Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LA tiến sĩ)

BỘ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

NGUYỄN TRUNG HIẾU

NHÓM NHÂN CYCLIC VÀ MÃ CYCLIC TRÊN
VÀNH ĐA THỨC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

HÀ NỘI – 2017


BỘ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

NGUYỄN TRUNG HIẾU

NHÓM NHÂN CYCLIC VÀ MÃ CYCLIC TRÊN
VÀNH ĐA THỨC
CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
MÃ SỐ: 9520203

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN LUẬN ÁN:
1. GS.TS. NGUYỄN BÌNH
2. TS. NGUYỄN NGỌC MINH

HÀ NỘI – 2017

i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu và kết
quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa được công bố ở bất kỳ công
trình nào khác.
Tác giả

Nguyễn Trung Hiếu


ii

LỜI CẢM ƠN

Luận án Tiến sĩ kỹ thuật này được thực hiện tại Học viện Công nghệ Bưu
chính Viễn thông dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Bình và TS. Nguyễn Ngọc
Minh. Nghiên cứu sinh bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS. Nguyễn Bình, thầy
trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, cung cấp những kiến thức quý báu và có rất nhiều ý
kiến gợi mở về hướng nghiên cứu để nghiên cứu sinh thực hiện thành công đề tài.
Nghiên cứu sinh cũng xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Ngọc Minh, người lãnh
đạo trực tiếp đã luôn ủng hộ, giúp đỡ nghiên cứu sinh trong quá trình nghiên cứu.
Nghiên cứu sinh xin dành lời cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, nhà khoa học trong
Hội đồng bảo vệ Luận án các cấp, các buổi hội thảo luận án đã nhiệt tình chỉ bảo,
giúp đỡ và có nhiều góp ý quý báu giúp nghiên cứu sinh hoàn thiện luận án.
Tôi cũng xin cảm ơn Ban giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn
thông, Khoa Quốc tế và Đào tạo Sau đại học, Khoa Kỹ thuật Điện tử 1 (nơi tôi đang
công tác), cũng như các đồng nghiệp đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi hoàn thành
được đề tài nghiên cứu của mình.

Cuối cùng là sự biết ơn tới gia đình, bạn bè đã thông cảm, động viên giúp đỡ
cho tôi có đủ nghị lực để hoàn thành luận án.

Hà Nội, tháng 12 năm 2017


iii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................................ I
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................... II
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ................................................................................... V
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU .........................................................................................VII
DANH MỤC CÁC BẢNG ............................................................................................... IX
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ........................................................................................... X
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................ 1

1. LÝ DO NGHIÊN CỨU ................................................................................... 1
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ............................................................................ 1
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU................................................. 2
4. PHƯƠNG PHÁP VÀ CÔNG CỤ NGHIÊN CỨU .......................................... 2
5. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI .............................. 2
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN ......................................................................... 3
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU .............................................. 5

1.1. GIỚI THIỆU CHUNG .................................................................................. 5
1.2. VÀNH ĐA THỨC ........................................................................................ 7
1.2.1. Một số khái niệm cơ bản ..................................................................... 7
1.2.2. Chu trình và lũy đẳng ........................................................................ 10
1.3. MÃ TUYẾN TÍNH ..................................................................................... 13

1.3.1. Mã cyclic truyền thống ...................................................................... 13
1.3.2. Một số mã tuyến tính khác ................................................................ 16
1.3.3. Một số tiêu chuẩn đánh giá mã tuyến tính ........................................ 18
1.4. PHÂN HOẠCH VÀNH ĐA THỨC VÀ MÃ CYCLIC CỤC BỘ ............. 19
1.4.1. Nhóm nhân cyclic .............................................................................. 19
1.4.2. Cấp số nhân cyclic ............................................................................. 24
1.4.3. Phân hoạch vành đa thức ................................................................... 24
1.4.4. Mã cyclic cục bộ trên vành đa thức ................................................... 31
1.5. HƯỚNG NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN ÁN VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN
QUAN.......................................................................................................... 34
1.6. KẾT LUẬN CHƯƠNG .............................................................................. 37
CHƯƠNG 2: CẤP CỦA ĐA THỨC VÀ QUAN HỆ GIỮA NHÓM NHÂN CYCLIC,
CẤP SỐ NHÂN CYCLIC VỚI MÃ CYCLIC TRUYỀN THỐNG ................................. 39

2.1. GIỚI THIỆU ............................................................................................... 39


iv

2.2. XÁC ĐỊNH CẤP CỦA ĐA THỨC ............................................................ 40
2.2.1. Đề xuất phương pháp xác định cấp của tích các đa thức .................. 40
2.2.2. Đề xuất phương pháp xác định cấp của nhị thức .............................. 45
2.2.3. Đề xuất thuật toán cải tiến để tìm và liệt kê cấp của đa thức trên
vành ................................................................................................... 51
2.2.4. Xác suất chọn đa thức có cấp cực đại ............................................... 56
2.3. QUAN HỆ GIỮA NHÓM NHÂN CYCLIC, CẤP SỐ NHÂN CYCLIC
VỚI MÃ CYCLIC TRUYỀN THỐNG ...................................................... 58
2.3.1. Cơ sở toán học ................................................................................... 58
2.3.2. Sự tương đương của nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã
cyclic truyền thống ............................................................................ 60

