Tâm tỉ cự và các ứng dụng

Khoá luận tốt
nghiệp
LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Hình học và
trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã quan tâm và giúp đỡ em trong
thời gian em nghiên cứu và hoàn thành khóa luận của mình.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Đinh Văn Thủy, người đã
tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian vừa qua để em có thể hoàn thành
được khóa luận này.
Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà
em trình bày trong khoá luận kho tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong
nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo, các bạn
sinh viên đẻ khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên

Phan Thị Minh Huệ

Phan Thị Minh
Huệ

1

K32G- Toán


Lời cam đoan
Em xin cam đoan khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực tìm hiểu,
nghiên cứu của bản thân, cùng với giúp đỡ tận tình của thầy Đinh Văn Thủy
và sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2.

Bản khóa luận này không trùng với kết quả của các tác giả khác. Nếu
trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm!

Hà Nội , tháng 05 năm 2010
Sinh viên

Phan Thị Minh Huệ


mục lục

Nội dung

Trang

Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Mục lục

3

Mở đầu

5

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

6

1.1.
Không gian afin

.
6

1.1.1.Định nghĩa không gian afin

6

1.1.2.tính chất đơn giản

6

1.1.3.ẳng trong không gian afin

7

1.1.4.Hệ điểm độc lập

7

1.2.

Tâm

8

tỉ cự
1.2.1.Khái niệm tâm tỉ cự

8

1.2.2.Nhận xét

9

1.2.3.ột số định lí
Chương 2:ứng dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán
2.1
dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán chứng minh

10
13
1.ứng
13

2.1.1.tập mẫu

13

2.1.2.tập đề nghị

20

2.2
dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán tính toán

.ứng
23

2.2.1.tập mẫu

23

2.2.2.tập đề nghị

32

2.3
dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán quỹ tích

.ứng
35

2.3.1.tập mẫu

35

2.3.2.tập đề nghị

43

2.4
dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán dựng hình

.ứng
47

2.4.1.Bài tập mẫu

47

2.4.2.Bài tập đề nghị

57

Kết luận

60

Tài liệu tham khảo

61

`


Mở đầu
1.Lý do chọn đề tài:
Toán học là một môn học gây nhiều hứng thú đối với những học sinh
yêu toán. Học tốt môn toán giúp các em có khả năng tư duy logic và lập luận
vấn đề một cách chặt chẽ. Trong các môn của toán học, hình học luôn được
coi là môn học khó nhất đối với nhiều học sinh.
Trong chương trình hình học ở phổ thông học sinh được biết đến các

khái niệm: Trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, và trọng tâm
của tứ diện. Đó đều là các trường hợp riêng của khái niệm tâm tỉ cự được
trình bày ở bậc cao đẳng và đại học khi chúng ta làm quen với môn hình học
Afin .
Để góp phần làm rõ tính thống nhất giữa khái niệm tâm tỉ cự và các
khái niệm mà học sinh phổ thông được biết đến đã nêu trên, em đi sâu nghiên
cứu về lý thuyết tâm tỉ cự và ứng dụng của nó để giải các bài toán hình học.
Trong khuôn khổ một luận văn tốt nghiệp, do thời gian nghiên cứu có
hạn, em chỉ trình bày những kiến thức cơ bản về tâm tỉ cự và ứng dụng của nó
trong một số lớp bài toán: chứng minh, tính toán, quỹ tích, dựng hình.
Đó là những lý do mà em chọn đề tài:“ Tâm tỉ cự và các ứng dụng “.
2.Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu:
-Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của tâm tỉ cự và ứng dụng của nó
trong việc giải các bài toán hình học.
-Xây dựng hệ thống bài tập và bài tập tự luyện thể hiện việc sử dụng
tâm tỉ cự để giải các lớp bài toán: chứng minh, tính toán, quỹ tích, dựng hình.
3.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:
-Đối tượng nghiên cứu: tâm tỉ cự
-Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng tâm tỉ cự trong việc giải một số lớp bài
toán: chứng minh, tính toán, quỹ tích, dựng hình.


