Thuyết trình quản trị rủi ro tài chính value at risk (var) and expected shortfall (ES)

Value
Value at
at Risk
Risk (VaR)
(VaR) and
and
Expected
Expected Shortfall
Shortfall (ES)
(ES)
PGS.TS Nguyễn Khắc Quốc Bảo
Huỳnh Thái Huy
Lâm Bá Du
TP. Hồ Chí Minh
Tháng 12/2017


Định nghĩa VaR


Value at Risk (VaR) hay Giá trị có rủi ro, biểu diễn rủi ro dưới dạng một con số duy nhất; được định nghĩa là:






Số tiền lớn nhất – V mà một danh mục có thể bị thua lỗ với xác suất – X và khoảng thời gian – T xác định
Hoặc là số tiền nhỏ nhất – V mà một danh mục có thể bị thua lỗ với xác suất 1 – X và khoảng thời gian – T xác định

Ví dụ: cho VaR = V = 10 triệu, độ tin cậy X = 95%, khoảng thời gian T = 1 ngày. Ta phát biểu:




Ta có xác suất 95%, chúng ta sẽ mất tối đa (hoặc không mất nhiều hơn) 10 triệu trong 1 ngày.
Ta có xác suất 5%, chúng ta sẽ mất tối thiểu (hoặc không mất ít hơn) 10 triệu trong 1 ngày.


Định nghĩa VaR


Định nghĩa VaR


Ví dụ VaR

•  

Ví dụ 1: Giả sử rằng lợi nhuận từ danh mục đầu tư trong 6 tháng là tuân theo phân phối chuẩn với trung bình μ = 2
triệu USD và độ lệch chuẩn σ = 10 triệu USD. Với tính chất của phân phối chuẩn, tại điểm 1% của phân phối là 2 –
2,326 x 10 = -21,3 triệu USD. VaR của danh mục đầu tư với thời gian 6 tháng với độ tin cậy 99% là 21,3 triệu USD.



Trong đó, là phân phối chuẩn tích lũy nghịch đảo tại độ tin cậy X% (có thể được tính toán bởi hàm NORMSINV trong
Excel).


Ví dụ VaR



Ví dụ 2: Giả sử rằng doanh thu các dự án 1 năm của doanh nghiệp mang lại lợi nhuận từ lỗ 50 triệu đến lãi 50 triệu
với xác suất xảy ra như nhau. Trong trường hợp này, lỗ từ các dự án có phân phối đồng đều từ -50 triệu đến +50
triệu. Có 1% xác suất doanh nghiệp sẽ lỗ hơn 49 triệu. VaR của dự án 1 năm với độ tin cậy là 99% là 49 triệu.



Ví dụ 3: Dự án 1 năm của doanh nghiệp có 98% cơ hội mang lại lợi nhuận là 2 triệu USD, 1,5% là lỗ 4 triệu USD, và
0,5% là lỗ 10 triệu USD. Bảng phân phối lỗ tích lũy được thể hiện trong hình 12.3. Điểm trên phân phối tích lũy này
mà tương ứng với xác suất tích lũy của 99% là 4 triệu USD. Do đó VaR với độ tin cậy 99% trong khoảng thời gian 1
năm là 4 triệu USD


Ví dụ VaR


Ví dụ VaR



Ví dụ 4: Lặp lại ví du 3, giả sử rằng chúng ta tính toán VaR sử dụng độ tin cậy là 99.5%. Trong trường hợp này,
bảng 12.3 chỉ ra rằng mọi tổn thất có xác suất 99,5% không vượt quá khoảng 4 triệu đến 10 triệu. Tương đương, có
xác suất 0,5% xảy ra bất kỳ khoản lỗ nào vượt quá 4 triệu đến 10 triệu. VaR do đó không còn là một con số cụ thể
duy nhất. Một quy ước trong dạng này để xác định VaR sẽ lấy điểm giữa của khoảng giá trị của VaR. Điều đó có
nghĩa, VaR sẽ là 7tr.


Mặt hạn chế của VaR



VaR là một thước đo rủi ro khá hấp dẫn bởi vì nó dễ hiểu. Về bản chất, nó là đáp án cho một câu hỏi rất bình thường
của các nhà quản lý: “How bad can things get?”.



