Đề thi chọn HSG cấp tỉnh toán 9 có đáp án (đề 12)

Xuân Đức 66
Đề số 15
Đề thi hs giỏi môn toán 9 vòng 2
Năm học: 2008-2009
Môn Toán 9. Thời gian 120 phút
B i 1 :a. CMR:
3
6n n M
với
n Z
b. Cho
( 6 2 5 6 2 5 ) : 20x = + +
. Hãy tính giá trị của biểu thức:
5 2009
( 1)P x x= +
B i 2 : Giải hệ phơng trình :








=++
=++
=++
27
1
111
9

zxyzxy
zyx
zyx
Bài 3: Cho
1,1

yx
Chứng minh.
xy
yx
+

+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
Bài 4: Cho
ABC

. Có độ dài các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Gọi I là tâm đờng tròn
nội tiếp tam giác
ABC
, r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác
ABC

.
CMR:
6IA IB IC r+ +

B i 5 : Cho nhọn
ã
xAy
, B, C lần lợt là các điểm cố định trên tia Ax, Ay sao cho
AB < AC, điểm M di động trong góc xAy sao cho
MB
MA
=
2
1
Xác định vị trí điểm M để MB + 2 MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Xuân Đức 66
Đáp án
Bài 1:
a. Có:
3 2
( 1) ( 1). .( 1)P n n n n n n n= = = +
Vì n, n+1 là hai số nguyên liên tiếp nên
2PM
* Nếu
3 3n PM M
* Nếu n chia cho 3 d 1 thì
( 1) 3 3n P M M
* Nếu n chia cho 3 d 2 thì
( 1) 3n + M
Vậy

3PM
mà (2, 3) = 1
6P M
b. Có:
( 6 2 5 6 2 5 ) : 20x = + +
=
( 5 1 5 1) : 20 1+ + =
Do đó:
5 2009 2009
(1 1 1) (1 1 1) 1P = + = + =
Bài 2: Giải hệ phơng trình
( )
( )







=++
=++
=++
327
)2(1
111
19
xzyzxy
zyx
zyx

ĐKXĐ :
.0,0,0

zyx

( )
( )
( )
( )
( )
zyx
xz
zy
yx
xz
zy
yx
xzzyyx
zxyzxyzyx
zxyzxyzyx
zyx
zxyzxyzyx
zxyzxyzyx
zyx
==

=
=
=






=
=
=

=++
=++++
++=++
=++
++=++
=+++++
=++
0)(
0)(
0)(
0)()()(
02)(2
27
281
812
81
2

2
2
222
222
222
222
222
222
2
Thay vào (1) => x = y = z = 3 .
Ta thấy x = y = z = 3 thõa mãn hệ phơng trình . Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
x = y = z = 3.
Xuân Đức 66
Bài 3: Ta có:
xy
yx
+

+
+
+
1
2
1
1
1
1
22

2 2
1 1 2
0
1 1 1x y xy
+
+ + +

( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
1111
22

++

+
++


xyy
yxy
xyx
xyx
( ) ( )
01
2

xyyx
đúng vì
1

xy
Bài 4:
Kẻ
; ( ;BK AI CH AI K H AI
kéo dài )
Ta có
2 . . .
AIB
S r AC r c AI BK

= = =
(1)

2 . . .
ACI
S r AC r b AI CH

= = =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
r.c + r.b = AI.BK + AI.CH

( ) ( )r b c AI BK CH + = +
(3)
Mà

BK CH BC a
+ =
(4)
Từ (3) và (4) suy ra:

r ( ) .b c a AI+
b c AI
a r
+

(*)
Chóng minh tơng tự ta đợc:

a c BI
b r
+

(2*);
a b CI
c r
+

(3*)
Từ (*); (2*) và (3*) ta có:

AI BI CI b c a c a b b a c a c b
r r r a b c a b a c b c
+ + +

+ + + + = + + + + +

ữ ữ ữ

(4*)
áp dụng BĐT Cosi cho hai số dơng ta đợc:

2 . 2 . 2 . 2 2 2 6
b a c a c b b a c a c b
a b a c b c a b a c b c

+ + + + + + + = + + =
ữ ữ ữ

(5*)

Từ (4*) và (5*) suy ra:

6 6
AI BI CI
AI BI CI r
r r r
+ + + +
(ĐPCM
Dấu đẳng thức sảy ra khi
ABC
là tam giác đều.
B i 5 : Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho:
AD =
4
1
AB. Ta có D là điểm cố định

Mà
AB
MA
=
2
1
(gt) do đó
MA
AD
=
2
1
(0,25 điểm)
Xét tam giác AMB và tam giác ADM có
MâB (chung)

AB
MA
=
MA
AD
=
2
1
(0,25 điểm)
Do đó AMB ADM =>
MD
MB
=
AD

MA
= 2 => MD = 2MD (0,25 điểm)
Xét ba điểm M, D, C : MD + MC > DC (không đổi)
Do đó MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC (0,25 điểm)
Dấu "=" xảy ra <=> M thuộc đoạn thẳng DC
Giá trị nhỏ nhất của MB + 2 MC là 2 DC (0,25 điểm)
S
r
r
r
H
K
I
C
B
A
Xu©n §øc 66
* C¸ch dùng ®iÓm M.
- Dùng ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh
2
1
AB
- Dùng D trªn tia Ax sao cho AD =
4
1
AB (0,25 ®iÓm)
M lµ giao ®iÓm cña DC vµ ®êng trßn (A;
2
1
AB)

y
x
D
M
C
B
A