BỘ LỌC KALMAN LIÊN TỤC

BỘ LỌC KALMAN LIÊN TỤC
1.Giới thiệu về bộ lọc Kalman.
Với bộ quan sát Luenberger, phải sau khoảng thời gian T nhất định ta mới
phát hiện được sự thay đổi trạng thái x(t) trong đối tượng. Điều này hạn chế khả
năng ứng dụng của nó. Tức là nó chỉ sử dụng được khi nhiễu tác động vào hệ thống
là nhiễu tức thời và khoảng thời gian giữa hai lần nhiễu tác động không được nhỏ
hơn T.
Trên lý thuyết, ta có thể giảm thời gian quan sát T bằng cách chọn các giá trị
riêng s1, s2, ...., sn của ma trận A – LC nằm càng xa trục ảo về bên trái. Tuy nhiên,
trên thực tế, ta không thể tích hợp được thiết bị nào có hằng số thời gian nhỏ ≈ 0 quán tính gần bằng 0 (hằng số thời gian càng nhỏ, giá trị riêng càng xa trục ảo về
phía trái).
Để loại bỏ nhược điểm của bộ quan sát Luenberger, ta phải xét đến sự tham
gia của các tín hiệu nhiễu w(t) và v(t) của đối tượng trong quá trình xác định ma
trận L của bộ quan sát.
Trong đó:
• w(t): Nhiễu quá trình chưa biết trước tác động làm nhiễu hệ thống.
• v(t): Là nhiễu đo không xác định được, làm suy giảm việc đo lường,
chẳng hạn như nhiễu từ cảm biến.

1


w

v

y

u

Bộ quan sát trạng thái của Kalman.

2. Mô hình trạng thái của đối tượng có xét đến ảnh hưởng của nhiễu.
Xét đối tượng bị nhiễu nx(t) ,ny(t) tác động, mô tả bởi:
(2.1)
Giả sử nhiễu hệ thống và nhiễu đo lường có phân bố Gauss, không tương
quan, có trung bình bằng 0 và hàm hỗ tương quan của chúng có dạng xung Dirac:
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Trong đó:
• Q là ma trận hiệp phương sai đặc trưng cho nhiễu tác động đến các
biến quá trình quá trình.
(2.5)
• R là ma trận hiệp phương sai đặc trưng cho nhiễu đo.

2


Trong thực tế ma trận hiệp phương sai của nhiễu quá trình và ma trận hiệp
phương sai của nhiễu đo thay đổi sau mỗi bước thời gian hoặc sau mỗi phép đo.
Tuy nhiên ở đây ta giả sử chúng là hằng số.

3.Thiết kế bộ lọc Kalman liên tục.
Bộ quan sát Kalman cũng có mô hình giống bộ quan sát trạng thái của
Luenberger:
(3.1)
Nhưng khác với Luenberger, Kalman đã tìm L sao cho:

(3.2)
Trong đó và:
(3.3)

Suy ra:
(3.4)

Thay (4) vào (2) ta có:
(3.5)
Trong đó P là nghiệm của phương trình Ricarti:
3


(3.6)

4


Matlab:
M
m
b
I
g
l

=
=
=
=
=
=

0.5;

0.2;
0.1;
0.006;
9.8;
0.3;

p = I*(M+m)+M*m*l^2; %denominator for the A and B matrices
A = [0
1
0 -(I+m*l^2)*b/p
0
0
0 -(m*l*b)/p
B = [
0;
(I+m*l^2)/p;
0;
m*l/p];
C = [1 0 0 0;
0 0 1 0];
D = [0;0];

0
(m^2*g*l^2)/p
0
m*g*l*(M+m)/p

0;
0;
1;

0];

Q = 0.0001*eye(4);
R = [0.000001 0;0 0.000001];
[X,eig,G] = care(A',C',Q,R);
L=G';

Kết quả:

5


4.Mô phỏng trên Matlab.

Đáp ứng đầu ra:
Position
0.01
0
-0.01
-0.02

0

2
-3

10

4

6

8

10

8

10

Pendulum Angle

x 10

5
0
-5

0

2

4

6

6


Nhiễu quá trình w:

w~N(0,Q)
0.04

0.02

0

-0.02

-0.04

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

7

8

9

10

Sai lệch giữa đầu ra thực y và đầu ra ước lượng :
-3

4

e = y - y^

x 10

2

0

-2

-4

0

1

2

3

4

5

6

7