Biểu diễn của Sl2C và Sl3C

luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 1 tốt
of 90.
Khóa

nghiệp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**********

NGUYỄN THỊ HỢP

BIỂU DIỄN CỦA Sl2C VÀ Sl3C
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ

Người hướng dẫn khoa học
TH.S. NGUYỄN HUY HƯNG

HÀ NỘI – 2009

Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 1 of 500.

1

Lớp K31 E-Toán

luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 2 tốt
of 90.
Khóa

nghiệp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**********

NGUYỄN THỊ HỢP

BIỂU DIỄN CỦA Sl2C VÀ Sl3C
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ

HÀ NỘI – 2009

Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 2 of 500.

2

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận

pham 3 tốt
of 90.
Khóa

nghiệp

Lời cảm ơn
Trong thời gian học tập tại khoa toán trường đại học sư phạm Hà Nội 2,
được sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy, cô giáo em đã tiếp thu được nhiều
tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen
với công tác nghiên cứu khoa học. Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi
mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ,
động viên của các thầy, cô và bạn bè trong khoa. Qua đây, em xin gửi lời cảm
ơn tới toàn thể các thầy, cô và các bạn trong khoa. Đặc biệt, em xin gửi lời cảm
ơn sâu sắc tới thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng, người đã hướng dẫn tận
tình để giúp em hoàn thành khoá luận này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2009.
Sinh viên
Nguyễn Thị Hợp.

Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 3 of 500.

3

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận

pham 4 tốt
of 90.
Khóa

nghiệp

Lời cam đoan

Khoá luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Thạc
sĩ Nguyễn Huy Hưng cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên
cứu và thực hiện khoá luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả ( có nêu
trong mục tài liệu tham khảo ).
Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận là kết quả nghiên cứu
của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu sai em xin hoàn
toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2009.
Sinh viên
Nguyễn Thị Hợp.

Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 4 of 500.

4

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận

pham 5 tốt
of 90.
Khóa

nghiệp

Mục lục
Trang
Lời cảm ơn.......................................................................................1
Lời cam đoan...................................................................................2
Mục lục............................................................................................3
Mở đầu ............................................................................................4
Chương 1 . Những kiến thức chuẩn bị
1.1. Nhóm........................................................................................6
1.2. Vành và trường .........................................................................7
1.3. Môđun......................................................................................9
1.4. Đại số Lie.................................................................................11
Chương 2. Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn
2.1. Định nghĩa và ví dụ..................................................................13
2.2 . Biểu diễn nhóm theo thuật ngữ môđun ....................................14
2.3. Hai biểu diễn tương đương........................................................15
2.4. Bổ đề Schur................................................................................18
2.5 . Đặc trưng của biểu diễn............................................................23
2.6 . Biểu diễn bất khả quy ..............................................................26
Chương 3. Biểu diễn của Sl 2  và Sl 3 
3.1. Biểu diễn bất khả quy của Sl 2  ..................................................35
3.2. Biểu diễn của Sl 3  ......................................................................38
Kết luận.............................................................................................50
Tài liệu tham khảo.............................................................................51
Nguyễn Thị Hợp

Footer Page 5 of 500.

5

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 6 tốt
of 90.
Khóa

nghiệp

Mở đầu
1.Lý do chọn đề tài.
Đại số là một nghành chiếm vị trí quan trọng trong khoa học toán học. Nó
góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại. Ngày nay nhu cầu học
hỏi của sinh viên khoa Toán, các thầy cô dạy toán và nhiều người khác nhau
quan tâm đến toán học nói chung và môn Đại số nói riêng ngày càng gia tăng
nhằm nâng cao hiểu biết của mình. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bộ
môn này, dưới góc độ một sinh viên sư phạm Toán và trong phạm vi của một
khoá luận tốt nghiệp cùng với sự giúp đỡ của thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Huy
Hưng, em xin mạnh dạn trình bày những hiểu biết của mình về đề tài: “ Biểu
diễn của Sl 2  và Sl 3  ”.
2.Mục đích nghiên cứu.
Quá trình thực hiện đề tài đã giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên
cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về đại số học, đặc biệt là tìm hiểu sâu hơn về
nhóm hữu hạn thông qua biểu diễn của nó và biểu diễn của Sl 2  và Sl 3  .

