Bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh trung học cơ sở thông qua dạy học nội dung phương trình và hệ phương trình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
–––––––––––––––––––––

PHẠM VIỆT HÀ

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC
CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
----------------------

PHẠM VIỆT HÀ

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC
CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Chuyên ngành: LL và PPDH bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Đào Thái Lai

THÁI NGUYÊN - 2016


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả
nghiên cứu trong đề tài này là trung thực và chưa công bố trong bất kì công trình nào
trước đây. Những số liệu, nhận xét đánh giá được tác giả thu thập từ các nguồn khác
nhau có trích dẫn nguồn tài liệu tham khảo. Nếu có phát hiện bất kì gian lận nào tôi
xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng, cũng như kết quả luận văn của mình.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2016
Tác giả luận văn

Phạm Việt Hà

i


LỜI CẢM ƠN
Sau gần 2 năm học tập và nghiên cứu tại khoa toán trường Đại học sư phạm
Thái Nguyên với mong muốn nâng cao chất lượng học tập cho học sinh THCS. Tôi
đã hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học “bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học
các bài toán thực tiễn cho học sinh THCS thông qua dạy học nội dung phương trình
và hệ phương trình” với sự giúp đỡ tận tình của PGS. TS Đào Thái Lai.
Để hoàn thành được đề tài này, trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới
thầy giáo - PGS. TS Đào Thái Lai người đã đồng hành, giúp đỡ và động viên tôi
trong suốt quá trình tôi nghiên cứu và thực hiện luận văn. Sau nữa, tôi xin gửi lời cảm
ơn đến các thầy cô giáo trong khoa toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên đã có
những góp ý, nhận xét giúp tôi có sự điều chỉnh để đề tài đạt hiệu quả cao hơn.

Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng đề tài không tránh khỏi những sai sót, tôi
mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2016
Tác giả luận văn

Phạm Việt Hà

ii


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................. ii
MỤC LỤC ....................................................................................................... iii
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .............................................................. iv
DANH MỤC CÁC BẢNG ................................................................................ v
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... v
1. Lí do chọn đề tài .......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu, nội dung nghiên cứu ................................................ 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................... 3
5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 3
6. Giả thuyết khoa học ..................................................................................... 3
7. Những đóng góp của luận văn ..................................................................... 3
8. Cấu trúc của luận văn ................................................................................. 4
PHẦN NỘI DUNG ........................................................................................... 5
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .............................................. 5
1.1. Toán học với đời sống thực tiễn của con người ........................................ 5
1.1.1. Toán học với đời sống thường nhật của con người ............................... 5
1.1.2. Toán học và các môn khoa học khác ..................................................... 6

1.2. Năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn của học sinh trung học cơ
sở ...................................................................................................................... 7
1.2.1. Nguồn gốc của năng lực ......................................................................... 7
1.2.2. Quan niệm về năng lực .......................................................................... 8
1.2.3. Phương pháp mô hình hóa ..................................................................... 9
1.3. Vấn đề ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề mô hình hóa
các bài toán thực tiễn cho học sinh THCS .................................................... 18
1.3.1. Vấn đề ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề mô hình
hóa các bài toán thực tiễn trên thế giới và trong khu vực ............................ 19

iii


1.3.2. Vấn đề ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề mô hình
hóa các bài toán thực tiễn trong nước ........................................................... 21
1.4. Thực trạng dạy học mô hình hóa toán học ở trường THCS thông qua
dạy học nội dung phương trình và hệ phương trình ..................................... 24
1.4.1. Học sinh ............................................................................................... 24
1.4.2. Giáo viên .............................................................................................. 25
1.5. Kết luận chương 1 ................................................................................... 26
Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG
CHO HỌC SINH NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CÁC BÀI
TOÁN THỰC TIỄN ...................................................................................... 27
2.1. Các định hướng cho việc xác định các biện pháp sư phạm .................... 27
2.2. Một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng cho học sinh năng lực
mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn ................................................ 27
2.2.1. Biện pháp 1. Gợi động cơ bên trong của hoạt động mô hình hóa tình
huống thực tiễn cho học sinh qua dạy học phương trình - hệ phương trình 28
2.2.2. Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh kĩ năng xây dựng mô hình toán
học cho các tình huống thực tiễn ................................................................... 36

2.2.3. Biện pháp 3: Tổ chức cho học sinh khai thác các chức năng của mô
hình, đồng thời kiểm tra và điều chình mô hình toán học ............................ 47
2.2.4. Biện pháp 4: Làm rõ quá trình vận dụng phương trình và hệ phương
trình vào thực tiễn trong dạy học toán; trên cơ sở đó, bồi dưỡng các thành tố
của năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn ........................... 59
2.2.5. Biện pháp 5: Rèn luyện cho học sinh quen dần với việc tự đặt ra các
bài toán để giải quyết một số tình huống đơn giản trong thực tiễn. ............. 63
2.3. Thiết kế, lựa chọn hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn chủ đề
phương trình - hệ phương trình .................................................................... 68
2.4. Tận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn gắn với cuộc sống thường
ngày của học sinh........................................................................................... 81
2.5. Kết luận chương 2 ................................................................................... 83
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ....................................................... 85

