Bài toán biên ban đầu đối với phương trình loại Hypecbolic

Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU
Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển của
Toán học được đánh dấu bởi những ứng dụng của Toán học vào việc giải
quyết các bài toán thực tiễn. Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất
nhiều bài toán liên quan đến phương trình vi phân đạo hàm riêng.
Ra đời từ những năm 60, phương trình đạo hàm riêng đã nhanh chóng
khẳng định được vị trí và tầm quan trọng của mình trong khoa học nói chung
và Toán học nói riêng. Đặc biệt phương trình đạo hàm riêng loại Hypecbolic
có ứng dụng rất lớn trong khoa học và trong thực tiễn.
Chúng ta biết rằng, việc nghiên cứu tính chất định tính và việc tìm
nghiệm của phương trình đạo hàm riêng loại Hypecbolic rất khó khăn và phức
tạp. Với khả năng ứng dụng rộng rãi trong khoa học và trong thực tiễn, vì vậy
các nhà Toán học đã tập trung nghiên cứu và tìm được nhiều phương pháp để
giải các bài toán về phươg trình đạo hàm riêng loại Hypecbolic.
Được sự hướng dẫn tận tình của T.S Trần Văn Bằng cùng với lòng yêu
thích môn này em xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài: Bài toán biên ban đầu đối
với phương trình Hypecbolic
Khoá luận gồm 3 phần
Phần I : Mở đầu
Phần II : Nội dung
*Chương 1 : Những kiến thức chẩn bị
*Chương 2 : Phương trình loại Hypecbolic. Bài toán Cauchy
*Chương 3 : Phương trình loại Hypecbolic. Bài toán hỗn hợp
*Chương 4:

Một số bài toán áp dụng

Phần III : Kết luận

Bùi Thị
Thủy

1

K32A-Khoa Toán


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành tới các thầy giáo và cô giáo trong khoa Toán – Trường Đại Học Sư
phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo trong suốt thời gian tôi theo học
tại khoa và trong thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Trần Văn Bằng –
Giảng viên khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người trực tiếp
hướng dẫn tôi, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho tôi trong suốt quá trình
làm khóa luận để tôi có được kết quả như ngày hôm nay.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản thân
còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót rất
mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạn
đọc.
Hà Nội, tháng 4 năm 2010
Sinh viên
Bùi Thị Thuỷ


Chương 1. Những kiến thức chuẩn bị
Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

1.1. Các khái niệm tổng quát
1.1.1. Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng
Phương trình liên hệ giữa các ẩn hàm u1,…,uN, các biến số độc lập x1,…,
xn và các đạo hàm riêng của các ẩn hàm được gọi là phương trình đạo hàm
riêng. Nó có dạng

n

u1
F(x , x ,..., x ;u ,u ,...,u u1
k
,. uN
,.  i ) 0
;
u
..,
..,
k
k
;
1
2
n
1
2
x
 x .. x
x
x
1

1

2

1

n

ở đây F là một hàm số của nhiều biến số.
Cấp của phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt
trong phương trình.
2
u
Ví dụ :
2x là phương trình đạo hàm riêng cấp 2.
x y
y
1.1.2. Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng cấp 1
Phương trình đạo hàm riêng cấp 1 có dạng
u
u
F (x , x ,..., x ,u,
, ,...,
)
u
0
1
2
n

x x x
1

2

(1.1)

n

Trong đó u u x1, x2 ,..., xn là hàm phải tìm của n biến số
độc lập
x1, x2 ,...xn . F là hàm đã cho của các đối số trong một miền nào đó trong
không gian (2n+1) chiều.
Nghiệm của phương trình (1.1) là hàm


u u x1, x2 ,..., xn xác định và liên
tục với các đạo hàm riêng

u

,

u
x1 
x2

,...,
u

trong một miền biến thiên nào đấy

x n

của các biến số x1, x2 ,...xn và biến phương trình (1.1) thành đồng nhất thức . Ở
đây ta giả thiết các giá trị của x1, x2 ,...xn mà tại đó hàm u xác định như các giá


trị tương ứng của hàm u và các đạo hàm của nó nằm trong miền xác định của
hàm F.
1.1.3. Phương trình đạo hàm riêng cấp 1 tuyến tính không thuần nhất
Phương trình có dạng
 u1
X (x , x ,..., x ,u)
(x , x ,..., x ,u)
 u1
X
1

1

n

2

2

x

1

2

...
X

n

1

(x , x ,..., x ,u)
n

2

x

n

f (x1 , x2 ,...,
xn ,u)

1

 u1
2

x
n

(1.2)

được gọi là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 (không thuần nhất ).
Nếu vế phải của phương trình (1.2) đồng nhất bằng không ( f 0 )
còn
các hàm số Xi (i=1, n ) không phụ thuộc hàm số phải tìm u, thì phương
trình (1.2) có dạng
X1 (x1 , x2 ,..., xn
,u)


X 2 (x1 , x2 ,...,
u
x ,u)
 n
x1


... X n (x1, x2
u
,..., xn ,u)

x2

u
0
xn 

(1.3)
Khi đó phương trình (1.3) được gọi là phương trình tuyến tính thuần

nhất
Ví dụ : Phương trình
u
là phương trình tuyến tính thuần nhất còn các phương trình
x
y
u
0
x
u

x
u

y
y

2u

u
x
yu
hoặc
u
0

đều là phương trình tuyến tính


x

y

x

y

không thuần nhất.

