SKKN Vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tập

A. T VN :
I. Lí DO CHN TI:
S hc l ngnh lõu i nht v y hp dn ca toỏn hc, cỏc bi toỏn s
hc ó lm say mờ nhiu ngi, t nhng nh toỏn hc li lc ca mi thi i n
ụng o cỏc bn yờu toỏn. Th gii cỏc con s, rt quan trng vi chỳng ta trong
cuc sng hng ngy, l mt th gii ht sc k l, y bớ n.
Loi ngi ó phỏt hin trong ú bit bao tớnh cht rt hay, nhiu quy lut rt
p v cú khi rt bt ng, ng thi cng ang chu bú tay trc nhiu s kin,
nhiu d oỏn. iu lý thỳ l nhiu mnh khú nht ca s hc c phỏt biu
rt n gin, ai cng hiu c; nhng bi toỏn khú cú th gii rt sỏng to vi
nhng kin thc s hc ph thụng.
Chớnh vỡ cỏc l trờn õy mụn s hc tuy ch c hc 6-7 nm u ca
trng ph thụng, nhng cỏc bi toỏn s hc luụn cú mt trong cỏc thi hc sinh
gii tt c cỏc cp hc, chng hn nh tớnh cht chia ht ca mt tng.
Ch vi mt lng kin thc rt nh nhng cú th l chỡa khúa gii rt
nhiu dng bi tp nu ngi hc nm vng kin thc bit vn dng sỏng to,
lụgic, nhm phỏt trin c kh nng t duy sỏng to cho hc sinh,c bit trong
vic bi dng v nõng cao kin thc cho hc sinh lp 6 cng nh vic gii cỏc
bi toỏn trong chng trỡnh THCS
Vỡ vy tụi chn ti: Vn dng tớnh cht chia ht ca mt tng vo gii
mt s bi tp.
II. Nhiệm vụ của đề tài:
Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày Vn
dng tớnh cht chia ht ca mt tng vo gii mt s bi tp .
III. I TNG NGHIấN CU:
- i tng kho sỏt: hc sinh lp 6
IV. PHNG pháp nghiên cứu:
- Phng phỏp nghiờn cu ti liu
1

- Phương pháp thực hành
- Đúc rút một phần kinh nghiệm qua các đồng nghiệpvà bản thân khi dạy tính chất
chia hết của một tổng

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Năng lực tư duy lô gic của các em học sinh lớp 6 chưa phát triển cao, việc
vận dụng lý thuyết kiến thức linh hoạt, sáng tạo vào giải bài tập cụ thể với các em
là rất khó. Do vậy hướng dẫn các em hiểu và biết vận dụng kiến thức đó là rất cần
thiết. Qua giảng dạy tôi thấy, Tính chất chia hết của một tổng về mặt lý thuyết rất
đơn giản, dễ hiểu nhưng nó có thể vận dụng để giải được rất nhiều bài tập đồng
thời nó rèn luyện tính tư duy sáng tạo cho học sinh.
Muốn vận dụng được kiến thức vào giải bài tập thì trước hết phải nắm vững
những kiến thức cơ bản.
I. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa
Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó b  o, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x= a
thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a:b = x
Khi đó: a là bội của b, b là ước của a
2. Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích
a. Kiến thức cơ bản: Với a, b, m  N, m, n 0
Tính chất 1: a m, b m  (a + b) m; (a - b) m (a b)
Tính chất 2: a m, b m  (a + b) m; (a - b) m (a b)
Tính chất 3: a m  k.a m (k N)
Tính chất 4 : a m, b n  a.b m.n
b. Kiến thức nâng cao: Với a, b, c, m, n, k1, k2 N, m, n 0
1. Tính chất 1 và 2 cũng đúng nếu tổng có nhiều số hạng
2. a m, b m  (k1.a + k2.b) m
3. a m, b m, a + b+ c m  c m
4. a m, b m, a + b + c m  c m
5. a b � an bn