iv


3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ............................................................. 85
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm .............................................................. 85
3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm ............................................................ 85
3.4. Tổ chức thực nghiệp sư phạm ................................................................ 86
3.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm ................................................. 86
3.5.1. Phân tích định lượng ........................................................................... 87
3.5.2. Phân tích định tính .............................................................................. 93
3.6. Kết luận chương 3 ................................................................................... 93
KẾT LUẬN .................................................................................................... 95
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 957
PHỤ LỤC

v

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
HS

Học sinh

GV

Giáo viên

THCS

Trung học cơ sở

TN

Thực nghiệm

ĐC

Đối chứng

BTTT

Bài toán thực tiễn

iv

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Bảng thống kê về mức độ cần thiết của môn Toán trong cuộc sống ..........25
Bảng 1.2. Bảng thống kê về tình hình sử dụng mô hình hóa toán học trong
trường THCS ............................................................................................. 25
Bảng 2.1. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.7 ...................38
Bảng 2.2. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán 2.16 ............49
Bảng 2.3. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán 2.17 ............50
Bảng 2.4. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.17 .................51
Bảng 2.5. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.18 .................52
Bảng 2.6. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.18 .................53
Bảng 2.7. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.19 .................54
Bảng 2.8. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.20 .................55
Bảng 2.9. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.23 .................58
Bảng 2.10. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.32 ...............71
Bảng 2.11. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.33 ...............71
Bảng 2.12. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.34 ...............72
Bảng 2.13. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.35 ...............73
Bảng 2.14. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.38 ...............75
Bảng 2.15. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong 2.39 ........................76
Bảng 2.16. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.41 ...............77
Bảng 2.17. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.42 ...............78
Bảng 2.18. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.43 ...............79
Bảng 2.19. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.44. ..............80
Bảng 3.1. Nội dung các tiết dạy thực nghiệm sư phạm ...............................................85
Bảng 3.2. Kết quả kiểm tra chất lượng học kì I năm học 2015 - 2016 của hai lớp
9A và 9B .....................................................................................................86
Bảng 3.3. Thời gian dạy thực nghiệm sư phạm ........................................................... 86
Bảng 3.4. Bảng phân bố tầ n số kết quả kiểm tra 45 phút của HS hai lớp 9A và lớp
9B trường THCS Yên Thọ .........................................................................91
Bảng 3.5. Bảng kết quả xử lý số liệu thống kê của HS hai lớp 9A và lớp 9B trường

THCS Yên Thọ ........................................................................................... 91

v


iv


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong những năm cuối thế kỉ 20 đầu thế kỉ 21, tình hình kinh tế thế giới có hai
đặc điểm nổi bật đó là: kinh tế thế giới đang dần chuyển sang giai đoạn kinh tế tri
thức và xu hướng toàn cầu hóa của nền kinh tế. Nguyên nhân dẫn đến các đặc điểm
trên chính là các thành tựu về khoa học - công nghệ đặc biệt là thành tựu của công
nghệ thông tin. Trước tình hình đó ngành giáo dục với nhiệm vụ chuẩn bị lực lượng
lao động cho xã hội đòi hỏi cũng phải đổi mới để đáp ứng tình hình xã hội. Giáo dục
trong những năm gần đây đang tập trung đổi mới hướng tới một nền giáo dục tiến bộ,
hiện đại bắt kịp với xu hướng chung của thế giới. Một trong những định hướng quan
trọng hiện nay là tổ chức hoạt động giáo dục gắn liền với thực tiễn. Điều này được cụ
thể và quy định trong luật giáo dục của nước ta (năm 2005) tại chương 1, điều 3,
khoản 2: “Hoạt động giáo dục phải thực hiện theo nguyên lí học đi đôi với hành,
giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà
trường kết hợp với giáo dục gia đình và xã hội”. Vì vậy với việc dạy học nói chung
và dạy học môn toán nói riêng việc vận dụng kiến thức vào thực tiễn là cấp thiết và
mang tính thời sự.
Trong các giai đoạn của quá trình vận dụng toán học vào thực tiễn thì bước lập
mô hình toán học chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng bởi các phương pháp toán học
chỉ có thể thực hiện trên các mô hình toán học. Rõ ràng nếu không thiết lập được mô
hình toán học của bài toán thực tiễn thì không thể giải được các bài toán thực tiễn.
Tuy nhiên qua khảo sát việc dạy môn toán ở một số trường trung học cơ sở tại

địa phương thì việc quan tâm bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán
có nội dung thực tiễn cho học sinh của giáo viên còn nhiều hạn chế. Giáo viên chủ
yếu quan tâm tới việc cho học sinh đi tìm lời giải của các bài toán thuần túy mặc dù ý
thức được việc xây dựng mô hình toán học cho các bài toán thực tiễn là hết sức quan
trọng. Một trong những nguyên nhân dẫn đến tình trạng trên là giáo viên chưa chủ
động xây dựng tuần tự các hoạt động cụ thể trong dạy học mô hình hóa toán học các
bài toán thực tiễn cho học sinh. Nguyên nhân sâu xa hơn nữa có thể là họ thiếu các tài
liệu định hướng việc bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn

