DSpace at VNU: Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức và giải phương trình, hệ phương trình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ NHÀI

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI- 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ NHÀI

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN:

TS. Phạm Văn Quốc

HÀ NỘI- 2015


Mục lục
Mở đầu

3

1 Kiến thức cơ sở

5

1.1 Hàm số đồng biến, nghịch biến . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.3

Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm . . . . . . . . . .

6

1.3 Định lí Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4 Định lí Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5 Hàm lồi, lõm khả vi bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5.2

Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5.3

Biểu diễn hàm lồi và lõm . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5.4

Định lí Karamata . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.6 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . . . . . . .

9

1.6.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.2

Quy tắc tìm GTLN,GTNN của hàm số liên tục trên

9

một đoạn [a;b] bằng đạo hàm . . . . . . . . . . . . . 10

2 Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình và hệ phương
trình

11

2.1 Phương trình có dạng f(x) = c, với x thuộc K . . . . . . . . 11
2.2 Phương trình đã cho biến đổi được về dạng f(u) = f(v) . . . 16
2.3 Hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1


2.4 Áp dụng định lí Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức

44

3.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Áp dụng định lí Lagrange và định lí Karamata . . . . . . . 58
3.3 Bài tập

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Kết luận

66

Tài liệu tham khảo

67

2


Mở đầu
Như ta đã biết, chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ phương
trình và hệ bất phương trình chiếm một lượng khá lớn, xuyên suốt chương
trình phổ thông. Nhiều bài tập nếu giải bằng phương pháp thông thường
sẽ gặp nhiều khó khăn, tuy nhiên nếu biết sử dụng phương pháp hàm số
thì các bài tập đó sẽ được giải quyết dễ dàng hơn
Hơn nữa một số năm gần đây trong các đề thi đại học cao đẳng; thi học
sinh giỏi thường xuyên gặp các bài toán về phương trình, hệ phương trình,
bất đẳng thức vận dụng phương pháp hàm số. Chính vì vậy việc trang bị
cho học sinh kỹ năng ứng dụng hàm số để giải phương trình, hệ phương
trình, bất đẳng thức là rất cần thiết, giúp các em tự tin hơn trong các kỳ
thi, nên tôi đã chọn đề tài "Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh
bất đẳng thức và giải phương trình, hệ phương trình " với mục
đích
- Trang bị cho học sinh về phương pháp giải phương trình, hệ phương
trình , chứng minh bất đẳng thức bằng ứng dụng hàm số.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó,
học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
Do quá trình nghiên cứu, biên tập còn nhiều hạn chế nên nội dung cũng
như cách trình bày trong luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu xót, rất mong
các thầy cô và bạn đọc xem xét, có ý kiến đóng góp để luận văn được hoàn
thiện.
Nội dung chính của khóa luận bao gồm:

⋄ Chương 1: Kiến thức cơ sở
⋄ Chương 2: Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình và hệ phương

trình
⋄ Chương 3: Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức

3


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới T.S Phạm Văn Quốc người đã trực tiếp hướng dẫn và
tận tình chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại
Học Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học
tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình
học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Hà Nội, ngày 20 tháng 3 năm 2015.
Học viên
Nguyễn Thị Nhài

4


Chương 1

Kiến thức cơ sở
1.1

Hàm số đồng biến, nghịch biến

Định nghĩa 1.1. Cho hàm số y=f(x) xác định trên K ⊂ R(K là khoảng,
đoạn hoặc nửa khoảng)
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc
K mà x1 < x2 thì f (x1 ) < f (x2 ).
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc
K mà x1 < x2 thì f (x1 ) > f (x2 ).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số
đơn điệu trên K.
(Trích SGK 12 – Nhà XBGD - 2007)

1.2
1.2.1

Đạo hàm
Định nghĩa

Định nghĩa 1.2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và
xo ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

f (x) − f (xo )
x→xo
x − xo
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo và kí
hiệu là f ′ (xo ) (hoặc y ′ (xo )), tức là
f (x) − f (xo )
.
f ′ (xo ) = lim
x→xo

x − xo
lim

Định nghĩa 1.3. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và
xo ∈ (a; b).
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

lim+

x→xo

f (x) − f (xo )
x − xo
5


thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm
xo và kí hiệu là f ′ (x+
o ).
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

lim−

x→xo

f (x) − f (xo )
x − xo

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm
xo và kí hiệu là f ′ (x−

o ).
Định nghĩa 1.4. Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng
(a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.
Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a;b] nếu nó có đạo
hàm tại mọi điểm x trên khoảng (a;b) và có đạo hàm bên phải tại a, có
đạo hàm bên trái tại b.
1.2.2

Tính chất

Định lí 1.1. Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại
điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có

(u ± v)′ = u′ ± v ′ .
(u.v)′ = u′ v + uv ′ .
( u ), u′ v − uv ′
=
(v = v(x) ̸= 0).
v
v2
Định lí 1.2. Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u′x và hàm số
y = f (u) có đạo hàm tại u là y ′u thì hàm hợp y = f (g(x)) có đạo hàm tại
x là y ′x = y ′u .u′x .
1.2.3

Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí 1.3. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Nếu f ′ (x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
Nếu f ′ (x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Định lí 1.4. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Nếu f ′ (x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f ′ (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn
điểm thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
Nếu f ′ (x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f ′ (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn
điểm thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

6


1.3

Định lí Rolle

Định lí 1.5. Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm
tại mọi x thuộc khoảng (a;b). Nếu f(a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm
c ∈ (a; b) sao cho f’(c)=0.
Hệ quả
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng
(a;b). Khi đó, nếu phương trình f’(x) = 0 có không quá n-1 nghiệm phân
biệt trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá n nghiệm
phân biệt trên khoảng đó.