3.Nhiệm vụ nghiên cứu.
Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật các đặc
trưng của biểu diễn nhóm hữu hạn và biểu diễn của Sl 2  , Sl 3  .
4.Phương pháp nghiên cứu.
Đề tài này hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp: nghiên cứu lý
luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá.
5.Cấu trúc khoá luận.

Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 6 of 500.

6

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 7 tốt
of 90.
Khóa

nghiệp

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận
gồm 3 chương:
+ Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị.
+ Chương 2: Lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn.
+ Chương 3: Biểu diễn của Sl 2  và Sl 3  .
Trong suốt quá trình nghiên cứu được thầy Nguyễn Huy Hưng chỉ bảo,

giúp đỡ tận tình, em đã hoàn thành khoá luận này. Một lần nữa cho em gửi lời
cảm sâu sắc tới thầy.
Em rất mong thầy, cô giáo và các bạn sinh viên trong khoa đóng góp ý
kiến để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2009.
Sinh viên
Nguyễn Thị Hợp.

Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 7 of 500.

7

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 8 tốt
of 90.
Khóa

Chương 1.

nghiệp

Những kiến thức chuẩn bị

1.1. Nhóm
1.1.1. Định nghĩa nhóm

Một nhóm là một cặp ( G ,  ), trong đó G là một tập không rỗng và  là
một luật hợp thành trên G thoả mãn ba điều kiện sau đây:
(G1) Luật hợp thành là kết hợp, tức là:
( x  y )  z  x  ( y  z ) , x, y, z  G

(G2) Có một phần tử e  G được gọi là phần tử trung lập, có tính chất:
x  e  e  x  x , x  G

(G3) Với x  G có một phần tử x  G được gọi là nghịch đảo của x sao
cho:
x  x  x  x  e

1.1.2. Nhóm abel
Định nghĩa: Nhóm ( G ,  ) được gọi là nhóm giao hoán ( hay abel ) nếu

x  y  y  x , x, y  G .
1.1.3. Nhóm con
Định nghĩa: Giả sử G là một nhóm. Một tập con không rỗng S  G được
gọi là một nhóm con của G nếu S khép kín đối với đối với luật hợp thành
trong G ( tức là xy  S với x, y  S ) và khép kín đối với phép lấy nghịch đảo
trong G ( tức là x 1  S với x  S )
1.1.4. Nhóm con chuẩn tắc

Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 8 of 500.

8

Lớp K31 E-Toán

luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 9 tốt
of 90.
Khóa

nghiệp

Định nghĩa: Nhóm con S của nhóm G được gọi là một nhóm con chuẩn tắc
của G nếu nó bất biến đối với mọi tự đẳng cấu trong của G , tức là:

Ca (S )  S , a  G .
Ký hiệu: S  G .
1.1.5. Lớp liên hợp của nhóm
Định nghĩa: Cho G là một nhóm. Trên G ta xác định quan hệ R như sau:
x, y  G , xRy nếu a  G sao cho y = axa1 . Ta dễ dàng chứng minh được

quan hệ R là một quan hệ tương đương trong G . Khi đó tập:

C (a)  x  G \ xRa gọi là lớp liên hợp của G xác định bởi a .
1.1.6. Nhóm hữu hạn
Định nghĩa: Nhóm chỉ có một số hữu hạn phần tử được gọi là nhóm hữu
hạn.
1.1.7. Đồng cấu nhóm
a, Định nghĩa: Giả sử G và G  là nhóm. Một ánh xạ  : G  G được gọi là
đồng cấu nhóm nếu  ( x  y )   ( x)   ( y) với x, y  G.
b, Tính chất: Giả sử  : G  G là một đồng cấu nhóm. Khi đó:
i,  (eG )  eG ; với eG , eG lần lượt là phần tử đơn vị của G và G  .
ii,  ( x 1 )   ( x) , x  G .

1

iii, Nếu  là một đơn ánh thì  được gọi là một đơn cấu nhóm.
iv, Nếu  là một toàn ánh thì  được gọi là một toàn cấu nhóm.
v, Nếu  là một song ánh thì  được gọi là một đẳng cấu nhóm.
1.2. Vành và trường
1.2.1. Vành

Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 9 of 500.

