BO CONG PHA TOAN

GIỚI THIỆU BỘ CÔNG PHÁ TOÁN 2 (LỚP 11) BAO GỒM:

QUÝ THẦY CÔ MUỐN SỞ HỮU TRỌN BỘ CÔNG PHÁ TOÁN 2 CHỈ CẦN MUA THẺ CÀO VT 200
NGHÌN RỒI NHẮN TIN: MÃ THẺ+SERI+MAIL CHO SĐT

SAU ĐÂY TÔI XIN GIỚI THIỆU 1 TRONG CÁC CHUYÊN ĐỀ CỦA BỘ CÔNG PHÁ TOÁN 2
CHỦ ĐỀ 1:
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. LÝ THUYẾT
α
1. Giá trị lượng giác của cung .
Ð

Ð

Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1) cho cung

Gọi

M ( x; y )

Các giá trị

có sđ

AM = α

:

Hình 1.1

với tung độ của
sin α = OK

tan α =

AM

M

sin α
; ( cos α ≠ 0 )
cos α

là

y = OK

x = OH
, hoành độ là
thì ta có:
cos α = OH

cot α =

cos α
; ( sin α ≠ 0 )
sin α

sin α cos α tan α cot α

α
,
,
,
được gọi là các giá trị lượng giác của cung .


Các hệ quả cần nắm vững
sin α cos α
α ∈¡
1. Các giá trị
;
xác định với mọi
. Và ta có:
sin ( α + k 2π ) = sin α , ∀k ∈ ¢;
2.
cos ( α + k 2π ) = cos α , ∀k ∈ ¢.
3.
−1 ≤ sin α ≤ 1 −1 ≤ cos α ≤ 1
4.
;
5.
6.

tan α
cot α

α≠
xác định với mọi
xác định với mọi

π
+ kπ , ( k ∈ ¢ )
2

α ≠ kπ , ( k ∈ ¢ )

.

.


7.

Dấu của các giá trị lượng giác của cung

α

phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung

Ð

AM = α

trên đường tròn lượng giác (hình 1.2).

8.
10.

37.

9. Hình 1.2
Ta có bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau
11.
Góc phần
13. I
14.
15.
16.
tư
II
III
I
12. Giá trị lượng giác
cos α
18. +
19.
20.
21.
17.
+
sin α
23. +
24.
25.
26.
22.
+
tan α
28. +

29.
30.
31.
27.
+
cot α
33. +
34.
35.
36.
32.
+
Ở hình 1.3 là một cách nhớ khác để xác định dấu của các giá trị lượng giác

38.
39. 2. Công thức lượng giác
40.
Công thức cơ bản
41.

sin 2 x + cos 2 x = 1

Cung đối nhau
sin ( − x ) = − sin x


tan 2 x + 1 =

1
cos 2 x

cos ( − x ) = cos x

cot 2 x + 1 =

1
sin 2 x

tan ( − x ) = − tan x

42.

43.
44.
45.
46.

Công thức cộng
sin ( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y

Cung bù nhau
sin x = sin ( π − x )

cos ( x ± y ) = cos x cos y msin x sin y

cos x = − cos ( x − π )

tan ( x ± y ) =
47.
48.

49.

50.
51.

52.

tan x ± tan y
1 mtan x tan y

Công thức đặc biệt

π
π


sin x + cos x = 2 sin  x + ÷ = 2 cos  x − ÷
4
4


π
π


sin x − cos x = 2 sin  x − ÷ = − 2 cos  x + ÷
4
4



Góc nhân đôi

55.

Góc chia đôi
1
sin 2 x = ( 1 − cos 2 x )
2

sin 2 x = 2sin x cos x
cos 2 x = 2 cos x − 1 = 1 − 2sin x = cos x − sin x
2

53.
54.

tan x = tan ( x − π )

2

2

2

Góc nhân ba
sin 3 x = 3sin x − 4 sin 3 x

cos3 x =

cos 3 x = 4 cos x − 3cos x
tan 3x =

57.

1
( 1 + cos 2 x )
2

Góc chia ba
1
sin 3 x = ( 3sin x − sin 3 x )
4

3

56.

cos 2 x =

1
( 3cos x + cos 3 x )
4

3tan x − tan 3 x
1 − 3 tan 2 x
58. STUDY TIP

59. Ở đây từ các công thức góc nhân đôi, góc nhân ba ta có thể suy ra công thức góc chia đôi,

chia ba mà không cần nhớ nhiều công thức.
61.

62.

60.
Biến đổi tích thành tổng
1
cos x cos y = cos ( x − y ) + cos ( x + y ) 
2

cos x + cos y = 2 cos

x+ y
x− y
cos
2
2

Biến đổi tổng thành tích


sin x sin y =
63.

cos x − cos y = −2sin

x+ y
x−y
sin

2
2

sin x cos y =
64.

sin x + sin y = 2sin

1
cos ( x − y ) − cos ( x + y ) 
2

1
sin ( x − y ) + sin ( x + y ) 
2

x+ y
x− y
cos
2
2

65.

sin x − sin y = 2 cos

x+ y
x− y
sin
2

2

66. 3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

67.
68.

69. 0

α

70.

(
đ
ộ
)
75.

76. 0

α

77.

(
r
a
d
i

a
n
)
82.

sin α

83. 0
84.