2.3.3. Thuật toán xác định nhóm nhân cyclic tương đương mã cyclic truyền
thống .................................................................................................. 63
2.4. MỘT CÁCH PHÂN LOẠI MÃ TUYẾN TÍNH MỚI ................................ 69
2.5. KẾT LUẬN CHƯƠNG .............................................................................. 73
CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG NHÓM NHÂN CYCLIC, CẤP SỐ NHÂN CYCLIC ......... 75

3.1. PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG MÃ CYCLIC ........................................... 75
3.1.1. Phương pháp xây dựng mạch mã hóa ............................................... 75
3.1.2. Phương pháp xây dựng mạch giải mã ............................................... 77
3.2. ĐỀ XUẤT MỘT SỐ MÃ CYCLIC TỐT TRÊN VÀNH ĐA THỨC ........ 79
3.2.1. Phương pháp tìm mã cyclic tốt .......................................................... 79
3.2.2. Mô phỏng, đánh giá một số bộ mã cyclic tốt .................................... 90
3.2.3. Đề xuất thực hiện các bộ mã trên FPGA ........................................... 95
3.3. ĐỀ XUẤT PHƯƠNG PHÁP TẠO KHÓA CHO MỘT SỐ HỆ MẬT ...... 97
3.3.1. Quan hệ giữa vành đa thức có hai lớp kề cyclic và trường số .......... 97
3.3.2. Hệ mật Omura-Massey trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic ...... 100
3.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG ............................................................................ 105
KẾT LUẬN ..................................................................................................................... 107
CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ................................................... 108
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 110
PHỤ LỤC........................................................................................................................ 119


v

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Từ viết tắt
BCH

Nghĩa tiếng Anh
Bose,

Chaudhuri,

Hocquenghem

Nghĩa tiếng Việt
and (Tên ba tác giả nghiên cứu ra
mã BCH)

CGP

Cyclic Geometic Progressions Cấp số nhân cyclic

CMG

Cyclic Multiplicate Group

Nhóm nhân cyclic

CRC

Cyclic Redundancy Check

Kiểm tra dư thừa vòng

ECC

Error Correcting Code

Mã sửa lỗi

FPGA

Field Programable Gate Array Mảng cổng logic khả trình

MTD

Majority-based

Threshold Giải mã ngưỡng theo đa số

Decode
Mã cyclic cục bộ

LCC

Local Cyclic Code

OALCC

Orthogonalable Local Cyclic Mã cyclic cục bộ có khả năng
Code

trực giao

OLCC

Orthogonal Local Cyclic Code Mã cyclic cục bộ tự trực giao

LDPC

Low-Density Parity Check

Mã kiểm tra chẵn lẻ mật độ
thấp
Tiến hóa dài hạn

LTE

Long Term Evolution

RSMA

Repeated Square and Multiply Thuật toán nhân và bình
Algorithm

phương lặp

STBC

Space-Time Block Code

Mã khối không gian-thời gian

TCM

Trellis Coded Modulation

Điều chế mã lưới

CS

Check-sum

Tổng kiểm tra


vi

OACS

Orthogonalable check-sum

Tổng kiểm tra có khả năng trực
giao
Tổng kiểm tra trực giao

OCS

Orthogonal check-sum

VHDL

VHSIC Hardware Discription Ngôn ngữ mô tả phần cứng
Language

WCDMA

Wideband

Code

Multiple Access

Division Đa truy nhập phân chia theo mã
băng rộng


vii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
Ký hiệu

Nghĩa tiếng Anh

Nghĩa tiếng Việt

C

Set of cycles

Tập hợp các chu trình

CS

Cycle

Chu trình

d0

Hamming distance

Khoảng cách Hamming

deg

Degree

Bậc của đa thức

e( x )

Idempotent

Đa thức lũy đẳng

e0 ( x)

Swallowing Idempotent

Lũy đẳng nuốt

Field

Trường

G

Group

Nhóm

GF ( p)

Galois Field

Trường Galois

gcd

Greatest common divisor

Ước chung lớn nhất

I

Ideal

Ideal

lcm

Least common multiple

Bội chung nhỏ nhất

Mod

Modulo

Phép chia lấy phần dư

ord

Order

Cấp của đa thức

R

Ring

Vành

W

Weight

Trọng số

2



[ x] / ( x n  1)

Polynomial for Integer mod 2 Vành đa thức trên

Intersection

Giao

Union

Hợp

Empty set

Tập hợp rỗng

2


viii

# hoặc ...

Cardinality

Lực lượng hay số phần tử

~

Similarity

Tương đương



Summation

Tổng

Non-redundant division

Phép chia hết

Divisor or divides

Ước

Not divisor or not divides

Không là ước

Ceiling

Số nguyên nhỏ nhất lớn hơn

|

...

hoặc bằng giá trị trong ngoặc


ix

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Bảng giá trị của

n

nhỏ hơn 1000 thỏa mãn

2

[ x] / ( x n  1) là một vành

đa thức có 2 lớp kề cyclic ................................................................. 10
Bảng 1.2. Số kiểu phân hoạch không suy biến M của một số vành ................ 27
Bảng 1.3. Tổng số các kiểu phân hoạch của vành