2


II. Hướng dẫn học sinh vận dụng vào giải một số bài tập
Với kiến thức trên đó là chìa khóa để giải được rất nhiều bài tập .
Dưới đây tôi xin đưa ra hệ thống một số bài tập từ dễ đến khó áp dụng kiến thức
trên để giải
Bài tập 1: Chứng minh rằng:Với mọi số tự nhiên n thì 60n + 45 chia hết cho 15,
nhưng không chia hết cho 30
Hướng dẫn giải:
Theo tính chất chia hết của một tổng, tính chất 1 :

a m, b m  (a + b) m

- Để chứng minh 60n+45 15 ta chứng minh 60n 15 và 45 15
Thật vậy:

60n 15(n  N )
  60n  4515
45 15


- Để chứng minh

60n + 45 30

Theo tính chất 2:

a m, b m  (a + b) m

Ta thấy:

60n 30(n  N )
  60n  4530
4530


Bài tập 2: Cho a - b chia hÕt cho 6. Chøng minh c¸c biÓu

thøc sau chia hÕt cho 6.
a) a + 5b ;

b) a + 17b ;

c) a - 13b.

Hướng dẫn giải:

a) Ta cã : a + 5b = a + 6b - b = ( a - b) + 6b  6 ( v× (a - b)
 6 vµ 6b  6)
b) a + 17 b = ( a- b) + 18b  6
c) a - 13b = ( a - b) - 12b  6

[ v× (a - b)  6 vµ 18b6]
[ v× ( a - b )  6 vµ 12b  6]

3


Bi tp 3: Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có 3

chữ số tạo bởi 3 số trên. Chứng minh rằng tổng tất cả các
số đó chia hết 211
Hng dn gii:

tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 chữ số 0, a, b là:
a0b; ab0; ba 0; b0a

Tổng của các số đó là: a 0b ab0 ba 0 b0a = 100a + b +
100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a = 211a + 211b =
211(a + b) chia hết cho 211.
Bi tp 4:

a) Tìm tất cả các số x,y để số 34 x5 y chia hết cho 36.
b) Tìm các chữ số x, y để 21xy chia hết cho 3, 4 ,5 .
Hng dn gii:

Vì (4;9) = 1 nên 34 x5 y chia hết cho 36

34 x5 y chia

hết cho 9 và 34 x5 y chia hết cho 4.
Ta có:

34 x5 y

chia hết cho 4 5y chia hết cho 4

y 2;6.
34 x5 y

chia hết cho 9 ( 3 + 4+ x + 5 + y) chia hết

cho 9
(12 + x + y) chia hết cho 9
Vì x,y là các chữ số nên x+ y 6;15.
Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 > 9 (loại)
Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9
4


Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956
b) Ta có : 21xy 5 ú y



0;5.

Nếu y = 5 thì 21xy không chia hết cho 4
Nếu y = 0 thì 21xy chia hết cho 4 ú

x0

4 x



0; 2;

4 ; 6 ; 8. (1)

21x0 3 ú (2 + 1 + x + 0) 3 ú (3 + x) 3 x 0; 3; 6;
9.

( 2)

Kết hợp (1) và ( 2) x



0; 6.

Vậy các số cần tìm là: 2100 ; 2160
Bi tp 5: Chứng minh (1980a + 1995b) chia hết cho 15

với a, b là số tự nhiên.
Hng dn gii:

Vì 1980 3 nên 1980.a 3 với a.
Vì 1995 3 nên 1995.b 3 với b
Nên (1980a + 1995b) 3.
Chứng minh tng tự ta có: (1980a + 1995b) 5 với a, b
mà (3,5) = 1.
(1980 a + 1995b) 15
Bi tp 6: Chứng minh rằng nếu ( 6x + 11y ) chia hết cho
31 thì ( x + 7y) chia hết cho 31 với mọi số tự nhiên x, y.
Hng dn gii:
Vì ( 6x + 11y) 31 nên ( 6x + 11y + 31y ) 31

