09 hệ cramer

Bài 4.

Hệ Cramer

I.

Hệ Cramer và phương pháp ma trận nghịch đảo

II.

Quy tắc Cramer (phương pháp định thức)


I.

Hệ Cramer và phương pháp ma trận nghịch đảo
ĐN:

Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính với số phương
trình bằng số ẩn và ma trận hệ số không suy biến.

�a11x1
�
a 21x1
�
�
�L
�
a n1x1
�

 a12 x 2
 a 22 x 2
L
 an2x2

trong đó ma trận hệ số

 L
 L
L
 L

 a1n x n
 a 2n x n
L
 a nn x n

A   a ij 

n�n

 b1
 b2
L
 bn

có định thức khác 0.

Giải hệ
ViếtCramer

hệ dưới
ở dạng
trên như
phương
thế nào?
trình ma trận:

�a11 a12 L
�
a 21 a 22 L
�
�L
L L
�
a n1 a n 2 L
�
1 4 4 42 4 4
A

a1n �
�x1 � �b1 �
�x � �b �
a 2n �
�
� 2 � � 2 �
�
L �
L ��
L �
�

� �� �
a nn �
xn � �
bn �
�
43 {
{
X
B

AX  B,

A �0

A 1  AX   A 1B
X  A 1B


I.

Hệ Cramer và phương pháp ma trận nghịch đảo
Ví dụ:

Giải hệ Cramer sau đây bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.

�2x  5y  4
�
 x  3y  7
�
Viết hệ dưới dạng phương trình ma trận:

4 �
�2 5 �
�x � �
� �
�
�
�
�
1 3 �
�
�y � �7 �
A

X

X  A 1B

3 5 � �
4 � 1 �
47 �
1�
X �
�� � � �
�
1 2 � �7 � 11 �10 �
11 �

B

3 5 �
1�
A  �
1 2�
11 �
�
1

47
10 �
�
�x   , y  �
11
11 �
�


I.

Hệ Cramer và phương pháp ma trận nghịch đảo
Ví dụ:

Giải hệ Cramer sau đây bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.

 x  3y  2z  4
�
�
�3x  y  7z  2
�5x  8y  2z  3
�

Viết hệ dưới dạng phương trình ma trận:

1 3 2 �
4
�
�x � ��
�3 1 7 �
�y � ��
2
�
�
� � ��
�5 8 2 �
�z � ��
3
�
�
� � ��
1 4 4 2 4 43
A

�54 10 19 �
1 �
�
A 1  

41

12


1
�
119 �
�29 23 8 �
�
�

{
X

{
B

�179 �
1 �
�
X

191
�
119 �
�138 �
�
�


II.

Quy tắc Cramer
ĐLý:

Hệ phương trình Cramer

�a11x1
�
a 21x1
�
�
�L
�
a n1x1
�

 a12 x 2
 a 22 x 2
L
 an2x2

 L
 L
L
 L

 a1n x n
 a 2n x n
L
 a nn x n

 b1
 b2

L
 bn

Có duy nhất nghiệm, và nghiệm duy nhất đó được xác định như sau:

d2
di
dn �
� d1
�x1  , x 2  ,K , x i  ,K , x n  �
d
d
d
d �
�
Trong đó:
d là định thức của ma trận hệ số A: d = |A|;
di là định thức cấp n có được từ d bằng cách thay cột i bởi cột tự do;


II.

Quy tắc Cramer
Ví dụ:

Giải hệ Cramer sau đây bằng quy tắc Cramer.

�2x  5y  4
�
 x  3y  7

�

47
10 �
�
�x   , y  �
11
11 �
�

Trước hết ta tính các định thức:

d
d1 

2

5

1 3
4 5
7

3

 11
 47

2 4
d2 

 10
1 7

47
d 2 10 �
� d1
 �
�x    ; y 
11
d 11 �
� d


II.

Quy tắc Cramer
Ví dụ:

Giải hệ Cramer sau đây bằng quy tắc Cramer.

 x  3y  2z  4
�
�
�3x  y  7z  2
�5x  8y  2z  3
�

�179 �
1 �
�

X

191
�
119 �
�138 �
�
�

Trước hết ta tính các định thức d, d1, d2, d3:

1 3 2
d  3 1 7  119
5 8 2
1
d2  3
5

4
2
3

2
7  191
2

4
d1 

3 2

2 1 7  179
3 8 2

1 3 4
d 3  3 1 2
5 8 3

 138

Nghiệm của hệ tính theo quy tắc Cramer là:

d 3 138 �
d 2 191
� d1 179
x


;
y


,
z


� d 119
d 119
d 119 �
�
