Đề thi chọn HSG cấp tỉnh toán 9 có đáp án (đề 7)

Xuân Đức 66
Đề số 9
Đề thi hs giỏi môn toán 9 vòng 2
Năm học: 2008-2009
Thời gian 150 phút
Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức
2
2 2( 1)
1 1
x x x x x
P
x x x x
+
= +
+ +
1. Rút gọn P
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
3. Tìm x để biểu thức
2 x
Q
p
=
nhận giá trị là số nguyên
Bài 2: (4 điểm)
1. Giải hệ phơng trình:
2 2 2
6
1
14
x y z
xy yz zx

x y z

+ + =

+ =


+ + =

2. Giải phơng trình:
2 2
3 1 ( 3) 1x x x x+ + = + +
Bài 3: (3 điểm)
1. Tích của 4 số nguyên dơng liên tiếp có phải là một số chính phơng không?
2. Tìm tất cả các số nguyên dơng n để:
2
( 9 2) ( 11)n n n+ +M
Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm (O). Tia phân giác trong của góc
A cắt đờng tròn tâm (O) tại điểm M.
1. Đờng phân giác ngoài của góc A cắt đờng tròn tâm (O) tại N.
Chứng minh: M, O, N thẳng hàng.
2. Giả sử đờng phân giác ngoài góc A cắt đờng thẳng BC tại E.
Chứng minh:
ã
ã
AMO CEA=
3. Trên cạnh AC lấy D tùy ý (khác A và C). Đờng thẳng BD cắt đờng tròn (O)
tại điểm thứ hai F. Đờng thẳng qua A vuông góc với AB và đờng thẳng qua F vuông góc với
FC cắt nhau tại P. Chứng tỏa P, D, O thẳng hàng.
Bài 5: (4 điểm)

1. Giả sử x, y, z là các số thực thõa mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 6
Chứng minh rằng:
2 2 2
3x y z+ +
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3 2 2
( 1)( 1)
x y x y
P
x y
+
=

Trong đó x, y là những số thực lớn hơn 1.
Xuân Đức 66
Hớng dẫn chấm:
Bài 1: (3 điểm) Mỗi ý 1 điểm:
Ta có:
2
2 2( 1)
1 1
x x x x x
P
x x x x
+
= +
+ +
2( 1)( 1)
( 1)( 1) (2 1)

1 1
x x
x x x x x x
x x x x
+
+ +
= +
+ +

1x x= +
2.
2
1 3 3
1 ( ) ( 0; 1)
2 4 4
P x x x x x= + = + >
min
3
4
P =
khi
1
4
x =
3.
2 2 2
1
1
1
x

Q
M
x x
x
x
= = =
+
+
với
0; 1x x>
Ta có:
1
1 1M x
x
= + >
(BĐT Cauchy)
Suy ra: 0 < Q < 2 vì Q nguyên nên Q = 1
Suy ra:
7 3 5
2
x

=
Bài 2: (4 điểm) mỗi ý 2 điểm
Câu1. Giải hệ PT:
2 2 2
6
1
14
x y z

xy yz zx
x y z

+ + =

+ =


+ + =


Ta có:
2 2 2 2
( ) 2( )x y z x y z xy yz zx+ + = + + + +

11xy yz zx + + =

11 ( )zx xy yz = +

( ) 6
5
x z y
xy yz
+ + =



+ =

Ta có: x+z và y là nghiệm của PT:
2
6 5 0t t + =
1 2
1; 5t t = =
Do đó :
1
5
y
x z
=


+ =

hoặc
5
1
y
x z
=


+ =

Với y = 5 và x + z = 1 thì hệ vô nghiệm
Với y = 1 và x + z = 5 thì hệ có nghiệm (x, y, z) là (2; 1; 3) và (3; 1; 2)
Câu 2. Giải PT:
2 2
3 1 ( 3) 1x x x x+ + = + +

Đặt:
2
1 ( 1)x t t+ = >

2
( 3) 3 0t x t x + =
Ta có:
2 2
( 3) 12 ( 3) 0x x x = + =
Nên PT có hai nghiệm: t = x; t = 3
Với t = x thì
2
1x x+ =
PT vô nghiệm.
Với t = 3 thì
2
1 3x + =
giải ra đợc :
2 2x =
Bài 3: (3 điểm) mỗi ý 1,5 điểm
Xuân Đức 66
Câu 1 : giải sử ta có 4 số nguyên dơng liên tiếp: n; n + 1; n + 2; n + 3
Có: P = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) =
2 2 2 2 2
( 3 )( 3 2) ( 3 ) 2( 3 )n n n n n n n n+ + + = + + +
Do đó:
2 2 2 2
( 3 ) ( 3 1)n n P n n+ < < + +
Suy ra P không thể là số chính phơng
Câu 2: Ta có:

2
9 2 11n n n+ +M

Mà
2
11 11 (2 2) 11n n n n n+ + + +M M
Mà
(2 22) 11 20 11 9n n n n+ + + =M M
Vậy: n = 9 thì :
2
9 2 11n n n+ +M
(đpcm)