5

 ( 6x + 42 y)  31  6 ( x + 7y )  31
mµ ( 6, 31 ) = 1  ( x + 7y )  31 ( ®pcm).
Bài tập 7: Cho B = 23! + 19! - 15!. Chứng minh rằng:
a. B 11
b, B 110
Hướng dẫn giải:
Tương tự như bài tập 1 vận dụng tc1 mở rộng cho tổng có nhiều số hạng ,
Ta chứng minh các số hạng của B đều chia hết cho 11
n! = 1.2.3…n
B = 23! + 19! - 15!
=1.2.3.4….10.11…13 + 1.2.3……10.11……19 - 1.2….10.11…15
a. Ta thấy: Mỗi số hạng của B đều có thừa số 11 11 nên B 11
b, Mỗi số hạng của B đều có thừa số 10.11=110 110 nên B 110
Bài tập 8: Cho C = 1 + 3 + 32 + 32 +….+ 311. Chứng minh rằng:
a. C 13
b, C 40
Hướng dẫn giải:
Ta thấy mổi hạng tử của C 13 nhưng nếu ta nhóm 3 số hạng đầu của C thì có
tổng bằng 13 13
1 + 3 + 32 = 13 13
Mặt khác ta thấy C có 12 số hạng (12 3)
Vậy ta cử nhóm 3 số học tiên tiếp với nhau, mỗi nhóm đều 13
C = (1 + 3 + 32) + (33 + 34+ 35)+(36 + 37 + 38)+(39 + 310+ 311)
= (1 + 3+ 32) + 32(1 + 3 + 32) + 36(1 + 3 + 32) + 39(1 + 3 + 32)
 C 13

b. Tương tự câu a
Ta thấy 1 + 3 + 32 + 33 = 40 4

Và 12  4
6


C = 1 + 3 + 32 + 33 +….+ 311
= (1 + 3 + 32 + 33) + …

+ (38 + 39 + 310 + 311)

= (1 + 3 + 32) + 34(1 + 3 + 32 + 33) + 38(1 + 3 + 32 + 33)
 C 40

Bài tập 9: a) Cho A = 2 + 22 + 23 + ... + 260.
Chứng minh rằng : A3; A7; A15

b) Cho B = 3 + 33 + 35 + ...+ 31991. Chøng minh r»ng : B
chia hÕt cho 13 vµ B chia hÕt cho 41.
Hướng dẫn giải:

*A = 2 + 22 + 23 + ... + 260 = ( 2 + 22) + ( 23 + 24) + ...+
(259 + 260) =
= 2( 1 + 2) + 23 ( 1 + 2) + ... + 259 (1 + 2) = 2.3 + 23.
3 +.... + 259. 3 =
= 3.(2 + 23 + ... + 259) chia hÕt cho 3
*A= (2 + 22+ 23) + (24 + 25 + 26) + ... + (258 + 259 + 260)
= 2.(1 + 2 + 4) + 2 4( 1 + 2 + 4) +... + 2 58( 1 + 2 +
4)
= 2.7 + 24.7 + ... + 258.7 = 7( 2 + 24 +... + 258)  7
*A= (2 + 22+ 23 + 24) + ... + (257 + 258 + 259 + 260)
= 2(1 + 2 + 4 + 8) +... + 2 57( 1 + 2 + 4 + 8) = 15( 2 +

25 + ... + 257) 15.
VËy A 3, A  7 vµ A  15.
b) B = 3 + 33 + 35 + ... + 31991
= ( 3 + 33 + 35) + ( 37 + 39+ 311) + ... + ( 31987+ 31989
+ 31991)