89.
cos α

90. 1
91.

96.

tan α

97. 0
98.

30o

71.

π
6

78.

1
2
85.

3
2

45o

π
4

2
2
2
2

92.
99. 1

3
3

72.

79.

86.

93.

60o

π
3

73.

80.

90o

π
2

3
2

87. 1

1
2

94. 0

100.

101.

74.

81.

π

88. 0

95.

−1

102.

Không
xác
định

3

180o

0

103.
STUDY TIP
105.
Từ bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt ở bên ta thấy một quy luật như sau
để độc giả có thể nhớ các giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:

α
30o
45o
60o
106.
104.

107.

108.

109.

110.

90o


111.

1
2

sin α
112.

113.

Các giá trị ở tử số tăng dần từ

116.

giảm dần từ

4

về

0

2
2
0

đến

4

114.

3
2

. Ngược lại đối với giá trị

115.

cos

, tử số

.
117.

118.
BÀI: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

119.

A. LÝ THUYẾT
y = sinx
y = cosx
121.
1. Hàm số
và hàm số
.
sin
x
x
122.
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực với
của góc lượng giác có số đo rađian bằng
y = sinx
sin
được gọi là hàm số
, kí hiệu là
.
cosin ( cos)
x
123.

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực với
của góc lượng giác có số đo rađian
y = cosx
x
cos
bằng được gọi là hàm số
, kí hiệu là
.
y = sinx;y = cosx ¡
124.
Tập xác định của các hàm số
là .
y = sinx
a) Hàm số
y = sinx
D=¡
125.
Nhận xét: Hàm số
là hàm số lẻ do hà số có tập xác định
là đối xứng và
− sinx = sin( − x) .
120.

126.
127.

y = sinx
2π
Hàm số
tuần hoàn với chu kì

.
Sự biến thiên:

128.
Sự biến thiên của hàm số
phía dưới:
129.
130.

y = sinx

trên đoạn

−
 π ;π 

được biểu thị trong sơ đồ (hình 1.4)

4
2


131.

132.

Bảng biến thiên:

133.

Từ đây ta có bảng biến thiên của hàm số

y = sinx

trên đoạn

−
 π ;π 

như sau:

134.
135.
136.
137.

Khái niệm:
Hàm số

138.

mọi

140.
141.

x

thuộc

D

f ( x)

xác định trên

D

STUTY TIP

gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại một số

 x − T ∈ D;x + T ∈ D

 f(x + T ) = f ( x)

T ≠0

sao cho với

ta có
.
T
139.
Số dương nhỏ nhất (nếu có) thỏa mãn tính chất trên gọi là chu kì của hàm tuần hoàn.
Đồ thị hàm số:


142.

143.

Nhận xét: Do hàm số

vẽ đồ thị hàm số

y = sinx

y = sinx

trên

¡

là hàm số lẻ trên

¡

và tuần hoàn với chu kì

ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số trên đoạn

y = sinx

O

0;π 

2π

nên khi

, sau đó lấy đối

−
 π ;π 

xứng đồ thị qua gốc tọa , ta được đồ thị hàm số
trên đoạn
, cuối cùng tịnh
tiến đồ thị vừa thu được sang trái và sang phải theo trục hoành ta được các đoạn có độ dài
2π ;4π ,...
144.

145.

STUDY TIP
 π π
 − 2 ; 2÷
y = sinx


2π
Hàm số
đồng biến trên khoảng
. Do tính chất tuần hoàn với chu kì

, hàm số
146.

y = sinx

đồng biến trên mỗi khoảng

 π
π

 − 2 + k2π ; 2 + k2π ÷,k∈ Z



Tương tự ta suy ra được hàm số

y = sinx

.

nghịch biến trên mỗi khoảng

π
3π

 2 + k2π ; 2 + k2π ÷,k∈ Z.


147.
148.
149.
150.
151.

152.
153.
154.

155.

156.

GHI NHỚ
y = sinx :
Hàm số
- Có tập xác định là

¡

.
−
 1;1

- Có tập giá trị là
.
- Là hàm số lẻ.
- Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
- Có đồ thị là một đường hình sin.
2π
- Tuần hoàn với chu kì
.
 π
π


 − 2 + k2π ; 2 + k2π ÷,k∈ ¢


- Đồng biến trên mỗi khoảng
.
π
3π

 2 + k2π ; 2 + k2π ÷,k∈ ¢


- Nghịch biến trên mỗi khoảng
.


b) Hàm số

157.

y = cosx

Ta thấy

đoạn có độ dài
158.


π
cosx = sin x + ÷
2



π
2

nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số

, ta được đồ thị hàm số

Bảng biến thiên của hàm số

159.

160. Đồ thị hàm số

y = cosx

y = sinx

sang trái một

y = cosx

y = cosx

trên

.
−
 π ;π 

.

:
161.

STUTY TIP
( −π ;0)
y = cosx
163.
Hàm số
đồng biến trên khoảng
. Do tính chất tuần hoàn với chu
( −π + k2π ;k2π ) ,k∈ ¢
y = cosx
2π
kì
, hàm số
đồng biến trên mỗi khoảng
.
y = cosx
164.
Tương tự ta suy ra được hàm số
nghịch biến trên mỗi khoảng
( k2π ;π + k2π ) ,k∈ ¢
.
162.