4.Phương pháp nghiên cứu:
Phân tích, tổng hợp tài liệu có liên quan.

chương 1:các kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian afin
1.1.1.Định nghĩa không gian afin
1.1.1.1. Định nghĩa
* Cho không gian vectơ V trên trường K, tập A ≠ mà các phần

tử của nó gọi là điểm và ánh xạ :
AA V



(M , N )   (M , N ) MN

Bộ ba (A, , V) gọi là không gian afin nếu 2 tiên đề sau đây được thoả
mãn:
 
i, Với mọi điểm M V, có duy nhất điểm N A sao cho: MN
u

  
ii, Với mọi điểm M, N, P A có: MN NP MP

* Không gian afin (A, , V) còn gọi là không gian afin A liên kết
với không gian vectơ V, còn gọi tắt là không gian afin A trên trường K
(hoặc K - không gian afin A).

Không gian vectơ liên kết V thường được ký hiệu là A .
* Không gian afin A gọi là n chiều (ký hiệu dim A = n) nếu dim V = n.
1.1.1.2. Ví dụ
2

3

Không gian Euclid 2 chiều E và 3 chiều E thông thường trình bày ở
trường trung học phổ thông là những không gian afin liên kết với không gian
vectơ (tự do) 2 chiều, 3 chiều ở PTTH.

1.1.2.

Các tính chất đơn giản


 
a. Với mọi điểm M
MM 0 .
A thì
M,N
  thì M N .
b. Với mọi điểm A mà MN
0


c.Với mọi cặp điểm M , N A thì MN NM .
 
 
d. Với mọi điểm M , N , P,Q A ta có: MN PQ
MP NQ .
  
e. Với 3 điểm O, M , N A ta có : MN ON OM .
1.1.3. Phẳng trong không gian afin


* Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ A . Gọi I là một


điểm của A và  là một không gian vectơ con của A . Khi đó tập hợp


A



IM
M



được gọi là cái phẳng (cũng gọi tắt là "phẳng") qua I




và có phương là
.

* Nếu có số chiều bằng m thì gọi là phẳng m chiều (hay
còn gọi là

m - phẳng).
Như vậy:
+ 0- phẳng chính là điểm.
+ n - phẳng của không gian afin n chiều A chính là A.
+ 1- phẳng còn gọi là đường thẳng.
+ Nếu dim A = n thì (n - 1 )- phẳng còn gọi là siêu phẳng.
1.1.4. Hệ điểm độc lập
1.1.4.1. Định nghĩa

Hệ m + 1 điểm A0, A1, ..., Am (m của không gian afin A gọi là độc
 1)



lập nếu m vectơ  
của
là hệ vectơ độc lập tuyến tính. Hệ
A0 A1, A0 A2 ,..., A0
Am
A
gồm một điểm A0 bất kỳ (tức trường hợp m = 0) luôn được xem là độc lập.

1.1.4.2. Định lý
1.1.4.2.1. Định lý
Qua m + 1 điểm độc lập của không gian afin A có một và chỉ một
m - phẳng (m 0) .


Chứng minh:
Giả sử A0, A1 ,... , Am là m + 1 điểm độc lập của không gian afin A liên


kết với không gian vectơ A .
 

Khi đó: Hệ m vectơ A0 A1 , A0 A2 ,..., A0 độc lập tuyến tính.

Am


nhận m vectơ đó là cơ sở. Bây
Ta gọi là không gian vectơ con của
A



giờ gọi là cái phẳng qua A0 có phương là
.
 
Rõ ràng, vì A0 Ai
nên Ai , i, m .




Vậy là cái phẳng qua m + 1 điểm đã cho.
Mặt khác: Do là cái phẳng qua A0 và có
phương 



nên là duy
nhất.

1.1.4.2.2. Hệ quả
m +1 điểm của không gian afin A là độc lập khi và chỉ khi chúng
không cùng nằm trên một (m - 1) - phẳng (m 1) .
1.2.