7


= 3( 1 + 32 + 34) + 37( 1+ 32+ 34) + ... + 31987(1+
32+ 34)
= 3. 91 + 37.91 + ... + 31987.91
= 91( 3 + 37 + ... + 31987)  13 ( v× 91  13)
B = ( 3 + 33 + 35 + 37) + ( 39 + 311 + 313 + 315) + ... + ( 31985 +
31987 + 31989+ 31991)
= 3( 1 + 32 + 34 + 36) + 39(1 + 32 + 34 + 36) + ... + 31985(1 +
32 + 34 + 36)
= 3. 820 + 39 .820 + ... + 31985.820
= 820( 3 + 39 + ... + 31985)  41 ( v× 820  41)
Bài tập 10: Tìm số tự nhiên n để: n + 6 n + 2
Hướng dẫn giải:
ta có : a b  a - b b
n + 6 n + 2
 {n + 6 - (n + 2)} n + 2
 (n + 6 - n - 2) n + 2  4 n + 2

Hay n + 2 là ước của 4
� n + 2

1;2;4

Ta lập bảng tìm giá trị của n ta được n   0;2
Bài tập 11: CMR tổng của 3 số tự nhiên tiếp thì chia hết cho 3
Hướng dẫn giải:
Gọi 3 số tự nhiên tiếp là: n, n + 1, n + 2 ( n  N )
Ta có: n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 3 ( n  N )
Bài tập 12: Cho 10k -1  19 với k > 1. Chứng minh rằng:
102k – 1  19
Hướng dẫn giải:
Ta biến đổi 102k-1 để vận dụng được 10k – 1 19
8


102k - 1 = 102k - 10k + 10k - 1= (102k - 10k) + (10k - 1)
= 10k (10k - 1) + (10k - 1) 19
 102k – 1  19

Bài tập 13: Cho abc 37 Chứng minh rằng: bca 37
Hướng dẫn giải:
Ta vận dụng tính chất :

a m, b m, a + b + c m  c m

Theo bài ra: abc 37.
(100a + 10b + c) 37
 10.(100a + 10b + c) 37  100b + 10c + a + 999a 37

Mà 999 37  100b + 10c + a 37 hay bca 37
Bài tập 14: Cho a + 5b 7 (a,b  N) Chứng minh rằng: 10a + b 7
Hướng dẫn giải:

Đặt: a + 5b = x; 10a + b = y
x 7 nếu ta chứng minh được 10 x –y 7  y 7
Ta có: x 7  10x 7
10x-y=10 (a + 5b) - 10a-b = 50b - b=49b 7
 y 7 hay 10a + b 7

Bài tập 15: Tìm UCLN của 2n + 1 và 9n + 4 (n  N)
Hướng dẫn giải:
ta vận dụng tính chất :

a m, b m  (k1.a + k2.b) m

Gọi UCLN (2n - 1; 9n + 4) là d
 2 (9n + 4) - 9(2n - 1) d  17 d  d  {1;17}

Ta có: 2n - 1 17  2n - 18 17  2(n - 9) 17  n - 9 17
n = 17k + 9 (k  N)
Nếu n  17k + 9 thì 2n - 1 17 và 9n + 4 = 9 .(17k + 9) + 4
= bội 17 + 85 17,
do đó (2n - 1, 9n + 4) = 17
Nếu n 17k + 9 thì 2n - 1 17  (2n - 1, 9n + 4) = 1
9


Bài tập 16: Chứng minh rằng: 2n + 1 và 3n + 1(n  N) là 2 số nguyên tố cùng nhau
Hướng dẫn giải:
Vận dụng tính chất chia hết của một tổng ta c/minh ƯC(2n + 1, 3n + 1) = 1
Thật vậy gọi d  ƯC (2n + 1, 3n + 1)  3(2n + 1) - 2(3n + 1) d
 1 d  d = 1  2n + 1 và 3n + 1(n  N) là 2 số nguyên tố cùng nhau

Bài tập 17: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5 dư 1, chia cho 7 thì dư 5
Hướng dẫn giải:
Gọi số cần tìm n
Ta có: n - 1 5; n - 1 + 10 5; n + 9 5
n - 5 7; n - 5 + 14 7; n + 9 7
 n + 9 35
 n + 9 = 35.k (k  N)
 số n nhỏ nhất là n = 26

