Những bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Vương Thông

LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của sự cố gắng của bản thân em
sau một thời gian học tập,nghiên cứu với sự giúp đỡ của thầy cô.
Qua đây,em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến các thầy cô
giáo,đặc biệt là thầy Vƣơng Thông - người đã tận tình hướng dẫn em trong
quá trình hoàn thành khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2010
Sinh viên thực hiện
Phạm Thị Thu Thủy

Phạm Thị Thu Thủy

1

K32C Toán


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học
tập, nghiên cứu của em. Khóa luận hoàn thành trên cơ sở những kiến thức mà
em đã được học, một số tài liệu tham khảo và sự chỉ bảo của các thầy cô giáo,
đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Vƣơng Thông.
Với đề tài: "Những bài toán về đa thức ", khóa luận này không có sự
trùng lặp với các khóa luận khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2010
Sinh viên thực hiện
Phạm Thị Thu Thủy


MỤC LỤC
Lời nói đầu.....................................................................................................1
Chương 1: Những kiến thức cơ bản về đa thức có liên quan.........................2
1.1.Vành đa thức một ẩn................................................................................2
1.2. Vành đa thức nhiều ẩn........................................................................10
Chương 2: Một số bài toán về đa thức một ẩn...............................................14
2.1 Bài toán 1: Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức.
Tìm dư mà không thực hiện phép chia..................................14
2.2 Bài toán 2: Tìm giá trị của m để

f  x,m g  x,m  ...............................20

2.3 Bài toán 3: Đa thức bất khả quy..............................................................23
2.4 Bài toán 4: Bài toán nghiệm của đa thức. Công thức Viet.......................27
2.5 Bài toán 5: Ứng dụng của định lí Viet vào giải hệ phương trình.............32
2.6 Bài toán 6: Phương trình hàm đa thức.....................................................35
2.7 Bài toán 7: Tìm ước chung lớn nhất của đa thức.....................................37
Chương 3: Một số bài toán về đa thức nhiều ẩn............................................41
3.1 Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử............................................41
3.2 Bài toán 2: Chứng minh hằng đẳng thức.................................................43
3.3 Bài toán 3: Chứng minh bất đẳng thức....................................................45
3.4 Bài toán 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng...................48
3.5 Bài toán 5: Giải hệ phương trình dựa vào đa thức đối xứng....................51
3.6 Bài toán 6: Giải phương trình căn thức dựa vào đa thức đối xứng..........53
3.7 Bài toán 7: Lập phương trình bậc hai dựa vào đa thức đối xứng.............54

3.8 Bài toán 8: Trục căn thức ở mẫu..............................................................55
Kết Luận …………………………………………………………………. 59
Tài liệu tham khảo……………………………………………………….. 60


LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đại số là một bộ phận lớn trong toán học, trong đó đa thức là khái niệm
cơ bản và quan trọng. Lý thuyết đa thức được sử dụng nhiều trong toán cao
cấp, toán ứng dụng, toán sơ cấp. Trong chương trình phổ thông, đại số hầu hết
nghiên cứu về đa thức bậc nhất, đa thức bậc hai và một số đa thức dạng đặc
biệt bậc cao.
Tuy vậy vấn đề đa thức trình bày rải rác, chưa được phân loại và hệ
thống một cách chi tiết, chưa đưa ra phương pháp giải tường minh. Tài liệu
viết về đa thức chưa nhiều nên việc nghiên cứu về đa thức còn khó khăn.
Với những lí do trên tôi đã chọn đề tài “Những bài toán về đa thức”
nhằm phân loại, hệ thống một số bài toán về đa thức và ứng dụng của nó để
giải một số bài toán có liên quan.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu các bài toán về đa thức một ẩn, đa thức nhiều ẩn và một số bài
toán liên quan.
3. Đối tƣợng nghiên cứu.
Các dạng toán cơ bản về đa thức
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa.


CHƢƠNG 1: NHỮNG KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC CÓ LIÊN QUAN
1.1

Vành đa thức một ẩn

1.1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn
Cho A là vành giao hoán có đơn vị kí hiệu 1
Kí hiệu P = { a0 , a1,..., an ,..., ai A, i  , ai 0 hầu hết }
’

Trên P ta xác định 2 quy tắc cộng và nhân như sau:

 a0 ,a1,...an ,...b0 ,b1,...,bn ,... a0 b0 ,a1 b1,...,an
bn ,...
(1)

(2)

 a0 ,a1,...an ,....b0 ,b1,...,bn ,... c0 ,c1,...,cn ,...

