Đề thi chọn HSG cấp tỉnh toán 9 có đáp án (đề 13)

Xuân Đức 66
Đề số 16
Đề thi hs giỏi môn toán 9 vòng 2
Năm học: 2008-2009
Thời gian 150 phút
Thời gian 150 phút kông kể thời gian phát đề
Bi 1: a) Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n
b)Cho h: Tớnh biu thc P=
Bi 2: a) Gii phng trỡnh:
b) Cho x . Tớnh P=(
Bi 3: a) Cho v . Chng t:
b) Cho a . Tỡm giỏ tr nh nht ca
P=
Bi 4: Cho tam giỏc ABC khụng cõn ti A, gi M l trung im ca BC, AD l
ng cao, E, F ln lt l cỏc hỡnh chiu vuụng gúc ca B, C trờn ng kớnh AA
ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC. Chng minh rng: M l tõm ng trũn
ngoi tip tam giỏc DEF
Bài 5: ( 2 điểm ): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z; biết
rằng x; y; z là các số thực thoả mãn điều kiện y
2
+ yz + z
2
= 1 -
2
3
2
x
.
Xu©n §øc 66
®¸p ¸n
Bµi 1:

a) Ta có:

Do đó:

Vì n nguyên dương nên
Kết luận: hoặc
b) Ta có:



Vậy
Bµi 2:
a) Ta có:



Kết luận: hoặc
b) Trước hết ta tính x, ta có:

Suy ra
Xu©n §øc 66
Lại có:
Suy ra
Từ đó ta có: x
Suy ra:
P=(
Vậy P=1
Bµi 3:
Vì
Vậy

Mặt khác, ta có:

(1)
Lại có:

(2)
Nhân vế theo vế 2 bất đẳng thức (1) và (2) rồi rút gọn, ta được:

Vậy . ĐPCM
b) Ta có:

Vì nên
Suy ra:
Suy ra . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Tương tự như vậy và
Suy ra P=
Hay là .
Xu©n §øc 66
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bµi 4:
Vì nên tứ giác ADFC là tứ giác nội tiếp
(1)
Lại có nên tứ giác AEDB là tứ giác nội tiếp
Suy ra (2)
Mặt khác: (Cùng bù với ) (3)
(Tứ giác là tứ giác nội tiếp) (4)
Từ (2), (3), (4) suy ra (5)
Từ (1) và (5) suy ra
Suy ra AD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF
Vì MD AD nên MD đường thẳng chứa đường kính của đường tròn. (6)

Bây giờ gọi K là giao điểm của ME với CF.
Dễ dàng nhận thấy ( góc, cạnh, góc)
Suy ra ME=MK hay nói cách khác M là trung điểm của EK.
Xét tam giác vuông EFK có FM là trung tuyến, do đó ME=MF, suy ra M nằm trên
đường trung trực của của EF hay nói cách khác M nằm trên một đường kính khác của
đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF (7)
Từ (6) và (7) suy ra M chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF. ĐPCM.
Bµi 5:
+ Ta cã y
2
+ yz + z
2
= 1 -
2
3
2
x
⇔
2y
2
+ 2yz + 2z
2
= 2 – 3x
2
⇔
3x
2
+ 2y
2
+ 2yz + 2z

2
= 2 ( 1 )
⇔
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy + 2xz + 2yz + x
2
– 2xy + y
2
+ x
2
– 2xz + z
2
= 2
⇔
( x + y + z )
2
+ ( x – y )
2
+ ( x – z )
2
= 2
( 1,0 ®iÓm )
+ Do ( x – y )
2

≥
0; ( x – z )
2

≥
0 nªn tõ ( * ) suy ra ( x + y + z )
2

≤
2
Hay -
22
≤++≤
zyx
( 0,5 ®iÓm )
+ DÊu “ = ” x¶y ra khi x – y = 0 vµ x – z = 0 hay x = y = z
Xu©n §øc 66
Thay vµo ( 1 ) ®îc 9x
2
= 2; x =
3
2
; x = -
3
2
( 0,25 ®iÓm )
+ KL: Víi x = y = z = -
3
2
th× min B = -

2
Víi x = y = z =
3
2
th× max B =
2