SANG KIEN KINH NGHIEM PHAN TICH DA THUC THANH NHAN TU VA CAC UNG DUNG TRONG GIAI TOAN

Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN
MƠN TỐN 8
MỤC LỤC
Stt Nội dung
Từ trang
đến trang
PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ
1 Lý do chọn đề tài - mục đích
nghiên cứu
2 đến 3
PHẦN THỨ HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1 Các hệ thống cư bản 3 đến 4
2 Những vấn đề cần giải quyết
Phần I: Các bài tốn phân tích đa
thức thành nhân tử và khai thác
các kết quả của chúng.
Phần II: Một số lợi ích của việc
phân tích đa thức thành nhân tử.
4 đến 19
19 đến 28
3 Kết quả 28 đến 29
4 Bài học kinh nghiệm 29
5 Phạm vi áp dụng - Hướng đề xuất 29 đến 31
PHẦN THỨ BA: KẾT KUẬN
1 Kết luận 32
2 Bài tập đề nghị 32 đến 33
3 Danh mục tài liệu tham khảo 33
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang

Trang 1
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ
I/ Lý do chọn đề tài - mục đích nghiên cứu:
Ở trường phổ thơng học sinh học sinh đã được học rất nhiều các bộ
mơn khác nhau. Một trong các bộ mơn mà các em đã được học và u thích
đó là bộ mơn Tốn bởi lẽ nó là bộ mơn khoa có tác dụng học giúp các em
phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, phát huy tính tích cực trong
học tập. Việc học tốt mơn Tốn là cơ sở giúp các em học tốt các mơn học
khác. Là giáo viên dạy Tốn tơi thấy việc hướng dẫn các em biết cách giải
đối với từng loại tốn là rất cần thiết.
Trong chương trình đại số lớp 8 có một mảng kiến thức hết sức quan
trọng, việc nắm vững phương pháp giải loại tốn này sẽ giúp cho các em
rất nhiều trong việc giải các bài tốn khác có dạng tốn: Phân tích đa thức
thành nhân tử. Bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử được ứng dụng rất
nhiều trong các bài tốn khác như giải phương trình, rút gọn phân thức,
tính giá trị biểu thức… Qua nhiều năm giảng dạy bộ mơn tốn 8 tơi thấy rất
nhiều học sinh lúng túng khi gặp bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử
đặc biệt đối với học sinh trung bình, học sinh yếu. Đặt biệt đối với học sinh
khá, giỏi thì bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử làm cho các em hết
Sức thích thú, say mê học tập. Trong tơi lúc nào cũng đặt ra câu hỏi “làm
thế nào để cho các đối tượng học sinh đều thích thú, say mê học đối với
dạng tốn này”?. Trong phạm vi đề tài này tơi muốn đưa ra các phương
pháp để giúp các em học sinh lớp 8 có một kĩ năng thành thạo, phương
pháp giải tốt nhất đối với dạng tốn này. Vì việc tập hợp hệ thống các bài
tốn ở dạng này là rất cần thiết đối với các đối tượng học sinh, đặt biệt là
các em học sinh khá giỏi. Qua đó giúp các em biết vận dụng dạng tốn này
để giải các bài tốn khác. Trong chương trình đại số 8 sách giáo khoa có
đưa ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là:

+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm các hạng tử.
+ Phối hợp nhiều phương pháp.
Trong thực tế có những bài tốn ở dạng này rất phức tạp khơng thể
áp dụng các phương pháp trên để giải được. Gặp các bài như vậy thì các em
lại lung túng khơng biết làm thế nào và sử dụng phương pháp nào để giải.
Qua thực tế giảng dạy tơi thấy việc hệ thống các phương pháp giải
đối với từng loại là rất cần thiết nó giúp các em thấy được sự đa dạng và
phong phú về nội dung của từng loại tốn. Đồng thời giúp cho các em có
một cách nhìn nhận dưới nhiều góc độ khác nhau của một dạng tốn, từ đó
kích thích các em có sự tìm tòi sang tạo, khám phá những điều mới lạ say
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 2
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
mê trong học tập, có nhiều hứng thú khi học bộ mơn tốn. Với hy vọng nhỏ
là làm sao cho các em học sinh có thể thực hiện được các bài tốn phân tích
một đa thức thành nhân tử một cách say mê và hứng thú đã giúp tơi chọn
chun đề: “Phân tích một đa thức thành nhân tử”
PHẦN THỨ HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I/ Các hệ thống kiến thức cơ bản:
Trước hết cần nhắc lại một số kiến thức cơ bản phục vụ cho vioệc
giải bài tốn “Phân tích đa thức thành nhân tử”
1/ Định nghĩa: Phân thích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó
thành một tích của những đơn thức khác.
2/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thơng thường.
a. Đặt nhân tử chung.
b. Dùng hằng đẳng thức.

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
(A+B)
2
=A
2
+2AB+B
2
(A-B)
2
=A
2
-2AB+B
2
A
2
-B
2
=(A+B)(A-B)
(A+B)
3
=A
3
+3A
2
B+3AB
2
+B
3
(A-B)
3

=A
3
-3A
2
B+3AB
2
-B
3
A
3
+B
3
=(A+B)(A
2
-AB+B
2
)
A
3
+B
3
=(A-B)(A
2
+AB+B
2
)
c. Nhóm các hạng tử.
d. Phối hợp các phương pháp trên.
3/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phưưong pháp khác.
a. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.

b. Thêm, bớt cùng một hanạg tử.
c. Đặt ẩn phụ.
d. Dùng phương pháp hệ số bất định.
e. Nhẩm nghiệm.
f. Đổi dấu một hạng tử A=-(-A).
g. Cho đa thức f(x), đa thức này có nghiệm x=a khi và chỉ khi
f(a)=0.
h. Cho đa thức f(x)=a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+…+ a
1
x
1
+a
0
.
Đa thức này nếu có nhiều nghiệm là số ngun thì nghiệm đó phải là
ước của a
0
.
II/ Những vấn đề cần giải quyết.
Như đã nêu trong phần đầu các bài tốn phân tích thành nhân tử
được sắp xếp ở ngay đầu chương I sau các bài nhân đa thức và hằng đẳng
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh

Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 3
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
thức, với thời lượng chỉ có 6 tiết bao gồm 6 tiết lý thuyết và 1 tiết luyện tập
thì các em học sinh chỉ hồn thành phần bài tập chứ chưa nói đến việc khai
thác và xem xét các ứng dụng của các phương pháp phân tích đó.
Để rèn luyện kỹ năng cho học sinh trong q trình giải các bài tốn
phân tích đa thức thành nhân tử tơi đã phân dạng các bài tốn thành hai
loại:
- Bài tập thơng thường và các bài tập được khai thác từ đó.
- Các bài tốn ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử.
Phần I: Các bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử và khai thác các
kết quả của chúng.
I. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương paháp thơng
thường (Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng
tử…)
Đây là các phương pháp được dùng cho các bài tốn phân tích ở mức
độ đơn giản. Tuy nhiên có những đa thức cần phải biến đổi một số bước.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. x
2
– 3x b. 12x
3
– 6x
2
+ 3x
c.
2 3 2
2