Giả sử rằng ngân hàng nói với nhà đầu tư rằng, 99% VaR của danh mục đầu tư một ngày phải bị giới hạn tới 10
triệu. Người giao dịch có thể cấu trúc danh mục đầu tư tại mức mà có 99,1% cơ hội lỗ ít hơn 10 triệu và 0.9% là 500
triệu. Người giao dịch hài lòng với giới hạn rủi ro được áp đặt bởi ngân hàng nhưng rõ ràng nhận lấy các rủi ro
không thể chấp nhận. Giả sử rằng VaR trong biểu đồ 12.4 giống với VaR trong hình 12.1. Danh mục đầu tư trong
12.4 rủi ro hơn danh mục đầu tư 12.1 bởi vì mức lỗ cao hơn.


Mặt hạn chế của VaR


Thâm hụt kỳ vọng (ES)



Một các đo lường rủi ro khác tốt hơn VaR cho các nhà đầu tư là Expected short-fall (ES). Đôi khi nó cũng được gọi là
Conditional VaR (CVaR), conditional tail expectation, hoặc expected tail loss.



ES, giống như VaR, là một hàm của 2 tham số: T (khoảng thời gian) và X (Độ tin cậy). Nó là khoản lỗ dự kiến trong
khoảng thời gian T có điều kiện về khoản lỗ lớn hơn X phần trăm trong phân phối lỗ.



Ví dụ, giả sử rằng X = 99, T là 10 ngày và VaR là 64tr. ES trung bình tổng các khoản lỗ vượt quá 64tr trong 10 ngày.



ES có tính chất tốt hơn VaR trong việc luôn thể hiện lợi ích của việc đa dạng hóa. Một bất lợi là nó không đơn giản
như VaR và kết quả của nó rất khó hiểu.


Thâm hụt kỳ vọng (ES)


Tính chất “Coherent”


Artzner và cộng sự (1999) cho rằng một phép đo đạc rủi ro ρ(.) có tính chất “coherent” nếu thỏa các điều kiện sau
(với X, Y là các tài sản tài chính)

 Monotonicity: ρ(X) ≤ ρ(Y) nếu X ≤ Y
(Nếu một danh mục đầu tư cho ra một kết quả tồi tệ hơn danh mục đầu tư khác. Ước tính rủi ro của nó phải lớn hơn)
 Risk Free Condition: ρ(X+k) = ρ(X) – k với k là hằng số
(Nếu một số lượng tiền mặt K được cho vào danh mục đầu tư, độ rủi ro của nó phải giảm xuống K)
 Pos. Homogeneity: ρ(λX) = λρ(X) với λ > 0

(Thay đổi quy mô của danh mục đầu tư bởi 1 hệ số Lamda, trong khi giữ lại tỷ lệ như cũ của các dạng tài sản và nợ trong danh
mục đầu tư, độ đo rủi ro sẽ tăng lên Lamda lần)

 Subadditivity: ρ(X + Y) ≤ ρ(X) + ρ(Y)

(Độ đo rủi ro của 2 danh mục đầu tư sau khi chúng kết hợp không được lớn hơn tổng độ đo rủi ro của từng danh mục đầu tư)

* Tham khảo Danielsson et al (2005)


Tính chất “Coherent”


Ví dụ 1: Giả sử từng dự án trong 2 dự án độc lập có xác suất 0.02 sẽ mất 10 triệu và 0.98 sẽ mất 1 triệu trong 1
năm. Với độ tin cậy 97,5%, VaR cho mỗi dự án một năm là 1 triệu. Khi cả 2 dự án được đặt chung vào một danh
mục, sẽ có xác suất 0.02 x 0.02 = 0.0004 mất 20tr. Xác suất 2 x 0.02 x 0.98 = 0.0392 xác suất mất 11tr và xác suất
0.98 x 0.98 = 0.9604 sẽ mất 2tr. VaR với độ tin cậy 97,5% trong 1 năm của danh mục là 11tr. Tổng VaR của các dự
án riêng biệt là 2 triệu. VaR của danh mục do đó lớn hơn VaR của các dự án là 9 triệu  VaR trái với điều kiện
Subadditivity.



Ví dụ 2: Xét ví dụ 1, tính ES hay CVaR, ES của mỗi dự án sẽ là 0.8 x 10 + 0.2 x 1 = 8.2; ES của danh mục sẽ là
0.04/2.5 x 20 + (2.46/2.5) x 11 = 11.144, từ đây suy ra ES của danh mục sẽ bé hơn tổng ES của mỗi dự án  ES
thỏa mãn điều kiện Subadditivity.


