Giáo trình sức bền vật liệu 1 - Chương 8

GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 1
Chương 8

CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

8.1 KHÁI NIỆM CHUNG
Khi tính một dầm chòu uốn ngang phẳng, ngoài điều kiện bền còn phải
chú ý đến điều kiện cứng. Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng của dầm.
Dưới tác dụng của các ngoại lực, trục dầm bò uốn cong, trục cong này được
gọi là đường đàn hồi của dầm (H.8.1).











Xét một điểm K nào đó trên trục dầm trước khi biến dạng. Sau khi biến
dạng, điểm K sẽ di chuyển đến vò trí mới K’. Khoảng cách KK’ được gọi là
chuyển vò thẳng của điểm K. Chuyển vò này có thể phân làm hai thành
phần:
Thành phần v vuông góc với trục dầm (song song với trục y) gọi là
chuyển vò đứng hay độ võng của điểm K.

Thành phần u song song với trục dầm (song song với trục z) gọi là
chuyển vò ngang của điểm K.
Ngoài ra , sau khi trục dầm biến dạng, mặt cắt ngang ở K bò xoay đi
một góc
ϕ
, ta gọi góc xoay này là chuyển vò góc (hay là góc xoay ) của
mặt cắt ngang ở điểm K. Có thể thấy rằng, góc xoay
ϕ
chính bằng góc giữa
trục chưa biến dạng của dầm và tiếp tuyến ở điểm K của đường đàn hồi
(H.8.1).
K

K’

z
y

ϕ


ϕ

Đường đàn hồi
P
P

u
H.7.1
v

≡
y(z)
K
K
’
z

y
ϕ
ϕ
Đường đàn hồi
P

P

z
H.7.2


GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 2
Ba đại lượng u, v,
ϕ
là ba thành phần chuyển vò của mặt cắt ngang ở
điểm K.
Trong điều kiện biến dạng của dầm là bé thì thành phần chuyển vò
ngang u là một đại lượng vô cùng bé bậc hai so với v, do đó có thể bỏ qua
chuyển vò u và xem KK’ là bằng v, nghóa là vò trí K’ sau khi biến dạng nằm
trên đường vuông góc với trục dầm trước biến dạng (H.8.2).

Góc xoay
ϕ
có thể lấy gần đúng:
dz
dv
tg =ϕ≈ϕ
.

Nếu chọn trục dầm là z, trục y vuông góc với trục dầm, thì chuyển vò v
chính là tung độ y của điểm K’. Tung độ y cũng chính là độ võng của điểm
K. Ta thấy rõ nếu K có hoành độ z so với gốc nào đó thì các chuyển vò y,
ϕ

cũng là những hàm số của z và phương trình đàn hồi là:
y(z) = v(z)
Phương trình của góc xoay sẽ là:

() ()
zy
dz
dy
dz
dv
z '===ϕ

hay, phương trình của góc xoay là đạo hàm của phương trình đường
đàn hồi.
Quy ước dương của chuyển vò:
- Độ võng y dương nếu hướng xuống.
- Góc xoay

ϕ
dương nếu mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ.
Điều kiện cứng: Trong kỹ thuật, khi tính toán dầm chòu uốn, người ta
thường khống chế độ võng lớn nhất của dầm không được vượt qua một giới
hạn nhất đònh để đảm bảo yêu cầu về sự làm việc, mỹ quan của công
trình..., điều kiện này được gọi là điều kiện cứng. Nếu gọi f là độ võng lớn
nhất của dầm thì điều kiện cứng thường chọn là:

1000
1
300
1
÷=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
L
f

trong đó: L - là chiều dài nhòp dầm.
Tùy loại công trình mà người ta quy đònh cụ thể trò số của
[]
Lf
.

GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 3
8.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI
Xét 1 điểm bất kỳ K trên trục dầm.
Trong chương 7 (công thức 7.1) ta đã lập được mối liên hệ giữa độ cong
của trục dầm tại K sau biến dạng với mômen uốn nội lực M
x
tại K

là:

x
x
EJ
M
=
ρ
1
(a)
Mặt khác, vì đường đàn hồi được biểu diễn bởi phương trình hàm số y(z)
trong hệ trục (yz) nên độ cong của đồ thò biểu diễn của hàm số ở 1 điểm K
có hoành độ z được tính theo công thức:

()
2
3
2

1
1
y
y
′
+
′′
=
ρ
(b)
(a) và (b) ⇒
()
x
x
EJ
M
y
y
=
+
′′
2
3
2
'1
(c)
Đó là phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi, tuy nhiên phải
chọn sao cho hai vế của phương trình trên đều thỏa mãn.