5
5
x x x y+ +
d. 14x
2
y – 21xy
2
+28x
2
y
2
Giải
a. x
2
– 3x = x(x – 3)
b. 12x
3
– 6x
2
+ 3x = 3x(4x
2
– 2x + 1)
c.
2 3 2
2
5
5
x x x y+ +
= x
2

(
2
5
5
x y+ +
)
d. 14x
2
y – 21xy
2
+28x
2
y
2
= 7xy(2x – 3y +4xy).
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. 5x
2
(x – 2y) – 15xy(x – 2y)
b. x(x + y) +4x +4y
Giải
a. 5x
2
(x – 2y) – 15xy(x – 2y)
= (x – 2y)( 5x
2
- 15xy)
=(x – 2y)5x(x – 3y)
b. x(x + y) +4x +4y
c. = x(x + y) +(4x +4y)

= x(x + y) + 4(x + y)
= (x + y)(x + 4)
Nhận xét: Ở hai ví dụ trên việc phân tích đa thức thành nhân tử ở
mức độ đơn giản. Học sinh nhận thấy ngay được nhân tử chung. Nhiều khi
để xuất hiện nhân tử chung phải đổi dấu các hạng tử có trong đa thức ở ví
dụ sau:
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 4
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. 10x(x – y) – 8y(y – x)
b. 5x(x – 2000) – x + 2000
Giải
a. 10x(x – y) – 8y(y – x)
= 10x(x – y) + 8y(x – y)
= (x – y)( 10x + 8y)
= 2(x – y)( 5x + 4y)
b. 5x(x – 2000) – x + 2000
=5x(x – 2000) –(x – 2000)
= (x – 2000)(5x – 1)
Lỗi thường gặp của các em học sinhkhi giải bài tốn dạng này chính
là khơng biết nhóm hay đổi dấu các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung
nên cần hướng dẫn học sinh chi tiết để các em có thể thực hiện một cách dễ
dàng.
Tuy nhiên trong các ví dụ đã nêu các em học sinh chỉ cần có một
chút cố gắng thì sẽ thực hiện được bài tốn nhưng cũng là phân tích đa thức
bằng cách đặt nhân tử chung thì bài tốn sau đây đòi hỏi các em phải có
một cố gắng nhất định thì mới thực hiện được:

Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. (a – b)x + (b – a)y – b + a
b. (a + b – c)x
2
– (c – a – b)x
Giải
a. (a – b)x + (b – a)y – b + a
= (a – b)x - (a – b)y + (a – b)
= (a – b)(x – y + 1)
b. (a + b – c)x
2
– (c – a – b)x
= (a + b – c)x
2
+ (a + b – c)x
= (a + b – c)x(x + 1)
Nhận xét: Trong hai ví dụ vừa nêu trong ví dụ 1 học sinh có thể biết đổi
dấu ở hạng tử thứ hai từ b – a thành a – b để xuất hiện nhân tử chung nhưng
đối với hạng tử thứ ba thì các em dễ bị nhầm lẫn và cho rằng khơng có
nhân tử chung nhưng chỉ cần hướng dẫn các em đổi vị trí của a và b thì sẽ
có nhân tử chung, cũng bằng nhận xét tương tự như vậy ta có cách làm
tương tự đối với ví dụ thứ hai.
Vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử đây
là cách làm thơng dụng nhất được áp dụng nhiều nhất. Để áp dụng phương
pháp này u cầu học sinh phải nắm chắt bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.
Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. x
2
– 6x + 9
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh

Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 5
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
b. x
2
– 6
c. 1 – 27x
3
d.
3
3
1
x
x
+
e. –x
3
+ 9x
2
– 27x +27
Giải
a. x
2
– 6x + 9 = (x – 3)
2
b. x
2
– 6 =
( 6)( 6)x x− +

c. 1 – 27x
3
= (1 – 3x)(1 + 3x + 9x
2
)
d.
3
3
1
x
x
+
=
2
2
1 1
( )( 1 )x x
x x
+ + +
e. –x
3
+ 9x
2
– 27x +27 = - (x
3
- 9x
2
+ 27x -27) = -(x – 3)
3
Ở ví dụ trên là các hằng đằng thức đã được triển khai. Việc phân tích

chỉ là cách viết theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức các enm học
sinh dễ dàng thực hiện được nếu như các em thuộc và biết cách vận dụng
các hằng đẳng thức, thế nhưng trong các ví dụ sau đây thì muốn áp dụng
được hằng đẳng thức thì các em phải có sự biến đổi thì mới có hằng đẳng
thức.
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. (x + y)
2
– 6(x + y) + 9
b. 16a
2
– 49(b – c)
2
c. 49(y – 4)
2
- 9(y – 2)
2
Giải
a. (x + y)
2
– 6(x + y) + 9
= (x + y)
2
– 6(x + y) + 3
2
= (x + y – 3)
2
b. 16a
2
– 49(b – c)

2
=
[ ]
2
2
(4 ) 7( )a b c− −
= (4a – 7b + 7c)(4a + 7b - 7c)
c. 49(y – 4)
2
- 9(y – 2)
2
[ ] [ ]
[ ] [ ]
2 2
7( 4) 3( 2)
7( 4) 3( 2) 7( 4) 3( 2)
7( 4) 3( 2)(7( 4) 3( 2)
7 28 3 6)(7 28 3 6)
(4 22)(10 34)
y y
y y y y
y y y y
y y y y
y y
= − − −
= − − − − + −
= − − − − + −
= − − + − + −
= − −
Ta có thể thấy trong 3 ví dụ trên khơng khó nhưng vấn đề ở chỗ là

học sinh khơng nhận dạng đưộc hằng đẳng thức ngay cho nên việc phân
tích sẽ gặp khó khăn vì thế trong những ví dụ dạng như thế nên hướng dẫn
các em nhận dạng sau đó thì phân tích.
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 6
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Phương pháp thứ ba để phân tích một đa thức thành nhân tử đó là
phương pháp nhóm các hạng tử. Đối với phương pháp này cần lưu ý cho
học sinh khi nhóm các hạng tử phải chú ý dấu trước ngoặc đặc biệt là dấu
trừ ở ngồi ngoặc.
Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. x
2
– x – y
2
– y b. x
2
– 2xy + y
2
– z
2
c. x
2
– 3x +xy – 3y d. 2xy +3z + 6y +xz
Giải
a. x
2
– x – y

2
– y
= (x
2
– y
2
) – (x + y)
= (x + y)(x – y) – (x + y)
= (x + y)(x – y – 1)
b. x
2
– 2xy + y
2
– z
2
= (x
2
– 2xy + y
2
) – z
2
= (x – y)
2
– z
2
= (x – y – z)(x – y + z)
c. x
2
– 3x +xy – 3y
= (x