165.
166.

167.

GHI NHỚ
y = cosx
Hàm số
:

168.
169.
170.

¡
- Có tập xác định là .
- Là hàm số chẵn.
- Là một đường hình sin.

171.

- Đồng biến trên mỗi khoảng

( −π + k2π ;k2π ) ,k∈ ¢

.


172.
173.
174.

( k2π ;π + k2π ) ,k∈ ¢

- Nghịch biến trên mỗi khoảng
.
Đọc thêm
y = a.sin( ω x + b) + c,( a,b,c,ω ∈ ¡ ,aω ≠ 0)
Hàm số
là một hàm tuần hoàn với chu kì cơ

2π
ω

sở

vì:

(

)

a.sin ω ( x + T ) + b + c = a.sin( ω x + b) + c,∀x ∈ ¡
⇔ a.sin( ω x + b+ ωT ) = a.sin( ω x + b) ,∀x ∈ ¡
⇔ ωT = k2π ,( k∈ ¢ ) ⇔ T = k

175.
176.
177.

2π
,( k ∈ ¢ ) .
ω

Và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin.
y = a.cos( ω x + b) + c,( a,b,c,ω ∈ ¡ ,aω ≠ 0)
Tương tự hàm số
cũng là một hàm tuần hoàn
2π
ω

với chu kì cơ sở
và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin.
178.
Ứng dụng thực tiễn: Dao động điều hòa trong môn Vật lý chương trình 12.
y = tan x
y = cot x
179.
2. Hàm số
và hàm số

180.

Hình 1.7
π

D1 = ¡ \  + kπ k ∈ ¢ 
2

181.

182.

Với
tan x =

với số thực
tập xác định là

D1

.

sin x
cos x

, quy tắc đặt tương ứng mỗi số

được gọi là hàm số tang, kí hiệu là

y = tan x

. Hàm số

x ∈ D1

y = tan x

có


183.

Với
cot x =

thực
định là

D2

cos x
sin x

D2 = ¡ \ { kπ k ∈ ¢}

, quy tắc đặt tương ứng mỗi số

được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là

.

184.
lẻ.

Nhận xét: - Hai hàm số

y = tan x

185. - Hai hàm số này là hai hàm số tuần hoàn với chu kì

186.

a) Hàm số

y = cot x

π

y = tan x

. Hàm số

và hàm số

x ∈ D2

y = cot x

y = cot x

với số

có tập xác

là hai hàm số

.

187.
188.

Hình 1.8

−

x = ( OA, OM )

π
2

π
2

189.
Sự biến thiên: Khi cho
tăng từ
đến
thì điểm
M
B′
B
B′
B
chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ
đến (không kể
và ). Khi
đó điểm

T

thuộc trục tang sao cho
0
x= 0

+∞
(qua giá trị khi
).

AT = tan x

tan x = AT

190.

Giải thích:

191.

Nhận xét: Hàm số

π
 π

 − + kπ ; + kπ ÷, k ∈ ¢
2
 2


chạy dọc theo

. Đồ thị hàm số

làm một đường tiệm cận.
192.

Đồ thị hàm số:

tan x =

vì
y = tan x

y = tan x

At

, nên

tan x

tăng từ

−∞

đến

MH AT AT
=
=
= AT
1
OH OA

đồng biến trên mỗi khoảng
x=

nhận mỗi đường thẳng

π
+ kπ , ( k ∈ ¢ )
2


193.

Nhận xét: Do hàm số

và tuần hoàn với chu kì

π

cần vẽ đồ thị hàm số trên
y = tan x
hàm số
trên
theo trục hoành.

y = tan x

nên khi vẽ đồ thị hàm số
 π
0; 2 ÷


 π

0; 2 ÷

là hàm số lẻ trên

y = tan x

trên

π

¡ \  + kπ k ∈ ¢ 
2


π

¡ \  + kπ k ∈ ¢ 
2


, sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ

O

ta chỉ

, ta được đồ thị

, cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và sang phải

194.

Hình 1.9

195.

196.
STUDY TIP

197.

198.

200.

Hàm số

y = tan x

x=

nhận mỗi đường thẳng
tiệm cận
199.

201.

GHI NHỚ
y = tan x
Hàm số

:

202.

- Có tập xác định

203.

204.
205.
tiệm cận
206.

π
+ kπ , ( k ∈ ¢ )
2

π

D1 = ¡ \  + kπ k ∈ ¢ 
2


π

làm một đường

- Là hàm số lẻ

¡

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì
- Có tập giá trị là
π
 π

 − + kπ ; + kπ ÷, k ∈ ¢
2
 2

- Đồng biến trên mỗi khoảng
π
x = + kπ , ( k ∈ ¢ )
2
- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng
làm một đường

b) Hàm số

y = cot x


207.
tuần hoàn với chu ki

π

208.

Hàm số

y = cot x

có tập xác định

D2 = ¡ \ { kπ k ∈ ¢}

.
Tương tự khảo sát như đối với hàm số

đồ thị hàm số

y = cot x

y = tan x

là một hàm số

ở trên thì ta có thể vẽ

như sau:

209.
210.

211.
212.

GHI NHỚ
y = cot x
Hàm số

:

213.