2

[ x] / ( x n  1) ...................... 28

Bảng 2.1. Bảng khảo sát cấp của đa thức 1  x trên một số vành đa thức................ 48
Bảng 2.2. So sánh thời gian tính toán của hai thuật toán ................................... 54
Bảng 2.3. Kết quả khảo sát 35 giá trị

n

............................................................. 57

Bảng 3.1. Một số cặp vành có thể phân hoạch hỗn hợp .................................... 84
Bảng 3.2. Đề xuất một số bộ mã cyclic tốt ........................................................ 89
Bảng 3.3. Phép toán cộng và nhân trên hai cấu trúc vành đa thức và vành số…98

Bảng 3.4. Các phần tử nghịch đảo tương quan trên trường số và vành đa thức..99


x

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 2.1. Biểu đồ so sánh thời gian tính toán của hai thuật toán ...................... 55
Hình 2.2. So sánh các mã cyclic và mã cyclic cục bộ........................................70
Hình 2.3. Sơ đồ phân loại mã tuyến tính dựa trên cấu trúc đại số và mã LCC..72
Hình 3.1. Phân hoạch vành đa thức có nhóm nhân sinh là nhóm nhân đơn vị .. 76
Hình 3.2. Phân hoạch vành có nhóm nhân sinh là nhóm nhân cyclic bất kỳ .... 77
Hình 3.3. Lưu đồ thuật toán tìm bộ mã cyclic tốt xây dựng từ cấp số nhân
cyclic............................................................................................................ 88
Hình 3.4. Sơ đồ hệ thống thông tin sử dụng mô phỏng, đánh giá mã cyclic ..... 90
Hình 3.5. Kết quả mô phỏng bộ mã cyclic (255,9,127) ..................................... 92
Hình 3.6. Kết quả mô phỏng bộ mã cyclic (15,5,7) ........................................... 93
Hình 3.7. Kết quả mô phỏng bộ mã cyclic (27,9,9) ........................................... 94
Hình 3.8. Giao thức truyền thông sử dụng hệ mật O-M .................................. 101


1

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO NGHIÊN CỨU
Lý thuyết mã hóa đã được nghiên cứu từ những năm 1940 và được ứng dụng
rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là trong lĩnh vực truyền thông góp phần nâng
cao hiệu quả của hệ thống truyền tin. Một trong các lớp mã quan trọng của mã khối
tuyến tính đó là các mã cyclic. Mã cyclic có nhiều ứng dụng trong điện tử dân dụng,
các hệ thống lưu trữ dữ liệu, các hệ thống truyền thông vì có nhiều phương pháp mã
hóa và giải mã hiệu quả.

Việc nghiên cứu truyền thống về mã cyclic đã khá hoàn chỉnh, tuy nhiên loại
mã này có nhược điểm là số lượng từ mã được tạo ra hạn chế, độ dài của mã chỉ cố
định ở một số giá trị cụ thể. Trong những năm trở lại đây một phương pháp khác để
xây dựng mã cyclic được nghiên cứu đó là sử dụng nhóm nhân cyclic, cấp số nhân
cyclic trên vành đa thức, và mã được gọi là mã cyclic cục bộ (LCC- Local Cyclic
Code). Các nghiên cứu gần đây đã đưa ra một số phương pháp phân hoạch vành đa
thức, xây dựng mã cyclic cục bộ, cùng các phương pháp giải mã tương đối hiệu quả.
Nghiên cứu sinh nhận thấy rằng có thể tồn tại mối quan hệ giữa mã cyclic và
cyclic cục bộ, điều đó thôi thúc nghiên cứu sinh nghiên cứu sâu hơn lý thuyết về mã
cyclic cục bộ (mã cyclic được xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic),
tìm hiểu, chứng minh mối quan hệ có thể tồn tại giữa mã cyclic và mã cyclic cục
bộ. Chính vì lẽ đó, nghiên cứu sinh đã chọn đề tài “Nhóm nhân cyclic và mã cyclic
trên vành đa thức” để định hướng nghiên cứu luận án tiến sĩ của mình. Trên cơ sở
kết quả nghiên cứu lý thuyết đạt được sẽ đề xuất một số ứng dụng có thể về mã sửa
lỗi và mật mã trong các hệ thống truyền thông.

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích chính của luận án là góp phần hoàn thiện lý thuyết và thực nghiệm
về nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên các vành đa thức, trong đó các kết quả nghiên
cứu đạt được của luận án nhằm giải quyết các vấn đề cụ thể sau:


2

- Quan hệ giữa nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic trên vành đa thức với
mã cyclic truyền thống.
- Phương pháp kiến thiết nhóm nhân cyclic có cấp cực đại trên vành đa thức.
- Đề xuất ứng dụng của nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic để tìm một số
bộ mã cyclic tốt, hay ứng dụng trong các hệ mật.

3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu của luận án là các đa thức, nhóm nhân cyclic, cấp số
nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức.
Phạm vi nghiên cứu của luận án này được giới hạn trong việc nghiên cứu mối
quan hệ giữa nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền thống, cấp
của đa thức và phương pháp xây dựng nhóm nhân cyclic có cấp cực đại trên vành
đa thức, trên cơ sở đó có thể đề xuất một số mã cyclic tốt và phương pháp hiện thực
hóa các mã cyclic trên FPGA (Field Programable Gate Array).