9

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 10tốt
of 90.nghiệp
Khóa

Định nghĩa: Ta gọi là một vành mỗi tập hợp R   cùng với hai phép toán
hai ngôi, gồm phép cộng:  : R  R  R
( x, y )  x  y

: R  R  R

và phép nhân:

( x, y )  x  y

thoả mãn 3 điều kiện sau đây:
(R1) R là một nhóm abel đối với phép cộng.
(R2) Phép nhân có tính chất kết hợp.
(R3) Phép nhân phân phối về 2 phía đối với phép cộng:
( x  y ) z  xz  yz ; z ( x  y )  zx  zy , x, y, z  R .

Vành R gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó giao hoán.
Vành R gọi là vành có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, tức là có phần
tử 1 thuộc R sao cho: 1 x  x 1, x  R .
1.2.2. Vành nhóm
Định nghĩa: Gọi K[G] là tập hợp tuyến tính hình thức

k s
sG

s

của các phần

tử của G với các hệ số ks trong K . Khi đó, K[G] lập thành một vành, gọi là
vành nhóm của G (với hệ số trong K ), đối với hai phép toán sau đây:

 k s   l s   (k  l ) s ,
( k s)(l t )   k l (st ) .
s

s

s

s

t

s t

s

Đơn vị của K[G] là phần tử 1  1 e . Có thể coi G  K[G] bằng cách đặt tương
ứng s  1  s,( s  G ) . Rõ ràng K[G] là một vành giao hoán nếu và chỉ nếu G là
một nhóm abel.
1.2.3. Miền nguyên
a, Ước của không
Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 10 of 500.

10

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 11tốt
of 90.nghiệp
Khóa

Định nghĩa: Cho R là vành giao hoán, a  R, a  0 , a gọi là ước của không

nếu b  R, b  0 sao cho a  b  0 .
b, Miền nguyên
Định nghĩa: Một vành giao hoán R có đơn vị, có ít nhất 2 phần tử và không
có ước của không.
1.2.4. Trường
Định nghĩa: Ta gọi trường là một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác
không đều có một nghịch đảo.
1.3. Môđun
1.3.1. Định nghĩa môđun
Giả sử R là một vành có đơn vị 1. Một môđun trái trên R là một nhóm
abel M cùng với phép cộng và ánh xạ : R  M  M
( a, x)  ax
ánh xạ này gọi là phép nhân vô hướng trong R , thoả mãn các điều kiện sau:
(M1) a( x  y )  ax  ay ,
(M2) (a  (a  b) x  ax  bx ,
(M3)

(ab) x  a(bx) ,

(M4)

1 x  x , với a, b  R, x, y  M .

Tương tự, một môđun phải trên R là một nhóm abel M cùng với phép

M RM

cộng và ánh xạ:

( x, a)  xa

thoả mãn các điều kiện giống như (M1),(M2),(M3),(M4) nêu trên, trong đó vô
hướng được viết bên phải và điều kiện sau:
( M 3 ) x(ab)  ( xa)b , x  M ; a, b  R
Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 11 of 500.

11

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 12tốt
of 90.nghiệp
Khóa

Môđun trái trên R còn được gọi là R – môđun trái.
Môđun phải trên R còn được gọi là R – môđun phải.
Ta chỉ xét R – môđun trái gọi là R – môđun.
1.3.2. Môđun con
Định nghĩa: Giả sử M là một R – môđun. Tập con N  M được gọi là
một
R - môđun con nếu N là một nhóm con của nhóm cộng M và N khép kín đối

với phép nhân vô hướng, tức là: rx  N , r  R, x  N .
1.3.3. Đồng cấu môđun
Định nghĩa: Cho M và M  là các R – môđun. ánh xạ  : M  M  gọi là
một đồng cấu môđun (hay ánh xạ tuyến tính ) nếu thoả mãn :
x, y  M ; a  R :  ( x  y)   ( x)   ( y ) ,

 (ax)  a ( x) .
1.3.4. Tổng trực tiếp và tích tenxơ.
a, Tổng trực tiếp
Định nghĩa: Giả sử M i là R – môđun, i  I . Gọi

M
iI

i

là tập hợp các dãy

( xi )iI có giá trị hữu hạn, tức là xi = 0 hầu hết trừ ra một số hữu hạn chỉ số i .
Khi đó trên

M
iI

i

ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân vô hướng như sau:

() :  xi iI   yi iI   xi  yi iI
( ) : a  xi iI   axi iI , xi , yi  M i , a  R .

