R 


Gradien áp suất là véc tơ mà giá trị và chiều lớn nhất của nó thay đổi đồng thời.

(1.53)
(1.54)

P
1 P
eˆr 
eˆ
(1.55)
R
R 
3
2


  1 3

  1   1 


P  4      cos 2   eˆr  8   sin  cos   eˆ
(1.56)
R
R
R

















trong đó P - gradien áp suất đã chuẩn hóa, eˆr - véc tơ đơn vị theo phương bán kính, eˆ - là véc
P 

tơ góc đơn vị.


Độ lớn của gradien áp suất ở điểm bất kỳ trong dòng chấy (trừ vùng xoáy trục đứng sau

trụ) là:
 dP 
1
P  
  4 
 dN 
R

3

4

2

1
1
   2   cos 2  1
R
R

(1.57)

trong đó N = n/a là tọa độ chuẩn hóa theo hướng thay đổi lớn nhất của áp suất, n là tọa độ có
đơn vị theo hướng thay đổi lớn nhất của áp suất. Đường đẳng độ lớn của gradien áp suất chuẩn
hóa P cho trong Hình1.16 cho thấy: nơi tập trung các đường này ở hai bên trụ là nơi xói cục
xuất hiện đầu tiên ở trụ. Hình1.16 còn thể hiện vùng xoáy trục đứng sau trụ là nơi hàm thế
không tồn tại (chất lỏng thực, Hình 1.15b)
6.3.2 xem xét các lực tác dụng vào hạt đất ở chân trụ
Độ lớn của lực mà dòng nước tác động vào hạt đất được xác định theo biểu thức;
Fd= CdρAu2/2

(1.58)
trong đó Fd- áp lực dòng nước tác động vào hạt đất, Cd – hệ số áp lực mặt, ρ- khối lượng riêng
của nước, A- diện tích hình chiếu của hạt lên phương vuông góc với chiều của u và bằng πc2,
với hạt hình cầu thì bán kính c = d50/2, u -tốc độ dòng đến tại đỉnh hạt.Giả sử hạt có dạng hình
cầu, lực do gradien áp suất gây ra là tích phân thành phần lực trong hướng thay đối gradien áp
suất lớn nhất trên mặt hạt (xem sơ đồ ở hình 3)

Hình 1.17. Sơ đồ hạt hình cầu chịu gradien áp suất Hình 1.18.Đường đẳng lực gradien áp
suất tương đối khi b/d50 = 44,Cd = 1,5, V0/u =3.
Gọi p là áp suất tại tâm của hạt, lực lên vi phân dA ở mặt hạt là :
dFp = - (p + p c cosβ)dA
n

(1.59)

trong đó dA = 2π(c sinβ)cdβ = (2πc2sinβ)dβ, và β – tọa độ góc hình thành từ chiều dương trục n
theo chiều ngược kim đồng hồ. Thành phần lực này lên phương n là:
Fp(n) = dFpcosβ
(1.60)
Tích phân thành phần lực áp suất theo phương n trên mặt hạt cho :


Fp(n)

2
= 2 c  p sin  cos  d  
0

3
4

2

4 c3  v02  1    1 
1
 sin  cos 2  d 


2
cos
2


1
 
 
 
 0
a
R  R
R



(1.61)


8 c 2  v02  1 
Fp(n) =  
3a  R 

3

4

2

1
1
   2   cos 2  1
R
R

(1.62)

Giá trị tương đối của gradien áp suất với áp lực của dòng chẩy vào hạt :
Fp ( n )
Fd

3
4
2
3
2


 8 c  v0  1   1 
 1
1
2 2



2
cos
2


1
 / Cd  c u
   
 
3
a
R
R
R
2
   
 





hay
Fp ( n )
Fd

16  1
 
3  Cd

 1  v0   1 
1
1

 u   R    R   2  R  cos 2  1
 
 
 b    


 d50 
2

3

4

2

(1.63)

Tỷ số trên khi tăng tỷ số b/d50 .Độ lớn tương đối của những lực này phụ thuộc vào hệ số
áp lực Cd, tỷ số v0/u và b/d50. Hệ số Cd thay đổi theo Red của hạt cát, khi Red ≥ 102 thì Cd ≈
1,5.Gosselin (1997) đo tốc độ gần đáy trong vùng lân cận trụ trong phạm vi 30% đến 70% tốc
độ trung bình, tỷ lên phần trăm giảm nhanh theo khoảng cách xa trụ. Đường đẳng giá trị tuyệt
đối của những lực này đối với b/d50 = 44, Cd = 1,5, v0/u =3, và vùng xoáy trục đứng sau trụ xấp
xỉ diện tích không phù hợp cho dòng thế thể hiện trên Hình1.18. Khi V0/u =10 thì lực gradien áp
suất > 12 lần áp lực mặt. Tỷ số Fp ( n ) / Fd thay đổi theo b/d50 đối với θ = π/2, Cd = 1,5, v0/u
=3,6,9,12 được chỉ ra trong Hình 1.19.

Hình 1.19. Tỷ số Fp ( n ) / Fd thay đổi theo b/d50, Khi Cd = 1,5 và R = 1,0