2
+xy) – (3x + 3y)
= x(x + y) – 3( x + y)
= (x + y)( x– 3)
d. 2xy +3z + 6y +xz
= (2xy + 6y) +(3z + xz)
= 2y(x + 3) + z(3 + x)
= (x + 3)( 2y +z)
Ở ví dụ này khi phân tích đa thức thành nhân tử ta đã phối hợp các
phương pháp như: Nhóm các hạng tử, đặt nhân tử chung và dung hằng
đẳng thức.
Ví dụ 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a/ bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
b/ a
3
(b
2
-c
2
)+b
3
(c
2
-a
2
)+c(a
2
-b
2
)

Phương pháp chung để làm loại tốn này là khai triển hai trong số ba
hạng tử còn giữ ngun hạng tử thứ ba để từ đó làm xuất hiện nhân tử
chung chưa trong số hạng thứ ba, trong câu a ta khai triển hai hạng tử đầu
còn giữ ngun hạng tử thứ ba để làm xuất hiện nhân tử chung là a+b
Giải
a/ bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
= b
2
c+bc
2
+c
2
a-ca
2
-ab(a+b)
= (b
2
c-ca
2
)+(bc
2
+ c
2
a)- ab(a+b)
= c(b
2
-a
2
)+c
2

(b+a)-ab(a+b)
= c(b-a)(b+a)+c
2
(b+a)-ab(a+b)
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 7
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
= (b+a)(cb-ca+c
2
)-ab(a+b)
=(b+a)(cb-ca+c
2
-ab)
= (b+a)[(cb+c
2
)-(ca+ab)]
= (a+b)[c(b+c)-a(c+b)]
= (a+b)(b+c)(c-a)
b/ a
3
(b
2
-c
2
)+b
3
(c
2

-a
2
)+c
3
(a
2
-b
2
)
= a
3
b
2
-a
3
c
2
+b
3
c
2
-b
3
a
2
+c
3
(a
2
-b

2
)
= (a
3
b
2
- b
3
a
2
)-(a
3
c
2
-b
3
c
2
)+
= a
2
b
2
(a-b)-c
2
(a
3
-b
3
)+c

3
(a
2
-b
2
)
= a
2
b
2
(a-b)-c
2
(a-b)(a
2
+ab+b
2
)+c
3
(a-b)(a+b)
= (a-b)(a
2
b
2
-c
2
a
2
+c
2
ab-c

2
b
2
+c
3
a+c
3
b)
= (a-b)[(a
2
b
2
-c
2
b
2
)+

(c
3
b-c
2
ab)+(c
3
a-c
2
a
2
)
= (a-b)[b

2
(a-c)(a+c)+c
2
b(c-a)+c
2
a(c-a)]
= (a-b)(a-c)(b
2
a+b
2
c-c
2
b-c
2
a)
= (a-b)(a-c)[(b
2
a-c
2
a)+(b
2
c-c
2
b)
= (a-b)(a-c)[a(b-c)(b+c)+bc(b-c)]
=(a-b)(a-c)(b-c)(ab+ac+bc)
Chú ý: Ta có thể khai triển hai hạng tử cuối rồi nhóm hạng tử để làm xuất
hiện nhân tử chung b+c, hoặc khai triển hai hạng tử đầu và cuối để có nhân
tử chung c-a …
Câu a có thể hướng dẫn học sinh theo cách sau đây:

Vì (c-a)+(a+b)=(b+c). Do vậy ta có:
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
= bc[(c-a)+a+b)]+ca(c-a)-ab(a+b)
= bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
= [bc(c-a)+ca(c-a)]+[bc(a+b)-ab(a+b)]
= (c-a)(bc+ca)+(a+b)(bc-ab)
= c(c-a)(a+b)+b(a+b)(c-a)
= (a+b)(b+c)(c-a)
Bài tập tương tự: Phân tích đa thức thành nhân tử
A=x
2
y
2
(y-x)+y
2
z
2
(z-y)-z
2
x
2
(z-x)
Các bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
nhóm như thế nào cuối cùng cũng đạt mục đích là có nhân tử chung hoặc
vận dụng được hằng đẳng thức đáng nhớ như vậy u cầu đặt ra với người
thầy là hướng dẫn học sinh nhóm như thế nào cho hợp lí để xuất hiện nhân
tử chung sau đó tiến hành phân tích các đa thức đó.
Trên đây chúng ta vừa xem xét các vĩ dụ phân tích một đa thức thành
nhân tử bằng các phương pháp thơng thường đã nêu trong SGK tuy nhiên
nếu chỉ dừng lại ở các phương pháp đó thì sẽ làm cho các em nhàm chán vì

Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 8
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
vậy có thể giới thiệu thêm cho các em phương pháp bổ sung khác để giúp
cho học sinh khá giỏi tòm hiểu.
II. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp tách một
hạng tử thành nhiều hạng tử, them bớt chạng tử.
a. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp tách một
hạng tử thành nhiều hạng tử
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành hạng tử
a. x
2
-7x+12
b. 4x
2
-3x-1
Giải
a. x
2
-7x+12
Cách 1: Tách số hạng -7x thành -4x-3x
Ta có: x
2
-7x+12
= x
2
-4x-3x+12
= (x

2
-4x)-(3x-12)
= x(x-4)-3(x-4)
= (x-4)(x-3)
Cách 2: Tách số hạng 12 thành 21-9
Ta có: x
2
-7x+12
= x
2
-7x +21-9
= (x
2
-9) – (7x -21)
= (x-3)(x+3)-7(x-3)
= (x-3)(x+3-7)
= (x-3)(x-4)
Cách 3: Tách số hạng 12 thành -16+28
Ta có: x
2
-7x+12
= x
2
-7x+28-16
= (x
2
-16)-(7x-28)
= (x+4)(x-4)-7(x-4)
= (x-4)(x+4-7)
= (x-4)(x-3)

Cách 4: Tách số hạng -7x thành -6x-x và 12=9+3
Ta có: x
2
-7x+12
= x
2
-6x+9-x+3
= (x
2
-6x+9)-(x-3)
= (x-3)
2
-(x-3)
= (x-3)(x-3-1)
= (x-3)(x-4)
Cách 4: Tách số hạng -7x thành -8x+x và 12=16-4
Ta có: x
2
-7x+12
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 9
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
= x
2
-8x+16+x-4
= (x
2
-8x+16) +(x-4)

= (x-4)
2
+(x-4)
= (x-4)(x-4+1)
= (x-3)(x-4)
….
b. 4x
2
-3x-1
Cách 1: Tách số hạng 4x
2
thành x
2
+3x
2
Ta có: 4x
2
-3x-1
= x
2
+3x
2
-3x-1
= (x
2
-1)+(3x
2
-3x)
= (x+1)(x-1) +3x(x-1)
= (x-1)( x+1+3x)