1


cho học sinh. Chính vì thế, tôi nhận thấy rằng rất cần có những nghiên cứu để đề xuất
các biện pháp cụ thể nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực
tiễn cho học sinh.
Đã có nhiều nghiên cứu về mô hình hóa toán học (của các tác giả trong nước
và nước ngoài), tuy nhiên trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ tôi muốn vận dụng các kết
quả nghiên cứu đi trước vào phần dạy học phương trình và hệ phương trình ở trung
học cơ sở. Rất nhiều những vấn đề quan trọng của đời sống thực tiễn thuộc về những
bài toán của phương trình - hệ phương trình. Phương trình và hệ phương trình có mối
liên hệ mật thiết với đời sống thực tiễn. Nội dung nổi bật trong lý thuyết về phương
trình - hệ phương trình là giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình),
nó đóng một vị trí quan trọng trong nhiều lĩnh vực như: nông nghiệp, giao thông vận
tải, kinh tế… Do vậy các kiến thức về phương trình và hệ phương trình đã được đưa
vào ngay chương trình môn toán ở trường trung học cơ cở. Cho đến nay, các tri thức
này được trình bày một cách có hệ thống. Cụ thể là phương trình được trình bày trong
chương III (SGK lớp 8 - phần đại số) và chương IV (SGK lớp 9 - phần đại số), hệ
phương trình được trình bày trong chương III (SGK lớp 9 - phần đại số).
Vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu sau:“Bồi dưỡng năng lực
mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh trung học cơ sở thông qua

dạy học nội dung phương trình và hệ phương trình”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu đề xuất một số biện pháp sư
phạm nhằm bồi dưỡng năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn cho học sinh khi
dạy học nội dung phương trình - hệ phương trình ở THCS.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu, nội dung nghiên cứu
- Tìm hiểu cơ sở lí luận về vấn đề mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn.
- Tìm hiểu chương trình giáo dục bộ môn toán ở bậc THCS, nội dung sách
giáo khoa toán lớp 8 và lớp 9; yêu cầu về mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn
trong dạy học chủ đề phương trình và hệ phương trình trong chương trình toán
THCS; xây dựng các tình huống có thể giúp học sinh phát triển năng lực mô hình hóa
tình huống thực tiễn khi học chủ đề phương trình và hệ phương trình.

2


- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực mô
hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh trong dạy học chủ đề phương
trình và hệ phương trình.
- Thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp
đã đề xuất.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Hoạt động dạy học nhằm phát triển năng lực mô hình
hóa các tình huống thực tiễn cho học sinh khi dạy học chủ đề phương trình và hệ
phương trình ở trường THCS.
- Phạm vi nghiên cứu: Phần dạy học phương trình và hệ phương trình ở các
lớp 8, 9 trường THCS.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: tập hợp, đọc, nghiên cứu, phân tích, tổng

hợp, hệ thống các nguồn tài liệu, các đề tài nghiên cứu, các giáo trình tham khảo liên
quan tới đề tài, các vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS.
- Phương pháp điều tra, quan sát: Dự giờ, điều tra, phỏng vấn, trao đổi với một
số giáo viên dạy môn toán ở trường THCS.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thử nghiệm sư phạm tại một số
trường THCS để xem xét tính khả thi và hiệu quả của nội dung nghiên cứu.
6. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở lí luận và thực tiễn, xác định một số thành tố cơ bản của năng lực
mô hình hóa các bài toán thực tiễn cho học sinh THCS. Trên cơ sở đó, nếu đề xuất
được một số biện pháp sư phạm thích hợp trong dạy học các bài toán thực tiễn khi
dạy học nội dung phương trình và hệ phương trình sẽ góp phần tạo hứng thú học tập
cho học sinh và phát huy tối đa, tối ưu năng lực mô hình hóa toán học của học sinh.
7. Những đóng góp của luận văn
7.1. Về mặt lí luận
- Đưa ra quan niệm về năng lực mô hình hóa toán học của học sinh THCS, trên
cơ sở phân tích hoạt động mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn. Luận văn cũng
đã mô tả hoạt động này đối với học sinh trung học phổ thông trong dạy học toán đồng

3


thời xác định các thành tố của năng lực mô hình hóa toán học làm cơ sở cho việc hình
thành và phát triển năng lực này ở người học.
- Đề xuất được một số biện pháp sư phạm khả thi nhằm phát triển năng lực mô
hình hóa toán học cho học sinh qua dạy học phương trình và hệ phương trình.
7.2. Về mặt thực tiễn
- Hệ thống các biện pháp sư phạm có thể giúp giáo viên phổ thông nhận thức
và hành động trong thực tiễn giảng dạy, theo hướng tăng cường xây dựng mô hình
hóa toán học cho học sinh.
- Hệ thống các bài tập, ví dụ trong luận văn là tư liệu tốt cho giáo viên THCS

tham khảo, vận dụng vào thực tiễn dạy học.
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm có 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2: Một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng cho học sinh năng
lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn .
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