Khảo sát một đoạn dầm bò uốn cong trong hai trường hợp như H.8.3. Trong
cả 2 trường hợp mômen uốn M
x
và đạo hàm bậc hai y” luôn luôn trái dấu,
cho nên phương trình vi phân của đường đàn hồi có dạng:

()
x
x
EI
M
y
y
−=
+
2
3
2
'1
''

Với giả thiết chuyển vò là bé (độ võng và góc xoay bé), có thể bỏ qua
(y’)
2
so với 1 và khi đó phương trình vi phân của đường đàn hồi có dạng
gần đúng như sau:
z
y
M
x

> 0
y” < 0
M
x
M
x

y
M
x
< 0
y” > 0
M
x

M
x
H.8. 3


GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 4

x
x
EI
M
y −=''
(8.1)

trong đó: Tích số EJ
x

là độ cứng khi uốn của dầm .
8.3 LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP
TÍCH PHÂN KHÔNG ĐỊNH HẠN
Vế phải của phương trình vi phân (8.1) chỉ là một hàm số của z nên (8.1)
là phương trình vi phân thường.
Tích phân lần thứ nhất (8.1) ⇒ phương trình góc xoay:

∫
+−== Cdz
EJ
M
y
x
x
'
ϕ
(8.2)
Tích phân lần thứ hai ⇒ phương trình đường đàn hồi:

∫∫
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
+−= DdzCdz
EJ
M
y
x
x
(8.3)
Trong (8.2) và (8.3), C và D là hai hằng số tích phân sẽ được xác đònh
các điều kiện biên. Các điều kiện này phụ thuộc vào liên kết của dầm và
phụ thuộc vào sự thay đổi tải trọng trên dầm.



Đối với dầm đơn giản, có thể có các điều kiện như sau:
+ Đầu ngàm của dầm console có góc xoay và độ võng bằng không
(H.8.4a): y
A
=
ϕ
A
= 0
+ Các đầu liên kết khớp độ võng bằng không (H.8.4b):
y
A
= y
B
= 0
+ Tại nơi tiếp giáp giữa hai đoạn dầm có phương trình đường đàn hồi

khác nhau, độ võng và góc xoay bên trái bằng với độ võng và góc xoay
bên phải ( điểm C trên H.8.4b): y
C
tr
= y
C
ph
;
ϕ
C
tr
=
ϕ
C
ph







H. 8.4
y
A
=
ϕ
A
= 0
A

a)
y
A
= 0
y
B
= 0
b)
AB
C


GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 5

Thí dụ 8.1 Viết phương trình đường đàn hồi và góc xoay cho dầm công
son (console) như H.8.5. Từ đó suy ra độ võng và góc xoay lớn nhất. Cho
EJ
x
= hằng số.
Giải.
Phương trình mômen uốn tại
mặt cắt có hoành độ z là:
M
x
=–Pz (a)

thế vào (8.1) ⇒ phương trình vi phân của đường đàn hồi :

xx
x
EJ
Pz
EJ
M
y =−=''
(b)
tích phân hai lần, ⇒
C
EJ
Pz
y
x
+==
2
'
2
ϕ
(c)

DCz
EJ
Pz
y
x
++=
6
3
(d)

C và D được xác đònh từ các điều kiện biên về độ võng và góc xoay tại
ngàm:
z = L;
ϕ
= 0 và y = 0
thay các điều kiện này vào (c) và (d) ⇒

xx
EJ
PL
D
EJ
PL
C
3
;
2
32
=−=

Vậy phương trình đường đàn hồi và góc xoay là:

;
326
323
xxx
EJ
PL
z
EJ

PL
EJ
Pz
y +−=


xx
EJ
PL
EJ
Pz
22
22
−=
ϕ

Độ võng và góc xoay lớn nhất ở đầu tự do A của dầm; ứng với z = 0, ta có:

xx
EJ
PL
EJ
PL
y
2
;
3
23
max
−==

ϕ

y
max
> 0 chỉ rằng độ võng của điểm A hướng xuống

ϕ
< 0 chỉ rằng góc xoay của điểm A ngược kim đồng hồ.