= (x-1)(4x+1)
Cách 2: Tách số hạng -3x thành -4x+x
Ta có: 4x
2
-3x-1
= 4x
2
-4x+x-1
= 4x(x-1)+(x-1)
= (x-1)(4x+1)
Cách 3: Tách số hạng -1 thành -4+3
Ta có: 4x
2
-3x-1
= 4x
2
-3x-4+3
= 4(x-1)(x+1)-3(x-1)
= (x-1)(4x+4-3)
= (x-1)(4x+1)
Với bài tốn này khi phân tích đa thức trên thành nhân tử có ba lời
giải tương ứng với 3 cách tách, học sinh có thể chọn một trong ba cách.
Cần tổng kết cho học sinh thấy được có nhiều cách tách hạng tử
nhưng trong đó có hai cách tách thong dụng nhất đó là:
- Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằng đẳng thức:
(mx +n)(px +q) = mpx
2
+ (mq + np)x + nq như vậy trong tam giác ax
2
+ bx

+ c, hệ số b được tách thành hai hạng tử b = b
1
+ b
2
sao cho b
1
.b
2
= ac.
- Tách hạng tử tự do thành hai hạng tử như trong ví dụ 1 phần a ta
tách 12 = -16 + 28…
- Hoặc đơi khi có thể tách một hạng tử thành 3 hạng tử để phân tích
thành nhân tử …
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
a. x
3
– 2x – 4
b. b. x
3
+ 8x
2
+ 17x + 10
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 10
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Giải
a. x
3

– 2x – 4 = x
3
– 2x – 8 + 4
= (x
3
– 8 ) – ( 2x – 4)
=(x–2)(x
2
+ 2x + 4) - 2(x – 2)
b.x
3
+ 8x
2
+ 7x + 10 = x
3
+ x
2
+ 7x
2
+ 10x + 7x + 10
= x
2
(x + 1) + 7x(x + 1) + 10(x + 1)
= (x + 1)(x
2
+ 7x + 10)
= (x + 1)(x
2
+ 2x + 5x + 10)
= (x + 1)[x(x + 2) + 5(x + 2)]

= (x+ 1)(x+ 2)(x + 5)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
a. x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4
b. x
3
– 11x
2
+ 30x
Giải
a. x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4= x
3
+ x
2
+ 2x
2
+ 2x + 4x + 4
=x
2
(x + 1) + 2x(x + 1) + 4(x + 1)
= x(x + 1)(x
2
+ 2x + 4)

Mà x
2
+ 2x + 4 = x
2
+ 2x +1 + 3 = (x+ 1)
2
+3
Vì (x+ 1)
2

≥
0
∀
x
∈
R nên (x + 1)
2
+ 3
≥
3
⇒
x
2
+ 2x + 4 khơng thể phân
tích được với các hệ số ngun.
b. x
3
– 11x
2
+ 30x = x(x

2
– 11x + 30)
= x(x
2
– 5x – 6x + 30)
= x(x
2
– 5x – 6x + 30)
= x[x(x – 5) – 6(x – 5 )]
= x(x – 5)(x – 6)
Trong phần a ta thấy vẫn còn đa thức bậc hai mà khơng thể phân tích
được nữa. Vậy làm thế nào để biết được một đa thức có phân tích được hay
khơng ta dựa vào định lí sau:
“Một đa thức: a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ ……+ a
1
x + a
0
. Đa thức này nếu có
nghiệm là số ngun thì nghiệm đó phải là ước của hệ số tự do a
0
”.
Ví dụ: Đa thức: x

2
+ 2x + 4 khơng phân tích được thành nhân tử với các hệ
số ngun bởi vì: Nếu phân tích được thì đa thức này phải có nghiệm
nghun là ước của 4. Ta thấy: Ư
(4)
= {
±
1;
±
2;
±
4} thử các giá trị đó đều
khơng phải là nghiệm của của đa thức x
2
+ 2x + 4 nên đa thức này khơng
phân tích được yhành nhân tử với các hệ số ngun. Nhưng thực tế đa thức
đã cho vẫn có thể phân tích được thành nhân tử với các kết quả hệ số là vơ
tỉ.
x
2
+ 2x + 4 = (x + 1)
2
– 5 = (x + 1 -
5
)(x + 1 +
5
)
b. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm, bớt hạng tử:
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang

Trang 11
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Với các đa thức đã cho khơng có chứa thừ số chung, khơng có dạng
của một hằng đẳng thức cũng khơng thể nhóm số hạng. Do vậy ta phải biến
đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một số hạng tử để có thể vận dụng
được phương pháp phân tích đã biết.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
+ c+3 - 3a
2
b = 3ab
2
– 3abc
=(a
3
+ 3a

2
b + 3ab
2
+ b
3
) + c
3
– (3a
2
b + 3ab
2
+ 3abc)
= (a + b)
3
– c
3
– 3ab(a + b + c)
=(a + b + c)[(a + b)
2
– (a + b)c + c
2
– 3ab]
= (a + b + c)(a
2
+ 2ab + b
2
– ac – bc + c
2
– 3ab)
= (a + b + c)(a

2
+ b
2
+ c
2
– ac – bc – ab)
Trong bài tốn trên ta đã thêm và bớt các hạng tử 3a
2
b, 3ab
2
để có thể
nhóm vận dụng các phương pháp phân tích đã biết.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x
5
+ x
4
+ 1
b) x
5
+ x + 1
c) x
8
+ x
4
+ 1
Giải
a) x
5
+ x

4
+ 1
Ta sẽ them bớt các hạng tử x
3
, x
2
, x vào đa thức ta được:
b) x
5
+ x
4
+ x
3
- x
3
+x
2
-x
2
+x – x +1
= (x
5
+ x
4
+ x
3
) – ( x
3
+x
2

+x) + (x
2
+x + 1)
= x
3
(x
2
+x + 1) – x(x
2
+x + 1) + (x
2
+x + 1)
= (x
2
+x + 1)( x
3
– x + 1)
b) x
5
+ x + 1
Cách 1: Ta sẽ thêm bớt x
4
, x
3
, x
2
vào đa thức giống như cách làm như phần
a để xuất hiện nhân tử chung x
2
+ x +1

Có: x
5
+ x + 1 = x
5
+ x
4
– x
4
+x
3
– x
3
+x
2
– x
2
+x +1
= (x
5
+ x
4
+x
3
) – (x
4
+x
3
+ x
2
) + x

2
+x +1
= x
3
(x
2
+x +1) – x
2
(x
2
+x +1) +(x
2
+x +1)
= (x
2
+x +1)( x
3
– x
2
+1)
Cách 2: Ta thêm bớt x
2
để làm xuất hiện nhân tử chung x
2
+x +1
Ta có:
x
5
+ x + 1 = x
5

+ x
2
– x
2
+ x +1
= (x
5
– x
2
) + (x
2
+ x +1)
= x
2
(x
3
– 1) + (x
2
+ x +1)
= x
2
(x – 1)(x
2
+ x +1) + (x
2
+ x +1)
= (x
2
+ x +1)( x
3

– x
2
+1)
c) x
8
+ x
4
+ 1 = x
8
+ x
4
+ x
2
- x
2
+ x - x - 1
= (x
8
- x
2
) + (x
4
- x) + (x
2
+ x + 1)
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 12
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán

= x
2
(x
6
- 1) + x(x
3
- 1) + (x
2
+ x + 1)
= x
2
(x
3

- 1)(x
3
+ 1) + x(x
3
- 1) + (x
2
+ x + 1)
= x
2
(x - 1)(x
2
+ x + 1)(x
3
+ 1) + x(x - 1)(x
2
+ x + 1) + (x

2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
6
- x
5

+ x
3
- x + 1)
= (x
2
+ x + 1)[(x
6
- x
5
+ x
4
) - (x
4
- x
3
+ x
2
) + (x
2
- x + 1)]
= (x

2
+ x + 1)(x
2
- x + 1) (x
4
- x
2
+ 1)
Phương pháp trên có thể sử dụng đối với các đa thức có dạng:
x
5
+ x
4
+ 1; x
8
+ x
4
+ 1; x
10
+ x
8
+ 1 . . .
Các đa thức này đều có dạng: x
m
+ x
n
+ 1 trong đó m = 3k + 1; n = 3h
+ 2. Khi tìm cách giảm dần số mũ của luỹ thưa ta cần chú ý đến biểu thức
có dạng x
6

- 1; x
3
- 1 là những biểu thứcchia hết cho x
2
+ x + 1.Những đa
thức này khi phân tích thành nhân tử đều có chứa thừa số x
2
+ x + 1.
Tuy nhiên bài tốn này có thể giải được bằng cách sử dụng hằng đẳng thức
đơn giản hơn như:
x
8
+ x
4
+ 1= (x
8
+ 2x
4
+ 1) - x
4

= (x
4
+ 1)
2
- (x
2
)
2

= (x
4
+ x
2
+ 1)(x
4
- x
2
+ 1) = [(x
4
+ 2x
2
+ 1) - x
2
] (x
4
- x
2
+ 1)
= [(x
2
+ 1)
2
- x
2
] (x
4
- x
2
+ 1) = (x

2
+ x + 1) (x
4
- x
2
+ 1)
c/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
Phương pháp này thường áp dụng với những đa thức có dạng
A(x). B(x) + C. Trong đó A(x) và B(x) có thể biểu diễn được qua nhau. Ví
dụ A(x) có thể viết dưới dạng B(x) hoặc ngược lại. Ta xét một số ví dụ
sau:
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2) - 12
b) 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y
2
z
2
Giải
a) (x
2
+ x + 1)( (x
2
+ x + 2) - 12
Đặt x
2
+ x + 1 = y

⇒
x
2
+ x + 2 = y + 1
Ta có y(y+1) - 12 = y
2
+ y - 12
= y
2
- 9 + y - 3
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 13
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
= (y - 3)(y + 3) + (y - 3)
= (y - 3)(y + 3 + 1)
= (y - 3)(y + 4)
Thay y = x
2
+ x + 1 ta được
(y - 3)(y + 4) = (x
2
+ x + 1 - 3)(x
2
+ x + 1 + 4)
= (x
2
+ x - 2) (x
2

+ x + 5)
= (x
2
- 1 + x - 1)(x
2
+ x + 5)
= [(x - 1)(x + 1) + x - 1](x
2
+ x + 5)
= (x - 1)(x + 1 + 1)(x
2
+ x + 5)
= (x - 1)(x + 2)(x
2
+ x + 5)
Ở trong ví dụ này ta đã biến đổi biến x thành biến y sau đó đi phân
tích đa thức chứa biến y thành nhân tử rồi quay trở lại với biến ban đầu là
biến x. Cuối cùng ta lại phân tích đa thức chứa biên x thành nhân tử.
b) 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y
2
z
2
Nếu để ngun đa thức trên thì rất khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến
đổi thêm :
4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y
2
z
2
= 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y
2

z
2
= 4(x
2
+ xy + xz) (x
2
+ xy + xz + yz) + y
2
z
2
Đặt: x
2
+ xy + xz = m
Ta có: 4m(m + xz) + y
2
z
2
= 4m
2
+ 4mxz + y
2
z
2
= (2m + yz)
2
Thay m = x
2
+ xy + xz ta đựợc
(2m + yz)
2

= (2x
2
+ 2xy + 2xz + yz)
2
Ví dụ 2 :: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x
2
+ x)
2
- 2(x
2
+ x) - 15
b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24
c) (x
2
+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 15) + 15
Giải
a) (x
2
+ x)
2
- 2(x
2
+ x) - 15
Đặt: x
2
+ x = y
Ta có : y

2
- 2y - 15 = y
2
- 5y + 3y - 15
= y(y - 5) + 3(y - 5)
= (y - 5)(y + 3)
Thay y = x
2

+ x ta có:
(y - 5)(y + 3) = (x
2
+ x - 5)(x
2
+ x + 3)
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 14
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Hai đa thức x
2
+ x - 5 và x
2
+ x + 3 khơng phân tích được nữa.
b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24
= (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) - 24
= (x
2
+ 7x + 10)(x

2
+ 7x + 12) - 24
Đặt x
2
+ 7x + 10 = y ta được x
2
+ 7x + 12 = y + 2
y(y + 2) - 24 = y
2
+ 2y - 24
= y
2

- 16 + 2y - 8
= (y - 4)(y + 4) + 2(y - 4)
= (y - 4)(y + 4 + 2)
= (y - 4)(y + 6)
Thay y = x
2
+ 7x + 10 ta được:
(y - 4)(y + 6) = (x
2
+ 7x + 10 - 4)(x
2
+ 7x + 10 + 6)
= (x
2
+ 7x + 6) (x
2
+ 7x + 16)

= (x
2
+ x + 6x + 6) (x
2
+ 7x + 16)
= [x(x + 1) + 6(x + 1)] (x
2
+ 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6) (x
2
+ 7x + 16)
c) (x
2
+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 15) + 15
Đặt x
2
+ 8x + 7 = y x
2
+ 8x + 15 = y + 8
Ta có: y(y + 8) + 15 = y
2
+ 8y + 15
= y
2
+ 5y + 3y + 15
= y(y + 5) + 3(y + 5)
= (y + 5)(y + 3)
Thay y = x

2
+ 8x + 7 ta được :
(y + 5)(y + 3) = (x
2
+ 8x + 7 + 5)( x
2
+ 8x + 7 + 3)
= (x
2
+ 8x + 12)( x
2
+ 8x + 10)
= (x
2
+ 2x + 6x +12)( x
2
+ 8x + 10)
= [x(x + 2) + 6(x + 2)] (x
2
+ 8x + 10)
= (x + 2)(x + 6)( x
2
+ 8x + 10)
= (x + 2)(x + 6)(x + 4 -
6
)(x + 4 +
6
)
Ở hai ví dụ trên ta thấy cách làm giống nhau khi phân tích đa thức đó
thành nhân tử. Ta còn có cách đặt khác trong ví dụ dưới đây :

Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
3x
6
- 4x
5
+ 2x
4
- 8x
3

- 4x + 3 + 2x
2
nếu như cách làm như các ví dụ trước thì các ví dụ này ta khơng thể
phân tích được. Dễ thấy đa thức khơng thể có nghiệm x = 0.
Vậy ta có thể biến đổi đa thức sau :
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 15
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
x
3
(3x
2
- 4x
2

+ 2x - 8 -
x
xx

234
32
++
) = x
3
[3(x
3
+
3
1
x
) - 4(x
2
+
2
1
x
) + 2(x +
3
1
x
) - 8]
Đặt x +
x
1
= t t
2
= (x +
x
1

)
2
= x
2
+ 2 +
2
1
x
x
2
+
2
1
x
= t
2
- 2
t
3
= (x +
x
1
)
3

= x
3
+ 3x +
x
3

+
3
1
x
= x
3
+
3
1
x
+ 3(x +
x
1
)
x
3
+
3
1
x
= t
3
- 3t
Thay x +
x
1
= t; x
2
+
2

1
x
= t
2
- 2; x
3
+
3
1
x
= t
3
- 3t
Ta có
x
3
[3(t
3
- 3t) - 4(t
2
- 2) + 2t - 8] = x
3
(3t
3
- 9t - 4t
2
+ 8 + 2t - 8)
= x
3
(3t

3
- 4t
2
- 7t)
= x
3
t (3t
2
- 4t - 7)
= x
3
t[(3t
2
- 3) - (4t + 4)]
= x
3
t[3(t - 1)(t + 1) - 4(t + 1)]
= x
3
t(t + 1)(3t - 3 - 4)
= x
3
t(t + 1)(3t - 7)
Thay t = x +
x
1
ta được
x
3
(x +

x
1
) (3x +
x
3
- 7)(x +
x
1
+ 1) = x(x
2
+ 1)(3x
2
+ 3 - 7x)(x +
x
1
+ 1)
= (x
2
+ 1)(3x
2
- 7x + 3) (x
2
+ x + 1)
Nói chung đây là một bài tốn tương đối phức tạp đòi hỏi phải biến
đổi đa thức mới được đặt ẩn phụ. Bài này cho ta một cách đặt ẩn phụ khác
hẳn với cách đặt ẩn phụ các ví dụ trước.
d- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hệ số bất
định :
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức một đa thức bậc
nhất, một đa thức bậc 2.

x
3
- 19x - 30
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 16
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Giải
Cách 1: Với các phương pháp phân tích đã biết ta có thể phân tích được đa
thức trên thành hai đa thức đúng theo u cầu đề bài
Ta có: x
3
- 19x - 30
= x
3
+ 8 - 19x - 38
= (x
3
+ 8) - 19(x + 2)
= (x+ 2)(x
2
- 2x + 4) - 19(x + 2)
= (x + 2)( x
2
- 2x + 4 - 19)
= (x + 2)(x
2
- 2x - 15)
Ta thấy x

2
- 2x - 15 còn phân tích được nữ nhưng do đề bài u cầu
là đa thức x
3
- 19x - 20 viết dưới dạng một tích của 2 đa thức:một đa thức
bậc nhất và một đa thức bậc 2. Vậy tích (x + 2)( x
2
- 2x - 15) đã thoả mãn
u cầu bài tốn
Cách 2: Kết quả phải có dạng:
x
3
- 19x - 20 = (x + a)( x
2
+ bx + c)
= x
3
+ bx
2
+ cx + ax
2
+ abx + ac
= x
3
+ (b + a)x
2
+ (c + ab)x + ac
Ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn:
a + b = 0
c + ab = -19

ac = -30
Vì a, c
∈
Z và tích ac = -30 do đó a, c
∈
{
±
1;
±
2;
±
3;
±
5;
±
6;
±
10;
±
15;
±
30}
Với a = 2; c = -15 khi đó b = -2 thoả mãn hệ thức trên đó là bộ số
phải tìm tức là: x
3
- 19x - 30 = (x + 2)(x
2
- 2x - 15).
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x

4
+ 6x
3
+ 7x
2
+ 6x + 1
Giải
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 17
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Nhận xét: Đa thức trên nếu có nghiệm ngun thì nghiệm đó là
±
1.
Dễ dàng kiểm tra được
±
1 khơng phải là nghiệm của đa thức trên nên đa
thức khơng có nghiệm ngun mà chỉ có nghiệm hữu tỉ hoặc vơ tỉ. Như
vậy, nếu đa thức trên phân tích được thành thừa số thì phải có dạng:
x
4
+ 6x
3
+ 7x
2

+ 6x + 1
= (x
2

+ ax + b)(x
2
+ cx + d)
= x
4
+ (a + c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
Vậy ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn:
a + c = 6
ac + b + d = 7
ad + bc = 6
bd = 1
Từ hệ này ta tìm được : a = b = d = 1; c = 5
Vậy :
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
4 3 2 2 2
2 2
2
2 2
2
x 6x 7x 6x 1 1 5 1
5 25 25
1 2. 1
2 4 4

5 21 5 21 5 21
1 1
2 4 2 2 2 2
5 21 5 21
1
2 2
x x x x
x x x x
x x x x x x x
x x x x
+ + + + = + + + +
 
 
= + + + + − +
 ÷
 
 
 
 
  
 
= + + + − = + + + − + +
 
 ÷ ÷
 ÷
 ÷ ÷
 
 
  
 

  
− +
= + + + +
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  

Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
x
3
+ 4x
2
+ 5x + 2
Giải
Cách 1: Đặt x
3
+ 4x
2
+ 5x + 2 = (x + a)(x
2
+ bx + c)
= x
3
+ (a + b)x
2
+ (ab + c)x + ac
Ta phải có: a + b = 4
ab + c = 5
ac = 2
Từ hệ này ta tìm được: a = 1; b = 2; c = 2

Vậy: x
3
+ 4x
2
+ 5x + 2 = (x + 1)(x
3
+ 3x + 2)
= (x+ 1)[(x
2

+ x) + (2x + 2)]
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 18
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
=(x+ 1) (x+ 1)(x+ 2)
= (x+ 1)
2
(x + 2)
Cách 2: Dùng phương pháp nhẩm nghiệm ta thấy trong các ước của hệ số
tự do 2 có 1 là nghiệm
x
3
+ 4x
2
+ 5x + 2 = (x+ 1)(x
2
+ ax + b)
x

2
+ ax + b = (x
3
+ 4x
2
+ 5x + 2) : (x+ 1)
Bằng cách chia hai đa thức ta tìm được:
(x
3
+ 4x
2
+ 5x + 2) : (x+ 1) = x
2
+ 3x + 2
VËy x
3
+ 4x
2
+ 5x + 2 = (x + 1)( x
2
+ 3x + 2)
= (x+ 1)
2
(x + 2)
Cách 3: Dùng phương pháp phân tích đã biết là tách hạng tử
Ta có: x
2
+ 4x
2
+ 5x + 2 = x