4


PHẦN NỘI DUNG
Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Toán học với đời sống thực tiễn của con người
1.1.1. Toán học với đời sống thường nhật của con người
Trong cuộc sống thường ngày chúng ta luôn phải đối mặt với cuộc sống,
chúng ta phải mua bán, tính toán lỗ lãi, trong đầu luôn thường trực một vấn đề: làm
sao để có lợi cho mình nhất. Đặc biệt, trước khi làm một việc gì đó quan trọng, chúng
ta đều phải đưa ra những phán đoán. Trong cuộc sống hiện đại ngày nay, một cuộc
sống đa chiều nhiều biến động, chúng ta càng cần phải tính toán; có thể nói: chỉ có
khi đi ngủ mới không để phép tính trong đầu.
Khi tác động vào thiên nhiên để tạo ra của cải cho mình, con người bắt gặp
những “hình ảnh” của toán học: mặt hồ yên ả là hình ảnh của mặt phẳng; những đóa
hoa hướng dương hình tròn, có số cánh được bố trí theo các số hạng của dãy Fi-bôna-xi; những con ong xây tổ theo những hình lục giác đều,… Galilê nói: “Thiên
nhiên cũng nói bằng ngôn ngữ toán: chữ cái của thứ ngôn ngữ đó là hình tròn, hình
tam giác và các hình toán học khác” [26]. Thiên nhiên quả là hấp dẫn con người, lôi
kéo họ vào khám phá và cải tạo thế giới. Trong lao động tạo ra của cải cho xã hội,
con người đã phải tính toán đến vấn đề tiêu thụ để thu lãi về là lớn nhất. Bởi vậy, họ
phải tính toán đến chất lượng sản phẩm, nguồn nguyên liệu,... Tất cả những vấn đề đó

đều liên quan đến toán học.
Khác với các động vật, con người được thừa hưởng nền văn minh của các xã
hội trước đó, những kinh nghiệm và tri thức đã được tích lũy và lưu trữ trong sách vở,
trong đó có tri thức toán học. Con người phải đến trường để lĩnh hội và phát triển vốn
tri thức của xã hội truyền lại và đặc biệt là vận dụng vốn tri thức đó vào đời sống thực
tiễn của bản thân mình. Đời sống thực tiễn của con người rất đa dạng và phong phú:
học tập, lao động sản xuất, chiến đấu bảo vệ tổ quốc. Không phải khi nào cũng cho
phép chúng ta ngồi trong một phòng học đầy đủ các phương tiện để giải quyết các
vấn đề được đặt ra. Chẳng hạn, cần xác định chiều cao của một toà nhà mà không có
dụng cụ đo hay xác định khoảng cách giữa vị trí của ta và mục tiêu của địch,… Gặp

5


những trường hợp như vậy, con người đã phải nỗ lực sáng tạo, sử dụng phương pháp
toán học, lợi dụng thiên nhiên để hoàn thành nhiệm vụ.
Tóm lại, quá trình sản xuất vào đời sống ngày càng được tự động hóa thì xã
hội ngày càng trở nên nhân tạo và vai trò của toán học ngày càng lớn. Dĩ nhiên không
phải hiện tượng xã hội nào cũng có thể được mô phỏng qua mô hình toán học, nhưng
không gì có thể ngăn cản sự tò mò, sáng tạo và khát khao chinh phục những vùng đất
mới của các nhà toán học. Hàng ngàn năm trước nhà triết học Socrates đã nói: “Hãy
đo, hãy đo, dù không phải lúc nào cũng đo được”. Các nhà toán học một cách ý thức
hay vô thức hình như đang đi theo lời kêu gọi đó. Họ trở thành một lực lượng đông
đảo, có đóng góp lan tỏa rộng rãi khắp trong đời sống. Toán học ngày nay đã trở
thành một nghề nghiệp, đảm bảo việc làm cho hàng chục vạn người làm toán trên
toàn thế giới, góp phần phát triển và ổn định xã hội.
1.1.2. Toán học và các môn khoa học khác
Toán học nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng không gian
của thế giới khách quan. Quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn của hai đại lượng là
mối quan hệ cơ bản thường gặp trong thực tiễn khoa học và đời sống… Điều đó nói

lên vai trò của toán học được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự
nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, văn học…
Cơ học và vật lí không thể phát triển được nếu không có toán học. Nhưng điều
đáng chú ý nhất trong giai đoạn cách mạng khoa học kĩ thuật là bên cạnh những ứng
dụng của toán học vào kĩ thuật và sản xuất thông qua vật lí và cơ học thì những ứng
dụng thông qua điều kiện học tăng lên không ngừng và ngày càng quan trọng.
Một lĩnh vực không thể không nhắc đến trong cuộc sống đã chịu sự xâm nhập
của phương pháp toán học và điều khiển học là y học - ngành khoa học có lịch sử rất
lâu đời và cũng tích lũy được nhiều kinh nghiệm phong phú. Trải qua hàng ngàn năm,
y học đã biết đến hàng triệu căn bệnh khác nhau và có những phương pháp chữa trị
bệnh khác nhau. Ngày nay nhờ các trang thiết bị máy móc hiện đại và phương pháp
tính toán, việc sử dụng các phương pháp thống kê toán học và máy tính điện tử có thể
giúp con người khai thác triệt để các kinh nghiệm và đoán bệnh một cách chính xác,
hiệu quả.