1.4

Định lí Lagrange

Định lí 1.6. Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm
trên khoảng (a;b). Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho

f (b) − f (a) = f ′ (c).(b − a).

1.5
1.5.1

Hàm lồi, lõm khả vi bậc hai
Định nghĩa

Ta ký hiệu I(a; b) ⊂ R là một tập hợp có một trong bốn dạng tập hợp
sau: (a; b), [a; b), (a; b] và [a; b].
Định nghĩa 1.5. Hàm số f (x) được gọi là lồi trên tập I(a, b) nếu với mọi
x1 , x2 ∈ I(a, b) và với mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta đều có

f (αx1 + βx2 ) ≤ αf (x1 ) + βf (x2 ).

(1.1)

Nếu dấu đẳng thức trong (1.1) xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nói hàm
số f (x) là hàm lồi thực sự (chặt) trên I(a; b).
Hàm số f (x) được gọi là lõm trên tập I(a; b) nếu với mọi x1 , x2 ∈ I(a, b)
và với mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta đều có

f (αx1 + βx2 ) ≥ αf (x1 ) + βf (x2 ).

(1.2)

Nếu dấu đẳng thức trong (1.2) xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nói
hàm số f (x) là hàm lõm thực sự (chặt) trên I(a; b).

7

1.5.2

Định lí

Định lí 1.7.
Nếu f(x) là hàm số khả vi trên I(a;b) thì f(x) là hàm lồi trên I(a;b) khi
và chỉ khi f’(x) là hàm đơn điệu tăng trên I(a;b).
Định lí 1.8. Nếu f (x) khả vi bậc hai trên I(a; b) thì f (x) lồi (lõm) trên
I(a, b) khi và chỉ khi f ′′ (x) ≥ 0(f ′′ (x) ≤ 0) trên I(a, b).
1.5.3

Biểu diễn hàm lồi và lõm

Nếu f (x) lồi khả vi trên I(a; b) thì với mọi cặp x0 , x ∈ I(a; b), ta đều
có

f (x) ≥ f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ).
(1.3)
Dễ nhận thấy rằng (1.3) xảy ra đẳng thức khi x0 = x. Vậy ta có thể viết
(1.3) dưới dạng f (x) = min [f (u) + f ′ (u)(x − u)] .
u∈I(a;b)

Nếu f (x) lõm khả vi trên I(a; b) thì với mọi cặp x0 , x ∈ I(a; b), ta đều
có

f (x) ≤ f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 )
(1.4)
Dễ nhận thấy rằng (1.4) xảy ra đẳng thức khi x0 = x. Vậy ta có thể viết
(1.4) dưới dạng f (x) = max [f (u) + f ′ (u)(x − u)] .
u∈I(a;b)

1.5.4

Định lí Karamata

Định lí 1.9. (Bất đẳng thức Karamata).
Cho hai dãy số {xk , yk ∈ I(a; b), k = 1, 2, ..., n} , thỏa mãn các điều kiện
x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn , y1 ≥ y2 ≥ ... ≥ yn và

x1 ≥ y1



 x1 + x2 ≥ y1 + y2
...
(1.5)


x
+
x
+
·
·
·
+
x
≥
y
+

y
+
·
·
·
+
y

2
n−1
1
2
n−1
 1
x1 + x2 + · · · + xn = y1 + y2 + · · · + yn
Khi đó, ứng với mọi hàm lồi thực sự f (x), (f ′′ (x) > 0) trên I(a, b), ta đều
có

f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≥ f (y1 ) + f (y2 ) + · · · + f (yn ).

(1.6)

Ta cũng có phát biểu tương tự đối với hàm lõm bằng cách đổi chiều dấu
bất đẳng thức.
Chứng minh
Sử dụng biểu diễn đối với hàm lồi
8


Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Hữu Điển- Nguyễn Minh Tuấn , LATEX tra cưú và soạn
thảo, NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI-2009.
[2] Lê Hồng Đức , Phương pháp giải toán Mũ – Lôgarit, NXB Hà Nội 2003.
[3] GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu , Bất đẳng thức định lí và áp dụng- 2006.
[4] Giáo trình giải tích tập 1, Nhà XB Đại học QG HN - 2000.
[5] Tạp chí THTT, NXB Giáo dục - 2012
[6] Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 lần thứ 9, NXB Giáo dục - 2003
[7] Olympic toán học Châu Á Thái Bình Dương, NXB Giáo dục -2003.
[8] Sách giáo khoa đại số và giải tích 11, NXB Giáo dục - 2007.
[9] Sách giáo khoa giải tích 12, NXB Giáo dục - 2007.
[10] Tủ sách tạp chí THTT, Các bài toán thi Olympic Toán THPT, NXB
Giáo dục - 2007.
[11] Tuyển tập 30 năm tạp chí THTT, NXB Giáo dục 1996.
[12] Các diễn đàn Toán học http://mathcope, .

67