1.2. Phương trình tuyến tính thuần nhất
Xét phương trình (1.3)
X1 (x1 , x2 ,..., xn
,u)


X 2 (x1 , x2 ,...,
u
x ,u)
 n
x1


... X n (x1, x2
u
,..., xn ,u)

x2

u
0
xn




Giả sử rằng X1,X2,…,Xn xác định và liên tục cùng với các đạo hàm riêng
cấp 1 của chúng theo tất cả các biến ở trong 1 lân cận nào đó của điểm

x


0
1

Xn



0

, x2 ,..., x

0

0

0

và không đồng thời bằng không tại điểm này chẳng hạn

x1 , x2 ,..., x

n

0

0



(1.4)

Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 thuần nhất
là hàm u u x1, x2 ,..., xn thoả mãn điều kiện sau
a. u u x1, x2 ,..., xn  xác định trên D .

Khả vi liên tục trong lân cận điểm  x



u và liên tục trên D).
riêng

xi


Thay

0

1

0

, x ,..., x
2

0

(tồn tại các đạo hàm

n

u

u u x1, x2 ,..., xn  và các đạo
hàm riêng


xi

vào phương trình (1.3)

nó trở thành đồng nhất.
Rõ ràng phương trình (1.3) bao giờ cũng có nghiệm u=c (1.5) với c là
hằng số tuỳ ý. Ta gọi nghiệm (1.5) là nghiệm tầm thường của phương trình
cùng với phương trình (1.3). Ta xét hệ phương trình vi phân thương dạng đối
xứng sau đây
dxn
...
X1 (x1 , x2 ,..., xn ..  X1 (x1 , x2 ,..., xn


X1 (x1 , x2 ,..., xn )
)
)
dx1

dx2

(1.6)

Hệ phương trình (1.6) gọi là hệ đối xứng tương ứng với phương trình (1.3).
Định nghĩa : Hàm
số

(x , x ,..., x )


được gọi là tích phân
của hệ (1.6)
trong

một

miền

 X1  X 2
 ......



x1

x
2

Định lí

1

nào

đó

2

của

 X n 0 .



xn

các

biến

số

x1,x2,…,xn

nếu

(x , x ,..., là tích phân khả vi liên tục của hệ (1.6) thì

1) Nếu hàm
số

x)

1

2

n

hàm số u= (x , x ,...,
là nghiệm của phương trình (1.3)
x)
1

2

n

2) Nếu hàm u =(x , x ,..., x )
là nghiệm của phương trình (1.3) thì
 const
1

2

n

hàm số (x , x ,..., x ) là tích phân của hệ (1.6).
1

2

n

Chứng minh
1) Hiển nhiên (dựa vào định nghĩa tích phân của hệ (1.6)).
2) Lấy vi phân toàn phần của hàm
được
d







 dx dx

........
1





dựa vào hệ (1.6) ta

dxn



2


x1

 

x2
xn
 . X 2 ...... . X n .dx

 . X1
x
x X
n
x
X
X
 1
2
n
n
n 

n



X
.

1
x

1

.....
X

X
 .
2

x

.
n

2

 1
.
dx


x
n



X

n

n

(Ta giả thiết thêm rằng X (x0 , x0 ,......., x0 ) 0 )
n

Khi đó từ (1.5) ta có

1

2

n

là tích phân đầu của hệ (1.6).
d0
tức c


Từ định lí trên ta suy ra rằng việc tìm nghiệm của (1.3) tương đương với
việc tìm tích phân của hệ (1.6). Ta giả thiết rằng hệ (1.6) có (n-1) phương trình

vi phân cấp 1 sau đây
X
dx
 2 ;...........; n1
;

X
dx2
 n1
dxn Xn dxn
dxn
Xn

dx1

X1

(1.8)

Xn
Trong đó các vế phải của hệ (1.8) là các hàm số xác định và khả vi liên

tục trong lân cận của điểm  x , x ,..., x  . Ta lập một hàm khả vi liên tục của
0

0

1

0

2

n

các tích phân (1.7)
1

2
n1

u

(

,
 ,.
.....,


)


(1.9)


