Đề thi HK1 toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD và đt hà nam

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ I
Năm học 2017 – 2018
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
(Đề thi gồm 02 trang)

Mã đề 124

I.

PHẦN TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm)

Câu 1: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y  2 x 3  3 x  2 và Parabol y   x 2  10 x  4.
A. 0.

B. 1.

C. 3.
Câu 2: Cho hàm số g  x   log  2 x  4  . Tính g   1 .

D. 2.

1
1
B. g   1  
.
.
2 ln10

ln10
1
1
C. g   1  
D. g   1 
.
.
2 ln10
ln10
Câu 3: Cho hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh bằng 16  và độ dài đường sinh bằng
A. g   1 

8. Tính bán kính đường tròn đáy r của hình nón đã cho.
1
A. r  4.
B. r  .
C. r  2.
2
1
1
Câu 4: Hàm số y  x 4  x 2  có bao nhiêu điểm cực trị ?
4
2
A. 1.
B. 2.
C. 3.

D. r  1.

D. 0.

x

Câu 5: Cho hàm số y  e .sin x. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. y

2

 y

2

2

e

2x

. B. y

2

 y

2

2
x

e .

C. y

2

Câu 6: Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 4.

B. 3.

 y 

4

2
x

e .

D. y

2

 y

4

2

 e 2 x .

2 x2  1
.
2 x2  5x  2

C. 2.

D. 1.

Câu 7: Cho khối chóp S . ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc; SA  a, SB 

Tính thể tích V của khối chóp S . ABC.
1
1
A. V  a 3 .
B. V  a 3 .
C. V  a 3 .
2
3
Câu 8: Biết log 2 3  a, log 3 5  b. Tính log1000 27 theo a, b.

D. V 

a
, SC  2a.
2

1 3
a.
6

1
b
a
ab
B.
C.
D.
.
.
.
.
1  ab
1  ab
1  ab
1  ab
Câu 9: Biết hàm số y  x 3  5 x 2  3 x  4 nghịch biến trên khoảng  a; b  với a  b; a, b  
A.

và đồng biến trên các khoảng   ; a  ,  b;    . Tính S  3a  3b.
A. S  6.
B. S  9.
C. S  10.
D. S  12.
Câu 10: Cho tứ diện S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết SA vuông góc với

mặt phẳng  ABC  và SA  a. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S . ABC theo a.


A. R 

a 7
.
4

B. R  a

7
.
12

C. R 

Câu 11: Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình 9
A. T  2.

B. T   2.

a 7
.
3

x 1
x

D. R 

a 7
.
12

x2

 27 x 1 . Tính T  x1 x2 .

D. T   6.

C. T  6.

Câu 12: Tìm tập xác định D của hàm số y  ln   x 2  5 x  4  .

II.

A. D  1; 4  .

B. D   4;    .

C. D    ;1 .

D. D    ;1   4;    .

PHẦN TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Bài 1 (1,5 điểm). Cho hàm số y  x3  4 x 2  5 x  2.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C  của hàm số.
 11

b) Gọi A, B là các điểm cực trị của  C  . Cho C  ;  1 . Chứng minh rằng các điểm
2


A, B, C thẳng hàng.
Bài 2 (1,5 điểm). Giải các phương trình sau:
1
b) log 4  x 4  6 x 2  9   log 2  5  x  .
a) 9 x  4.3x 1   0.
3
Bài 3 (3,0 điểm). Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AD  2a,
CD  a 2. Biết SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  và SA  3a 2. Gọi K là trung điểm

của đoạn AD.
a) Tính thể tích khối chóp S .BCK theo a.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AD theo a.
c) Chứng minh rằng  SBK  vuông góc với  SAC  .
Bài 4 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P

4
a 2  b2  c 2  4



9

 a  b   a  2c  b  2c 

---------- HẾT ----------

.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT MÃ ĐỀ 124
THỰC HIỆN BỞI NGUYỄN THẾ DUY
/>
I.

PHẦN TRẮC NGHIỆM
1. C
7. D

2. D
8. B

3. C
9. C

4. A
10. B

5. D
11. A

6. B
12. A

Câu 1: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y  2 x 3  3x  2 và Parabol y   x 2  10 x  4.
A. 0.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

HD: Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và  P  là 2 x  3x  2   x 2  10 x  4
3

 x  2; x   3
 2 x  x  13 x  6  0   2 x  1 x  2  x  3  0  
.
x  1

2
Vậy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt. Chọn C.
3

2

Câu 2: Cho hàm số g  x   log  2 x  4  . Tính g   1 .