Trong đó
c0 a0b0
c1 a0b1 a1b0
.............



ck a0bk a1bk 1 ...
ak 1b1 akb0 

k 0,1, 2,...

ab ;

i j
ijk

Khi đó (P,+, .) lập thành một vành giao hoán có đơn vị gọi là vành đa thức.
Thật vậy, ta có 2 quy tắc (1) và (2) cho ta 2 phép toán trong P.
*

(P, +) là một nhóm giao hoán vì
 Phép cộng có tính chất giao hoán và kết hợp
 Phần tử không là 0,0,...,0,...
 Phần tử đối của a0 ,a1,..., an ,...là a0 , a1,..., an
,...

*

(P, .) là một vị nhóm giao hoán vì:
 Do A giao hoán nên

  nên phép nhân giao hoán
a i bj 

b j ai


ijk

ijk

 Phép nhân trong A có tính chất kết hợp và phân phối đối với

phép cộng nên phép nhân trong P cũng có tính chất kết hợp, phân
phối đối với phép cộng.


 Phần tử đơn vị là 1,0,...,0,...
Do đó P là một vành giao hoán có đơn vị 1.
Xét ánh xạ

f : A P
a  a,0,...,0,...

Nhận thấy f là đơn cấu vành nên ta đồng nhất mỗi phần tử a
A
f

 a  P

với

a f  a a,0,...,0,...

tức
Suy ra A là vành con của P.
Xét dãy

x  0,1,0,...,0,...

Theo quy tắc nhân: x2  0,0,1,0,...,0,...



x3  0,0,0,1,0,...,0,...
……………………


n
x 
0,...,0,1,0,...

 
 n

Quy ước x0 1,0,...,0,...
Các phần tử của P là các dãy a0 ,a1,..., an ,... trong
đó

ai  hầu hết nên ta có
0

thể giả sử n là số lớn nhất để an 0 .Khi đó mỗi phần tử trong P có
thể


viết.  a0 ,..., an ,0,.... a0 ,0,... 0, a10,...,0,
,0,......  

an ,0,... 

 n



a0 ,0,...,  .1,0,... a1 ,0,.... 0,1,0,...
0,...,0
an ,
,
0,....   1,0,... 







a0 a1x
... an x

n



n

Dạng này được gọi là dạng chính tắc của đa thức. Khi đó P thay bằng A[x]
và gọi là vành đa thức của ẩn x.


A là vành cơ sở, các phần tử của nó được gọi là các đa thức của ẩn x, thường
kí hiệu là f(x), g(x), h(x), …
Định nghĩa 1.1:



ai i 0, n

Trong đa thức f x a x 0a x ... a xn
A[x]
0

các hệ tử của

1

n

đa thức
i



là các hạng tử của đa thức

ai x i
0, n



a0 được gọi là hạng tử tự do ; an  được gọi là hệ tử cao nhất.
0
1.1.2 Bậc của đa thức
Định nghĩa 1.2:

Cho đa thức

f

 x  A[x]

Nếu

f x0 thì
ta nói

Nếu

f x 0 thì ta gọi chỉ số lớn nhất n
sao cho

f x là đa thức không có bậc hoặc là .

bậc của đa thức. Kí hiệu : deg
Định lí 1.1: Cho hai đa thức
1) Nếu

f  x g

 x  0 thì
2) Nếu

an  của đa thức f
0

x là

f  x n
f x  , g  x  A[x]*. Khi đó:
degf x g x  maxdeg f

 x  ,deg g  x 

f x.g  x  thì degf x.g  x  deg f  x deg g
0
x

Định lí 1.2: Nếu A là một miền nguyên, f x và g xlà 2 đa thức
khác
không của vành A[x] thì


f  x .g  x 0 và degf  x .g  x  deg f  x deg  g  x  
Hệ quả: Nếu A là miền nguyên thì A[x] là miền nguyên.
1.1.3 Phép chia đa thức
a, Định lí phép chia với dƣ.
Định lí 1.3: Giả sử A là một trường. Khi đó:

x  , g x  A[x],g x 0 thì !
q  x  , r x  A[x] sao cho f x q
x g x r x 
f


Trong đó r x

 
0
Ta gọi

hoặc r x0 thì deg r  x deg g  x 

qx là thương
và

r x là dư.

b, Phép chia hết.
Định nghĩa 1.3.

