Đề thi chọn HSG cấp tỉnh toán 9 có đáp án (đề 11)

Xuân Đức 66
Đề số 14
Đề thi hs giỏi môn toán 9 vòng 2
Năm học: 2008-2009
Thời gian 150 phút
Bài 1: a) Cho cỏc s thc dng x; y. Chng minh rng:
yx
x
y
y
x
22
++
.
b) Cho n l s t nhiờn ln hn 1. Chng minh rng
n4
4n
+
l hp s
Bài 2 : a) Thc hin phộp tớnh:
35
126320103

+
.
b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
2008xx

.
Bài 3: a) Cho x =
( )

3
10 6 3 3 1
6 2 5 5
+
+
.
Tớnh giỏ tr cu biu thc P =
( )
(
)
2008
2007
3
4 1x x +
b) Cho
3 3
125 125
3 9 3 9
27 27
P = + + + + . Chng minh rng P l mt s nguyờn
Bài 4: Cho
1
ABC
S

=
. Gọi
; ;
a b c
h h h

, lần lợt là các đờng cao tơng ứng với các cạnh, a, b, c của
ABC
CMR:
2 2 2 2 2 2
( )( ) 36
a b c
a b c h h h+ + + +
Bài 5: Cho tam giỏc ABC. P l im nm trờn ng thng BC, trờn tia i cu tia AP ly im D
sao cho
2
BC
AD =
. Gi E v F theo th t l trung im cu DB v DC. Chng minh rng ng
trũn ng kớnh EF luụn i qua mt im c nh khi P di ng trờn BC

Xu©n §øc 66
§¸p ¸n
Bµi 1: a) Với x và y đều dương, ta có
yx
x
y
y
x
22
+≥+
(1)

0)yx)(yx()yx(xyyx
233
≥−+⇔+≥+⇔

(2)
(2) luôn đúng với mọi x > 0, y > 0. Vậy (1) luôn đúng với mọi
0y,0x
>>
b) n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng n = 2k hoặc n = 2k + 1, với k là số tự nhiên lớn hơn 0.
- Với n = 2k, ta có
k24n4
4)k2(4n
+=+
lớn hơn 2 và chia hết cho 2. Do đó
n4
4n
+
là hợp số.
-Với n = 2k+1, tacó

2k2k22k4k24n4
)2.n.2()4.2n()4.2(n4.4n4n
−+=+=+=+
= (n
2
+ 2
2k+1
+ n.2
k+1
)(n
2
+ 2
2k+1
– n.2

k+1
) = [( n+2
k
)
2
+ 2
2k
][(n – 2
k
)
2
+ 2
2k
]. Mỗi thừa số đều lớn
hơn hoặc bằng 2. Vậy n
4
+ 4
n
là hợp số
Bµi 2: a) Biến đổi được:
223
35
)223)(35(
+=
−
+−
b) Điều kiện
2008x
≥
4

8031
4
8031
)
2
1
2008x(
4
1
2008)
4
1
2008x.
2
1
.22008x(2008xx
2
≥+−−=
−++−−−=−−
Dấu “ = “ xảy ra khi
4
8033
x
2
1
2008x
=⇔=−
(thỏa mãn). Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là
4
8033

xkhi
4
8031
=
.
Bµi 3: a) Ta có x =
( ) ( )
( )
3
3
2
10 6 3 3 1
5 1 5
+ −
+ −

=
( ) ( )
3
3
10 6 3 6 3 10
8 2
1
+ −
= =

Suy ra x
3
– 4x + 1 = 1
Suy ra P =

( )
2008
2007
1 1=

b) Áp dụng hằng đẳng thức (a – b)
3
= a
3
– b
3
– 3ab(a - b)
3 3
125 125
3 9 3 9
27 27
P = + + − − + +
Suy ra
Xu©n §øc 66
P
3
=
3 3 3
125 125 125 125 125 125
3 9 3 9 3. 3 9 3 9 . 3 9 3 9
27 27 27 27 27 27
 
   
 
+ + − − + + − + + − + + + + − − + +

 ÷  ÷
 ÷  ÷
 
   
 
⇔
3
3
125
6 3 .
27
P P= −
⇔
3
5 6 0P P+ − =
⇔ (P – 1).(P
2
+ P + 6) = 0
⇔ P = 1 (vì P
2
+ P + 6 > 0). Vậy P là một số nguyên.
Bµi 4:
¸p dông B§T Cosi cho 3 sè d¬ng ta cã:

2 2 2 3 2 2 2
3 . .a b c a b c+ + ≥
(1) (V× a, b, c > 0)

2 2 2 3 2 2 2
3 . .

a b c a b c
h h h h h h+ + ≥
(2) (V×
, , 0)
a b c
h h h >
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
2 2 2 2 2 2
( )( )
a b c
a b c h h h+ + + + ≥
3 2 2 2
3 . . .a b c
3 2 2 2
3 . .
a b c
h h h
3 2 2 2
9 ( . ) .( . ) ( . )
a b c
a h b h c h=
(*)
Mµ
2 . . .
ABC a b c
S h a h b h c
∆
= = =
(3)
Ta l¹i cã:

1
ABC
S
∆
=
(GT) (4)
Tõ (3) vµ (4) suy ra:
. . . 2
a b c
h a h b h c= = =
(2*)
Tõ (*) vµ (2*) suy ra:

2 2 2 2 2 2
( )( )
a b c
a b c h h h+ + + + ≥
3 2 2 2 3 2 2 2
9. ( . ) .( . ) ( . ) 9. 2 .2 .2 36
a b c
a h b h c h = =
VËy
2 2 2 2 2 2
( )( )
a b c
a b c h h h+ + + + ≥
36
(§PCM)
Bµi 5:
Gọi M là trung điểm cuả BC

+ Tứ giác DEMF là hình bình hành do EM, FM là hai đường trung bình cuả ∆DBC. Suy ra DM và
EF cắt nhau tại trung điểm O cuả mỗi đường.
Gọi I là trung điểm cuả AM thì suy ra I là điểm cố định.
+ OI là đường trung bình cuả ∆AMD nên :
OI =
1
2
AD =
1
4
BC (giả thiết) (1)
+ EF là đường trung bình cuả ∆ABC nên EF =
1
2
BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OI =
1
2
EF. Suy ra I thuộc đường tròn (O;
1
4
BC)
Vậy đường tròn đường kính EF (O;
1
4
BC) luôn đi qua điểm cố định I khi P thay đổi trên đường
thẳng BC
I
O
F

E
D
MB C
A
P