Tâm tỉ cự

1.2.1. Khái niệm tâm tỉ cự
1.2.1.1. Định lý
Cho k điểm P1,P2,...,Pk của không gian afin và k số thuộc trường K:

1 , 2 ,. sao cho
.., k

n



i  0

k





.
i1

Khi đó có duy nhất điểm G sao cho:

Chứng minh:




i

i1

GPi 0

Gọi O là điểm tuỳ ý của không gian afin A. Khi đó:
k
k
 
 

 i GPi 0  i (OPi OG) 0

i1

i1


k


 i OPi ( i )OG
i1
i1


1 k
k

OG 

k




(1)

i OPi
i 
i1
i1

Đẳng thức (1) chứng tỏ điểm G xác định và duy nhất.
1.2.1.2. Định nghĩa
Điểm G thỏa mãn định lý nêu trên được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm
{Pi} gắn với họ hệ số i.
Trong trường hợp các  bằng nhau, điểm G gọi là trọng tâm của
i
hệ
điểm {Pi}.
Khi k=2 thì trọng tâm G của hệ 2 điểm P1 , P2 còn được gọi là trung
điểm của đoạn [P1P2] .
1.2.2. Nhận xét
k

Nếu thay các hệ số i ,i 1, k,



G không thay đổi.

0

i
i1

bởi

mi , m K \ 0thì

tâm tỉ cự

Thật vậy:
k

Giả sử G là tâm tỉ cự của hệ điểm {Pi} gắn với họ hệ số i , i, k ,



i

0


k

i1



Khi đó ta có :  i GPi 0
i1

k

nên

Do


0
i1

k

 m

i

i1

i

0 , m K \

0  .

Do đó:


Gọi G' là tâm tỉ cự của hệ điểm {Pi} gắn với họ hệ số mi ,i 1, k,
k

Khi đó ta có:





 (m

i

G ' Pi 0

)

mK \ 0 .
k
 
 m i G ' Pi 0
i1

i1

 

G ' Pi 0
k





i
i1

(do mK \
0)

Suy ra: G' là tâm tỉ cự của hệ điểm {Pi} gắn với họ hệ số i ,i 1, k
Do tâm tỉ cự của hệ điểm gắn với họ hệ số đã cho là duy nhất nên ta có:G

G.
Từ điều chứng minh được ở trên ta có nhận xét:
Trong trường hợp G là trọng tâm của hệ điểm có thể lấy i 1,i
1, k
 1 k 
và khi đó trọng tâm G của hệ điểm {Pi} được xác định bởi : OG 
OP
i
k i1
1.2.3. Một số định lý
1.2.3.1 Định lý 1
1.2.3.1.1. Định lý
Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của họ điểm P0, P1, ..., Pk (với các họ hệ
số khác nhau) là cái phẳng bé nhất chứa các điểm ấy.

Chứng minh :
Gọi là cái phẳng bé nhất chứa
các điểm


Khi đó: Các vectơ

Pi ,i 0, k


P0 P1,P0 P2 ,..., P0 Pk

'


thuộc phương 

của phẳng .

Ta lấy hệ vectơ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ vectơ trên, giả sử đó là:


P0 P1 ,P0 P2 ,..., P0 Pk (s k) .
Vậy dim= s . Khi đó:
 
Điểm G
P0G  


 s 
P0G  i P0 Pi
i1

s

 
P0G  i (GPi GP0 )
i1

s


(1 i
)GP0  i GPi
0
s

i1

(2)

i1

Đẳng thức (2) chứng tỏ G là tâm tỉ cự của họ điểm P0,...,Pk gắn với họ các hệ
s

số:

1 i , 1 , 2 ,...,s ,0,...,0

i1

Ngược lại, nếu G là tâm tỉ cự của họ điểm P0, P1, ... Pk gắn với họ hệ số
k
 
thì:
0 ,
i GPi 0

i0
1,...,

k

 

 i (GP0 P0 Pi ) 0
k

i0
k





k



( i )GP0  i .P0 Pi 0
i0
i1 

1 k
P0G 



k

i

i
i0

P0 Pi

i1

 
P0G G  
1.2.3.1.2. Hệ quả


Cho m - phẳng đi qua m + 1 điểm độc lập P0,P1, ...,Pm. Khi
đó chính là tập hợp các tâm tỉ cự của họ điểm đó (gắn với các họ
hệ số khác nhau).
1.2.3.2. Định lý 2
1.2.3.2.1. Định lý