Khi đó dễ dàng ta có:

M
iI

i

là một R – môđun và được gọi là tổng trực tiếp

của họ môđun ( M i )iI .
b, Tích tenxơ
Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 12 of 500.

12

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 13tốt
of 90.nghiệp
Khóa

Định nghĩa: Tích tenxơ của hai R – môđun M và là một cặp ( , T ) , trong
đó T là một R – môđun và  : M  N  T là một ánh xạ song tuyến tính có tính
chất sau: Với mọi cặp

 ,U 

trong đó U là một R – môđun và

 : M  N  U là một ánh xạ song tuyến tính, tồn tại duy nhất một R - đồng

cấu sao cho   h   , tức là h làm giao hoán biểu đồ :


M  N  T



h
U

1.4. Đại số Lie
1.4.1. Đại số
Định nghĩa: R là một vành giao hoán có đơn vị 1R  0R . Một R -đại số, hay đại
số trên R là một tập X được trang bị các phép toán:
 Phép cộng:

XX X
( x, y )  x  y

 Phép nhân vô hướng:

R X  X
(a, x)  ax

 Phép nhân:

XX X
( x, y )  xy

sao cho: (i) X là một R - môđun,

(ii) X là vành,
(iii) a( xy )  (ax) y  x(ay ) , a  R, x, y  X .
1.4.2. Đại số con

Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 13 of 500.

13

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 14tốt
of 90.nghiệp
Khóa

Định nghĩa: Giả sử X là một đại số trên R . Một tập con không rỗng A  X
được gọi là một đại số con của X nếu A khép kín đối với phép cộng trong X
( tức là x  y  A với mọi x, y  A ), khép kín đối với phép nhân vô hướng trong
X ( tức là ax  A với mọi a  R, x  A ) và khép kín đối với phép nhân trong
X ( tức là xy  A với mọi x, y  A ).

1.4.3. Định nghĩa đại số Lie
Định nghĩa: ( Đại số Lie là đại số trên một trường). Đó là một không gian véctơ

g trên trường K cùng với một phép toán hai ngôi:

 , : g  g  g

gọi là tích Lie thoả mãn các tiên đề sau:
 Song tuyến tính: [ax  by, z ]  a[ x, z ]  b[ y, z ]

[ z, ax  by ]  a[ z, x]  b[ z , y ] với a, b  K ; x, y, z  g .
 Đan dấu trên g : [ x, x]  0, x  g

[ x, y]  [ y, x], x, y  g .
 Đồng nhất thức Jacôbi: [ x,[ y, z ]]  [ y,[ z, x]]  [ z,[ x, y]]  0, x, y, z  g .

Như vậy một đại số kết hợp A với phép nhân  xây dựng nên một đại số Lie
L( A) . Tích Lie với hai phần tử của đại số Lie L( A) được định nghĩa là hoán tử

trong A :

[a, b]  a  b  b  a .

Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 14 of 500.

14

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 15tốt
of 90.nghiệp
Khóa

Chương 2.

lý thuyết biểu diễn nhóm
hữu hạn

2.1. Định nghĩa và ví dụ
Giả sử G là một nhóm hữu hạn, K là một trường, V là một không gian
véctơ hữu hạn chiều trên K.
2.1.1. Định nghĩa :
Một biểu diễn ( tuyến tính ) của G trong V là một đồng cấu nhóm

 : G  GL ( V ) từ G vào nhóm GL ( V ) các tự đẳng cấu tuyến tính của V .
Kí hiệu  ( s) bởi  s với s  G ta có:   st ,
st

e  idV ,
 s  ( s ) 1 ,
1

với s, t  G ; e là đơn vị của nhóm G .

V được gọi là một không gian biểu diễn của G (hay đơn giản, một G –
không gian ). Số chiều của V trên K được gọi là cấp của biểu diễn. Nếu K =

 ,  hoặc  thì ta nói  là một biểu diễn hữu tỉ, thực hoặc phức (tương ứng
của G ).
Biểu diễn  : G  GL (V ) được gọi là trung thành nếu nó là một đơn cấu
nhóm;  được gọi là tầm thường nếu s  idV với s  G .
2.1.2. Ví dụ

Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 15 of 500.