4. PHƯƠNG PHÁP VÀ CÔNG CỤ NGHIÊN CỨU
Phương pháp nghiên cứu của đề tài là phân tích và tổng hợp dựa vào các công
cụ toán học, đặc biệt là đại số, lý thuyết mã hóa, lý thuyết xác suất...
Luận án sử dụng các công cụ toán học, kết hợp với việc tính toán, mô phỏng
trên máy tính và các chương trình phần mềm xử lý (C++, Matlab, VHDL (VHSIC
Hardware Discription Language), Excel).

5. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
Những kết quả trong luận án này góp phần phát triển hoàn thiện lý thuyết mã
cyclic, mã cyclic cục bộ nói riêng và lý thuyết mã sửa lỗi nói chung. Các đóng góp
chính của Luận án:
- Kiến thiết các nhóm nhân cyclic có cấp cực đại trên vành đa thức thông qua
việc đề xuất phương pháp xác định đa thức có cấp cực đại.
- Chứng minh sự tương đương giữa nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với
mã cyclic truyền thống.


3

- Đề xuất một số bộ mã cyclic tốt xây dựng trên vành đa thức, đề xuất khả
năng thực hiện các bộ mã cyclic cục bộ trên cấu kiện phần cứng.

6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
Nội dung luận án bao gồm các phần: Mở đầu, ba chương và kết luận. Trong
đó, chương 1 trình bày tổng quan và lý thuyết cơ bản về vấn đề nghiên cứu, các kết
quả nghiên cứu chính của Luận án được trình bày trong hai chương còn lại, cụ thể
như sau:
Chương 1 trình bày tổng quan vấn đề nghiên cứu, lý thuyết cơ bản về vành đa
thức, mã cyclic làm cơ sở cho các nội dung nghiên cứu của luận án. Các nội dung
về vành đa thức bao gồm các khái niệm vành đa thức, các tính chất đa thức, chu
trình, luỹ đẳng, vành đa thức có hai lớp kề cyclic, trong đó Luận án đề cập việc
chứng minh bổ đề về một tính chất luỹ đẳng nuốt, chính xác hoá các vành đa thức
có hai lớp kề cyclic Z 2 [x] /  x n  1 với n  1000 . Tiếp theo, luận án trình bày lý
thuyết về nhóm nhân cyclic và cấp số nhân cyclic cùng các bổ đề liên quan. Lý
thuyết về mã cyclic truyền thống và các mã tuyến tính khác cũng được đề cập trong
chương, kèm theo đó là trình bày về một số tiêu chuẩn đánh giá mã tuyến tính tốt.
Tiếp đến, Luận án trình bày về phân hoạch vành đa thức và các mã cyclic cục bộ
với các nội dung liên quan đến nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic, phân hoạch
vành đa thức và mã cyclic cục bộ. Nội dung cuối cùng, luận án nhận xét về công
trình nghiên cứu của các tác giả khác và hướng nghiên cứu của luận án.
Trong Chương 2, luận án tập trung trình bày các kết quả nghiên cứu mới và
hai đóng góp quan trọng của Luận án: Nội dung thứ nhất là đề xuất phương pháp
kiến thiết các nhóm nhân cyclic có cấp cực đại thông qua việc xác định cấp của đa
thức với nhiều hướng tiếp cận cùng các đề xuất quan trọng như: phương pháp xác
định cấp của đa thức là tích các đa thức, phương pháp xác định cấp của nhị thức,
thuật toán tìm và liệt kê cấp của đa thức trên vành, đánh giá xác xuất tìm phần tử có
cấp cực đại trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic đã góp phần giải quyết khá hoàn
chỉnh bài toán đặt ra. Nội dung thứ hai là nghiên cứu, đánh giá mối quan hệ giữa


4

các nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền thống, đã góp phần
chỉ ra có một mối quan hệ tương đương giữa mã cyclic truyền thống với mã cyclic
xây dựng trên nhóm nhân, cấp số nhân trên vành đa thức. Từ hai kết quả nghiên cứu
trên, luận án đề xuất sơ đồ phân loại mã tuyến tính dựa trên cấu trúc đại số và mã
cyclic cục bộ. Đóng góp của chương này được công bố trong các công trình khoa
học [J2], [J3], [J4], [J5], [C3], [C4], [C5].
Ở Chương 3, Luận án trình bày phương pháp xây dựng mã cyclic với các nội
dung liên quan đến việc xây dựng khối mã hoá và giải mã, tiếp đến luận án đề xuất
một số mã cyclic tốt xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic gồm phương
pháp tìm mã cyclic tốt, danh sách một số mã cyclic tốt được đề xuất, mô phỏng
đánh giá bộ mã; đề xuất phương pháp xây dựng bộ mã trên cấu kiện phần cứng
FPGA, đưa ra một phương pháp cải tiến việc xây dựng bộ mã hoá và giải mã cho
phù hợp với đặc điểm phần cứng logic khả trình và góp phần minh chứng cho khả
năng hiện thực hoá các bộ mã cyclic, cyclic cục bộ trên cấu kiện logic khả trình.
Nội dung cuối, luận án trình bày ứng dụng của nhóm nhân cyclic và cấp số nhân
cyclic trong việc làm khóa một số hệ mật. Đóng góp của chương này được công bố
trong các công trình khoa học [J1], [J6], [C1], [C2].
Phần kết luận sẽ đưa ra những kết luận của Luận án đối với những đóng góp
kể trên và đưa ra những vấn đề mở trong tương lai.