Bài tập 18: Tìm n  N sao cho phân số

n4
có giá trị là số nguyên
n

Hướng dẫn giải:
phân số

n4
có giá trị là số nguyên
n

 n + 4 n

Ta có: n + 4 n  n + 4 - n n
 4 n hay n là ước của 4.
 n  1;2;4

Bài tập 19: Tìm n để phân số

n 1
(n Z, n 3) là phân số tối giản
n 3

Hướng dẫn giải:
để phân số

n 1
là phân số tối giản thì n + 1và n - 3 là 2 số nguyên tố cùng
n 3

nhau
Gọi d là ước nguyên tố của n + 1và n - 3  {n + 1- (n - 3)} d
10


4 d

d 2 n - 3 2k
n l s chn

Bi tp 20: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ( 3n +1, 4n +
1) = 1
Hng dn gii:

Gọi d là ƯC( 3n+ 1, 4n + 1)


3n + 1 d

4n + 1 d

4.( 3n + 1) d
3. ( 4n+1) d

( 12n + 4 - 12n - 3 ) d
1d d=1
( 3n + 1, 4n + 1) = 1
Bi tp 21:
a) Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để

đc số chia hết cho các số 5, 7 ,9 ?
b) Phải viết thêm vào bên phải số 523 ba chữ số nào để
đc số chia hết cho các số 6, 7, 8, 9?
Hng dn gii:

a) Giả sử số viết thêm là abc . Ta có 579abc chia hết cho
5, 7 ,9 suy ra 579abc chia hết cho 5. 7. 9 = 315. ( vì 3, 5,
7 đôi một nguyên tố cùng nhau)
Mặt khác 579abc = 579000 + abc = ( 315.1838 + 30 +
abc ) 315

Mà 315.1838 315 suy ra ( 30 + abc ) 315

11


Do 30

30 + abc

nên ( 30 + abc )
suy ra abc






30 + 999 = 1029

{ 315; 630; 945}

{ 285; 600; 915}

Vậy 3 số có thể viết thêm là 285; 600; 915.
b) Gọi số phải viết thêm là abc . Ta có :
523abc chia hết cho 6, 7, 8, 9 nên

523abc chia hết cho

BCNN(6, 7, 8, 9) = 504.
Mặt khác 523abc = 523000 + abc = 504.1037 + 352 +

abc .
Vì 504. 1037 504 nên ( 352 + abc ) 504

ú abc = k.504 - 352 với k



N k



{ 1; 2 } ú abc



{ 152 ; 656}
Vậy 2 số có thể viết thêm là 152 và 656

C. KT LUN:
Qua thc t ging dy tụi thy sau khi hng dn cỏc em vn dng kn thc
v tớnh cht chia ht ca mt tng vo gii mt s bi tp t d n khú,vi mi
dng tuy khụng cú quy tc tng quỏt song sau khi gii giỏo viờn ch ra cho cỏc em
mt c im, mt hng gii quyt thỡ thy cỏc em phỏt trin t duy tt v cú th
t vn dng vo gii c nhiu bi tp hn.

12


Tính chất chia hết của một tổng không chỉ được ứng dụng trong tập hợp số tự
nhiên mà còn được mở rộng trong tập hợp số nguyên vì vậy học sinh có thể vận
dụng để giải quyết rất nhiều bài tập trong chương trình THCS
Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi trong quá trình dạy toán lớp 6, lớp 7.
Trong quá trình thực hiện không tránh khỏi sai sót. Rất mong sự góp ý của đồng

nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn !

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1- Sách giáo khoa và sách bài tập Toán 6. Nhà xuất bản giáo dục.
2- Nâng cao và phát triển Toán 6 Tác giả: Vũ Hữu Bình
3- Tuyển tập các đề thi HSG Toán THCS.Nhà Xuất bản giáo dục
4- Tuyển tập các tập chí của Toán tuổi thơ các số. Nhà Xuất bản giáo dục
5- 23 chuyên đề và 1001 bài toán sơ cấp. Tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh

13