12 cơ sở của không gian véc tơ

Bài 5.

Cơ sở của không gian vectơ

1.

Định nghĩa cơ sở

2.

Tọa độ của vectơ trong một cơ sở


1.

Định nghĩa cơ sở

ĐN:

n
Trong không gian vectơ ¡ , hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính được

gọi là một cơ sở của nó.

Muốn chứng minh hệ vectơ X1 , X 2 ,K , X r là cơ sở của ¡
Số vectơ = Số chiều

n

:

( r = n)

Hệ vectơ X1 , X 2 ,K , X r phải ĐLTT ⇐ Dùng khử Gauss


1.

Định nghĩa cơ sở

n
Ví dụ 1: Trong không gian ¡ , hệ vectơ sau độc lập tuyến tính

E1 = ( 1,0,K ,0 )

E 2 = ( 0,1,K ,0 )
LLLLLL
E n = ( 0,0,K ,1)
n
Hệ vectơ { E1 , E 2 ,K , E n } là một cơ sở của ¡ , được gọi là hệ cơ sở đơn vị.


1.

Định nghĩa cơ sở

Ví dụ 2: Trong không gian ¡

3

hệ vectơ sau có là cơ sở của nó không?

X1 = ( 3, −1, 2 ) , X 2 = ( −1, 4,3 ) , X 3 = ( 1, 2, −1)
Hệ ba vectơ này có là cơ sở của ¡

×1 ×(−2)
 3 −1 1 

→
×3
A =  −1 4 2 ÷
÷
 2 3 −1÷ ×3



→

 3 −1 1 
 0 11 7 ÷

÷
 0 0 −12 ÷



⇒

3

hay không?

 3 −1 1 
 0 11 7 ÷ ×(−1) 
→

÷
 0 11 −5 ÷ ×1



Hệ vectơ đã cho là một cơ sở của ¡

3


2.

Tọa độ của vectơ trong một cơ sở

ĐL:

n
Trong không gian vectơ ¡ , cho trước một cơ sở. Khi đó, mọi vectơ

bất kỳ đều biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua cơ sở đó.
n
n
Cụ thể: Giả sử P1 , P2 ,K , Pn là một cơ sở của ¡ , khi đó với mọi X ∈ ¡ ,

thì tồn tại duy nhất bộ n số thực α1 , α 2 ,K , α n sao cho:

X = α1P1 + α 2 P2 + L + α n Pn
ĐN:

α1P1

 a11α1
a α
 21 1

 L
a n1α1
P1

Bộ gồm n số thực ( α1 , α 2 ,K , α n ) trong

+

α 2 P2

+ L

+ α n Pn = X
vectơ X trong hệ cơ sở P1 , P2 ,K , Pn .

+ a12 α 2
+ a 22 α 2
L
+ a n 2α 2

+ L
+ L
L
+ L

P2

+ a1n α n
+ a 2n α n
L
+ a nn α n
Pn

= b1
= b2
L
= bn
X

( )

*

( )

*

được gọi là tọa độ của
Hệ có ma trận mở rộng:

 a11 a12
a
a 22
21

A=
L
L

 a n1 a n 2

L
L
L
L

a1n
a 2n
L
a nn

b1 
b2 ÷
÷
L ÷
÷
bn 


2.

Tọa độ của vectơ trong một cơ sở

3
Ví dụ 3: Trong không gian vectơ ¡ , cho hệ cơ sở:

P1 = ( 2,0, −3) , P2 = ( −1,0, 4 ) , P3 = ( 4,3,0 )
Tìm tọa độ của vectơ X = ( 5,6,7 ) trong hệ cơ sở này
Đáp số: Giải hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng A

 2 −1 4 5 
A =  0 0 3 6÷

÷
 −3 4 0 7 ÷


được nghiệm là tọa độ của X trong hệ cơ sở đã cho:

( α1 = −1, α 2 = 1, α3 = 2 )