5

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Nội dung của chương trình bày lý thuyết tổng quan về vành đa thức, nhóm
nhân cyclic, cấp số nhân cyclic và mã cyclic. Các tiêu chuẩn đánh giá mã sửa lỗi
cũng được giới thiệu trong chương này. Chương này cũng sẽ tập trung khảo sát các
nghiên cứu liên quan đến mã cyclic để từ đó tìm ra các hạn chế của các nghiên cứu
trước đây và đề xuất hướng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và phương thức tiếp

cận của luận án.

1.1. GIỚI THIỆU CHUNG
Lý thuyết mã hoá được bắt đầu nghiên cứu từ những năm 1940 và được phát
triển theo ba hướng lớn đó là: mã nguồn [7], [17], mã kênh (có khả năng sửa lỗi
[35], [74]) và mật mã [8], [63].
Đặt nền móng cho lý thuyết mã hoá là các nghiên cứu của Shannon trong hai
năm 1948-1949 về độ tin cậy của truyền tin trên các kênh truyền có nhiễu [59]. Khởi
đầu cho việc thiết kế các bộ mã tốt và các phương pháp giải mã hiệu quả đó là mã
Hamming, mã Golay [59] và các mã khác vào cuối những năm 1940. Các nghiên
cứu về mã hóa những năm 1950, 1960 tập trung vào việc phát triển lý thuyết về các
mạch mã hóa và giải mã hiệu quả. Trên thực tế, các sơ đồ mã hoá và giải mã hiện
nay đều không thoả mãn giới hạn của Shannon, nhưng bộ giải mã có độ phức tạp
(giá thành) thấp hơn. Vì lý do này, các hướng nghiên cứu tập trung vào việc thiết
kế các sơ đồ mã hoá và giải mã với mục tiêu dễ dàng thực hiện về mặt kỹ thuật. Các
nghiên cứu của Reed và Solomon (1960), Hocquenghem (1959), Bose và Chaudhuri
(1960), Gorenstein và Zierler (1961) và Peterson (1961) đều tập trung theo hướng
này [45], [59], [74]. Bằng cách kết hợp mỗi con số của mã với một phần tử trong
trường Galois, có thể tìm được phương trình đại số mà các nghiệm của nó mô tả vị
trí của các lỗi. Do đó, độ phức tạp tính toán khi giải mã cũng giảm đi bằng cách
thiết lập các phương trình đại số và tìm nghiệm của chúng.


6

Trong những năm gần đây các nghiên cứu về lý thuyết mã tập trung vào việc
xây dựng các phương pháp mã hóa đạt được giới hạn của Shannon bao gồm các
hướng: điều chế mã lưới - TCM (Trellis Coded Modulation), mã Turbo [61], mã
kiểm tra chẵn lẻ mật độ thấp - LDPC (Low-Density Parity Check) [32], mã khối
không gian-thời gian – STBC (Space-Time Block Code) [47].

Các quan điểm xây dựng mã cũng rất phong phú: dựa trên các cấu trúc đại số,
dựa trên lý thuyết dàn, dựa trên hình học – đại số, dựa trên hình học chiếu, dựa trên
lý thuyết tổ hợp, dựa trên Graph.
Các phương pháp giải mã chính được nghiên cứu bao gồm: giải mã ngưỡng
của Messey [51], giải mã liên tiếp của Zigalgirov, giải mã Viterbi [7], giải mã hợp
lý tối đa [54], giải mã lặp và giải mã có liên hệ ngược, giải mã đại số [7].
Các công trình nghiên cứu cho thấy, các mã sửa lỗi (ECC - Error Correcting
Code) là hướng kiến thiết cho định lý tồn tại là định lý mã hoá thứ hai của CE.
Shannon [59], [70]. Hướng nghiên cứu chủ đạo ở đây là xây dựng các mã trên các
cấu trúc đại số khác nhau như nhóm, vành, trường, module, không gian tuyến tính
[69], [74]. Mã (hay bộ mã) được xem là một tập con có cấu trúc trong một cấu trúc
đại số nào đó [35]. Một trong các lớp mã quan trọng của mã khối tuyến tính đó là
các mã cylic, trong đó thành tựu nổi bật nhất và được ứng dụng rộng rãi nhất trong
thực tế là các mã cyclic trên vành đa thức [17], [59].
Mã cyclic được Eugene Prange nghiên cứu đầu tiên năm 1957 [65]. Sau đó
quá trình nghiên cứu về mã cyclic tập trung theo cả hai hướng sửa lỗi ngẫu nhiên
và sửa lỗi cụm. Nhiều lớp mã cyclic đã được xây dựng trong những năm này, bao
gồm các mã BCH (Bose, Chaudhuri, and Hocquenghem), các mã Reed-Solomon,
các mã hình học Euclid [74], [77].
Mã cyclic gồm các từ mã là bội của đa thức sinh g ( x) , với g ( x) | ( x n  1) [74].
Từ mã hay đa thức mã a( x) của mã cyclic là một phần tử của ideal g ( x) thoả mãn
điều kiện a ( x) g ( x) [59]. Một tính chất quan trọng rất thuận lợi cho việc mã hoá và
giải mã cho các mã cyclic là dịch vòng của một đa thức mã cũng là một đa thức mã