Ta nói

f

x , g  x  A[x], g  x 0

Cho 2 đa thức

f x  chia hết
cho

g xnếu tồn tại đa thức

q x  A[x] sao cho f  x g

 x .q  x . Ta

f x g x 

kí hiệu:

1.1.4. Nghiệm của đa thức
a, Định nghĩa 1.4: Cho đa
thức

f x a0 a1x
... anx

n

A[x]

Lấy phần tử c bất kì thuộc A, phần tử f c a a c
 
0
1
... anc
là giá trị của đa thức
Nếu

f x tại x c .

f  c 0 thì c được gọi là nghiệm của
đa thức

Giả sử A là một trường,

c, Lƣợc đồ Horner.


x
f

trong A

c A, f xA[x]. Dư của phép chia

b, Định lí Bézout

f x  cho x
c là

n

A được
gọi

f c


Thực hiện phép chia đa thức

f x a xn a xn
.... a
o

1

hệ tử của đa thức thương q x b xn1 b

xn 2 .... b
0

1

cho x
c

ta được

n

cho bởi công thức

1

n1

b0 a0 ;b i ai c.bi1,i 1, n;
r an c.bn1

c

a0

a1

…

an-1

an

b0

b1

…

bn-1

r

d, Nghiệm bội và tính chất của nghiệm bội.
Định nghĩa 1.5: Giả sử A là trường,

c A, f
1

 x  A[x],m

,m


c là nghiệm bội cấp m nếu và chỉ nếu f x  x
  

f

c m và

cho x cm1 .

x  không chia hết

- Với m = 1 : c gọi là nghiệm đơn
- Với m =2 : c gọi là nghiệm kép
- Với m 3 : c gọi là nghiệm bội bậc m
Định lí 1.4 ( Định lí cơ bản ).
Mọi đa thức


x
f

với hệ số phức, bậc n  n  có đúng n nghiệm
1

phức kể cả số bội của mỗi nghiệm.
e, Định lí Viéte
Cho đa thức

f x  A[x], f

x a xn a
x

a x a

n

n 1

n 1

...

n1

1

0

Tồn tại trường E A và chứa hết tất cả các nghiệm của nó.
f  x an  x 1  x 2 ... x n  .
Trong đó 1,2
là các nghiệm của f 
,...,n
x


 ...
 1
 
n
2



...


 1
n

2

1



............


... n
1

2

ta nhận được:

an1


an

...

...
 an1






2 3

n1

n
n

a


1n


a0

a

Công thức trên là công thức Viéte
Đặc biệt n =2 thì

f x ax2 
bx c

a 0

b




1
a
Công thức Viéte là:  2


  c


1

2

a


n = 3 thì f x ax3 bx2
a 0
 
 cx d

  b


3
 1 2
a

c






Công thức Viéte là:  1 2
1
3
 2 3 
da



 1 2 3
a

1.1.5. Đại số các đa thức.
Định nghĩa 1.6: Cấu trúc đại số là bộ X 

thỏa mãn điều kiện sau:

, ,., x 
1) X ,
,.

lập thành một vành

X ,,
xk 
2)

lập thành một K – môđun, K – vành giao hoán có đơn vị

A[x] là vành đa thức
a
A, f

n

ax


a. f

i

i

i
0

x 

x 

A[x]
thì

n

a ax

i
0

Ta có A – đại số các đa thức A[x].
*

Phép hợp thành đa thức.
n

Cho hai đa thức

f x  
ai x A[x]
i

0

g x 

i

n

b x A[x]

j

j

j
0

f .g x 

i

i


f [g x]=

n

n

a [g  x  ] A[x].

i

i

i=0

j

j

b [f  x  ]
gf

j
x  0

Bậc của đa thức hợp thành nhỏ hơn hoặc bằng tích các bậc của đa thức
*

Phép lấy đạo hàm.