15

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 16tốt
of 90.nghiệp
Khóa

1, Mỗi biểu diễn cấp 1 của G là một đồng cấu:  : G  GL(V )  K *  K \ 0
Đặt g= G ta có : s g  e, s  G . Do đó ,  sg  1 trong K 
Vậy  s là một căn bậc g của đơn vị 1 trong K  , s  G .
2, Nhóm đối xứng G = S n tác động tuyến tính trên không gian véctơ K n bằng
cách hoán vị các phần tử của cơ sở chính tắc e1 , e2 ,..., en  của K n . Hay mỗi
phép thế   Sn được xem như một đẳng cấu tuyến tính  : K n  K n xác định
bởi  (e1 )  e

1

(1)

.................

 (en )  e

1

(n)

Như thế , ta thu được một đơn cấu nhóm:

Sn  GL( K n )  GL(n, K )

 
được gọi là biểu diễn tự nhiên của S n trong K n .
2.2. Biểu diễn nhóm theo thuật ngữ môđun.
Mệnh đề 2.2. Giả sử V là một K – không gian véctơ. Khi đó, V là một
không gian biểu diễn của G nếu và chỉ nếu V là một K G  – môđun.
Chứng minh:
+ Giả sử có một biểu diễn tuyến tính  : G  GL (V ). Khi đó, dễ kiểm tra
được công thức sau trang bị cho V một cấu trúc K G  – môđun:

( ks s)(v)   kss (v), v V

Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 16 of 500.

16

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 17tốt

of 90.nghiệp
Khóa

+ Ngược lại: Giả sử V là một K G  – môđun. Xét ánh xạ  : G  GL ( V )
được định nghĩa như sau: s (v) = s v , s  G , v  V . Trong K G  – môđun V
ta có: s 1 ( sv)  ( s 1s)v = e v = v . Hay là s s  idV . Do đó, s  GL ( V ).
1

Hơn nữa ta có: st (v)  st (v)  s(tv)  st (v)
Vậy  là một biểu diễn tuyến tính của G . 
2.3. Hai biểu diễn tương đương
2.3.1. Định nghĩa
Cho hai biểu diễn  : G  GL ( V ) và  : G  GL ( W ). Một đồng cấu từ

 vào 

là một ánh xạ K – tuyến tính

f: V

 W

sao cho

f s   s f , s  G.
Sử dụng cấu trúc K G  - môđun của V và W , đẳng thức trên tương đương
với điều kiện sau: f ( s v ) = s f ( v ) , s  G , v V . Như vậy, mỗi đồng cấu
từ  vào  là một đồng cấu K G  – môđun từ V vào W .
Hai biểu diễn  và  được gọi là tương đương ( hay đẳng cấu hoặc đồng
dạng ) nếu các K G  – môđun V và W là đẳng cấu.

2.3.2. Biểu diễn con.
a, Định nghĩa: Không gian véctơ con W  V được gọi là một G – không
gian con hay một không gian con ổn định dưới tác động của  nếu

s ( x) W , s  G, x W .
Khi đó hạn chế  sW của  s trên W xác định một biểu diễn

 w : G  GL ( W ) được gọi là một biểu diễn con của  .

Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 17 of 500.

17

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 18tốt
of 90.nghiệp
Khóa

Nhận xét:  w là một biểu diễn con của  nếu và chỉ nếu W là K G  – môđun
con của V .
b, Ví dụ : Xét biểu diễn cấp 1 của nhóm hữu hạn G

 : G  GL (  )

s (r )  id (r )  r, r   , s  G

Đây là biểu diễn tầm thường của G . Khi đó   : G  GL (  ) là một biểu diễn
con của G . Thật vậy ta có : s (q)  id (q)  q, q   , s  G .
Điều đó chứng tỏ  là một G – không gian con.
2.3.3. Biểu diễn bất khả quy
a, Định nghĩa: Biểu diễn  : G  GL (V ) được gọi là bất khả quy nếu V
không có G – không gian nào khác V và 0.
Nói cách khác:  là một biểu diễn bất khả quy nếu và chỉ nếu V là một
K[G] – môđun đơn.
b, Ví dụ: Xét biểu diễn  : G  GL (  ) ( với  là không gian véctơ trên K chỉ
có một phần tử 0 )
Dễ dàng thấy được, đây là một biểu diễn bất khả quy của G vì nếu V   thì