7

[59], [7]. Các mã cyclic được ứng dụng rất rộng rãi trong thực tế. Rất nhiều đa thức
sinh cụ thể đã được sử dụng trong các chuẩn truyền tin [74]. Các thiết bị mã hoá và
giải mã trong thực tế được thực hiện rất đơn giản bằng các bộ ghi dịch tuyến tính

có liên hệ ngược [51]. Có thể đánh giá rằng các nghiên cứu về mã cyclic đã được
hoàn thiện vào những năm 70 của thế kỷ 20 [77].
Mặc dù có nhiều ưu điểm nhưng có thể nhận thấy một số hạn chế của mã cyclic
như sau: Mã cyclic (n, k ) chủ yếu được xây dựng cho các giá trị n lẻ, số các đa
thức sinh có thể được lựa chọn để tạo các mã tốt không nhiều và phụ thuộc vào số
ideal có thể xây dựng. Nếu phân tích nhị thức  x n  1 thành tích của các đa thức bất
khả qui thì khả năng lựa chọn rất thấp khi không có nhiều đa thức bất khả qui. Điều
này đặc biệt thấy rõ đối với các vành đa thức có hai lớp kề cyclic (với

n

= 3, 5, 11,

13, 17, 19,…), các vành này không thể xây dựng được các mã cyclic tốt ngoài hai
mã tầm thường duy nhất là mã (n, n  1) (mã kiểm tra chẵn) và mã (n,1) (mã lặp) [1].
Các hạn chế này có thể xem là do tính chặt chẽ về cấu trúc của mã cyclic.
Ngược lại, với mã ngẫu nhiên tuyến tính của Shannon ta thấy không có những
hạn chế này. Shannon đã chứng minh rằng luôn tồn tại các mã tốt thỏa mãn định lý
mã hóa thứ hai. Tuy nhiên do tính lỏng lẻo về mặt cấu trúc nên rất khó khăn cho
việc thực hiện mã hóa và giải mã có hiệu quả cho các mã này. Cần chú ý thêm là
việc nghiên cứu các ideal trên vành số đã xây dựng được các mã AN-cyclic [74]
được sử dụng có hiệu quả trong kỹ thuật máy tính.
Phần tiếp theo luận án sẽ trình bày một số nội dung lý thuyết về mã tuyến tính,
cơ sở lý thuyết về mã cyclic xây dựng trên vành đa thức.

1.2. VÀNH ĐA THỨC
1.2.1. Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1: R là một vành giao hoán, một đa thức của biến x trên vành
R là một biểu thức có dạng [7]:
n 1

f ( x)   f i xi
i 0

(1.1)


8

Trong đó: f i – là hệ số, fi  R . Trong trường GF (2) , f i nhận giá trị 0 hoặc 1.
x

– biến, ẩn hình thức.

Bậc của đa thức f ( x) là: deg f ( x)  n  1
f ( x) được gọi là định chuẩn nếu hệ số cao nhất của nó f n 1  1 .

Nếu f ( x)  f 0 (đa thức hằng số), f 0  0 thì f ( x) có bậc 0.
Nếu f i  0 với i  0   n  1 , thì f ( x) được gọi là đa thức 0.
Định nghĩa 1.2: Cho R là một vành giao hoán, vành đa thức R[ x] là một
vành được tạo bởi tập tất cả các đa thức của biến x có các hệ số trong R . Hai phép
toán là phép cộng và phép nhân đa thức theo modulo ( x n  1) [7], [63].
Khi các hệ số của đa thức nằm trong trường nhị phân GF (2) , phép cộng và
phép trừ là tương đương, vành đa thức được ký hiệu

2

[ x] / ( x n  1) .

Trong trường nhị phân, vành đa thức ký hiệu: ( f ( x); , ) 

2

[ x] / ( x n  1) .

e( x)  0 gọi là phần tử đơn vị, deg e( x)  0 .
( f ( x), ) là một nhóm đối với phép cộng, thỏa mãn tiên đề của nhóm.
( f ( x), ) là nửa nhóm đối với phép nhân, tồn tại f ( x) , g ( x) thỏa mãn
f ( x)  g ( x)  0 .
n 1

n 1

i 0

i 0

* Phép cộng hai đa thức: Xét hai đa thức a( x)   ai xi và b( x)   bi xi , đa
thức c( x) là tổng của hai đa thức này và được tính như sau:
n 1

c( x)  a( x)  b( x) với c( x)   ci xi và ci  ai  bi

(1.2)

i 0

Phép cộng các hệ số ai và bi được thực hiện trên trường
Bậc của c( x) : deg c( x)  max deg a( x), deg b( x)
* Phép nhân hai đa thức:

(cộng theo modulo).