6


Một lĩnh vực khác mà vai trò của toán học có nhiều kết quả đáng kể là kinh tế
học. Đó là những ứng dụng hàng ngày thông qua vấn đề tổ chức và quản lí sản xuất.
Ai cũng biết không phải chỉ cần có kĩ thuật cao, máy móc hiện đại là sản xuất tốt mà
điều quan trọng ở đây là phải biết tổ chức và quản lí sản xuất một cách khoa học để
phát huy một cách hiệu quả các kĩ thuật và máy móc ấy. Đứng trước một vấn đề tổ
chức sản xuất người ta có thể đưa ra nhiều phương án giải quyết khác nhau và đương
nhiên bao giờ cũng chọn phương án tốt nhất. Bài toán về “sự lựa chọn” ấy đã được
một số nhà khoa học chú ý nghiên cứu tỉ mỉ, chi tiết. Kết quả là đã ra đời một môn
khoa học về các vấn đề đó gọi là vận trù học.
Tóm lại, toán học có vai trò to lớn với sự phát triển của các ngành khoa học, kĩ
thuật khác, là điều kiện thiết yếu để phát triển lực lượng sản xuất. Còn một đặc điểm
rất quan trọng của tình hình khoa học hiện nay là: song song với việc phân hóa theo

chuyên môn, đang hình thành một xu hướng tổng hợp, thống nhất các khoa học còn
lại. Nổi bật một nét mới là các khoa học ngày càng ‘‘toán học hóa’’ có nghĩa là ngày
càng được sư dụng rộng rãi hơn các phương pháp toán học.
1.2. Năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn của học sinh trung học cơ
sở
1.2.1. Nguồn gốc của năng lực
Từ cuối thế kỉ XIX đến nay đã có nhiều ý kiến khác nhau về bản chất và
nguồn gốc của năng lực, tài năng. Hiện nay đã có xu hướng thống nhất trên một số
quan điểm cơ bản, quan trọng về lí luận cũng như thực tiễn:
+ Một là, những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết ban đầu cho
sự phát triên năng lực. Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ (động vật bậc cao sống với
người hàng ngàn năm vẫn không có năng lực như con người vì chúng không có các tư
chất bẩm sinh di truyền làm tiền đề cho sự phát triển năng lực).
+ Hai là, năng lực của con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử. Con người từ
khi sinh ra đã có sẵn các tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lực tương ứng,
nhưng nếu không có môi trường xã hội thì cũng không phát triển được. Xã hội đã
được các thế hệ trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đó cho các thế hệ sau
trong môi trường văn hóa - xã hội.

7


+ Ba là, năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của các hoạt
động. Sống trong môi trường xã hội tự nhiên do các thế hệ trước tạo ra và chịu sự tác
động của nó, con người ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng hay thích ứng với
các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn cải tạo chúng và tạo ra kết quả “vật
chất” mới hoàn thiện hơn cho các hoạt động tiếp theo.
1.2.2. Quan niệm về năng lực
Khi phát triển chương trình giáo dục, đa số các nước không chỉ chú trọng đến
kiến thức, kĩ năng mà còn quan tâm đến phát triển năng lực cho học sinh. Tiếp cận

năng lực trong phát triển chương trình giáo dục các trình độ đã trở thành xu hướng
của thời đại. Cần có một cách hiểu thống nhất về khái niệm năng lực. Theo đó năng
lực là khả năng huy động tổng hợp các kiến thưc, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân
khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… để thực hiện thành công một loại việc nào trong
một bối cảnh nhất định.
Trong giáo dục, người ta xem xét các năng lực chung và các năng lực đặc thù
môn học.
* Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác nhau
như năng lực phán xét tư duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực tưởng tưởng.
Năng lực chung bao gồm các các nhóm sau:
- Nhóm các năng lực phát triển cá nhân: năng lực và tự học, năng lực giải
quyết vấn đề và sáng tạo, năng lực thẩm mĩ, năng lực thể chất.
- Nhóm các năng lực xã hội: Năng lực giao tiếp và năng lực hợp tác.
- Nhóm các năng lực công cụ: năng lực tính toán, năng lực sử dụng công nghệ
thông tin.
* Các năng lực đặc thù môn học
Theo tác giả Trần Kiều thì có thể đề xuất một số các năng lực đặc thù môn
toán như sau:
- Năng lực tư duy với các thao tác chủ yếu như: Phân tích và tổng hợp, so
sánh, đặc biệt hoa, khái quát hóa…
- Năng lực giải quyết vấn đề: Đây là một trong những năng lực mà môn toán
có nhiều thuận lợi để phát triển…

8


- Năng lực mô hình hóa toán học: năng lực này thể hiện ở việc học sinh có thể
phân tích tình huống thực tế, đề xuất các yếu tố không bản chất, đi tới một mô hình
toán học…
- Năng lực biểu diễn toán học