Khi đó hàm số xác định bởi (1.9) cũng là tích phân của (1.6) do đó cũng là
nghiệm của phương trình (1.3).
Ta gọi nghiệm (1.9) trong đó là hàm số bất kì (khả vi liên tục của
các

tích phân của nó ) là nghịêm tổng quát của phương trình (1.3).
Ví dụ: Cho phương trình
u
u
u
x
y
z
0
x y z
Hệ phương trình vi phân đối xứng tương ứng là
dx


dy
x y
dz

Ta có

z

dx

dy
y ln c1


ln
ln

xx y

c1 x y c1
dx dz y/x= 1

l  ln c2
n z
ln
z
xx z
c2 x z
là các hằng số )
 c2 
2
(c1 ,c2
x
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là u ( y / x, z / x) .

1.3. Phương trình tuyến tính không thuần nhất
Ta xét phương trình dạng (1.2)
X (x , x ,...,
x

,u)

u1

X

(x , x ,..., x
n

x

,u)
1

1

2

2

u1
n

1
2

...

x

1

u1

X
(x1 , x2 ,...,

f (x1 , x2 ,...,
n

xn ,u)
x ,u)
xn n

2

(1.10)


Trong đó các hàm số Xi ( i 1, n ) và f xác định liên tục cùng các
đạo
hàm riêng cấp 1 của chúng. Ngoài ra
X

0

n

0

0

0

(x , x ,......, x ,u )
0
1

2

(1.11)

n

Ta sẽ chứng tỏ rằng nghiệm của phương trình (1.10) có dạng ẩn
V (x1 , x2 ,...., xn ,u)
0

(1.12)

Trong đó V là hàm số nào đó khả vi liên tục theo các đối số và thoả mãn
V 0 0
(x , x ,......, x0
)
(1.13)
1
2
0
n
,u
0
u
Thật vậy ta lấy vi phân hệ thức (1.12) theo xk (k 
1,n)
của x1,x2,…,xn ta được
u
xk 

V

xk

:

V



X
2

(1.14)

,k

 1, n
u

Đặt (1.14) vào (1.10) ta được
V
V
X1
x1

trong đó u là hàm

........


X n
x2

V

V

f 
0
xn
u

(1.15)

Phương trình (1.15) là phương trình tuyến tính thuần nhất với hàm số
phải tìm V.
Hệ phương trình đối xứng tương ứng của (1.15) sẽ là
dx1

dx2 .......

dx
du
 n
X2
Xn
f



X1

Hệ (1.16) có n tích phân độc lập.

(1.16)


(x , x ,......, x ,u),(x , x ,......, x ,u),......., (x ,
1

1

2

x ,......, x ,u)

n

2

1

2

n

n

1

2

(1.17)

Khi đó hàm số V
(1.18) là nghiệm tổng quát của
1
2
 (, ,
phương trình (1.15).
....., )
Nếu đặt (1.18) vào (1.12) ta được nghiệm của phương trình (1.10) dạng
V (1,2 ,.....,n ) =0 (1.19) . Đó là điều phải chứng minh.
Chú ý:


1) Nghiệm (1.19) là nghiệm tổng quát của phương trình (1.10).
2) Nếu từ phương trình (1.19) ta tìm được
u (x , x (1.20) trong đó
,...., x )
1

2

n

là hàm số tuỳ ý, khả vi liên tục thì (1.20) là nghiệm tổng quát ở
dạng tường minh của phương trình (1.10).
Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau
z

z
(*)
a) y
x
x y
x y
z
2
b) xy
x
z
yz
x
y
Lời giải:
a) y

z

x

(**)

z

(*)

x y
x

y

Hệ phương trình đối xứng tương ứng là
dx

dy
dz


y
x y x

Ta có
dx

dy
1 2
 xdx ydy  x
1 2
1
 y  c
y
x
2
2
2 1
c1 x 2 y 2 
1 

Tương tự

dx



dz

 c  x  y  z 


y

y x

2

2

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình(*) là u 
1
 (, )
2

2

F(x -y ,x-y+z)=0.
z
x 2
b) xy
z

yz
x

y

(**)

