Thi thử ĐHCĐ 2009 - Môn toán (Có đáp án kèm theo)

THI THỬ ĐH CĐ 2009
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1: Cho hàm số :
= + − − + +
3 2
2(1 ) 3 1y mx m x x m
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số ứng với
= 1m
.
2) Tìm các giá trò của tham số m để đồ thò hàm số (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt và cả
ba điểm đều có hoành độ dương.
Câu 2: 1) Giải hệ phương trình:

+ =




+ =


3
3
40
10
x
xy
y
y

xy
x
2) Giải phương trình:
− + + + + + − =
2
1 3 2 2 2 3 4x x x x x
Câu III: Giải phương trình:
+ +
+ − =
− −
1 sin2 1
2 3 0
1 sin2 1
x tgx
x tgx
Câu IV: 1) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cân tại A có trọng tâm
 
 ÷
 
4 1
,
3 3
G
, phương
trình đường thẳng BC là
− − =2 4 0x y
và phương trình đường thẳng BG là
− − =7 4 8 0.x y
Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
2) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn

+ − − + =
2 2
( ) : 12 4 36 0C x y x y
. Viết phương
trình đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với
đường tròn (C).
Câu V:
Giải phương trình:
π π
 
 
+ + − − =
 ÷
 ÷
 
 
2 2 2
3
3sin cos 3sin cos sin cos cos 0
2 2
x x x x x x x
HẾT
Đáp án : MÔN TOÁN
Câu 1 : 1) Học sinh tự giải
2) PTHĐGĐ:
+ − − + + =
2 2
2(1 ) 3 1 0mx m x x m
(1)
 

⇔ − + − − − =
 
2
( 1) (2 ) 1 0x mx m x m
=


⇔
+ − − − =


2
1
(2 ) 1 0
x
mx m x m
(2)
(1) Có 3 nghiệm dương phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm dương phân biệt ≠ 1.

≠



≠
≠



− + + >



∆ >
∀




+
 
⇔ > ⇔ < ⇔ − < <
  
  
< ∨ >
>
−
  
>
  
≠
≠




− ≠


2
0
0

0
(2 ) 4 ( 1) 0
0
1
0 0 1 0
0 2
0
2
0
1
(1) 0
1 0
m
m
m
m m m
m
m
P m
m
m m
S
m
m
m
g
m
⇔ − < <1 0m
Câu II: 1) ĐK
≠ ≠0, 0x y

HPT

+ =

⇔

+ =


3 2
3 2
40
10
x xy y
y x y x
Đặt
=y kx
, thay vào hệ ta được:
( ) ( )
 
+ = + =
 
⇔
 
+ = + =
 
 
3 2 2 2
3 3 2 3
(1 ) 40 (1 ) 40 (1)

10 10 (2)
x k kx x k k
x k k x x k k
NX:
= 0k
,
+
⇒ = ⇔ + = +
+
2
2 4 2
3
(1) 1
4 1 4 4
(2)
k
k k k k
k k
 
⇔ + − = + = ⇔ = ±
 ÷
 
2 4 2
1
3 4 1 0: 1 20 4
4
k k x x
Thay
1
2

k
vào (1):
 
+ = ⇔ = ±
 ÷
 
2
1
1 20 4
4
x x
= ⇒ =
= − ⇒ = −
4 2
4 2
x y
x y
ĐS: (4; 2), (–4; –2)
2) Cách 1:
ĐK:
≥ 1x
Đặt
= − + + >1 3 0t x x
⇒ = + + + −
⇔ + + − = −
2 2
2 2
2 2 2 2 3
2 2 2 3 2
t x x x

x x x t
PY trở thành + − = ⇔ + − =
2 2
2 4 6 0t t t t
2
= −

⇔



3t (loại)
t = 2
Với
= − + + =2: 1 3 2t x x
⇔ + + + − =
⇔ + − = −
≤
≤


 
⇔ ⇔
 
=
+ − = −





2
2
2 2
2 2 2 2 3 4
2 3 1
1
1
1
2 3 (1 )
x x x
x x x
x
x
x
x x x
ĐS:
= 1x
Cách 2: ĐK
≥ 1x
Xét hàm số
= − + + + + + −
2
( ) 1 3 2 2 2 3f x x x x x x
+
′
= + + + > ∀ ≥
− +
+ −
2
1 1 2 2

( ) 2 0 1
2 1 2 3
2 3
x
f x x
x x
x x
Vậy hàm số
( )f x
tăng trên khoảng (1, +∞)
Mặt khác
=( ) 4f x
Do đó
= 1x
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Câu III.
ĐK
π
π
π
π
π
≠ + π
≠


≠ + π






≠ ⇔ ≠ + π ⇔



≠ + π

 