- Năng lực giao tiếp (qua nói hoặc viết)
- Năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện học toán
Từ quan niệm năng lực trên, có thể hình dung rằng dạy học nhằm phát triển
năng lực sẽ làm đổi mới việc xác định mục đích dạy học, phương pháp và hình thức
dạy học và cả phương pháp đánh giá.
Theo Xavier Roegeiers [62], để phát triển năng lực người học, cần chú trọng
hơn tới việc tổ chức hệ thống các tình huống học tập, trong đó học sinh buộc phải
hoạt động trong tìm hiểu tình huống, phát hiện và giải quyết vấn đề, khi giải quyết
vấn đề học sinh buộc phải huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và nhiều phẩm
chất khác, phải tìm kiếm thông tin, tương tác với môi trường học tập, giáo tiếp với
giáo viên, với bạn học và những người khác để giải quyết vấn đề, nhờ đó phát triển
được năng lực mong muốn.
1.2.3. Phương pháp mô hình hóa
Phương pháp mô hình hóa là phương pháp nhận thức khoa học mà con người
dùng phương tiện là mô hình để nghiên cứu các sự vật và hiện tượng.
1.2.3.1. Quan niệm về mô hình
Quan niệm về mô hình có thể được hiểu như sau:
Hai hệ thống A và B được gọi là đẳng cấu với nhau khi tồn tại một song ánh từ
A lên B sao cho bảo toàn các mối quan hệ.
Do A và B là đẳng cấu, nên khi nghiên cứu B, phát hiện được các thuộc tính
nào đó thì cũng rút ra được kết luận rằng A cũng có các thuộc tính như thế. Trong
nhiều trường hợp, vì A là khá phức tạp, người ta tìm cách nghiên cứu B đơn giản hơn,
nhưng đẳng cấu về toán học với A. Lúc này B được gọi là một mô hình của A.
1.2.3.2. Các đặc trưng của mô hình
- Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu, nên mô hình phải
bảo lưu được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là cơ bản do con
người quan niệm). Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc. Mô

9

hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc
(đồng nhất những tính chất và những mối quan hệ chủ yếu). Tính chất này cho phép
con người xây dựng những mô hình đơn giản hơn vật gốc. Iu. M. Xviregiev cho rằng:
“Mô hình bao giờ cũng “nghèo nàn” hơn hiện thực mà nó mô tả” và ông khẳng định
rằng: “Mô hình có thể là thô thiển và chưa hoàn thiện, song nó phải xét đến mọi khía
cạnh chính của thực tế, những khía cạnh mà chúng ta quan tâm tới” [27, tr.28]. Tuy
nhiên, không phải bao giờ mô hình cũng đơn giản hơn vật gốc. Ngày nay, với sự phát
triển của khoa học kỹ thuật, con người sử dụng nhiều phương tiện hiện đại để mô tả
đối tượng nghiên cứu, cho nên nó có thể phức tạp hơn vật gốc.
- Đứng về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, nó ra đời
nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể. Trong quá trình trừu
tượng hóa, con người đã vứt bỏ những dấu hiệu không bản chất, chỉ giữ lại những
thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hóa.
Bởi vậy, mô hình mang tính lí tưởng, tính chất này cho phép con người sáng tạo ra
trên đó những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn. Điều này đã làm cho phương pháp
mô hình hóa có tính chất cách mạng, có tính phát triển. Do đó, quá trình xây dựng mô
hình là một quá trình nhận thức khoa học tích cực [59, tr. 177].
- Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc. Một mô hình chỉ phản ánh
đến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó của vật gốc. Để nghiên cứu các sự vật
hiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mô hình để mô tả chúng. Tuy nhiên việc
lắp ráp chúng lại để có một sự đánh giá tổng quát về đối tượng ban đầu không phải là
một việc đơn giản.
- Thực tiễn cuộc sống luôn luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hình không
phải là cái bất biến. Phát triển từ mô hình ở mức độ thấp lên mức độ cao hơn đòi hỏi
phải phát hiện được tính quy luật chung của các nhóm mô hình của các quá trình cụ
thể, trong đó mô hình tổng quát hơn phải tương thích với các mô hình cụ thể trước
đó. Một mô hình có thể là chưa thành công về nhiều phương diện nhưng nó vẫn có
vai trò quan trọng trong việc phán đoán tình huống thực tiễn.
Đặc điểm quan trọng của mô hình toán học là sử dụng ngôn ngữ toán học để

mô tả các hiện thực khách quan; chính điều này đã làm cho nó ưu việt hơn các mô
hình của các khoa học khác. Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cũng cho rằng: “Mô hình
10