- Có tập xác định:

D2 = ¡ \ { kπ k ∈ ¢}

π

- Là hàm số lẻ

¡
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì
- Có tập giá trị là
( kπ ; π + k π ) , k ∈ ¢
- Đồng biến trên mỗi khoảng
x = kπ , ( k ∈ ¢ )
- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng
làm một đường tiệm

214.
215.
216.
cận.
217.
218.

B. Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác
Dạng 1: Bài toán tìm tập xác định của hàm số lượng giác

219.
Cách 1
221.
Cách 2
f ( x)
f ( x)
x
x
D
E
220.
Tìm tập
của để
có
222.
Tìm tập
của để
nghĩa, tức là tìm
không có nghĩa, khi đó tập xác định
D=¡ \E
D = x ∈ ¡ f ( x) ∈ ¡
của hàm số là
.
.
223.
CHÚ Ý
f ( x)
224.
A. Với hàm số
cho bởi biểu thức đại số thì ta có:

f ( x)
f ( x) = 1
f1 ( x )
f2 ( x )
225.
1.
, điều kiện: *
có nghĩa
f2 ( x )
f2 ( x ) ≠ 0
*
có nghĩa và
.
f ( x ) = 2 m f1 ( x ) , ( m ∈ ¥ )
f1 ( x )
f1 ( x ) ≥ 0
227.
2.
, điều kiện:
có nghĩa và
.

{

226.

Hình 1.10

}

f ( x) =

228.

3.

f2 ( x ) > 0

.

2m

f2 ( x )

,( m∈ ¥ )

, điều kiện:

f1 ( x ) , f 2 ( x )

có nghĩa và

y = sin x; y = cos x

¡
B. Hàm số
xác định trên , như vậy
y = sin u ( x )  ; y = cos u ( x ) 
u ( x)

xác định khi và chỉ khi
xác định.
y = tan u ( x ) 
u ( x)
*
có nghĩa khi và chỉ khi
xác định và

229.
230.
231.
u ( x) ≠

f1 ( x )

π
+ kπ ; k ∈ ¢
2

232.

u ( x ) ≠ + kπ ; k ∈ ¢
234.
cơ bản như sau:

.
*

y = cot u ( x ) 

có nghĩa khi và chỉ khi

u ( x)

xác định và

.
233.
STUDY TIP
Ở phần này chúng ta chỉ cần nhớ kĩ điều kiện xác định của các hàm số

y = sin x

y = cos x

¡
xác định trên .
π

¡ \  + kπ k ∈ ¢ 
y = tan x
2


236.
2. Hàm số
xác định trên
.
¡ \ { kπ k ∈ ¢}
y = cot x

237.
3. Hàm số
xác định trên
.
1
y=
2 cos x − 1
Ví dụ 1. Tập xác định của hàm số
là:
5π
π

D = ¡ \  + k 2π ,
+ k 2π k ∈ ¢ 
3
3

238.
A.
.
π

D = ¡ \  + k 2π k ∈ ¢ 
3

B.
.
5π
π


D =  + k 2π ,
+ k 2π k ∈ ¢ 
3
3

239.
C.
. D.
 5π

D = ¡ \  + k 2π k ∈ ¢ 
 3

.
240. Chọn A.
241.
Lời giải

235.

1. Hàm số

và


242.

Cách 1: Hàm số đã cho xác định khi

π

π


cos x ≠ cos 3
 x ≠ 3 + k 2π
2 cos x − 1 ≠ 0 ⇔ 
⇔
,k ∈¢
5
π
5
π
cos x ≠ cos
x ≠
+ k 2π

3
3


.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị của hàm số

243.
y=

1
2 cos x − 1

x=

tại

π
3

245.

π
3

x=

và

5π
3

ta thấy hàm số đều không xác định, từ đây ta chọn A.
244.
STUDY TIP
[ 0; 2]
Đối với hàm côsin, trong một chu kỳ tuần hoàn của hàm số
tồn
5π
3

cos

tại hai góc có số đo là

và
cùng thỏa mãn
được điều kiện như vậy.
246.
Cách bấm như sau:

247.

Nhập vào màn hình

248.
X=

249.

Ấn r gán
X =

tương tự với trường hợp
250.

5π
3

.

π
3

π

5π 1
= cos
=
3
3 2

1
2 cos ( X ) − 1

chính vì thế ta kết luận

:

thì máy báo lỗi,

π
3

5π
3

Từ đây suy ra hàm số không xác định tại
và
.
cot x
y=
sin x − 1
Ví dụ 2. Tập xác định của hàm số
là:
π


D = ¡ \  + k 2π k ∈ ¢ 
3

251.
A.
.
 π

D = ¡ \ k k ∈ ¢ 
 2

B.
.
π

D = ¡ \  + k 2π ; π k ∈ ¢ 
2

252.
C.
.
π

D = ¡ \  + k 2π k ∈ ¢ 
2

D.
.
253. Chọn C.

254.
Lời giải
255.
Hàm số đã cho xác định khi
⇔ sin x ≠ 0
cot x
256.
+
xác định


257.

+

sin x − 1 ≠ 0

 x ≠ kπ
sin x ≠ 0 
⇔
⇔
,k ∈¢
π
x
≠
+
k
2
π
sin x ≠ 1


2

258.