1
.
2 ln10
1
.
C. g   1  
2 ln10

1
.

ln10
1
.
D. g   1 
ln10
1
1
HD: Ta có g  x   log 2  log  x  2   g   x  
 g   1 
. Chọn D.
ln10
 x  2  .ln10
A. g    1 

B. g   1  

Câu 3: Cho hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh bằng 16  và độ dài đường sinh bằng
8. Tính bán kính đường tròn đáy r của hình nón đã cho.
1
A. r  4.
B. r  .
C. r  2.
2
 S xq  16 
 rl  16 
16 
HD: Ta có 

r
 2. Chọn C.

8
l  8
l  8

Câu 4: Hàm số y 
A. 1.

D. r  1.

1 4
1
x  x 2  có bao nhiêu điểm cực trị ?
4
2
B. 2.
C. 3.

D. 0.

HD: Hàm số trùng phương y  ax  bx  c  a  0  với tích ab  0 có 1 điểm cực trị.
4

Vậy hàm số y 

2

1 4
1
x  x 2  có duy nhất 1 điểm cực trị là x  0. Chọn A.
4

2

Câu 5: Cho hàm số y  e  x .sin x. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. y

2

 y

2

2

e

2x

. B. y

2

 y

2

2
x

e .

C. y

2

 y 

4

2
x

e .

D. y

2

 y

4

2

 e 2 x .


HD: Ta có y   e  x .sin x  e  x .cos x   cos x  sin x  e  x

y
  e  x .cos x.

2

 y    sin x  cos x  e  x   cos x  sin x  e  x   2e  x .cos x 
2

2
2
 y 
Khi đó y      e  x .sin x     e  x .cos x    sin 2 x  cos 2 x  e  2 x  e  2 x . Chọn D.
 2
2

2 x2  1
Câu 6: Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  2
.
2x  5x  2
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
u  x
HD: Hàm số đã cho dạng phân thức y 
và có đồ thị  C  ta thấy rằng:
v  x

 deg u  x   deg v  x  (với deg là bậc của đa thức)   C  có tiệm cận ngang là y  0.
1

x


 Phương trình v  x   0 
2   C  có hai tiệm cận đứng là

x  2
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận. Chọn B.

1

x  2 .

x  2

Câu 7: Cho khối chóp S . ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc; SA  a, SB 

Tính thể tích V của khối chóp S . ABC.
1
1
A. V  a 3 .
B. V  a 3 .
2
3

C. V  a 3 .

HD: Khối chóp S . ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc  VS . ABC

a
Với SA  a, SB  , SC  2a 
 Thể tích VS . ABC 
2

a
, SC  2a.
2

1 3
a.
6
SA.SB.SC

.
6
D. V 

a
a. .2a
a3
2
 . Chọn D.
6
6

Câu 8: Biết log 2 3  a, log 3 5  b. Tính log1000 27 theo a, b.
A.

b
.
1  ab

B.

a
.
1  ab

C.

ab
.
1  ab

D.

1
.
1  ab

1
1 log 27 1 log 2 33
HD: Ta có log1000 27  log10 3 27  log10 27  . 2
 .
.
3
3 log 2 10 3 log 2  2.5 
1 3.log 2 3 1
3.log 2 3
1 3a
a
 .
 .

 .

. Chọn B.
3 1  log 2 5 3 1  log 2 3.log 3 5 3 1  ab 1  ab
Câu 9: Biết hàm số y  x3  5 x 2  3 x  4 nghịch biến trên khoảng  a; b  với a  b; a, b  

và đồng biến trên các khoảng   ; a  ,  b;    . Tính S  3a  3b.
A. S  6.

B. S  9.

C. S  10.
D. S  12.
2
HD: Xét hàm số y  x  5 x  3 x  4 trên , có y  3 x  10 x  3; x  .
3

2


1

x

Phương trình y  0  3 x  10 x  3  0   3x  1 x  3  0 
3.

x  3
2

1

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng   ;  và  3;    ; hàm số nghịch biến trên
3

1
1
Do đó a  ; b  3 
 S  3a  3b  3.  3.3  10. Chọn C.
3
3

1 
 ;3  .
3 

Câu 10: Cho tứ diện S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết SA vuông góc với

mặt phẳng  ABC  và SA  a. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S . ABC theo a.

a 7
a 7
a 7
7
B. R  a
C. R 
D. R 
.
.
.

.
4
3
12
12
HD: “ Tứ diện ABCD có một cạnh vuông góc với một mặt, chẳng hạn có đường thẳng AB
vuông góc với mặt phẳng  BCD  . Gọi h là chiều cao của tứ diện ABCD, r là bán kính
A. R 

đường tròn ngoại tiếp  BCD. Khi đó, ta có công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện ABCD là R  r 2 

h2
”
4
2

Áp dụng CTTN, ta có R  R

2
 ABC

 a 3  a2
SA2
7
. Chọn B.

 
a
 

4
4
12
 3 

Câu 11: Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình 9
A. T  2.