toán học khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc tính
về “chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác diễn tả đúng những quan hệ số
lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác” [54, tr.98]. Vì “chất liệu”
của mô hình toán là ngôn ngữ toán học nên chúng rất đa dạng và phong phú: có thể là
biểu thức giải tích, phương trình, bảng, biểu đồ, đồ thị, hình vẽ,…
1.2.3.3. Các cấp độ của mô hình hóa toán học
Các tình huống và bài tập mô hình hóa cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn
giản đến phức tạp. Việc học sinh tự mình giải quyết được một bài toán có ý nghĩa rất
lớn về mặt tâm lí. Ngược lại, việc thất bại ngay từ bài toán đầu tiên dễ làm cho học
sinh mất nhuệ khí, dễ gây tâm trạng bất lợi cho quá trình tổ chức hoạt động tiếp theo.
Do đó, trong khi thiết kế hệ thống các tình huống và bài tập mô hình hóa, giáo viên
cần chú ý đến các mức độ mô hình hóa. Sau đây là cách đánh giá mức độ mô hình
hóa dựa theo Ludwig và Xu (2010) [64]:
- Cấp độ 0: Học sinh không hiểu tình huống và không thể vẽ, phác thảo hay
viết bất cứ cái gì cụ thể về vấn đề.
- Cấp độ 1: Học sinh chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không cấu trúc và
đơn giản tình huống hoặc không thể tìm sự kết nối đến một ý tưởng toán học nào.
- Cấp độ 2: Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, học sinh tìm mô hình thật qua
cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng không biết chuyển đổi thành một vấn đề toán học. Ở
cấp độ này, học sinh cần đạt được hai kĩ năng mô hình hóa đầu tiên.
- Cấp độ 3: Học sinh có thể tìm ra không chỉ mô hình thật, mà còn phiên dịch
nó thành vấn đề toán học, nhưng không thể làm việc với nó một cách rõ ràng trong
thế giới toán học.
- Cấp độ 4: Học sinh có thể thiết lập vấn đề toán học từ tình huống thực tiễn,
làm việc với bài toán với kiến thức toán học và có kết quả cụ thể.

- Cấp độ 5: Học sinh có thể trải nghiệm quá trình mô hình hóa toán học và
kiểm nghiệm lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho.
1.2.3.4. Quá trình mô hình hóa
Quá trình mô hình hóa toán học gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây:

11


* Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và phát
hiện các yếu tố (tham số) quan trọng có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn.
* Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán sử
dụng ngôn ngữ Toán học. Từ đó thiết lập mô hình Toán học tương ứng.
* Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và công cụ Toán học phù hợp để mô
hình hóa bài toán và phân tích mô hình đó.
* Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa ra
kết luận.
Quá trình mô hình hóa là được xem là khép kín và nó được dùng để mô tả các
tình huống được nảy sinh từ thực tiễn, kết quả của nó được dùng để giải thích và cải
thiện các vấn đề trong thực tiễn. Có thể minh họa quá trình trên bằng sơ đồ khép kín
như sau:

Sơ đồ 1.1: Quá trình mô hình hóa toán học trong dạy học toán
Để vận dụng linh hoạt quá trình trên, trong quá trình dạy học toán, giáo viên
cần giúp HS nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây trong quá trình mô
hình hóa các bài toán:
- Bước 1 (Toán học hóa): Hiểu vấn đề thực tiễn, xây dựng các giả thuyết
để đơn giản hóa vấn đề, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngôn ngữ
toán học.
- Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích
hợp để giải quyết vấn đề hay bài toán đã được toán học hóa.

12


- Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tình huống
trong thực tiễn (bài toán ban đầu).
- Bước 4 (Đối chiếu): Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mô
hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp
toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng.
1.2.3.5. Hoạt động mô hình hóa
Hoạt động mô hình hóa là hoạt động chuyển một vấn đề thực tế về một vấn đề
trong nội tại bản thân toán học để sử dụng công cụ của khoa học này nghiên cứu giải
quyết. Hoạt động này có thể phân chia thành hai dạng: dạng thứ nhất là hoạt động của
các nhà khoa học; dạng thứ hai là hoạt động của những người có học vấn phổ thông.
- Đối với các nhà khoa học, người ta quan tâm đến việc mô tả quy luật của tự
nhiên, của xã hội bằng công cụ toán học để mang lại những ứng dụng thiết thực trong
khoa học và đời sống. Quá trình xây dựng mô hình toán học cho các vấn đề thực tế
này là một vấn đề vô cùng phức tạp; nó xuất phát từ thực tiễn cuộc sống muôn hình
muôn vẻ. Mô hình toán học có thể có nhiều cấp độ, có thể mô tả một lớp rộng rãi các
đối tượng của hiện thực khách quan, cũng có thể phân chia thành nhiều lớp các mô
hình riêng biệt và các lớp mô hình này cũng có thể có nhiều mức độ khác nhau. Cuối
cùng là mô hình toán học của các quá trình cụ thể. Trong sự suy diễn ở trên là đi từ
mô hình toán học tổng quát đến mô hình toán học riêng biệt cụ thể. Tuy nhiên, trên
thực tế quá trình xây dựng mô hình đi ngược lại với sự suy diễn đó. Quá trình xây
dựng mô hình toán học không phải là quá trình hình thức hoá mà nó chứa đựng
những giả định (giai đoạn trực giác), các tính toán dựa trên những giả định và so sánh
với thông tin thu nhận được. Tuy phức tạp nhưng người ta cũng hình dung ra được
các giai đoạn phải thực hiện trong quá trình này. Theo A. A. Dorođnhixưn [1, tr.24],
quá trình mô hình hóa của các nhà khoa học có thể phân thành các giai đoạn sau:
1) Nhận biết các dạng liên hệ (người);

2) Xây dựng mô hình toán học (người);
3) Giải bài toán trên mô hình (máy);
4) So sánh kết quả đã giải với thông tin thu được, xác định những điều không
phù hợp (máy);
5) Phân tích các nguyên nhân có thể gây nên sự không phù hợp (người);