.

259.
STUDY TIP
Trong bài toán này, nhiều độc giả có thể chỉ sử dụng điều kiện để hàm phân
( sin x − 1 ≠ 0 )
cot x
thức xác định
chứ không chú ý điều kiện để hàm
xác định, sẽ bị
thiếu điều kiện và chọn D là sai.
¡ \ { k π k ∈ ¢}
Ví dụ 3. Tập hợp
không phải là tập xác định của hàm số nào?
1 − cos x
1 − cos x
1 + cos x
y=
y=
y=
sin x
2sin x
sin 2 x
261.
A.

.
B.
.
C.
.
1 + cos x
y=
sin x
D.
.
262. Chọn C.
263.
Lời giải
264.
260.

 x ≠ kπ
sin 2 x ≠ sin 0
 2 x ≠ k 2π
kπ
sin 2 x ≠ 0 ⇔ 
⇔
⇔
⇔ x≠
,k ∈¢
π
 x ≠ + kπ
2
sin 2 x ≠ sin π
 2 x ≠ π + k 2π


2
sin x ≠ sin 0
 x ≠ k 2π
sin x ≠ 0 ⇔ 
⇔
⇔ x ≠ kπ , k ∈ ¢
sin x ≠ sin π
 x ≠ π + k 2π

265.
266.

Phân tích: Với các bài toán dạng này nếu ta để ý một chút thì sẽ thấy
cos x
x∈¡
hàm
xác định với mọi
. Nên ta chỉ xét mẫu số, ở đây có đến ba phương án có mẫu
A; D
sin x
C
B
số có chứa
như nhau là
và . Do đó ta chọn được luôn đáp án
k 2π
π + k 2π
267.
Trong ví dụ trên ta có thể gộp hai họ nghiệm

và
kπ
thành
dựa theo lý thuyết sau:

268.
269.

Hình 1.11


270.
đường tròn lượng giác
271.
lượng giác.

Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên
* x = α + k 2π , k ∈ ¢

được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn

* x = α + kπ , k ∈ ¢
O
272.
được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua
trên đường tròn lượng giác.
k 2π
*x =α +
,k ∈¢
3

273.
được biểu diễn bởi ba điểm cách đều nhau, tạo
3
thành đỉnh của một tam giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác.
k 2π
*x =α +
, k ∈ ¢, n ∈ ¥ *
n
n
274.
được biểu diễn bởi điểm cách đều
n
nhau, tạo thành đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác.
275.
Giải thích cách gộp nghiệm ở ví dụ 3 ta có
276.
Trên hình 1.11 hai chấm tròn đen là điểm biểu diễn hai nghiệm ta tìm
x = 0+

k 2π
= kπ , k ∈ ¢
2

được ở ví dụ 3. Từ đây nếu gộp nghiệm lại thì ta sẽ có
1
y = sin + 2 x
x
Ví dụ 4. Tìm tập xác định của hàm số
D = [ −2; 2 ]
D = [ −1;1] \ { 0}

277.
A.
.
B.
.

D = ¡ \ { 0}

C.

.

D=¡

. D.

.
278.

Lời giải

279. Chọn D.

sin

280.

Hàm số đã cho xác định khi

1

x

xác định

⇔ x≠0

STUDY TIP
sin
C
Ở đây nhiều độc giả nhầm lẫn, thấy hàm số
và chọn luôn
là sai. Cần chú ý đến điều kiện
281.

282.

để

1
x

xác định.

Ví dụ 5. Tập xác định của hàm số

283.
 π

D = ¡ \ k k ∈ ¢ 
 2



y = 2016 tan 2017 2 x

A.

.

là

π

D = ¡ \  + kπ k ∈ ¢ 
2


.

B.


284.

C.

π
π

D = ¡ \  + k k ∈ ¢
2

4


D=¡

.

D.

.
285.

Lời giải

286. Chọn D.

y = 2016 tan 2017 2 x = 2016. ( tan 2 x )

287.
288.

tan 2x

2017

Ta có
2017 là một số nguyên dương, do vậy hàm số đã cho xác định khi
⇔ 2x ≠

xác định

π
π
π
+ kπ , k ∈ ¢ ⇔ x ≠ + k , k ∈ ¢
2
4
2

.

STUDY TIP
Trong bài này, ta cần thêm kiến thức về tập xác định của hàm số lũy thừa ở lớp 12: Tập xác
289.

290.

định của hàm số

y = xα

tùy thuộc vào giá trị của
* Với

291.

* Với

α

α

α.

nguyên dương thì tập xác định là

.

, tập xác định là
( 0; + ∞ )
α
293.
* Với
không nguyên, tập xác định là
.
2017
y = 2016 cot 2 x
Ví dụ 6. Tập xác định của hàm số
là
π

D = ¡ \  + kπ k ∈ ¢ 
2

294.
A.
.
B.
292.

 π

D = ¡ \ k k ∈ ¢ 
 2


.

295.

π
π

D = ¡ \  + k k ∈ ¢
2
4


C.

D=¡

nguyên âm hoặc bằng

0

¡

.

¡ \ { 0}

D.

.
296.