Cho m - phẳng đi qua m + 1 điểm độc lập P0, P1, ..., Pm và 1
điểm O tuỳ ý. Điều kiện cần và đủ để điểm M là:




m

m

, Trong đó:

OM 




i0

i

1

i

OPi
i0

Chứng minh:
Vì là m - phẳng đi qua m + 1 điểm độc lập P0, P1, ..., Pm nên
theo hệ quả 2.3.1.2 ta có: là tập hợp các tâm tỉ cự của họ điểm P0,
P1,..., Pm (gắn với các họ hệ số khác nhau).

Điểm M 

Do đó:

M là tâm tỉ cự của họ điểm P0, P1, ..., Pm gắn
với họ hệ số

0 ' 1, '
'
,..., 

nào đó.







i MPi 0
'

m



 (OP
OM ) 0
'

i0

i

i

m




i0



m
 
i i
'
(  )  
i
i0 OM
OP

m


m

Vì

0

'

i

'

(3)

0



nên nếu đặt 

i

i

m

'

i

m

i

'
i

thì:





1



m

i

và (3)

i



OM 

OP



i0

i0

i0

i0

Vậy định lý được chứng minh.
1.2.3.2.2. Nhận xét
Cho m + 1 điểm độc lập P0, P1,..., Pm.
* Theo định lý 2.3.2.1 ta có m - phẳng đi qua m +1 điểm độc
lập P0, P1,…,Pm gồm những điểm M sao cho với điểm O nào đó :


 m 
OM 



m

Với


i0

i

1

i

OPi
i0

Bây giờ ta xét tập hợp gồm những điểm M sao cho:
m
 m 
Với
OM 
 i 1 ; i = 0, 1, ..., m



i

OPi

và i 0
i0

i0

Tập hợp đó được gọi là m - đơn hình với các đỉnh P0, P1,..., Pm và ký
hiệu là: S(P0,P1,...,Pm.).

 m 
* Tập hợp những điểm M sao
P0  i P0 Pi ,với 0 i
cho
M 1, i 1, m được
i0

gọi là m - hộp.

chương 2 : ứng dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán

2.1. ứng dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán chứng minh
2.1.1. Bài tập mẫu
Bài 1:
Cho G' là tâm tỉ cự của họ k điểm P1,..., Pk gắn với họ hệ số 1, ...,
k
k

(i 0) . Cho G'' là tâm tỉ cự của họ m - k điểm Pk+1, ..., Pm
gắn với họ hệ
i0
m

số k+1, ..., m ( j 0) . Chứng tỏ rằng khi đó G là tâm tỉ
cự của họ điểm
jk 1

G', G'' gắn với họ hệ số

k

'  i
và
i1

m




"  

j .

jk 1

Bài giải
Do G' là tâm tỉ cự của họ điểm P1, ..., Pk gắn với họ hệ số 1,...,k
nên :
(1)
k
 
 i 'G Pi
i1
0


Tương tự, vì G'' là tâm tỉ cự của họ m - k điểm Pk+1, ...,Pm gắn với họ hệ
 

''
j G Pj

j k
1 0

số k+1, ..., m
nên :
Từ (1) và (2) suy ra:
k




m



i

G ' Pi 
i1
k




i

jk 1

jk 1

m

G

i1 Pi 

j

j



GP

 


i



k


 GG ) 0

k

m

 G
'
(
G 

jk 1

m

G"Pj 0

j

m

  '' 
GG ') 
GG )
j

 


k





i1
i

(2)

m



m



'

j

jk
1

i

1



''

''

j

i1

i

1

(3)

jk
1

Mặt khác:
Do G là tâm tỉ cự của họ m điểm P1, ..., Pm gắn với họ hệ số 1, ...,
m
m
 
nên:
(4)
 i
GPi 0
i1



 
Từ (3) và (4) ta suy ra: i GG ' 

j GG" 0
k

k

'


i

i1

(5)

j k 1

i1

Lại có :

m

m

k

; ''  j
''' 
 i 
j k 1

i1

m


i

0

jk 1

(6)


Từ (5) và (6) suy ra:
Bài 2:

G là tâm tỉ cự của họ 2 điểm G', G'' gắn với họ hệ số ',
''.