≠
≠ + π



l
l
2
4
2
2
4
2 2
sin2 1
cos 0
1
x k
x
x k
x x

x
tgx
x m
PT
+ +
⇔ + − =
−
−
2
2
(cos sin ) (cos sin )
2 3 0
cos sin
(cos sin )
x x x x
x x
x x
Đặt
+
=
−
cos sin
cos sin
x x
t
x x
ta có phương trình:
=

+ − = ⇔


= −


2
1
2 3 0
3
t
t t
t
• Với
= + = −1: cos sin cos sint x x x x
⇔ = ⇔ = πsin 0x x k
• Với
= − + = − +3: cos sin 3cos 3sint x x x x
⇔ = ⇔ = = α
⇔ = α = π
4cos 2sin 2x x tgx tg
x k
ĐS:
= πx k

= α + π.x k
với
α = 2tg
Câu IV.
1) Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình
=− − =



 
⇔ −
 
= −
− − =




02 4 0
(0; 2)
2
7 4 8 0
xx y
B
y
x y
3
Đường thẳng AG đi qua G và vuông góc với BC nên có phương trình:
   
− + − =
 ÷  ÷
   
⇔ + − =
4 1
2 1 0
3 3
2 3 0
x y

x y
Gọi H là chân đường cao kẽ từ đỉnh A thì toạ độ H là nghiệm của hệ phương trình:
+ − = =
 
 
⇔ −
 
− − = = −
 
 
2 3 0 2
(2; 1)
2 4 0 1
x y x
H
x y y
Gọi
( ; ).A x y
Ta có
=
uuuur
uuur
2AG GH
( )
( )

=− = −

 
⇔ ⇔

 
= +
− = − −




4 4
3 3
1 1
3 3
02 2
(0;3)
3
2 1
xx
A
y
y
Ta có:
+ +
+ +


=
=
=




 
⇔ ⇔
  
+ +
=
− +

 
=

=



0 0
4
4
3 33
(4;0)
0
3 21
3
3 3
CA B C
G
C
A B C
CC
G
x

x x x
x
x
C
y y y
y
y
y
ĐS: A(0;3), B(0; –2), C(4;0)
2) Đường tròn (C) có tâm là I(6;2), bán kính là R = 2. Đường tròn (S) cần tìm tiếp xúc với
2 trục tọa độ nên tâm J nằm trên đường thẳng
=y x
hoặc
= − .y x
±( ; )J x x
. Bán kính là
=r x
Trường hợp 1:
( ; )J x x
= + ⇔ − + − = +
⇔ − + = + +
⇔ − − + =
2 2
2 2
2
( 6) ( 2) 2
22 16 40 4 4
16 4 36 0
IJ R r x x x
x x x x

x x x
• Nếu
< − + = ⇔ =
2
0: 12 36 0 6x x x x (loại)
• Nếu
= → =

> − + = ⇔

= → =


2
2 2
0: 20 36 0
18 18
x r
x x x
x r
Có 2 đường tròn là:
− + − =
2 2
( 2) ( 2) 4x y
− + − =
2 2 2
( 18) ( 18) 18x y
Trường hợp 2 :
−( ; )J x x
= + ⇔ − + + = +

⇔ − + = + +
⇔ − − + =
2 2
2 2
2
( 6) ( 2) 2
2 8 40 4 4
8 4 36 0
IJ R r x x x
x x x x
x x x
• Nếu
< − + = ⇔ =
2
0: 4 36 0 6x x x x VN
• Nếu > − + = ⇔ = ⇒ =
2
0: 12 36 0 6 6x x x x r
4
Có 1 đường tròn là
− + + =
2 2
( 6) ( 6) 36x y
CâuV.
PT
⇔ + − − =
3 2 2 3
3sin 3sin cos sin cos cos 0(1)x x x x x x
Trường hợp 1:
=cos 0,x

thay vào (1)
⇒ =sin 0x
(loại)
Trường hợp 2:
≠cos 0,x
chia cả 2 vế cho
3
cos x
ta được:
= −


+ − − = ⇔

= ±


3 2
1
3 3 1 0
3
3
tgx
tg tg x tgx
tgx
π

= − + π

⇔


π
= ± + π


4
6
x k
x k
THANG ĐIỂM
Khối A:
Câu I: (3 điểm)
1) 1,5 điểm
2) 1,5 điểm
Câu II: (2 điểm)
1) 1 điểm
2) 1 điểm
Câu III: 1 điểm
Câu IV: 3 điểm
1) 1 điểm
2) 2 điểm
Câu V: 1 điểm
Khối D:
Câu I đến Câu III như khối A
Câu IV: 4 điểm
1) 2 điểm
2) 2 điểm
5