Lời giải

297. Chọn B.

cot 2x
Tương tự như ví dụ 5, ta có hàm số xác định khi
xác định
π
⇔ 2 x ≠ kπ ⇔ x ≠ k , k ∈ ¢
2
299.
.
y = 1 − cos 2017 x
Ví dụ 7. Tập xác định của hàm số
là
D = ¡ \ { kπ k ∈ ¢ }
D=¡
300.
A.
.
B.
.
298.

.


301.

C.

π

D = ¡ \  + k 2π k ∈ ¢ 
2


π
π

D = ¡ \  + k π ; + kπ k ∈ ¢ 
2
4


.

D.

.
302.

Lời giải

303. Chọn B.

y = 1 − cos 2017 x

1 − cos 2017 x ≥ 0.
xác định khi
1 − cos 2017 x ≥ 0, ∀x ∈ ¡
−1 ≤ cos 2017 x ≤ 1
Mặt khác ta có
nên
.

304.

Hàm số

305.

306.
STUDY TIP
Với các bài toán chứa căn thức ta chú ý các hệ số tự do để áp dụng các bất đẳng thức
−1 ≤ sin x;cos x ≤ 1,...
cơ bản như
2
y=
2 − sin 6 x
Ví dụ 8. Tập xác định của hàm số
là
D = ¡ \ { kπ | k ∈ ¢}

D=¡
308.
A.
.
B.
.
π

D = ¡ \  + kπ | k ∈ ¢ 
4

309.
C.
.
D.
307.

π

D = ¡ \  + k 2π | k ∈ ¢ 
4


.
310. Lời giải

311. Chọn B.

sin 6 x < 2 ⇔ 2 − sin 6 x > 0 ∀x ∈ ¡

x∈¡

312. Ta có
,
. Vậy hàm số đã cho xác đinh với mọi
.
313. Một dạng khác của bài toán liên quan đến tìm tập xác định của hàm lượng giác như

sau:
Ví dụ 9. Để tìm tập xác định của hàm số

y = tan x + cos x

, một học sinh đã giải theo các bước sau:
sin
 x≠0

cos x ≠ 0
314. Bước 1: Điều kiện để hàm số có nghĩa là
.
π

 x ≠ + kπ
⇔
;( k ∈ ¢ )
2
 x ≠ kπ
315. Bước 2:
.
π


D = ¡ \  + kπ ; kπ | k ∈ ¢ 
2

316. Bước 3: Vậy tập xác định của hàm số đã cho là
.
317. Bài giải của bạn đó đúng chưa? Nếu sai, thì sai bắt đầu ở bước nào?
318.
A. Bài giải đúng.
B. Sai từ bước 1.
319.
C. Sai từ bước 2.
D. Sai từ bước 3.


320. Lời giải
321. Chọn B.
322. Nhận thấy hàm số đã cho xác định khi

tan x

cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
323. Do vậy hàm số xác định khi

1
sin x + 1

y=
Ví dụ 10. Hàm số

324.

xác định (do

π
+ kπ , k ∈ ¢
2

cos x

xác định với mọi

C.

325.

π
+ kπ , k ∈ ¢
2

x=−

. D.
326. Lời giải

).

.

xác định khi và chỉ khi

 π

x ∈ ¡ \  − + k 2π | k ∈ ¢ 
 2

A.
.

x=−

x∈¡

B.

π
+ k 2π , k ∈ ¢
2

x∈¡

.

.

327. Chọn A.
328. Hàm số đã cho xác định

⇔x≠−

⇔ sin x + 1 > 0 ⇔ sin x > −1 ⇔ sin x ≠ −1

(do

sin x ≥ −1, ∀x ∈ ¡

)

π
+ k 2π , k ∈ ¢
2

.
329. Dạng chứa tham số trong bài toán liên quan đến tập xác định của hàm sô lượng giác.
f ( x)
S ⊂ Df
330. Với
(là tập xác định của hàm số
) thì
∗ f ( x ) ≤ m, ∀x ∈ S ⇔ max f ( x ) ≤ m ∗ f ( x ) ≥ m, ∀x ∈ S ⇔ min f ( x ) ≥ m
331.

S

∗ ∃x0 ∈ S , f ( x0 )

S

.
.
≤ m ⇔ min f ( x ) ≤ m ∗ ∃x0 ∈ S , f ( x0 ) ≥ m ⇔ max f ( x ) ≥ m

S

S

332.

h ( x ) = sin x + cos x − 2m sin x.cos x
4

Ví dụ 1. Cho hàm số

4

số xác định với mọi số thực

x

.Tất cả các giá trị của tham số

(trên toàn trục số) là
1
1
1
− ≤m≤
0≤m≤
2
2
2
A.
.

B.
.

333.

m≤
D.

1
2

C.

.
334. Lời giải

335. Chọn A.

(

g ( x ) = sin 2 x
336. Xét hàm số

(

) + ( cos x )
2

2

2

= sin 2 x + cos 2 x
337.
338.

− m sin 2 x

)

2

− 2sin 2 x cos 2 x − m sin 2 x

1
= 1 − sin 2 2 x − m sin 2 x
2

.

.
m

để hàm

1
− ≤m≤0
2

.

339. Đặt

t = sin 2 x ⇒ t ∈ [ −1;1]
h ( x)

340. Hàm số

.

xác định với mọi

x ∈ ¡ ⇔ g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡

1
⇔ − t 2 − mt + 1 ≥ 0, ∀t ∈ [ −1;1]
2
341.