2

hay


Hệ phương trình đối xứng tương ứng là
dx
dy
dz
2


xy x yz
Ta có
dx
dx
xdx ydy

xy 
2
x
1 2
2

2


y
x y  
1 2
1
 x  
c
c
2

Tưong tự
dx

2

dz


ln
x xy yz

1

1

2
l
n y



1

ln c2

c2 x z c2 z  
x

2

z
2
2
Vậy nghiệm tổng quát của (**) là : F( x y , )=0.
x

1.4. Bài toán biên
Bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng là bài toán tìm các
nghiệm của nó trong miền nào đấy thoả mãn các điều kiện trên biên của miền
gọi là điều kiện biên.
Định lí liên quan tới sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán biên gọi là
định lí tồn tại và duy nhất nghiệm.
Ví dụ :


u

4

u

0

x

y

với u(0,y)=8e

-3y

1.5. Nguyên lí cộng nghiệm và phương pháp tách biến


Có nhiều phương pháp giải bài toán biên của phương trình đạo hàm
riêng tuyến tính.
Phương pháp tách biến (phương pháp Phuarie) là một trong những
phương pháp quan trọng nhất.
Đầu tiên ta tìm nghiệm tổng quát sau đó cho thoả mãn điều kiện biên.
Các định lí sau đây là cơ sở quan trọng cho phương pháp.
1.5.1. Nguyên lí cộng nghiệm
Định lí: Giả
,
sử
,....,
1

2

là nghiệm của phương trình (1.4) thì
n1

C11 C22 C33 cũng là nghiệm của phương trình (1.4).
 ...... Cn1n1
Nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không
thuần nhất bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần
nhất với một nghiệm riêng nào đó của phương trình tuyến tính không thuần
nhất.
1.5.2. Phương pháp tách biến
Giả thiết rằng nghiệm có thể biểu diễn dưới dạng tích của các hàm chưa
biết mà mỗi hàm chỉ phụ thuộc vào một biến ,vì vậy mỗi vế phải bằng hằng
số.
Ta lần lượt giải cho từng hàm chưa xác định.
Hợp các nghiệm này cho ta nghiệm cần tìm.
Ví dụ: Giải phương trình
u
u

4
0

x

y

(1) với u(0,y)=8e

-3y

Lời giải
:
Giả sử nghiệm của bài toán là u(x, y) X (x).Y ( y)


Ta có


u
u

X (x).Y ( y)
x
'

X (x).Y ( y)
y
'

X'

Y'

hay
4X Y

Thay vào phương trình (1) ta được : X Y 
4XY '
'

Vì X chỉ phụ thuộc vào x , Y chỉ phụ thuộc vào y, nên mỗi vế phải bằng
hằng số, chẳng hạn kí hiệu C. Do vậy
X 4XC 0 , Y
CY  0
'

'

Ta có hệ phương trình
X
 
4C
'

X


Y '

ln
X

 
dX
 4Cdx
X

dY


4Cx ln C


1

Cy ln C2

ln Y

 Cdy
Y

Y
C
X (x) C .e
1


Cy
Y
(
y)
C
.e
2


4Cx

Nghiệm của phương trình đã cho là: u(x, y) 1C
.C .e
2
xy )
.
Từ điều kiện biên: u(0, y) ke
3 y
=8e
Vậy nghiệm cần tìm u(x,y)=8e

cy

C ( 4 xy )

k.e

C(4

điều này xảy ra khi k=8 và C=-3 .

-3(4x+y)

.

1.6. Bài toán Cauchy
1.6.1. Bài toán Cauchy với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần
nhất


Hãy tìm nghiệm u u(x1 , x2

,....., xn )

(1.21) của phương trình (1.1) sao

cho khi cố định một biến số (chẳng hạn xn ) thì nó trở thành hàm số khả vi liên
tục của các biến còn lại, tức là u (x , x khi x  0
n
1
2
n1
,......, x
xn
)
Điều kiện (1.22) gọi là điều kiện đầu của nghiệm (1.21).

(1.22).


Để tìm nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình (1.3) ta tiến
hành như sau
Giả sử ,
,....,
1

2

ta kí hiệu 1
2 ,
,.....,

n1

là n-1 tích phân độc lập của hệ (1.6) và đặt x x
0
,
n

như sau

n

1

(x , x
, 0 ) 
,....., x
x
1
1
2
n1
n
1

...................................
..
 (x , x ,x0 ) 
,....., x
n1
n

n1
 n1 1 2
Giải được từ hệ (1.23) đối với các
x , x ,.....,
x
1

 x , x ,......,
x 
0

0

1

n

0

2

(1.23)

trong lân cận
n

1

2
n

x (,,...,
1
1
1
2
)
n1

................................

1 2
n1
xn1n1
Hàm số có dạng

(1.24)

(1.25)

u  1 (1,2

,.....,n1 ),......., n1(1, 2 ,....., n1)


Trong đó

(x ,
x i ,....,i x 1)
n

2

( i 1, n ) sẽ là nghiệm của bài
toán

Cauchy của phương trình (1.3)-(1.22)
Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình


y

z

z
2
x
0 thoả mãn điều kiện z=y khi x=0.
x y

Lời giải
:
Giả sử (0,y0) , y0 0. Xét phương trình đối xứng tương ứng
dy
dx
1 2
1 2
 ydy
 y  x
1

1
 xdx  C
 C
x y
2 1
2
2
2 1
C1 x 2 y 2 