A
B

y
B
=
ϕ
B
= 0
P
y
z
z
L
H.7.5


GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 6

Thí dụ 8.2 Tính độ võng và góc xoay lớn nhất của dầm (H.8.6).
Cho EJ
x
= hằng
Giải.
Phương trình mômen uốn tại
mặt cắt có hoành độ z là:

2
2
qz
M
x
−=
(a)
thế vào (8.1), ⇒
x
EJ
qz
y
2
''
2
−=
(b)
tích phân hai lần, ⇒
C
EJ
qz
y

x
+==
6
'
3
ϕ
(c)

DzC
EJ
qz
y
x
++=
24
4
(d)
hai điều kiện biên ở đầu ngàm z = L;
ϕ
= 0 và y = 0 cho :

xx
EJ
qL
D
EJ
qL
C
8
;

6
43
=−=

Vậy phương trình đàn hồi và góc xoay là:

;
8624
434
xxx
EJ
qL
z
EJ
qL
EJ
qL
y +−=


xx
EJ
qL
EJ
qL
66
33
−=
ϕ

Độ võng và góc xoay lớn nhất ở đầu tự do A của dầm; ứng với z = 0, ta
có:


8
4
max
x
EJ
qL
y =
và
x
A
EJ
qL
6

3
−=
ϕ

Thí dụ 8.3 Tính độ võng và góc xoay lớn nhất của dầm đơn giản chòu tải
phân bố đều (H.8.7). Độ cứng EJ
x
của dầm không đổi.
Giải.
Phương trình mômen uốn tại
mặt cắt ngang có hoành độ z là:
()

2
2
222
zLz
qqz
z
qL
M
x
−=−=
(a)
thay vào (8.1),
⇒
phương trình vi
phân của đường đàn hồi như sau:
z
y
A
z
L

B
L/2
H.8.7
q
z
A
B
y
B

=
ϕ
B
= 0
q
y
z
L
H.8.6


GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 7

()
2
2
'' zLz
EJ
q
y
x
−−=
(b)
tích phân hai lần,
⇒

C
zLz

EJ
q
y
x
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−==
322
'
32
ϕ
(c)

DzC
zLz
EJ
q
y
x
++
⎟
⎟
⎠

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
1262
43
(d)
điều kiện biên ở các gối tựa trái và phải của dầm:
⎩
⎨
⎧
==
==
0y;Lz:khi
0y;0z:khi


⇒

x
EJ
qL
D
24
C ;0
3
==

Như vậy phương trình đường đàn hồi và góc xoay là:

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
3
3
2
23
21
24 L
z
L
z
z
EJ
qL
y
x
(e)

⎟
⎟
⎠

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−==
3
3
2
23
461
24
'
L
z
L
z
EJ
qL
y
x
ϕ
(g)
Độ võng lớn nhất của dầm ở tại mặt cắt ngang giữa nhòp ứng với:
z =
2
L
(tại đây y’ = 0)
thay z =
2

L
vào (e),
x
L
z
EJ
qL
yy
384
5
4
2
max
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=

Góc xoay lớn nhất, nhỏ nhất (y’
max
, y’
min
) tại mặt cắt ngang có y” = 0
(hay M
x
= 0), tức ở các gối tựa trái và phải của dầm. Thay z = 0 và z = L

lần lượt vào (g)
⇒

x
EJ
qL
y
3
maxmax
24
1
'
==
ϕ

x
EJ
qL
y
3
minmin
24
1
'
−==
ϕ

Góc xoay của mặt cắt ở gối tựa trái thuận chiều kim đồng hồ, góc xoay
của mặt cắt ở gối tựa phải ngược chiều kim đồng hồ.

GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 8
Thí dụ 8.4 Lập phương trình độ võng và góc xoay của dầm trên hai gối tựa
chòu lực tập trung P như H.8.8 cho biết EJ
x
= hằng số.








Giải.
Dầm có hai đoạn, biểu thức mômen uốn trong hai đoạn AC và CB
khác nhau nên biểu thức góc xoay và độ võng trong hai đoạn cũng khác
nhau. Viết cho từng đoạn các biểu thức M
x
, y’’, y’, y như sau:

Mômen uốn M
x
trong các đoạn sau:
Đoạn AC (0
≤
z
1

≤
a):
1)1(
z
L
Pb
M
x
=
(a)
Đoạn CB (a
≤
z
2

≤
L):
()
azPz
L
Pb
M

x
−−=
22)2(
(b)
Phương trình vi phân của đường đàn hồi trong mỗi đoạn:
Đoạn AC:
11
''
z
LEJ
Pb
y
x
−=
(c)
Đoạn CB:
()
az
EJ
P
z
LEJ
Pb
y
xx
−+−=
222
''
(d)
Tích phân liên tiếp các phương trình trên, ta được:

Đoạn AC (0
≤
z
1

≤
a):

1
2
11
2
'
Cz
LEJ
Pb
y
x
+−=
(e)

111
3
11
6
DzCz
LEJ
Pb
y
x

++−=
(g)
Đoạn CB (a
≤
z
2

≤
L):
A

z
B
P
a
H.8.8
b
z
1

Z
2

L
Pab/L
Y


GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 9

()
2
2
2
2
22
22
'
Caz
EJ
P
z
LEJ
Pb
y
xx
+−+−=
(h)

()
222
3
2
3
22
66
DzCaz
EJ

P
z
LEJ
Pb
y
xx
++−+−=
(i)

Xác đònh các hằng số tích phân C
1
, D
1
, C
2
, D
2
từ các điều kiện biên
- Ở gối tựa A, B độ võng bằng không
- Ở mặt cắt ngang C nối tiếp hai đoạn, độ võng và góc xoay của hai
đoạn phải bằng nhau.
⇔
khi: z
1
= 0; y
1
= 0
z
2
= 0; y

2
= 0
z
1
= z
2
= a; y
1
= y
2
; y
1
’ = y
2
’
Từ bốn điều kiện này
⇒
:

()
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨

⎧
+−=+−
++−=++−
=++−+−
=
2
2
1
2
22
3
11
3
22
3
3
1
22
66
0
66
0
ca
LEJ
Pb
ca
LEJ
Pb
Daca
LEJ

Pb
Daca
LEJ
Pb
DLCaL
EJ
P
L
LEJ
Pb
D
xx
xx
xx

Giải hệ phương trình trên,
⇒

D
1
= D
2
= 0;
( )
22
21
6
bL
LEJ
Pb

CC
x
−==

Vậy phương trình góc xoay và độ võng trong từng đoạn là:
Đoạn AC (0
≤
z
1

≤
a):

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−

=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
==
66
26
3
1
1
22
1
2
1
22
'
11
z
z
bL
LEJ
Pb
y

zbL
LEJ
Pb
y
x
x
ϕ

Đoạn BC (a
≤
z
2

≤
L):

()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
−
−
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−==
666
622
3
2
2
22
3
2
2
22

2
2
2
2
'
22
z
z
bL
L
b
az
LEJ
Pb
y
bL
b
azLz
LEJ
Pb
y
x
x
ϕ

Tính độ võng lớn nhất trong dầm bằng cách dựa vào điều kiện y’ = 0,


GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 10
Giả sử a > b. Trước hết ta sẽ xét độ võng lớn nhất trong đoạn nào
Ở gối tựa A (z
1
= 0) góc xoay bằng:

01
6
2
2
1
>
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
L
b
EJ
PbL
x
A
ϕ

và ở C (z

1
= a):
()
0
3
1
<−−= ba
EJ
PbL
x
C
ϕ

Như vậy, giữa hai điểm A và C góc xoay
ϕ
1
đổi dấu, nghóa là sẽ bò triệt
tiêu một lần. Điều đó cho thấy độ võng có giá trò lớn nhất trong đoạn AC.
Để tìm hoành độ z
1
(0) của mặt cắt ngang có độ võng lớn nhất, ta cho
phương trình
ϕ
1
= 0:

[]
()()
0
2

0
6
)0(
2
1
2
11
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
zbL
LEJ
Pb
z
x
ϕ

⇒

3
)0(
22
1

bL
z
−
=
(o)
Sau đó đưa vào biểu thức (l) của độ võng,
⇒
giá trò lớn nhất của độ
võng
()
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
==
2
222
1max
1
27
3
)0(1
L

b
EJ
bLPb
yy
x
z
(p)

Các hệ quả:
- Nếu P đặt ở giữa nhòp dầm
( )
2/Lb =
, thì từ (o) và (p) , ta được:

x
EJ
PL
yL
L
z
48
; 500,0
2
)0(
3
max1
===

- Khi P ở gần gối B, tức b
→

0 ta có: z
1
(0) =
3
L
= 0577L
Như vậy, nếu tải trọng di chuyển từ trung điểm D giữa nhòp dầm đến
gối tựa B (H.8.9) thì hoành độ z
1
(0) sẽ biến thiên từ 0,5L đến 0,577L, tức là
từ điểm D đến điểm E. Trong thực tế người ta thường quy ước là khi tải
trọng P tác dụng ở một vò trí nào đó thì vẫn có thể coi độ võng lớn nhất ở
giữa nhòp dầm.
Thí dụ, nếu tải trọng P tác dụng ở vò trí như H.8.8 thì độ võng ở giữa
nhòp dầm sẽ bằng:
()
( )
22
2
43
48
bL
EJ
Pb
y
x
l
−=

