de va dap an hk 1 lop 10 mon toan nam hoc 20112012

TRƯờNG ĐạI HọC VINH
TRƯờNG THPT CHUYÊN

Đề KIểM TRA HọC Kì I NĂM HọC 2011-2012
Môn: Toán 10 - Thời gian làm bài: 90 phút

Câu I.
1) Tìm a, b để đồ thị hàm số y = f ( x) = x 2 + ax + b đi qua hai
điểm A(2; 1); B(1; 8) .
2) Lập bảng biến thiên của hàm số tìm đợc ở câu 1.
Câu II.

Cho phơng trình x 4 + 2(m + 1) x 2 + m 2 3 = 0 (1)

1) Giải phơng trình khi m = 0 .
2) Tìm m để phơng trình có đúng hai nghiệm.
Câu III.
1
1

x + x = y + y
1) Giải hệ phơng trình
.
x 2 + 2 xy + 2 y 2 = 3

2) Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh rằng
1
1
1
1
1

1
+
+

+
+
.
a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b

Câu IV. Cho hình vuông ABCD. M, N lần lợt nằm trên hai cạnh BC và CD
uuur
uuur
CM CN 1
=
= . E là điểm thỏa mãn AE = k AN .
CB CD 3
r uuur
r uuur
uuu
r
a) Biểu thị BE qua hai vectơ a = AB và b = AD.

sao cho

b) Tìm k để BE AM .
Câu V. Cho tam giác ABC cân tại A, BC = 6. Đờng tròn nội tiếp tam giác
ABC tiếp xúc với AB tại M. Biết rằng CM = 3 2. Tính cos B và diện tích
tam giác ABC.
------------------------------------ Hết -------------------------------------

TRƯờNG ĐạI HọC VINH
TRƯờNG THPT CHUYÊN

đáp án Đề KIểM TRA HọC Kì I NĂM HọC
2011-2012
Môn: Toán 10 - Thời gian làm bài: 90 phút

Câ
NI DUNG
u
Câ 1) Vì đồ thị hàm số y = f ( x) = x 2 + ax + b đi qua hai điểm
uI
1 = 4 + 2a + b
(2 A(2; 1); B(1; 8) nên ta có hệ
8 = 1 a + b
đ)
2a + b = 5 a = 4


a + b = 7
b = 3

0,5
đ
0,5
đ

2)
Hàm số cần tìm y = x2 4x + 3 có a = 1 > 0 nên ta có bảng biến thiên nh

0,5
sau
đ
Bảng biến thiên

0,5
đ

Câ
x 4 + 2(m + 1) x 2 + m 2 3 = 0 (1)
u 1) Cho phơng trình
II
2
(2 Với m = 0 ta có phơng trình x4 + 2x2 3 = 0 x = 1(thỏa mã n) .
2
đ)
x = 3 (loại)

0,5
đ

Với x 2 = 1 x = 1 . Vậy S = { 1} .

0,5
đ

2) Đặt t = x2 (t 0) . (1) trở thành t 2 + 2( m + 1)t + m 2 3 = 0 (2)
(1) có hai nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm kép dơng hoặc 2 có
hai nghiệm trái dấu.

0,5
đ

Xét trờng hợp 1. Nếu (2) có nghiệm kép dơng, ' = 2m+ 4 = 0 m= 2 ,
khi đó (2) có nghiệm kép t = 1 thỏa mãn.
Xét
trờng
hợp
2.
Nếu
(2)
có
hai
nghiệm
trái
dấu
2
m 3 < 0 3 < m< 3 .

0,5


Kết hợp lại m= 2; 3 < m< 3 .

đ

Câ
1
1

u
x + x = y + y (1)
.
III 1) Hệ phơng trình đã cho
2
2

(2
x + 2 xy + 2 y = 3 (2)
đ)
x = y

1
1.
Từ (1) ta có (x y) 1 ữ = 0
x=
xy

y


0,5
đ

3
3 3 3
Với x = y thay vào (2) ta có nghiệm ;
ữ; ;
ữ
ữ.

5 ữ
5
5 5
1
Với x = thay vào (2) ta có vô nghiệm.
y
3
3 3 3
Vậy nghiệm của hệ là ;
ữ
ữ; 5; 5 ữ
ữ.
5
5



1 1
4
+
, ta có:
x y x+ y
1
1
2
+

.
a + 3b b + 2c + a a + 2b + c
1

1
2
+

.
b + 3c c + 2a + b b + 2c + a
1
1
2
+

.
c + 3a a + 2b + c c + 2a + b

0,5
đ

1) áp dụng bất đẳng thức với x, y > 0 ,

1,0
đ

Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh. Dấu = xảy ra khi
a= b= c.
Câ
u
IV
(2
đ)

a) Ta có
uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuur
BE = BA + AE = BA + k AN
uuu
r
uuur uuur
= BA + k AD + DN

(

)

r
r 2 r
= a + k b + a ữ
3

r
2k 3 r
=
a + kb
3
b) Ta có

uuuu
r uuur uuuu
r r 2r

AM = AB + BM = a + b.
3

0,5
đ

0,5
đ
0,5
đ


r
a

A

Khi đó
uuu
r uuuu
r
BE AM BE. AM = 0
2k 3 2
3

+ k =0k = .
3
3
4

B

0,5
đ

r
b

M
E

D

Câ
u
V
(2
đ)

N

C

Gọi H là tiếp điểm của đờng
tròn nội tiếp tam giác ABC với BC thì
H là trung điểm của BC. Từ đó suy
1
ra BM = BH = BC = 3.
2

A

M

0,5
đ

áp dụng định lí hàm số cosin
trong tam giác BCM ta có
B

C

H

cos B =

(

32 + 62 3 2
2.3.6

)

2

3
= .
4

Đặt AB = AC = x. áp dụng định lí hàm số cosin trong tam giác ABC
ta có
3
x 2 = x 2 + 62 2.x.6. x = 4.
4
Từ đó suy ra
2

S ABC

1
1
3
= BA.BC.sin B = .4.6. 1 ữ = 6 5.
2
2
4

0,5
đ
0,5
đ

0,5
đ