B. T   2.

x 1
x

x2

 27 x 1 . Tính T  x1 x2 .

D. T   6.

C. T  6.

x 1
x 1
3.
2.
2  x  1 3  x  2 
x  0
x 1
x


.
HD: Điều kiện: 
. Ta có 9  27  3 x  3 x 1 
x
x 1
 x  1
x2

x2

x  3  7
.
 2  x  1 x  1  3x  x  2   2 x 2  2  3 x 2  6 x  x 2  6 x  2  0   1
 x2   3  7
Vậy tích T  x1 x2  2. Chọn A.
Câu 12: Tìm tập xác định D của hàm số y  ln   x 2  5 x  4  .
A. D  1; 4  .

B. D   4;    .

C. D    ;1 .

D. D    ;1   4;    .

HD: Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi  x 2  5 x  4  0  1  x  4.

Vậy tập xác định của hàm số là D  1; 4  . Chọn A.

II.

PHẦN TỰ LUẬN

Bài 1 (1,5 điểm). Cho hàm số y  x 3  4 x 2  5 x  2.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C  của hàm số.


 11

b) Gọi A, B là các điểm cực trị của  C  . Cho C  ;  1 . Chứng minh rằng các điểm
2

A, B, C thẳng hàng.
Lời giải. a) Học sinh tự làm.
 x  1  y 1  0

b) Ta có y  3 x  8 x  5; x  . Phương trình y  0  
5
4.
5
x   y   

3
27
3
  2
  9
4 
4 
5


Khi đó A 1;0  , B  ;    AB   ;   và AC   ; 1 .
 3 27 
 3 27 
2

 27 
Vậy AC 
AB suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.
4
Bài 2 (1,5 điểm). Giải các phương trình sau:
1
a) 9 x  4.3x 1   0.
b) log 4  x 4  6 x 2  9   log 2  5  x  .
3
2
1
Lời giải. a) Ta có 9 x  4.3x 1   0  3.  3x   4.3x  1  0   3x  1 3.3x  1  0
3
2

3 x  1  0
3x  30
x  0
 x
 x

 x  1. Vậy phương trình có tập nghiệm là S  0;  1 .
1
3.3

1
0
3
3






b) Điều kiện: x  5. Ta có log 4  x 4  6 x 2  9   log 2  5  x   log 2 2  x 2  3  log 2  5  x 
2

x  1
 log 2  x 2  3  log 2  5  x   x 2  3  5  x  x 2  x  2  0  
(tmđk).
x   2
Vậy phương trình có tập nghiệm là S  1;  2 .
Bài 3 (3,0 điểm). Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AD  2a,
CD  a 2. Biết SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  và SA  3a 2. Gọi K là trung điểm

của đoạn AD.
a) Tính thể tích khối chóp S .BCK theo a.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AD theo a.
c) Chứng minh rằng  SBK  vuông góc với  SAC  .
Lời giải. a) Ta có S  BKC  S ABCD  S ABK  S KCD  a 2 2.

S

Suy ra thể tích khối chóp S .BCK là

1
1
VS . BCK  .SA.S BCK  .3a 2.a 2 2  2a 3 (đvtt).
3
3

b) Vì AD // BC  AD //  SBC   d  SB; AD   d  A;  SBC  
Kẻ AH vuông góc với SB

 H  SB  

Tam giác SAB vuông tại A, có

H

AH   SBC 

1
1
1
 2
2
AH
SA
AB 2

K
A

B

C

D


Suy ra d  SB; AD  

SA. AB

3a 2.a 2





3a
.
5

3a 2    a 2 
     
 
 
c) Ta có AC.BK   AB  AD  .  BA  BD    AB  AD  .   2 AB  AD 
   
  2 AB  AB. AD  AD  AD  2 AB   2a   2.  a 2   0.
2

SA2  AB 2

2

2

2

2

2

2

2

 
Suy ra AC.BK  0  AC  BK mà SA  BK  BK   SAC    SBK    SAC  .
Bài 4 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P

4
a 2  b2  c 2  4



9

 a  b   a  2c  b  2c 

.

Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có

a  b  4c a 2  b 2  2ab  4ac  4bc

 2  a 2  b2  c 2  .
2
2
4
9
.
Đặt t  a 2  b 2  c 2  4, suy ra t  2 và P  
t 2 t 2  4

 a  b   a  2c  b  2c    a  b  .

Xét hàm số f  t  

4
9
4
9t
 0  t  4.

với t  2. Ta có f   t    2 
2
2
2
t
t 2 t  4


t
4
 

5
Tính các giá trị f  4   ; lim f  t     và lim f  t   0.
t 4
8 t 2
5
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số f  t  là . Dấu "  " xảy ra  a  b  c  2.
8
5
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là .
8