Cho f x 


n

ax

i

i

i
1

A[x] ;

f

'

x 


n


ia
i

i
1

xi1

là đạo hàm của đa thức

f

x


1.1.6. Đa thức đồng dƣ.
Định nghĩa 1.7:

Cho

 là đa thức khác không. Ta nói những đa thức

 x
P  x và

là đồng dư theo môđun đa thức x nếu

Qx

[P  x Q  x  ]x trong A[x].
Kí hiệu

Px Qxmodx  

Định lí 1.5: Cho

là đa thức khác không. P  x và

 x

là hai đa thức.

Qx

P x 
Q  x   mod x  

khi và chỉ khi Px  ,Q  x  cho cùng một đa thức dư

khi chia cho x  .
1.1.7. Đa thức bất khả quy.
Kí hiệu K là một trong các tập
Định nghĩa 1.8: Cho một đa thức

 , , .

P

không là đa thức bậc không với hệ số

x

trong K gọi là bất khả quy trên K nếu nó không biểu diễn như một tích của hai
đa thức khác đa thức bậc không với hệ số trong K với các bậc nhỏ hơn bậc
của Px  .
Định lí 1.6: Cho

P
x

là một đa thức với hệ số trong tập K. P

bất khả

x

quy trên K khi và chỉ khi ước duy nhất của nó với các hệ số thuộc K có
dạng α và

Px ,0;K 


Định lí 1.7: Nếu Px là một đa thức bất khả quy trên

Q  x là đa thức bất

K,
kì với hệ số trong K thì hoặc
Định lí 1.8: Cho

P
x

Q  x   P x hoặc  P  x  ,Q  x  1.

là đa thức bất khả quy trên K, Q  x và

thức với hệ số thuộc K. Nếu

Rx

Px  Q 

x  R  x 
tử P x 
hoặc

Qx  chia hết
cho

là đa

Rx  .

thì ít nhất một trong các nhân


Định lí 1.9: Nếu một đa thức hệ số nguyên không phân tích được thành tích
hai đa thức hệ số nguyên thì nó cũng không phân tích được thành hai đa thức
hệ số hữu tỉ.
* Tiêu chuẩn EisenStein
Cho

P x a0 a1x
... an x

n

n 
1

là đa thức với hệ số nguyên, nếu tồn

tại số nguyên tố p thỏa mãn điều kiện:
i.
ii.

ai  p

iii.

i 0, n 1

an 
p
2

a0  p

Khi đó đa thức

Px bất khả quy trong Q[x]

P x  ,Q  x  K[x], K – miền nguyên
Định nghĩa 1.9.Cho hai đa thức và ít
1.1.8. Ƣớc chung lớn nhất.

nhất một trong hai đa thức khác không. Đa thức D 
x

lớn nhất của

Pxvà Qxnếu

 P  x  D  x  và Q x  D  x 
 Nếu P  x  D1  x và Q x  D1  x thì
Kí hiệu:

D  x  D1

 x Dx P  x  ,Q  x  
(Chọn

D  x

được gọi là ước chung


là đa
hệ
thức có tử

cao nhất là đơn vị)

* Tính chất
1. Nếu

Dx  P  x  ,Q  x  thì

với α là số bất kì,

D  x   P  x  ,Q  x  

0 .
2. Nếu

Px Q  x thì  P  x  ,Q  x  Q  x 

3.  P x  ,Q  x  P  x  ,Q  x  

 P  x  , Q  x  

; 0


4.  P x  ,Q  x   Q  x  , Rx  là số dư trong phép chia
Rx,
P x cho Q  x 
1.1.9 Đa thức trên các trƣờng số
a, Đa thức với hệ số hữu tỉ.
Nếu f

...
a0

x 
a xn


x
f

a

thì

n

0là một đa thức với hệ số hữu tỉ

n

có thể viết dưới dạng

 

1
n

f x b
bn x



...
b0



1

 

b g x

Trong đó b là mẫu số chung của các phân số ai ; bi  ,i 0, n
Vì f  x và g

x


x
f

chỉ khác nhau một nhân tử bậc không nên các nghiệm của

là nghiệm của g x. Việc tìm nghiệm của một đa thức với hệ số hữu tỉ

được đưa về tìm nghiệm của đa thức với hệ số nguyên.
Định lí 1.10: Nếu

p, q 1
và

p là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên:
q

f

...
x

 
a1x
an x
a0
n

thì p là ước của a0, q là ước của an.

b, Đa thức với các hệ số thực và phức.
Định lí 1.11: Mọi đa thức nghiệm thực


f

 x

với hệ số thực có bậc lẻ đều có ít nhất một

Định lí 1.12: Cho f


nếu số phức là nghiệm
của

x  
[x]

phức liên hợp cũng là
nghiệm của

f

1.2.

thì số


x

có n

x.