9

Xét 2 đa thức a( x) , b( x) ; c( x) là tích của hai đa thức và được tính như sau:

 n 1 i   n 1
c( x)  a( x).b( x)    ai x    b j x j  mod  x n  1
 i 0
  j 0


(1.3)

* Đa thức bất khả quy:
Định nghĩa 1.3: Đa thức f ( x) với deg f ( x)  1 được gọi là đa thức bất khả
quy nếu nó chỉ chia hết cho 1 và chính nó [7].
Như vậy đa thức bất khả quy là đa thức không thể phân tích được thành tích
của các đa thức có bậc nhỏ hơn.
Định lý 1.1: Bất kỳ đa thức bất khả quy nào trên trường GF (2m ) đều là ước
của x 2

m

1

 1 [7].

Định nghĩa 1.4: Đa thức g *( x) được gọi là đa thức đối ngẫu của đa thức
g ( x) nếu g *( x)  x deg g ( x ) .g ( x 1 ) [7].

* Đa thức đối xứng:
Định nghĩa 1.5: Đa thức a ( x) được gọi là đa thức đối xứng với đa thức a( x)
nếu [20]:
a( x)   ai xi thì a ( x)   a j x j
iI

Với: I

J =; I

(1.4)

jJ

J  S  0,1,..., n  1 .

Dựa vào tính chất của lũy đẳng nuốt, ta có: a  x   en  x   a  x 
* Vành đa thức có hai lớp kề cyclic:
Định nghĩa 1.6: Vành đa thức theo modulo x n  1 được gọi là vành đa thức
có hai lớp kề cyclic nếu phân tích của x n  1 dưới dạng tích các đa thức bất khả quy
trên trường GF(2) có dạng [1]:
n 1

x n  1  ( x  1) xi
i 0

(1.5)

10

n 1

trong đó, ( x  1) và en ( x)   xi là các đa thức bất khả quy.
i 0

Nhận xét:
- Vành đa thức

2

[ x] / ( x n  1) có hai lớp kề cyclic là vành đa thức mà trong đó

chỉ có 2 chu trình (mục 1.2.2.1): C0  0 , C1  1, 2, 22 ,..., 2n 2  với 2n1  1mod n .
- Vì en ( x) là một đa thức bất khả quy nên n phải là một số lẻ.
Bổ đề 1.1: Vành đa thức theo modulo x n  1 là một vành đa thức có hai lớp kề
cyclic nếu n thoả mãn [1]:


n



phần tử 2 phải thoả mãn điều kiện 2 ( n)/ p  1mod n với mỗi ước nguyên tố

phải là một số nguyên tố;

p của  (n) , với  (n) là hàm phi Euler.

Căn cứ vào đặc điểm trên của vành đa thức có hai lớp kề cyclic, tác giả của
[1] đề xuất một thuật toán xác định giá trị n thỏa mãn vành đa thức có hai lớp kề
cyclic. Ví dụ, các số n nhỏ hơn 1000 thoả mãn điều kiện

2

[ x] / ( x n  1) là một vành

đa thức có 2 lớp kề cyclic được liệt kê trong Bảng 1.1.
Bảng 1.1. Bảng giá trị của n nhỏ hơn 1000 thỏa mãn

2

[ x] / ( x n  1) là một vành

đa thức có 2 lớp kề cyclic
n = 3 5 11 13 19 29 37 53 59 61 67 83 101 107 131 139 163 173 179 181 197 211 227 269

293 317 347 349 389 419 421 443 461 467 491 509 523 541 547 557 563 587 613 619 653
659 661 677 701 709 757 773 787 797 821 827 829 853 859 877 883 907 941 947

1.2.2. Chu trình và lũy đẳng
1.2.2.1. Chu trình
* Khái niệm [6]
Các chu trình Ci theo modulo n trên trường GF (2) được xác định như sau:
Ci  i.2 j , j  0,1, 2,...

(1.6)

11

Tập các số nguyên theo modulo n được phân hoạch thành các chu trình.
Sn  0, 1, 2, 3,..., n 

(1.7)

Ci
i

Số phần tử của chu trình Ci được gọi là lực lượng của chu trình, ký hiệu Ci .
* Một số ý nghĩa của việc phân tích chu trình:
+ Số lượng chu trình cho biết số đa thức bất khả quy trong vành

2

[ x] / ( x n  1) .

+ Lực lượng của các chu trình cho biết bậc của đa thức bất khả quy tương ứng
trong phân tích của nhị thức x n  1 .
+ Các số trong một chu trình cho biết số mũ tương ứng của lũy đẳng e( x) .