3
+ x
2
+ 3x
2
+ 3x + 2x + 2
= x
2
(x + 1) + 3x(x + 1) + 2(x + 1)
= (x +1)(x
2
+ 3x + 2)
= (x + 1)(x + 1)(x + 2)
= (x + 1)
2
(x + 2)
Trên đây là 7 phương pháp phân tích thường gặp dung để phân tích
đa thức thành nhân tử. Thực tế còn có những phương pháp khác như:
phương pháp xét giá trị riêng
Ta có thể xét một ví dụ về phương pháp này như sau:
Phân tích thành nhân tử: P = ab(a - b) + bc(b -c) + ca(c - a)
Giải
Ta có: P = ab(a - b) + bc(b -c) + ca(c - a)
Nếu thay a bởi b thì P = 0 + bc(b -c) + ca(c - a). Do vai trò của a, b, c như
nhau trong đa thức nên P chia hết cho (a - b)(b - c)(c - a). Trong phép chia
đó, đa thức P có bậc 3 đối với tập hợp các biến, đa thức chia (a-b)(b-c)(c-a)
cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến nên thương bằng hằng số k. Trong
hằng đẳng thức đó.
ab(a - b) + bc(b -c) + ca(c - a) = k(a - b)(b - c)(c - a), ta cho các biến giá trị
riêng a = 2, b = 1, c = 0 ta được : 2.1.1 + 0 + 0 = k.1.1(-2), do đó 2 = -2k,

suy ra k = -1
Vậy P = (a - b)(b - c)(a - c)
Vì thế khi làm dạng tốn này khơng phải lúc nào cũng áp dụng một
khn mẫu theo một phương pháp giải cố định nào đó. Khi học xong các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thì tuỳ từng bài tập mà học
sinh lựa chọn cho mình một phương pháp giải thích hợp để có phương
pháp giải nhanh nhất và có hiệu quả nhất.
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 19
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Như trong phần đầu tơi đã đề cập là q trình phân tích một đa thức
thành nhân tử học sinh chỉ áp dụng theo kiểu xi chiều nghĩa là phân tích
một đa thức thành nhân tử chứ khơng tổng kết và vận dụng các kết quả đó
vào trong một số các bài tốn quan trọng khác, trong phần sau đây tơi xin
nêu một vài ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài
tốn.
Phần II: Một số lợi ích của việc phân tích đa thức thành nhân tử:
Chúng ta đều biết: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa
thức đó thành tích của những đơn thức và đa thức khác. Do vậy đối với một
số dạng tốn nếu áp dụng kết quả phân tích đa thức thành nhân tử thì sẽ
giải được dễ dàng như một số dạng tốn sau:
Dạng 1: Tính nhanh
Ví dụ 1: (Bài 46, trang 21 SGK)
Tính nhanh:
73
2
- 27
2

= (73 - 27)(73 + 27) = 46 . 100 = 4600
2002
2
- 4 = 2002
2
- 2
2
= (2002 + 2)(2002 - 2) = 2004 . 2000 = 4008000.
Ví dụ 2 : (Bài 49, trang 22 SGK)
Tính nhanh:
37,5.6,5 -7,5.3,4 - 6,6.7,5 + 3,5.37,5 = (37,5.6,5 + 3,5.37,5) - (7,5.3,4 +
6,6.7,5)
= 37,5(6,5 + 3,5) - 7,5(3,4 + 6,6)
= 37,5.10 - 7,5.10 = 375 - 75 = 300.
45
2
+ 40
2
- 15
2
+ 80.45 = 45
2
+ 2.40.45 + 40
2
- 15
2

= (45 + 40)
2
- 15

2

= 85
2
- 15
2

= (85 - 15)(85 + 15) = 70.100 = 7000
Ví dụ 3 : (Bài 56, trang 25 SGK)
Tính nhanh:
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 20
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán

( )
( ) ( )
2
2 2
2
2 2
2 2
2
1 1
49,75
2 16
1 1 1 1 1
2. 0,25
2 16 4 4 4

49,75 0,25 49,75 0,25 50 2500
x x khi x
x x x x x x
khi x x
+ + =
   
+ + = + + = + = +
 ÷  ÷
   
= ⇒ + = + = =
Trong các ví dụ trên ta thấy để thực hiện được việc tính nhanh
thì phương pháp chung là: Phân tích các biểu thức cấn tính nhanh
ra thừa số rồi tính
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức:
Ví dụ 1 : (Bài 40, trang 19 SGK)
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. 15.91,5 + 150.0,85
b. 5x
5
(x - 2z) + 5x
5
(2z - x) víi x = 1999 ; y = 2000 ; z = -1
Giải
a. 15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.8,5
= 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500
b. 5x
5
(x - 2z) + 5x
5
(2z - x) = 5x

5
(x - 2z + 2z - x) = 5x
5
.0 = 0
Víi x = 1999 ; y = 2000 ; z = -1 thì biểu thức bằng 0
Ví dụ 2 : Tính giá trị của biểu thức:
a,
2 2
2 2
43 11
36.5 27.5
−
−
b,
3 3
97 83
97.83
180
+
−
Giải
a,
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
43 11 43 11
43 11
36,5 27,5 36,5 27,5 36,5 27,5
32.54 32

9.54 9
− +
−
=
− − +
= =
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 21
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
b,
( )
( )
2 2
3 3
97 83 97 97.83 83
97 83
97.83 97.83
180 180
180.8247
97.83 8247 97.83 8247 8051 196
180
+ − +
+
− = −
= − = − = − =
Trong 2 ví dụ trên đặc biệt là ví dụ 2 nhận thấy nếu như học sinh
khơng sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử thì việc tính
tốn gặp rất nhiều khó khăn nên cần hướng dẫn cho các em:

- Trước hết hãy phân tích các biểu thức đã cho thành nhân tử.
- Thay giá trị của các biến vào biểu thức đã phân tích để tính.
Ví dụ 3:
Tính giá trị của biểu thức x(x - 1) - y(1 - x) tại x = 2000, y = 1999.
Nếu theo cách làm thơng thường học sinh sẽ thay ngay giá trị của
biến vào biểu thức để tính giá trị. Cách làm đó rất phức tạp mới cho kết
quả. Vì vậy giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức thành nhân tử
rồi mới thay số tính giá trị của biểu thức.
Giải:
Ta có x(x - 1) - y(1- x) = x(x - 1) + y(x - 1)
= (x - 1)(x + y)
Thay x = 2001, y = 1999 ta được
(2001 - 1) (2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000.
Dạng 3: Tìm x thoả mãn đẳng thức cho trước :
Ví dụ 1: (Bài 50, trang 23 SGK)
Tìm x biết:
a. x(x - 2) + x - 2 = 0
b. 5x(x - 3) - x + 3 = 0
Giải
a. x(x - 2) + x - 2 = 0
Ta có x(x - 2) + x - 2 = x(x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(x + 1)
x = 2
Nên (x - 2)(x + 1) = 0
⇔
x = - 1
b. 5x(x - 3) - x + 3 = 0
Ta có 5x(x - 3) - x + 3 = 5x(x - 3) - (x - 3) = (x - 3)(5x - 1)
x = 3
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang

Trang 22
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Nên (x - 3)(5x - 1) = 0
⇔

1
5
x =
Ví dụ 2 : Tìm x biết
a. 8x
3
- 50x = 0
b. (x - 2)(x
2
+ 2x + 7) + 2(x
2
- 4) - 5(x - 2) = 0
Giải
a. 8x
3
- 50x = 2x(4x
2
- 25)
x = 0
= 2x(2x - 5)(2x + 5) = 0
⇔

5
2

x =

5
2
x = −
(x - 2)(x
2
+ 2x + 7) + 2(x
2
- 4) - 5(x - 2)
= (x - 2)(x
2
+ 2x + 7) + 2(x - 2)(x + 2) - 5(x - 2)
= (x - 2)[x
2
+ 2x + 7 + 2(x + 2) - 5]
= (x - 2)(x
2

+ 4x + 6) = 0 v× x
2

+ 4x + 6 = (x + 2)
2
+ 2 > 0
nên (x - 2)(x
2

+ 4x + 6) = 0 x - 2 = 0 hay x = 2
Ví dụ 3: Tìm x biết

5x(x - 1) = x - 1
⇔
5x(x - 1) - (x - 1) = 0
x =1
⇔
(x - 1)(5x - 1) = 0
⇔

1
5
x =
Trong dạng tốn này có thể nhận thấy đây là một cách biến đổi để
đưa về phương trình tích với các phép biến đổi chính là phân tích một đa
thức thành nhân tử, có thể hướng dẫn các en theo trìng tự sau:
- Chuyển tất cảc các số hạng về vế trái và vế phải bằng 0
A = 0
- Phân tích vế trái thành nhân tử để được A.B = 0
⇔
B = 0
- Lần lượt tìm x từ các đẳng thức A = 0, B = 0 ta được kết quả
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 23
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Dạng 4: Áp dụng vào số học
Đây là một dạng tốn khơng khó nhưng việc vận dụng phân tích đa
thức thành nhân tử để giải thì lại khó cho các em học sinh, có thể hướng
dẫn cho các em giải định hướng sau đây:
- Số ngun a chia hết cho số ngun b khác 0 nếu có số ngun k sao cho

a = bk.
- Phân tích biểu thức ra thừa số để xuất hiện số chia.
Ví dụ 1: (Bài 42, trang 19 SGK)
CMR 55
n + 1
- 55
n
chia hết cho 54 (n là số tự nhiên)
Giải
55
n + 1
- 55
n
= 55
n
(55 - 1) = 55
n
.54 chia hết cho 54
Ví dụ 2: (Bài 52, trang 24 SGK)
CMR (5n + 2)
2
- 4 chia hết cho 5
Giải
(5n + 2)
2
- 4
= (5n + 2 - 2)(5n + 2 + 2)
= 5n(5n + 4) chia hết cho 5
Ví dụ 3: CMR ta có:
a. n

3
- 13n chia hết cho 6
b. n
5
- 5n
3
+ 4n chia hết cho 120;
c. n
3
- 3n
2
- n + 3 chia hết cho 48 với n lẻ
Giải
a. n
3
- 13n = (n
3
- n) - 12n = n(n - 1)(n + 1) - 12n
Vì n, n + 1, n - 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết
cho 2 và một số chia hết cho 3 nên tích n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 2.3 = 6
(2 và 3 ngun tố cùng nhau), 12n chia hết cho 6 vậy:
n
3
- 13n = n(n - 1)(n + 1) - 12n chia hết cho 6
b. n
5
- 5n
3
+ 4n = n
5

- n
3
- 4n
3
+ 4n
= n
3
(n
2
- 1) - 4n(n
2
- 1) = n(n
2
- 1)(n
2
- 4)
= n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) là tích của 5 số ngun liên tiếp. Trong 5
số ngun liên tiếp có ít nhất 2 số là bội của 2 (Trong đó có một số là bội
của 4, một bội của 3 và một bội của 5). Do đó tích của 5 số ngun liên tiếp
chia hết cho 8.3.5= 120 (vì 8, 5, 3 đơi một ngun tố cùng nhau nhau)
n
3
- 3n
2
- n + 3 = n
2
(n - 3) - (n - 3) = (n - 3)(n
2
- 1) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh

Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 24
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
thay n = 2k + 1 (vì n lẻ) vào ta được:
(n - 3)(n - 1)(n + 1) = (2k - 2)2k(2k + 2) = 8(k - 1)k(k + 1)
Vì (k - 1)k(k + 1) là tích của 3 số ngun liên tiếp nên chia hết cho 2.3 = 6
do đó tích trên chia hết cho 48.
Qua 3 ví dụ vừa nêu ta nhận thấy nếu như các biểu thức đã cho được
phân tích thành nhân tử thì việc chứng minh sẽ trở nên đơn giản hơn vì vậy
giúp các em phân tích được biểu thức thành nhân tử thì ta đã giúp các em
hồn thành được bài tốn.
Trên đây học sinh đã được nhận biết lợi ích của việc phân tích đa
thức thành nhân tử áp dụng trong một số bài tốn được nêu trong SGK, tuy
nhiên đối với các em học sinh khá, giỏi có thể giới thiệu cho các em thêm
một vài lợi ích khác nhằm giúp các em thích thú tìm hiểu trong học tốn
như các dạng sau:
Dạng 5: Tìm các cặp số ngun (x,y) thoả mãn đẳng thức cho trước
Ví dụ 1: Tìm các cặp số ngn (x,y) thoả mãn một trong các đẳng thức sau:
a. x + y = xy.
b. xy - x + 2(y - 1) = 13
Giải
a. Ta có x + y = xy được viết thành xy - x - y = 0 nên x(y - 1) - (y - 1) = 1
hay (y - 1)(x - 1) = 1 do x, y
∈
Z mà 1 = 1.1 = (-1).(-1) nên ta có:
y - 1 = 1 y - 1 = -1 x = 2 x = 0
hoặc hoặc hoặc
x - 1 = 1 x - 1 = -1 y = 2 y = 0
Vậy hai cặp số ngun đó là (0, 0) và (2, 2)

b. xy - x + 2(y - 1) = 13
Phân tích vế trái ra thừa số ta có
xy - x + 2(y - 1) = x(y - 1) + 2(y - 1) = (y - 1)(x + 2)
Do x, y
∈
Z vế phải 13 = 1.13 = 13.1 = (-1).(-13) = (-13).(-1) nên ta lần
lượt có:
y - 1 = 1 y - 1 = 13 y - 1 = -1 y - 1 = -13
hoặc hoặc hoặc
x + 2 = 13 x + 2 = 1 x + 2 = -13 x + 2 = -1
Hay :
x = 11 x = -1 x = -15 x = -3
hoặc hoặc hoặc
y = 2 y = 14 y = 0 y = -12
Vậy 4 cặp số cần tìm là (11, 2) ; (-1, 14) ; (-15 , 0) ; (-3, -12)
Ví dụ 2 : Tìm các cặp số ngun (x,y) thoả mãn một trong các đẳng thức
sau :
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 25