So sánh hai giá trò y

max
và
()
2l
y
thấy hai giá trò này khác nhau và rất ít
.
0,500L
A
z

B
E

D
0,577L
H.8.9


GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 11
Nhận xét: Nếu dầm có nhiều đoạn, cần phải lập phương trình vi phân
đường đàn hồi cho nhiều đoạn tương ứng. Ở mỗi đoạn , phải xác đònh hai
hằng số tích phân, nếu dầm có n đoạn thì phải xác đònh 2n hằng số, bài
toán trở nên phực tạp nếu số đoạn n càng lớn, vì vậy phương pháp này ít
dùng khi tải trọng phức tạp hay độ cứng dầm thay đổi.

8.4 XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TẢI
TRỌNG GIẢ TẠO (PHƯƠNG PHÁP ĐỒ TOÁN)

♦
Phần trước, đã có liên hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lực ( CH. 2):

⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
q
dz
Md
Q
dz
dM
q
dz
dQ
x
x
2
2
(a)

♦
Đối với việc khảo sát đường đàn hồi của dầm , cũng có phương trình
vi phân:

x
x
EJ
M
dz
yd
−=
2
2
(b)
Đối chiếu các phương trình (a) và (b), ta thấy có sự tương tự sau:

y

'
y
dz
dy
=

x
x
EJ
M
y

dz
yd
−== ''
2
2

M
x
Q
dz
dM
x
=

q
dz
Md
x
=
2
2


Ta nhận thấy muốn tính góc xoay y’ và độ võng y thì phải tích phân
liên tiếp hai lần hàm số
x
x
EJ
M

Tương tự muốn có lực cắt Q
y
và mômen uốn M
x
thì phải tích phân liên
tiếp hai lần hàm số tải trọng q.
Tuy nhiên ở phần trước ( CH.2), ta đã tính lực cắt Q
y
và mômen uốn
M
x
theo tải trọng q từ việc khảo sát các phương trình cân bằng.


GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 12
Như vậy, cũng có thể tính góc xoay y’ và độ võng y theo hàm y”=-
x
x
EJ
M

mà không cần tích phân. Đó cũng chính là phương pháp tải trọng giả
tạo.


♦
Phương pháp tải trọng giả tạo:
Tưởng tượng một dầm giả tạo (DGT) có chiều dài giống dầm thực

(DT), trên DGT có tải trọng giả tạo
gt
q
giống như biểu đồ
x
x
EJ
M
−
trên dầm
thật, thì sẽ có sự tương đương:

gt
x
x
q
EJ
M
y =−=''
; y’ =Q
gt
; y = M
gt

trong đó:
gt
q
- Tải trọng giả tạo
Q
gt

- Lực cắt giả tạo- Lực cắt trong DGT

gt
M
- Mômen giả tạo- Mômen uốn trong DGT

⇒
Muốn tính góc xoay y’ và độ võng y của một dầm thực (DT)
(dầm đang khảo sát) thì chỉ cần tính lực cắt Q
gt
và mômen uốn M
gt
do tải
trong giả tạo tác dụng trên DGT gây ra.
Tuy nhiên, để có được sự đồng nhất đường đàn hồi y và Momen uốn
M
gt
thì điều kiện biên của chúng phải giống nhau: y’ = Q
gt
; y = M
gt
tại bất
kỳ điểm trên hai DT và DGT; Ngoài ra nếu xét tại điểm bất kỳ trên dầm
phải khảo sát đến sự giống nhau của bước nhảy góc xoay
y
′
Δ
và bước
nhảy lực cắt
gt

QΔ
.

♦
Cách chọn dầm giả tạo (DGT)
DGT được suy từ DT với điều kiện là nơi nào trên DT không có độ
võng và góc xoay thì điều kiện liên kết của DGT ở những nơi đó phải tương
ứng sao cho q
gt
không gây ra M
gt
và Q
gt
.
Chiều dài của DT và DGT là như nhau.
Bảng 8.1 cho một số DGT tương ứng với một số DT thường gặp.