Khai thác bài tập toán, phần phương pháp tọa độ trong không gian

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM Hà NộI
2 KHOA TOáN
********

LÊ THỊ LIỄU

KHAI THÁC BÀI TẬP TOÁN
PHẦN PHƢƠNG PHÁP TỌA
ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành : Phƣơng pháp dạy học môn Toán

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. Nguyễn Văn Hà

Hà NộI - 2010


Khoá luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN

Bản khóa luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên em làm quen với việc
nghiên cứu khoa học.
Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp em đã
nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phƣơng pháp và các
bạn sinh viên trong khoa.
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Văn Hà, thầy
đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ, hướng dẫn em hoàn thành khóa luận.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên
Lê Thị Liễu

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
1


Khoá luận tốt nghiệp

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
2


LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan toàn bộ kết quả trong khóa luận này là do em nghiên
cứu dưới sự hướng dẫn của các thầy cô trong tổ phƣơng pháp, đặc biệt là
thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà.
Và kết quả trong khóa luận này của em không trùng lập với bất kì kết quả nào
khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên
Lê Thị Liễu

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học là một môn học khó, nó có tính hệ thống, chặt chẽ, logic, trừu
tượng hoá cao. Đặc biệt là phần hình học không gian (HHKG). Để giải một
bài toán HHKG đòi hỏi học sinh phải có kiến thức thật chắc và vững.
Với một bài toán nói chung và bài toán HHKG nói riêng thì có nhiều
cách giải khác nhau, có thể là phương pháp tổng hợp (PPTH), phương pháp
vectơ, hay phương pháp tọa độ (PPTĐ)... Trong đó có một phần lớn các bài
toán HHKG có thể giải bằng PPTĐ.
PPTĐ cho ta cách giải nhanh chóng, chính xác và tránh được các yếu tố
trực quan, các suy diễn phức tạp của PPTH, và là phương tiện hiệu quả để giải
các bài toán hình học.
Vì vậy, trong rất nhiều năm gần đây PPTĐ được xem là nội dung trọng
tâm của chương trình toán trung học phổ thông.
Xuất phát từ sự say mê của bản thân, ham muốn học hỏi, tìm tòi,
nghiên cứu sâu hơn về HHKG, với mong muốn có được kiến thức vững hơn
về HHKG để chuẩn bị cho việc giảng dạy sau khi ra trường, cùng với sự động
viên khích lệ của thầy giáo Nguyễn Văn Hà mà em đã chọn đề tài : “Khai
thác bài tập toán phần PPTĐ trong không gian”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu chủ yếu của đề tài là:
- Cho học sinh thấy được sự tương quan giữa HHKG và HHGT trong
không gian.
- Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để giải bài toán HHKG.
- Nghiên cứu sâu hơn về HHKG làm tài liệu tham khảo cho học sinh và
giáo viên.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu với nhiệm vụ:
- Nghiên cứu lý luận chung.
+ Bài toán và bài tập toán học.
+ Phương pháp tọa độ trong không gian.
- Hệ thống hoá phương pháp giải các dạng bài tập dưới dạng cơ bản và
nâng cao nhằm phục vụ cho việc giảng dạy: “PPTĐ ở lớp 12 THPT theo phân
phối chương trình”.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận : Dựa vào những tài liệu sẵn có,
những thành tựu của nhân loại trên những lĩnh vực khác nhau để vận dụng
vào phương pháp dạy học môn Toán.
- Phương pháp quan sát điều tra: Là phương pháp tri giác một hiện
tượng nào đó để thu lượm những số liệu, tài liệu cụ thể đặc trưng cho quá
trình diễn biến của hiện tượng.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Thực chất là đánh giá và khái
quát kinh nghiệm, từ đó phát hiện ra những vấn đề cần nghiên cứu, hoặc
khám phá những mối liên hệ có tính quy luật của hiện tượng giáo dục.
- Phương pháp thực nghiệm giáo dục: Cho phép ta tạo nên những tác
động giáo dục, từ đó xác định và đánh giá kết quả của những tác động đó.
5. Cấu trúc khoá luận
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung, bao gồm 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận.
Chương 2: ứng dụng dạy học.