1.2.2.2. Lũy đẳng
Định nghĩa 1.7: Trong vành đa thức

2

[ x] / ( x n  1) , đa thức có giá trị bình

phương bằng chính nó thì được gọi là đa thức lũy đẳng, ký hiệu e( x) [6].
e( x)  e2 ( x)  e( x 2 )

(1.8)

Các lũy đẳng e( x) được xác định trên cơ sở phân tích chu trình Ci .
Ví dụ 1.1:
n  5:

C0  0 ; C1  1, 2, 4,3 . Do đó, có các lũy đẳng:
e0  1; e1  x  x 2  x3  x 4

n  7:

C0  0 ; C1  1, 2, 4 ; C3  3, 6,5 . Do đó, có các lũy đẳng:
e0  1; e1  x  x 2  x 4 ; e2  x 3  x 5  x 6

n  9:

C0  0 ; C1  1, 2, 4,8, 7,5 ; C3  3, 6 . Do đó, có các lũy đẳng:
e0  1; e1  x  x 2  x 4  x5  x 7  x8 ; e2  x 3  x 6

Định nghĩa 1.8: Trong vành đa thức

2

[ x] / ( x n  1) với n lẻ, luôn tồn tại duy
n 1

nhất một lũy đẳng “nuốt” (Swallowing Idempotent) en ( x)   xi [6].
i 0


12

Bổ đề 1.2: Cho f ( x) 

n
, en ( x) 
2 [ x] / ( x  1)

n 1

x

i

là lũy đẳng nuốt.

i 0

1) f ( x).en ( x)  W ( f ( x)) mod 2  .en ( x) mod ( x n  1)
2) en ( x)  en2 ( x) mod ( x n  1) với n lẻ.
Hệ quả: Với f ( x) 

2

[ x] / ( x n  1) , thì:

𝑓 (𝑥). 𝑒𝑛 (𝑥) = {

𝑒𝑛 (𝑥) nếu 𝑊(𝑓(𝑥)) lẻ
0
nếu 𝑊(𝑓(𝑥)) chẵn

(1.9)

Định nghĩa 1.9: Lũy đẳng nguyên thủy là các đa thức chứa các đơn thức với
số mũ thuộc Ci . Tập các lũy đẳng nguyên thủy với phần tử 0 tạo nên vành lũy đẳng
[7].
Ví dụ 1.2: Xét vành x9  1 , theo định nghĩa về chu trình, ta có:
C0  0

 e0  x   1

C1  1, 2, 4,8,7,5

 e1  x   x  x 2  x 4  x5  x 7  x8

C3  3,6

 e3  x   x3  x6

C0 C1  0,1, 2, 4,8,7,5

 e01  x   1  x  x 2  x 4  x5  x7  x8

C0 C3  0,3,6

 e03  1  x3  x 6

C1 C3  1, 2,3, 4,5,6,7,8

 e23  x   x  x2  x3  x4  x5  x6  x7  x8

C0 C1 C3  0,1, 2,3, 4,5,6  e013  x   1  x  x 2  x3  x 4  x5  x6  x7  x8
Trong trường hợp này, e013  x  chính là lũy đẳng nuốt của vành.
Vành đa thức x9  1 sẽ được phân tích dưới dạng tích của 03 đa thức bất khả
9
2
3
6
quy: x  1  (1  x)(1  x  x )(1  x  x ) . Số đa thức bất khả quy bằng với số lượng

chu trình và bậc của các đa thức này bằng với số chữ số trong các chu trình (tương
ứng là 1 ( C0 ), 2 ( C3 ) và 6 ( C1 )).


13

1.3. MÃ TUYẾN TÍNH
Mã tuyến tính độ dài

n

là mã mà từ mã của nó có các dấu mã là các dạng tuyến

tính. Mã hệ thống tuyến tính (n, k ) là mã tuyến tính độ dài

n

trong đó ta có thể chỉ

ra được vị trí của k dấu thông tin trong từ mã. Mã tuyến tính ngẫu nhiên là mã tuyến
tính có các dấu mã được chọn ngẫu nhiên từ các dạng tuyến tính có thể có [7]. Một
số mã tuyến tính phổ biến như: mã chẵn lẻ, mã lặp, mã vòng, mã Hamming, mã
Golay, mã BCH, mã Reed-Solomon, mã Goppa,… [7], [35], [74]. Tiếp theo luận án
giới hạn trình bày về mã cyclic, một số mã có tính chất tương tự có thể xây dựng
trên vành đa thức, và một số tiêu chuẩn đánh giá mã tuyến tính phổ biến.

1.3.1. Mã cyclic truyền thống
1.3.1.1. Ideal của vành đa thức
Định nghĩa 1.10: Ideal I của vành đa thức gồm tập các đa thức a( x) là bội
của một đa thức g ( x) thỏa mãn [7]:
n
n
+ g ( x) | ( x  1) ( g ( x) là ước của ( x  1) ).

+ deg g ( x)  r  min deg a( x) với a( x)  I, a( x)  0 .
r

i
Ký hiệu Ideal trong vành đa thức là I  g ( x) . Với mọi g ( x)   gi x , ta có:
i 0

g0  gr  1, gi 0,1 với

i  1, r  1 .

Để tìm các tất cả các Ideal trong vành đa thức

x n  1 cần phải thực hiện phân tích vành này thành tích của các đa thức bất khả quy.

1.3.1.2. Định nghĩa mã cyclic
Mã cyclic được định nghĩa theo một trong hai cách dưới đây:
Định nghĩa 1.11: Mã cyclic (n, k ) là Ideal I  g ( x)
2

[x]/(x n  1)

của vành đa thức

[7].

Trong đó,

n là bậc của đa thức

x n  1 (cũng là độ dài từ mã),

thức sinh g ( x) và k  n  r (cũng là số bit thông tin của từ mã).

r

là bậc của đa