Tính chất “Coherent”





Ví dụ 3: Ngân hàng có hai khoản cho vay 1 năm, mỗi khoản 10 triệu, xác suất vỡ nợ như sau:

Nếu khoản vay vỡ nợ, xác suất khoản lỗ từ 0 đến 10 triệu tương đương nhau, nếu khoản cho vay thu hồi được, lợi
nhuận thu được là 0.2 triệu.



Xét khoản vay 1, xác suất vỡ nợ là 1.25% với khoản lỗ phân phối đều từ 0 đến 10 triệu. Do đó, chúng ta có xác
suất 1.25%x80%=1% khoản lỗ lớn hơn 2 triệu. Vậy với độ tin cậy 99%, VaR của khoản vay sẽ là 2 triệu. Cách tính
tương tự cho khoản vay 2.



Xét danh mục chứa hai khoản vay, chúng ta có 2.5% xác suất danh mục vỡ nợ với khoản lỗ sẽ từ 0 đến 10 triệu,
ta có 40% xác suất khoản lỗ lớn hơn 6; do đó VaR danh mục tại độ tin cậy 99% sẽ là 6 – 0.2 = 5.8 triệu.


Tính chất “Coherent”


Rõ ràng tổng VaR của hai khoản vay tại mức tin cậy 99% là 4 triệu, trong khi VaR của danh mục lại là 5.8 triệu 
VaR trái với điều kiện Subadditivity.



Ví dụ 4: Xét ví dụ 3, tính ES hay CVaR, ES của mỗi khoản vay 1 năm với độ tin cậy 99% sẽ là điểm giữa của khoảng
2 và 10 triệu: 6 triệu (nhớ rằng khoản lỗ phân phối đều từ 0 đến 10 triệu)



Thêm nữa, ES của danh mục chính là giá trị kỳ vọng của khoản lỗ lớn hơn VaR (5,8 triệu), và thu nhập phân phối
đồng đều từ khoản lời 0.2 triệu đến khoản lỗ 9.8 triệu, do đó khoản lỗ kỳ vọng, phân phối từ 5.8 triệu đến 9.8 triệu,
sẽ là 7.8 triệu, rõ ràng bé hơn tổng ES của hai khoản vay  ES thỏa mãn điều kiện Subadditivity.

Lựa chọn tham số cho VaR và ES


•

Với VaR và ES, người sử dụng phải chọn 2 tham số: Thời gian và độ tin cậy. Giả định thay đổi trong giá trị của danh
mục trong khoảng thời gian đầu tư là phân phối chuẩn có trung bình μ và độ lệch chuẩn σ, khi đó công thức VaR và
ES lần lượt là



Trong đó, là phân phối chuẩn tích lũy nghịch đảo tại độ tin cậy X% (có thể được tính toán bởi hàm NORMSINV
trong Excel). Đối với những khoảng thời gian tương đối ngắn, µ thường được giả định là 0. VaR cho danh mục là σ.



Ví dụ: Giả sử rằng thay đổi trong giá trị của danh mục qua 10 ngày là phân phối chuẩn với trung bình là 0 và độ lệch
chuẩn là 20tr. VaR với độ tin cậy 99% trong 10 ngày là:

 

20 = 46.5 tr


Lựa chọn tham số cho VaR và ES


•

Khi mà tổn thất được giả định là phân phối chuẩn với trung bình là µ và độ lệch chuẩn là σ, ES với độ tin cậy là X
được tính bằng.

 


Y=



Ví dụ: Xem xét lại ví dụ trên, thay đổi trong giá trị của danh mục trong 10 ngày là một phân phối chuẩn với trung bình
là 0 và độ lệch chuẩn là 20tr. Bởi vì 2.326 là điểm trên phân phối chuẩn tắc có 1% cơ hội vượt quá, nên ES với độ tin
cậy 99% trong 10 ngày là:


Lựa chọn tham số cho VaR và ES
The Time Horizon (Khoảng thời gian)



Impact of Autocorrelation (Ảnh hưởng của tự tương quan)



Trong thực tế, những thay đổi trong giá trị của một danh mục đầu tư từ một ngày đến ngày tiếp theo không phải luôn luôn
hoàn toàn độc lập.



Giả định, thay đổi giá danh mục đầu tư hàng ngày đều có độ lệch chuẩn như nhau và không độc lập hoàn toàn. Đặt ΔPi

như là sự thay đổi trong giá trị của một danh mục đầu tư ở ngày i. Một giả định đơn giản là tự tương quan bậc 1 giữa ΔPi
và ΔPi -1 là p với mọi i. Do đó phương sai của ΔPi−1 + ΔPi là



Suy ra công thức tổng quát cho độ lệch chuẩn của ∑ Ti=1 ΔPi



Giả định, thay đổi giá danh mục đầu tư hàng ngày độc lập nhau hoàn toàn, khi đó ρ = 0, ta có công thức tính nhanh sau


Lựa chọn tham số cho VaR và ES
The Time Horizon (Khoảng thời gian)



Impact of Autocorrelation (Ảnh hưởng của tự tương quan)


Lựa chọn tham số cho VaR và ES
The Time Horizon (Khoảng thời gian)



•

Impact of Autocorrelation (Ảnh hưởng của tự tương quan)

 



Ví dụ: Giả sử rằng thay đổi hàng ngày trong một danh mục đầu tư của các giá trị thường được phân phối chuẩn với trung bình là 0 và độ
lệch chuẩn là $3tr. Tự tương quan bậc một của thay đổi hàng ngày là 0,1. Độ lệch chuẩn của sự thay đổi trong giá trị danh mục đầu tư qua 5
ngày là:

VaR với độ tin cậy 95% của 5 ngày là 7.265x(0.95) = 11.95tr. ES là:


Lựa chọn tham số cho VaR và ES
Confidence Level (Độ tin cậy)



VaR với độ tin cậy X* có thể được tính toán từ VaR với độ tin cậy X thấp hơn thông qua công thức sau:

 



ES với độ tin cậy X* có thể được tính toán từ ES với độ tin cậy X thấp hơn thông qua công thức sau:

 


Lựa chọn tham số cho VaR và ES
Confidence Level (Độ tin cậy)

 



Ví dụ: Giả sử rằng VaR 1-ngày với độ tin cậy 95% là 1.5 triệu $ và ES 1-ngày là 2 triệu $. Sử dụng giả định là phân
phối của sự thay đổi trong giá trị danh mục có phân phối chuẩn với giá trị trung bình bằng 0, khi đó VaR 1-ngày 99%
là:



ES 1-ngày 99% là:

 

triệu


Ước lượng biên, gia tăng
và thành phần


Xem xét một danh mục đầu tư bao gồm một số danh mục phụ. Các nhà phân tích đôi khi tính toán giá trị đóng góp
của mỗi danh mục phụ đến VaR hoặc ES. Giả sử rằng số tiền đầu tư trong danh mục phụ thứ i là xi. Các giá trị rủi ro
biên cho danh mục phụ thứ i là độ nhạy của VaR với số tiền đã đầu tư trong danh mục phụ thứ i. Nó là:



Để tính Var biên, chúng  ta có thể tăng xi đến xi+Δxi cho một Δxi nhỏ và ước tính lại VaR. Nếu ΔVaR tăng trong VaR,
ước tính VaR biên sẽ là ΔVaR/Δxi. Trong một số trường hợp, VaR cận biên là âm cho thấy rằng việc tăng trọng số
của một danh mục phụ đặc biệt làm giảm rủi ro của danh mục đầu tư.

Ước lượng biên, gia tăng
và thành phần


Giá trị rủi ro gia tăng cho danh mục phụ thứ i là hiệu ứng gia tăng của danh mục phụ thứ i trên VaR. Đó là sự khác
biệt giữa VaR với danh mục phụ và VaR không có danh mục phụ. Những nhà giao dịch thường quan tâm đến các
VaR gia tăng cho một giao dịch mới.



Các thành phần giá trị của rủi ro cho danh mục phụ thứ i là



Điều này có thể được ước tính như:



Nó có thể được tính toán bằng cách làm cho một thay đổi phần trăm nhỏ yi = Δxi/xi trong số tiền đã đầu tư vào danh
mục phụ thứ i và tính toán lại VaR. Nếu ΔVaR là tăng, ước tính của thành phần VaR là ΔVaR/yi.