V =.
2.3.4. Tổng trực tiếp và tích tenxơ của các biểu diễn.
a, Định nghĩa: Cho hai biểu diễn  : G  GL ( V ) và  : G  GL ( W ) của
nhóm G . Khi đó, tổng trực tiếp:   : G  GL(V  W ) và tích tenxơ :

  : G  GL(V  W ) được định nghĩa như sau:
(  )s (v, w)  (s (v), s ( w))
(  )s (v  w)  s (v)  s ( w) , với s  G , v  V , w W .

Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 18 of 500.

18

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac

si , suLuận
pham 19tốt
of 90.nghiệp
Khóa

Khi đó,   và   được gọi là tổng trực tiếp và tích tenxơ của các biểu
diễn.
b, Ví dụ: Cho hai biểu diễn của nhóm hữu hạn G .

 : G  GL(  ) và  : G  GL(  )

s (r )  id (r )  r, r   , s  G
 s (q)  id  (q)  q, q   , s  G
Khi đó :   : G  GL(   )

(  )s (r, q)  (s (r), s (q))  ( r, q)

  : G  GL(   )
(  )s (r  q)  s (r )  s (q)  r  q .
2.3.5. Mối quan hệ giữa các biểu diễn tuyến tính và các biểu diễn bất khả
quy.
Định lý 2.3. Nếu đặc số của trường K không chia hết cấp của nhóm G thì

K G  là một vành nửa đơn, tức mọi biểu diễn tuyến tính của G trong K –
không gian véctơ đều là tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy.
Chứng minh:
Giả sử  : G  GL (U ) là một biểu diễn của G ; V là một K[G] – môđun
con của U . Ta sẽ chứng minh rằng có một K[G] – môđun con W của U sao
cho U  V W  .
Chú ý: W  chưa phải là một K[G] – môđun con của U . Gọi p : U  V là phép

chiếu tương ứng với phân tích trên. Khi đó ta đặt : p( x ) =

1
.t . p.t1 ( x)
G tG

Do G không chia hết cho char K nên khi đó q, r  K sao cho:

Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 19 of 500.

19

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 20tốt
of 90.nghiệp
Khóa

G = char K .q + r (r  0).
Suy ra :

1
 K . Khi đó , u U , s  G ta có:
G
1


1
.t . p.t1 ( s1 (u ))  =
.s .t . p.t1 (s1 (u))
G tG
 G tG


s . p.s1 (u )  s 
=

1
1
.  st . p. st1 (u ) =
.v . p.v1 (u)
G tG
G

= p( u ).
Điều đó chứng tỏ, s . p  p.s , s  G . Do đó, p là một K[G] - đồng cấu và

W = ker p là một K[G] – môđun con của U .
Mặt khác, do V bất biến đối với  và p( v ) = v , v V nên
P( v ) =

1
1
1
.t . p.t1 (v) =
.t . p(v) =
.t (v) = v , v V .

G tG
G tG
G tG

Khi đó, p là một nghịch đảo trái của phép nhúng các K[G] – môđun j: V  U
Do đó theo tiểu chuẩn chẻ ra của dãy khớp, ta có :

U = imj  ker p = V  W
Tương tự, coi V và W đóng vai trò như U và do các biểu diễn đều có cấp hữu
hạn nên ta quy nạp theo số chiều của U ta được điều phải chứng minh. 
2.4. Bổ đề Schur
Từ đây trở đi chúng ta luôn giả thiết K =  , tức là chỉ xét các biểu diễn
phức.
Giả sử V là K – không gian véctơ có dim V = n . Khi đó với mỗi biểu diễn
tuyến tính a: V  V có ma trận A = ( Aij ) trong cơ sở ( ei )in1 của V thì số
phức:
Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 20 of 500.