Định lí 1.13: Mọi đa thức f x   [x], deg f
nghiệm phức.


x
f

 x  n 1

Vành đa thức nhiều ẩn.

1.2.1. Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn
Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn bằng phương pháp quy nạp

thì f


Cho A là một vành giao hoán có đơn vị 1.
Ta xây dựng được vành
A1 A[x1 ] là vành đa
thức ẩn

x1 lấy hệ tử có đơn vị trên A

A2 A1[x2 ]=A[x1, x2 ] gọi là vành đa thức hai ẩn

........
An An[xn-1 ]=A[x1,..., xn ] là vành đa thức ẩn xn, lấy hệ tử trên An1

Vành

A n A[x1,..., được gọi là vành đa thức của n ẩn x1,...,
xn ]
xn

lấy hệ tử

trong vành A.
Mỗi phần tử của An được gọi là một đa thức n ẩn

Kí hiệu:

x1,...,
xn

lấy trong vành A.

f  x1,..., xn hay g x1,..., xn .



Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được mỗi đa thức
f  x1,..., xn  A x1,..., xn đều biểu diễn dưới dạng:

x1,...,
xn 

f

Với

c ....x
a
x
1 1

11

an1n

...
a
c x

ci A,i 1, m, aij
 , j 1, n

Các số
ci

amn

m 1

...x
n

m1

và  ai1,...,ain 

a

j1

nếu i j

,...,ajn 
a

được gọi là các hệ tử, c ...x in được gọi là các hạng tử của đa
xiai11
n

thức f  x1,..., xn



Đa thức f x ,..., x 0 c 0i 1,m
 1
n 
i


Hai đa thức

f  x1, x2 ,..., xn và g  x1,..., là bằng nhau khi và chỉ khi chúng

xn



có các hạng tử như nhau.
1.2.2: Bậc của đa thức nhiều ẩn
Định nghĩa 1.10: Cho

f



1 1
x1,..., xn c

Với

x

a11

ci 0,i
1, m,

f  x1,..., xn  A x1,...., xn là một đa thức khác
không,
a1

...x
n

n

.... m
a
c x

1

namn

...x

m1

ai1,..., ain aj1,...,ajn ,i

j


Ta gọi là bậc của f x ,..., x đối với
 1 n 
ẩn

xi có số mũ cao nhất mà xi có được

trong các hạng tử của đa thức.
Tổng

ai1 ... là bậc của hạng tử thứ i.

ain

Số lớn nhất trong những số là bậc của các hạng tử được gọi là bậc của
đa thức.
Nếu các hạng tử có cùng bậc m thì ta gọi đa thức là đẳng cấp bậc m hay
một dạng bậc m.
m =1 ta gọi là dạng tuyến tính
m = 2 ta gọi là dạng toàn phương
m =3 ta gọi là dạng lập phương
1.2.3. Đa thức đối xứng.
a, Định nghĩa 1.11: Giả sử A là vành giao hoán có đơn vị,

đa thức của vành

A x1,...., xn

;
hoán vị các số i ,i ,...,i
1 2
thức f  x1,..., xn

f x1,...,

f  x1,..., xn là
một

là đa thức đối xứng nếu với mọi

xn 

của các số 1,2,…,n đều thỏa mãn đẳng

n

f  xi1,..., xin





Định lí 1.14: Tập hợp các đa thức đối xứng lập thành vành con của vành
A x1,...., xn 
b, Đa thức đối xứng cơ bản.
Trong vành đa thức

A x1,...., xn có n đa thức sau:

1 x1 x2 ... xn
 x x ... x x x x ... x x ...

2
1 2
1 n
2 3
2 n
xn1xn