⇔ t 2 + 2mt − 2 ≤ 0, ∀t ∈ [ −1;1]

.
f ( t ) = t 2 + 2mt − 2

342. Đặt

trên

[ −1;1]

.

343.

344.
345. Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên.

max f ( t ) = f ( 1)

346. Ta thấy

max f ( t ) = f ( −1)

[ −1;1]

hoặc

[ −1;1]

 f ( 1) ≤ 0
⇔

f ( t ) = t + 2mt − 2 ≤ 0, ∀t ∈ [ −1;1] ⇔ max f ( t ) ≤ 0
 f ( −1) ≤ 0
[ −1;1]
2

347. Ycbt

 −1 + 2m ≤ 0
1
1
⇔
⇔− ≤m≤
2
2
 −1 − 2m ≤ 0

348.

Ví dụ 2. Tìm

m

y=
để hàm số

349.

3x
2

2sin x − m sin x + 1

xác định trên
m ∈  −2 2; 2 2 
A.
.
m ∈ −∞; −2 2 ∪ 2 2; +∞

C.
.
351. Lời giải

(

350.

) (

)

¡

.

353. Hàm số xác định trên

¡

t = sin x ⇒ t ∈ [ −1;1]

khi và chỉ khi

355. Lúc này ta đi tìm điều kiện của
356. Ta có

∆t = m2 − 8

m

để

(

)

{

}

m ∈ −2 2; 2 2
B.

m ∈ −2 2; 2 2
D.

352. Chọn B.

354. Đặt

.

2 sin 2 x − m sin x + 1 > 0, ∀x ∈ ¡

.

f ( t ) = 2t 2 − mt + 1 > 0, ∀t ∈ [ −1;1]

.

.


357. TH 1:

358. TH 2:

∆t < 0 ⇔ m 2 − 8 < 0 ⇔ −2 2 < m < 2 2
 m = −2 2
⇔
∆t = 0 ⇔ m2 − 8 = 0
 m = 2 2

. Khi đó

f ( t ) > 0, ∀t

(thỏa mãn).

(thử lại thì cả hai trường hợp đều không thỏa

mãn).

359. TH 3:

 m < −2 2
⇔
∆t > 0 ⇔ m2 − 8 > 0
 m > 2 2

nghiệm phân biệt

360. Để

t1; t2 ( t1 < t2 )

f ( t ) > 0, ∀t ∈ [ −1;1]

(

m ∈ −2 2; 2 2
361. Vậy

)

khi đó tam thức

f ( t ) = 2t 2 − mt + 1

có hai

.

thì


m − m2 − 8
≥ 1 ⇔ m 2 − 8 ≥ m − 4 ( VN )
t1 ≥ 1 ⇔
4



2
t2 ≤ −1 ⇔ m + m − 8 ≤ −1 ⇔ m 2 − 8 ≤ − m − 4 ( VN )

4

.

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

m
362. Chú ý: Với các bài toán dạng này ta cần chia ba trường hợp để tìm đủ các giá trị của .
363. Ở bài toán trên trong TH3 đã áp dụng qui tắc xét dấu tam thức bậc hai “trong trái ngoài
a

cùng”. Tức là trong khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với hệ số , còn khoảng hai nghiệm thì
a
trái dấu với hệ số .
364. Dạng 2: Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác.
365. Định Nghĩa.
y = f ( x)
D
366. Cho hàm số
xác định trên tập .
y = f ( x)
−x ∈ D
x
D
367. a, Hàm số

được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi thuộc , ta có
và

f ( − x) = f ( x)

.

368. b, Hàm số

f ( −x) = − f ( x)

y = f ( x)

được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi

x

thuộc

D

, ta có

−x ∈ D

và

.
369. STUDY TIP:

y = f ( x)
x0 ∈ D
Để kết luận hàm số
không chẵn không lẻ thì ta chỉ cần chỉ ra điểm
sao
 f ( − x0 ) ≠ f ( x0 )

f ( x)
 f ( − x0 ) ≠ − f ( x0 )
cho
hoặc chỉ ra tập xác định của
không phải là tập đối xứng.
371. Phương pháp chung:
D
372. Bước 1: Tìm tập xác định
của hàm số, khi đó
370.


∗

Nếu

D

trường hợp
luôn A.

là tập đối xứng (tức

∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D

), thì ta thực hiện tiếp bước 2.
∃x ∈ D
−x ∉ D
D
∗
374. Nếu
không phải tập đối xứng(tức là
mà
) thì ta kết luận hàm số
không chẵn không lẻ.
f ( −x)
375. Bước 2: Xác định
:
f ( − x ) = f ( x ) , ∀x ∈ D
∗
376. Nếu
thì kết luận hàm số là hàm số chẵn.
f ( − x ) = − f ( x ) , ∀x ∈ D
∗
377. Nếu
thì kết luận hàm số là hàm số lẻ.
∗
378. Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không
lẻ.
379. Các kiến thức đã học về hàm lượng giác cơ bản:
y = sin x
D=¡
380.