Cho 4 điểm phân biệt P1, P2, P3, P4. Xét đường thẳng đi qua 1 trong 4
điểm đó và đi qua trọng tâm của 3 điểm còn lại (có 4 đường thẳng như vậy).
Lại xét các đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm trong 4
điểm đó và đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm còn lại (có 3 đường
thẳng như vậy). Chứng minh rằng: 7 đường thẳng nói trên cùng đi qua 1
điểm.


Bài giải.

Gọi G là trọng tâm của 4 điểm P1, P2, P3, P4.
    
GP1 GP2 GP3
GP4 0

(1)

- Xét 4 đường thẳng đi qua 1 trong 4 điểm P1, P2, P3, P4 và đi qua trọng
tâm của 3 điểm còn lại:
P4.

Giả sử d1 là đường thẳng đi qua P1 và trọng tâm G1 của 3 điểm P2, P3,
  

Do G1là trọng tâm của P2, P3, P4 nên : GP2 GP3
(2)
GP4  3GG1


Từ (1) và (2) suy ra: GP1 3GG1
G , G1, P1
thẳng hàng. Hay G
 d1.
Chứng minh tương tự ta cũng có: G nằm trên 3 đường thẳng còn lại.

Xét 3 đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối 2 trong 4 điểm
P1, P2, P3, P4 và đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm còn lại.
Gọi G', G'' lần lượt là trung điểm của P1P2, P3P4.



GP




1


GP3 GP4 2GG ''
   



GP1 GP2 GP 3 GP 4 2(GG ' GG '')
Gọi d là đường thẳng đi qua G', G''
 

 

Từ (1) và (3) suy ra : 2(GG ' GG '') 0 GG
'GG '' 0
Suy ra: G, G', G'' thẳng hàng.
Hay: Gd.

(


Chứng minh tương tự ta cũng có: G nằm trên 2 đường thẳng còn lại.
Vậy: 7 đường thẳng đã cho đồng quy tại G.
* Từ bài toán trên ta có nhận xét:

Ta có thể mở rộng bài toán trên cho m điểm phân biệt:
"Cho m điểm phân biệt P1, P2 , ..., Pm.. Xét các đường thẳng đi qua
trọng tâm của k điểm trong hệ điểm {P1, ..., Pm} và đi qua trọng tâm của (mk) điểm còn lại trong hệ điểm đó (k = 1; 2; ...; m -1 ). Chứng minh rằng: Tất
cả các đường thẳng đó đồng quy".
Bài giải
m

Gọi G là trọng tâm của hệ m điểm P1, P2, ..., Pm thì:






(1)

GPi  0

Với mỗi k {1; 2; ...: m-1}:

i1

Xét các đường thẳng đi qua trọng tâm của k điểm trong hệ điểm
P1, ...,Pm và đi qua trọng tâm của (m - k) điểm còn lại trong hệ điểm đó:
Không giảm tổng quát, giả sử k điểm trong hệ điểm P1, ..., Pm là
P1, ..., Pkvà (m - k ) điểm còn lại là Pk+1, ..., Pm.
k 


Gọi G' là trọng tâm của hệ điểm P1, P2, ..., Pk ta có: GPi 
k.GG '
(2)
i1
Gọi G'' là trọng tâm của hệ điểm Pk+1, Pk + 2, ..., Pm.
m 

G
Pj (m k)GG ''

(3)

jk 1

Gọi d là đường thẳng qua G', G"
k 
Từ (2) và (3) ta suy ra : 



GPj kGG '(m 
GPi  k)GG ''
i1

m

jk 1





GPi 
kGG ' (m k )GG ''
m

Từ (1) và (4) suy ra:

i1




kGG ' (m k)GG ''
0

(4)