13


6) Xây dựng mô hình toán học mới. Sau đó quá trình lặp lại từ 2 đến 6, số lần
lặp lại tuỳ thuộc vào tư duy sắc bén của con người. Nếu kết quả phù hợp thì có thể
chấp nhận mô hình, ngược lại thì phải quay về bước 1.
- Đối với người có học vấn bậc THCS, hoạt động mô hình hóa các bài toán
thực tiễn xảy ra khi họ đối mặt với các tình huống có ảnh hưởng trực tiếp đến cuộc
sống cá nhân. Họ phải nỗ lực chuyển những tình huống này về dạng toán học thực
tiễn để giải quyết, phục vụ cho hoạt động thực tiễn của bản thân mình. Khác với dạng
hoạt động thứ nhất là hoạt động nghiên cứu thì hoạt động dạng thứ hai lại thiên về
việc vận dụng toán học vào trong các tình huống đơn giản, phổ biến thường xảy ra
trong cuộc sống. Cụ thể là trước tình huống đối mặt trong cuộc sống, họ phải liên
tưởng tới những tri thức toán học phù hợp để từ đó đặt ra được bài toán và tìm cách
giải quyết nhằm thỏa mãn nhu cầu của mình.
1.2.3.6. Khái niệm về năng lực mô hình hóa toán học
Năng lực là đặc điểm tâm lí cá nhân của con người, đáp ứng được yêu cầu của
mọi hoạt động và là điều kiện tốt để hoàn thành tốt công việc của mình. Hệ thống các
năng lực cùng với phẩm chất của con người cụ thể hình thành nên nhân cách của con
người. Như đã trình bày ở mục 1.1, xu hướng tăng cường tính thực tiễn trong dạy học
toán ở trường THCS đóng vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển năng
lực cho HS. Liên hệ thực tiễn giúp học sinh học tập toán một cách tích cực, chủ động và
có ý nghĩa hơn. Để thực hiện được mục tiêu đó, người giáo viên dạy toán cần có năng
lực vận dụng những khái niệm toán học ở trường phổ thông để thiết kế và mô tả các mô

hình toán học trong cuộc sống. Khả năng xây dựng mô hình toán học từ tình huống thực
tiễn được coi là cơ sở của việc “toán học hóa các tình huống thực tiễn”;
Hoạt động thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tế là hoạt động của
chủ thể tiến hành tổ chức lại các dữ kiện toán học thu được sau khi mã hoá các thông
tin toán học có được từ tình huống thực tế để lập nên thành bài toán toán học cần
thiết. Các dữ kiện này đang tồn tại một cách riêng rẽ, đơn lẻ và phải được liên hệ,
phối hợp với nhau một cách thành công. Chẳng hạn với bài toán thực tế lập
phương trình, đây chính là khâu thiết kế lập phương trình từ các dữ kiện toán học
đã xây dựng được.

14


Năng lực thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tế (gọi tắt là năng lực
thiết lập mô hình) được sử dụng giúp chủ thể thực hiện các hoạt động này. Trong
năng lực thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tế có hai yếu tố sau đây:
a) Năng lực nhận thức được những quan hệ toán học giữa các đối tượng tham
gia tình huống thực tế.
Để tổ chức lại các dữ kiện toán học, cần phải nhận thấy được những mối quan
hệ toán học giữa chúng. Những mối quan hệ này chỉ có thể thấy được khi chủ thể đã
nhận thức được đầy đủ và tổng quan các mối quan hệ toán học (như các quan hệ,
tương quan hàm...) giữa các đối tượng, các yếu tố tham gia trong tình huống thực tế.
b) Tính linh hoạt của tư duy trong các hoạt động liên hệ giữa các yếu tố thực tế
và các yếu tố toán học.
Khi giải quyết một bài toán thực tế, thường chủ thể không thể xét cùng lúc tất
cả các dữ kiện trong bài toán. Xuất phát từ một nhóm các dữ kiện, huy động được các
kiến thức toán học phù hợp, sẽ có được mô hình toán học của nhóm này, sau đó quay
trở lại xét tiếp nhóm các dữ kiện khác của bài toán, tiếp tục mô hình hoá toán học
chúng. Từ các bước như vậy mà hình thành mô hình toán học đầy đủ của cả bài toán
thực tế. Tuy nhiên, có trường hợp ở một bước nào đó không thành công và phải quay

trở lại, tiến hành lại các bước. Chẳng hạn khi giải một bài toán thực tế bằng cách lập
phương trình, xuất phát từ một nhóm dữ kiện nào đó là một đại lượng đã được biểu
thị dưới dạng các biểu thức chứa ẩn sau khi đã chọn một đại lượng làm ẩn, có khi ở
những bước tiếp theo lại bế tắc, không thể thiết lập được phương trình và phải quay
lại, xem xét một nhóm dữ kiện khác phải thực hiện lại cả việc chọn ẩn số....
Như vậy, để thực hiện có hiệu quả hoạt động thiết lập mô hình toán học của
một tình huống thực tế, cần phải đến sự linh hoạt của tư duy trong các hoạt động di
chuyển giữa các yếu tố thực tế và các yếu tố toán học và yếu tố này trở thành một
thuộc tính tâm lí cần thiết có mặt trong năng lực thiết lập mô hình toán học của tình
huống thực tế.

15