1, Hàm số
là hàm số lẻ trên
.
y = cos x
D=¡
381.
2, Hàm số
là hàm số chẵn trên
.
π

D = ¡ \  + kπ | k ∈ ¢ 
y = tan x
2

382.
3, Hàm số
là hàm số lẻ trên
.
D = ¡ \ { kπ | k ∈ ¢}
y = cot x
383.
4, Hàm số
là hàm số lẻ trên
.
Ví dụ 1. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
y = 2sin ( − x )
y = −2 cos x
y = −2sin x
384.

A.
.
B.
.
C.
.
y = sin x − cos x
D.
.
385. Lời giải
386. Chọn A.
387. Cách 1: Với các kiến thức về tính chẵn lẻ của hsố lượng giác cơ bản ta có thể chọn luôn A.
∀x ∈ ¡ ⇒ − x ∈ ¡
D=¡
388. Xét A: Do tập xác định
nên
.
f ( − x ) = −2 cos ( − x ) = −2 cos x = f ( x )
y = −2 cos x
389. Ta có
. Vậy hàm số
là hàm số chẵn.
390. Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
x
391. Ta có thể thử từng phương án bằng máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp
−x
và
.
x =1
392. Với A: Nhập vào màn hình hàm số sử dụng CALC với trường hợp

(hình bên trái) và
373.

x = −1

393.

(hình bên phải) đều đưa kết quả giống nhau. Vì

f ( x) = − f ( x) ⇒

ta chọn


394.
395. STUDY TIP:
Khi sử dụng máy tính cầm tay ta nên chú ý cả tập xác định của hàm số xem có phải là tập
đối xứng không.
sin 2 x
y=
y = f ( x)
2 cos x − 3
Ví dụ 2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
thì
là
397.
A. Hàm số chẵn.
B. Hàm số lẻ.
398.
C. Không chẵn không lẻ.

D. Vừa chẵn vừa lẻ.
399. Lời giải
400. Chọn B.
D=¡
401. Cách 1: Tập xác định
.
∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D
402. Ta có
sin ( −2 x )
− sin 2 x
f ( −x) =
=
= − f ( x)
2 cos ( − x ) − 3 2 cos x − 3
403.
. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
404. Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
x
405. Ta có thể thử từng phương án bằng máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp
−x
và
.
x =1
406. Với A: Nhập biểu thức của hàm số vào màn hình sử dụng CALC với trường hợp
396.

(hình bên trái) và trường hợp
là hàm số lẻ.
407.
408.

409.
410.
411.

x = −1

(hình bên phải), ta thấy

f ( 1) = − f ( −1) ⇒

412. STUDY TIP:
413.

Trong bài toán này, tập xác định

D=¡

bởi

hàm số đã cho

2 cos x − 3 < 0, ∀x ∈ ¡

.

414.

π
π



y = f ( x ) = cos  2 x + ÷+ sin  2 x − ÷
y = f ( x)
4
4


Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
, ta được
là:
415.
A. Hàm số chẵn.
B. Hàm số lẻ.
416.
C. Không chẵn không lẻ.
D. Vừa chẵn vừa lẻ.
417. Lời giải
418. Chọn D.
419. Cách 1:
π
π 1
1


y = cos  2 x + ÷+ sin  2 x − ÷ =
( cos 2 x − sin 2 x ) + ( sin 2 x − cos 2 x ) = 0
4
4
2
2



420. Ta có
.
D=¡
421. Ta có tập xác định
.


422. Hàm số

y=0

vừa thỏa mãn tính chất của hàm số chẵn, vừa thỏa mãn tính chất của hàm số
lẻ, nên đây là hàm số vừa chẵn vừa lẻ.
423. Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
424. Tương tự các bài toán trên ta nhập hàm số và sử dụng CALC để thử thì thấy cả hai trường
y=0
hợp đều ra kết quả là 0. Mà
vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ vừa là hàm hằng nên ta
chọn D.

425.

426.
427. STUDY TIP:

y=0

Hàm số

vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ vừa là hàm hằng.
1
f ( x) =
+ 3sin 2 x
g ( x ) = sin 1 − x
x −3
Ví dụ 4. Cho hai hàm số
và
. Kết luận nào sau đây đúng về tính
chẵn lẻ của hai hàm số này?
f ( x) ; g ( x)
429.
A. Hai hàm số
là hai hàm số lẻ.
f ( x)
f ( x)
430.
B. Hàm số
là hàm số chẵn; hàm số
là hàm số lẻ.
f ( x)
g ( x)
431.
C. Hàm số
là hàm số lẻ; hàm số
là hàm số không chẵn
không lẻ.
f ( x) ; g ( x)
432.
D. Cả hai hàm số

đều là hàm số không chẵn không lẻ.
433.
Lời giải
434. Chọn D.
1
f ( x) =
+ 3sin 2 x
D = ¡ \ { 3}
x −3
435. a, Xét hàm số
có tập xác định là
.
x = −3 ∈ D
−x = 3∉ D
D
436. Ta có
nhưng
nên
không có tính đối xứng. Do đó ta có kết luận
428.

hàm số

f ( x)

không chẵn không lẻ.

437. b, Xét hàm số

g ( x ) = sin 1 − x

tập đối xứng nên ta kết luận hàm số
438. Vậy chọn D.
439.

có tập xác định là

g ( x)

D2 = [ 1; +∞ )

không chẵn không lẻ.

. Dễ thấy

D2

không phải là