PHẦN 2: NỘI DUNG

CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
A. BÀI TOÁN VÀ BÀI TẬP TOÁN HỌC

1. Khái niệm
Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách
có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông
thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay.
Bài tập là bài toán trong đó có những yêu cầu đặt ra cho người học
nhằm đạt được mục đích dạy học nào đó.
2. Vai trò, ý nghĩa của bài tập toán học
a. Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh
Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm
toán học và các kết luận toán học. Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân
tích dữ kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các
kiến thức đã biết khác có liên quan đến bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến
thức mới nữa…Cuối cùng, chúng ta đi đến được lời giải của bài toán.
Như vậy khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có
trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng
được củng cố qua lại nhiều hơn.
b. Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh
Đặc điểm nổi bật của môn toán là một môn khoa học suy diễn, được
xây dựng bằng phương pháp tiên đề.
Do vậy nên lời giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác
có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rất rõ rệt.



Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta
năng lực sử dụng các phép suy luận hợp logic: Suy luận có căn cứ đúng, suy
luận tuân theo quy tắc suy diễn…

Chúng ta biết rằng không thể có một phương pháp chung nào để giải
được mọi bài toán.
Mỗi bài toán có một hình, một vẻ khác nhau, muốn tìm được lời giải
của bài toán chúng ta phải biết phân tích, phải biết cách dự đoán kết quả, kiểm
tra kết quả, biết cách liên hệ tới các vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách
suy luận tổng hợp khái quát hoá…
Như vậy qua việc giải bài toán năng lực tư duy sáng tạo được rèn luyện và
phát triển.
c. Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh
Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứ
của bộ môn khoa học nào là hiểu, nhớ và vận dụng các kiến thức của bộ môn
khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết được
các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.
Trong việc giảng dạy toán thì bài toán lại tham gia vào trong mọi tình
huống của quá trình dạy học môn toán.
Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán được sử dụng để tổ chức
gây tình huống để dẫn dắt cho học sinh có thể đi đến định nghĩa khái niệm.
Bài toán được sử dụng đã nêu ra làm các ví dụ và phản ví dụ minh họa cho
khái niệm. Bài toán được sử dụng để luyện tập, củng cố vận dụng khái niệm.
Trong giảng dạy định lý toán học: Bài toán có thể được sử dụng để tổ
chức gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lý toán học.
Bài toán có thể được sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lý, đặc biệt là



việc tổ chức hướng dẫn học sinh chứng minh định lý chính là việc tổ chức
hướng dẫn học sinh tập tìm ra lời giải của một chương nào đó của môn học.
Trong luyện tập toán học : Bài toán là phương tiện chủ yếu trong các
tiết luyện tập toán học. Trong đó người giáo viên phải xây dựng được một hệ
thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng

cố các kiến thức và hình thành một số kĩ năng cơ bản nào đó.
d. Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh
Đặc biệt cơ bản trong tính cách của con người là: Mọi hoạt động đều có
mục đích rất rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có định hướng mục đích
rất rõ rệt, vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện
năng lực hoạt động của con người.
Để giải một bài toán nhất là đối với các bài toán khó ta phải vượt qua
rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại và nhiều khi ta phải có quyết tâm rất
lớn để giải bài toán đó.
Nói theo cách của G.POLYA thì : “Khát vọng và quyết tâm giải được
bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài toán”.
Do vậy ta thấy rằng : Hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của
quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con người.
3. Phân loại bài toán
a. Phân loại theo hình thức bài toán:
- Bài toán chứng minh: Là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa ra
một cách rõ ràng trong đề bài toán.
- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa sẵn sàng
trong đề bài toán.
b. Phân loại theo phương pháp giải toán:



- Bài toán có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theo
một angôrit nào đó hoặc mang tính chất angôrit nào đó.
- Bài toán không có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của
nó không theo một angôrit nào đó hoặc không mang tính chất angôrit nào đó.
c. Phân loại theo nội dung bài toán:
Bài toán số học
Bài toán đại số

Bài toán hình học
d. Phân loại theo ý nghĩa giải toán:
- Bài toán củng cố kỹ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay
sau khi học hoặc một vài kiến thức hay kỹ năng nào đó.
- Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các
kiến thức cũng như kỹ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư duy
phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
4. Phƣơng pháp giải một bài toán
Phương pháp tìm lời giải của bài toán: Dựa theo 4 bước của G.POLYA.
a. Bước 1: Tìm hiểu đề
Trước khi giải một bài toán ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìm
hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau :
- Những cái đã biết ? Cái gì chưa biết của bài toán ?
- Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay
đổi biến thiên của bài toán.
- Xác định các ẩn và giá trị hằng của bài toán.
- Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết hay không ?
b. Bước 2 : Xây dựng chương trình giải



Chúng ta có thể tiến hành xây dựng chương trình giải theo phương
pháp sau:
- Phương pháp đi xuôi:
Xuất phát từ các giả thiết của bài toán được lấy làm tiền đề. Bằng suy
luận hợp logic chúng ta tìm ra các hệ quả logic của các tiền đề đó. Tiếp tục
chọn lọc trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận của bài toán làm
tiền đề mới. Lại bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra hệ quả logic mới gần
gũi hơn với kết luận… Cứ tiếp tục quá trình ấy chúng ta tìm ra các hệ quả
logic trùng với kết luận của bài toán. Khi ấy ta tìm được lời giải của bài toán.