20

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 21tốt
of 90.nghiệp
Khóa

n

Tr(a) =

A
i 1

ii

được gọi là vết của a.
2.4.1. Mệnh đề 2.4.1
Cho biến đổi tuyến tính a: V  V có ma trận A = ( Aij ) trong cơ sở ( ei )in1
của V ,( V là không gian n chiều ). Khi đó, Tr(a) không phụ thuộc vào cơ sở
( ei )in1 của V và có giá trị bằng tổng các giá trị riêng kể cả bội .
Chứng minh :
Xét đa thức đặc trưng của a.

 A11  
 A
P(  )  det( A   E )   21
 

 An1

A12
A22  

An 2

...

A1n 
...
A2 n 

...
 

... Ann   

( với e là ma trận đơn vị cấp n )
Ta khai triển định thức theo hàng ( hoặc cột ) thứ nhất ta sẽ được:
P(  )  (1) n . n  (1) n1.1. n1  ...   0
Trong đó : 1 là hệ số của  n1 trong đa thức ( A11   )( A22   )...( Ann   ) và dễ
n

tính được : 1 =  Aii
i 1

Mặt khác: Trong không gian V ta lấy một cơ sở khác ( f i ) in1 . Khi đó, ta có
ma trận của phép biến đổi a trong cơ sở mới là : B  T  A  T 1 , (det T  0) .
. 1   E ) = det[T .( A   E ).T 1 ]
Suy ra, ta có: det( B   E )  det(T . AT

= det T .det( A   E ).det T 1 ]  det( A   E )

Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 21 of 500.

21

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 22tốt
of 90.nghiệp
Khóa

n

Do 1 =  Aii . Chứng tỏ Tr(a) không phụ thuộc vào cơ sở ( ei )in1 . Hơn nữa, theo
i 1

định lý Viét áp dụng cho phương trình det( A -  E )  0 với ẩn  thì ta có:
Tr(a) = 1  2  ...  n (các i không nhất thiết phải phân biệt ).
Vậy Tr(a) không phụ thuộc vào cơ sở ( ei )in1 của V và có giá trị bằng tổng các
giá trị riêng của a kể cả bội . 
2.4.2. Định lý 2.4.2 (Bổ đề Schur )
Giả sử  : G  GL ( V ) và  : G  GL ( W ) là các biểu diễn bất khả quy
của G; f : V  W là một ánh xạ tuyến tính sao cho f  s   s  f , s  G . Nói
cách khác, f là một đồng cấu các  [ G ] – môđun. Khi đó :
(i) Nếu  và  không đẳng cấu với nhau thì f = 0.
(ii) Nếu V = W và  =  thì f là một phép vị tự, tức là f = idV với
hằng số  nào đó.
Chứng minh :
(i) Để chứng minh mệnh đề này, ta sẽ dùng phương pháp chứng minh gián
tiếp. Tức là đi chứng minh  f  0 thì f phải là một đẳng cấu.
Thật vậy: Giả sử f  0 , ta chứng minh f là một đẳng cấu. Đặt V  = ker f  V .
Với s  G, x V  ta có: f s ( x)   s f ( x)  0 . Vậy s ( x) V  . Nghĩa là V  ổn

định dưới tác động của  . Vì  bất khả quy và f  0 nên V  = {0}. ( vì nếu
V  = V thì f = 0 ). Do đó , f là một đơn cấu .

Tương tự : Đặt W  = im f  W . Khi đó, s  G , y W  thì:

 s ( y)   s ( f ( x))  f ( s ( x)) im f = W  .
Suy ra W  ổn định dưới tác động của  .

Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 22 of 500.

22

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 23tốt
of 90.nghiệp
Khóa

Vì  bất khả quy và f  0 nên W  = W . Do đó , f là một toàn cấu.
Vậy f là một đẳng cấu.
Do đó, khi  và  không đẳng cấu với nhau thì f = 0.
(ii) Do  là trường đóng đại số, tức là mọi đa thức một ẩn x có bậc dương
với hệ số trong  đều phân tích được thành tích của các nhân tử tuyến tính. Do
đó, f luôn có giá trị riêng do đa thức đặc trưng luôn có nghiệm trong  .
Không giảm tính tổng quát, giả sử  là một giá trị riêng bất kỳ của f .
Khi đó ta đặt : f   f  idV và x V , ta có:

( s f )( x)   s [( f  idV )( x)]   s f ( x)   s ( x)
= f s ( x)  s ( x)  ( f  idV )s ( x)
= f s ( x).
Điều đó chứng tỏ:  s f   f s với s  G .
Mặt khác: ker f  = {x V : f ( x)  0}
= { x V : ( f  idV )( x)  0}
= { x V : f ( x)   x  0}
= { x V : f ( x)   x}  {0} ,(do  là giá trị riêng của f ).
Do đó, f  không thể là một đẳng cấu tuyến tính (theo phần (i)).
Ta có f  = 0 tức là f = idV . 
Từ bổ đề Schur, ta có các hệ quả sau :
Hệ quả 2.4.3. Giả sử  : G  GL (V ) và  : G  GL ( W ) là các biểu diễn
bất khả quy và h : V  W là một ánh xạ tuyến tính . Đặt h 0 =

1
. ( t )1ht .
G tG

Khi đó :
Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 23 of 500.

23

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận

pham 24tốt
of 90.nghiệp
Khóa

(i) Nếu  và  không đẳng cấu với nhau thì h 0 = 0.
(ii) Nếu V = W và  =  thì là h 0 một phép vị tự với hệ số vị tự
Tr( h )/dim V .
Chứng minh:
Ta có:  s1h0s 

1
1
. s1 t1hst =
. ts1hts
G tG
G tG
=

1
. u1hu  h0
G uG

Do đó : h0 s   s h0 , s  G .
(i), áp dụng bổ đề Schur với f = h 0 thì h 0 = 0 .
(ii), Khi V = W và  =  thì bổ đề Schur ta có: h 0 = idV với   .
Mặt khác : Tr( h 0 ) =

=

1

1
 Tr ( t 1ht ) =
 Tr (t 1ht )
G tG
G tG
1
 Tr (h) = Tr( h ).
G tG

Tr (h0 ) Tr (h) Tr (h)
Ta lại có : Tr( h ) = Tr( idV ) =  n . Suy ra:  
.


n
n
dimV
0

Vậy h 0 là phép vị tự với hệ số vị tự  

Tr (h)
.
dimV

Để tiện cho việc sử dụng về sau, ta sẽ nêu ra dạng ma trận của hệ quả trên.
Giả sử các biểu diễn  và  được cho tương ứng trong các cơ sở ( ei )in1
của V và ( i )in1 của W dưới dạng các ma trận

t  (ij (t )); t  (kl (t)) với t  G ta có hệ quả sau :

Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 24 of 500.

24

Lớp K31 E-Toán


luan van,khoa luan, thac
si , suLuận
pham 25tốt
of 90.nghiệp
Khóa

Hệ quả 2.4.4. Nếu  : G  GL(V ) và  : G  GL(W ) là các biểu diễn bất khả
quy không đẳng cấu với nhau thì

1
G


tG

kl

(t 1 ) ji (t )  0, i, j, k , l

Chứng minh:
Giả sử các ánh xạ tuyến tính h và h0 : V  W được cho trong cặp cơ sở

( ei )in1 và ( i )in1 dưới dạng các ma trận H = ( hki ) và H 0  (hki0 ) với :

h0 =

1
G

 ( ) h .
1

t

tG

1
G

Khi đó theo định nghĩa ta có : hki0 =



t

kl

(t 1 )hlj ji (t ) .

t , j ,l

Theo hệ quả 2.4.3(i) ta có: hki0 = 0 , i, k . Do đó các hệ số của dạng tuyến tính

hki0 của biến hlj đều bằng 0 với mọi giá trị của hlj . Từ đó ta có:

1
G


tG

kl

(t 1 ) ji (t )  0, i, j, k , l . 

Hệ quả 2.4.5. Nếu  : G  GL(V ) là một biểu diễn bất khả quy cấp n thì :
1
, j  l,i  k
n

1
G


tG

kl

(t 1 ) ij (t ) 
0 nếu trái lại .

Chứng minh :
Theo hệ quả 2.4.3(ii) thì ta có: h 0 = idV . Khi đó hki0   ki . Hơn nữa ta có :

Nguyễn Thị Hợp
Footer Page 25 of 500.

25

Lớp K31 E-Toán