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:
A B
 X

C D
X là kết luận )

(trong đó A,C là giả thiết, còn

- Phương pháp đi ngược:
Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán. Bằng suy luận hợp
logic chúng ta đi ngược lên để tìm các tiền đề logic của kết luận này.
Tiếp tục chọn lọc trong đó để lấy ra các tiền đề gần gũi với giả thiết của
bài toán làm kết luận mới. Lại bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra tiền đề
logic mới của các kết luận mới này… Cứ tiếp tục quá trình ấy chúng ta tìm ra
các tiền đề logic trùng với giả thiết của bài toán. Khi ấy ta tìm được lời giải
của bài toán.
Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:
C A
X
(trong đó A,B là giả thiết, còn X là kết luận)

D
B

c. Bước 3 : Thực hiện chương trình giải



Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, ta

dùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh
đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán.
d. Bước 4 : Nhận xét lời giải và khai thác bài toán
Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm
được của bài toán.
Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán.
Nghiên cứu các bài toán có liên quan.
Ví dụ 1: Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau:
2

Chứng minh rằng nếu ΔABC thỏa mãn điều kiện sinA.sinC = cos
B
thì ΔABC là tam giác cân.

2

HD :
Để chứng minh một tam giác là tam giác cân có nhiều cách : Hoặc
chứng minh 2 cạnh nào đó bằng nhau, hoặc chứng minh 2 góc nào đó bằng
nhau.
ở đây ta thấy giả thiết của bài toán cho biết đẳng thức liên hệ về góc, ta
sẽ chứng minh tam giác đó có hai góc nào đó bằng nhau.
Hơn nữa ta thấy trong đẳng thức đã cho thì vai trò của góc A và C là
như nhau. Do đó ta sẽ chứng minh trong ΔABC có góc A = C.
Biến đổi đẳng thức đã cho bằng cách làm mất sự có mặt của góc B
bằng cách thay B = 180o - (A+C).
Sau đó sử dụng công thức biến đổi lượng giác, ta có đẳng thức sau :
B
2
sinA.sinC = cos

2
A+C
2
Û sinA.sinC = sin
2



Û

2sinA.sinC

=

1

-

cos(A+C) Û cosA.cosC +
sinA.sinC = 1 Û

cos(A -

C) = 1
Þ

A=C

Vậy : ΔABC cân tại B.
Ví dụ 2 : Phân tích tìm lời giải của bài toán sau :

Tính tổng S = 1 + 2a + 3a2 + 4a3 +...+ (n + 1)an .
HD :
Ta liên hệ với bài toán tính tổng tương tự đơn giản hơn :
Tính tổng

Ta có :

P=1+a+
2
a
2

3

n

+ a +...+ a .
3

4

aP = a + a + a + a ...+ a

n+1

P - aP = 1 - a

n+1

n+1

P = 1 - a
1-a

(Với a¹ 1)
Vận dụng cách tính tổng P ở trên ta tính tổng S như sau :
Ta có : aS = a + 2a2 + 3a3 + 4a4 +...+ (n + 1)a n+1
S - aS = 1 + a + a +...+ a - a
2

2

3

Ta thấy : 1 + a + a + a +...+ a

n

n

n+1

n+1

1 - a . Thay vào ta có :
=P= 1-a
n+1
n+1
1 - a - (1 - a)(n + 1)a

n+1

n+1
S - aS =1 - a - (n + 1)a S =
2
1-a
(1 - a)

Nhận xét cách giải:


Để tính tổng S (hoặc P) là các tổng hữu hạn gồm n số hạng, ta nhân tổng đó
với a, rồi xét hiệu : aS - S hoặc S - aS.
Từ đây ta tính được S.


B. PHƢƠNG PHáP TọA Độ TRONG KHÔNG GIAN (Hình học12)
1. Nội dung chính
+ Phương trình tổng quát của mp :
Ax + By + Cz +D = 0

VTPT của mp là : n = (A; B; C) .

(1)

(với A2 +B2 +C2 0 )

+ Phương trình đường thẳng:
Đi qua


M0 = (x0 ; y0 ; z0 ) với VTCP u = (a; b; c) là:

- Phương trình tham số là: