Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 huyện lâm thao phú thọ năm học 2017 2018 có đáp án

PHÒNG GD& ĐT LÂM THAO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017-2018
Môn: TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi có 02 trang)

I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( 8 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng
Câu 1.Giá trị x thỏa mãn : 2 x  1  5  2 là :
1
A. x  25
B. x 

1
x4
2
2
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  2 x  3 với x  3 là :

A.-3

B. 3

C.

C.-4

D.

1
 x  25
2

D.4

Câu 3. Cho x  5  2 6  5  2 6 thì giá trị biểu thức N  x  3x  2008 là
A.2017
B.2018
C.2019
D. 2020
3

3

3

2
3

1
và trục Ox là:
2
A. 146019 /
B. 330 42 /
C. 146030 /
D. 330 69 /
Câu 5 . Trên mặt phẳng tọa độ Cho ba điểm A 1;3 ; B  3; 1 ; C  4; 2  thì diện tích tam giác ABC là:

Câu 4 . Góc tạo bởi đường thẳng y   x 

C. 17
A. 20
B. 18
D. 15
Câu 6. Điều kiện của m để 2 đường thẳng y  m(m  3) x  5m  2 và đường thẳng
y  (m  8) x  m(m  4) song song là :
A. m  4
B. m  2; m  1
C. m  2 hoặc m  4
D. m  2; m  1
mx  2 y  m  1
có nghiệm duy nhất là
2 x  my  2m  1

Câu 7 . Giá trị m để hệ phương trình : 
B. m  2

A. m  2

C. m  2

D. Giá trị khác

  x  y  4 m  1
2 x  y  5(m  1)
Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x  3 y  13
A. m  2
B. m  2
C. m  4

Câu 8. Cho hệ phương trình : 

D. m  4

 x  y  2(m  1)
2 x  y  m  8

Câu 9. Cho hệ phương trình 

Hệ có nghiệm duy nhất  x; y  thì giá trị nhỏ nhất của x 2  y 2 là:
A.-2
B. 20
C.16
D.18
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH kẻ HD  AB, HE  AC
(H  BC, D  AB,E  AC) thì AD.BD+AE.EC bằng:
A. DE 2
B. BC2
C. AH 2
D. 2AH 2
Câu 11. Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng

4
thì tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh
9

góc vuông đó trên cạnh huyền là:
A.

2

3

B.

16
81

C.

4
9

Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 21cm, cosC =
A.

3
4

B.

4
3

C.

21
35

D.

9
4

3
. Khi đó tanB là :
5
35
D.
21


Câu 13.. Cho tam giác đều có độ dài cạnh là a thì độ dài bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác
đó là:
A.

a
3

B.

a 3
6

C.

a 3
2

D.

a 3
3

Câu 14. Cho đường tròn tâm O bán kính R=4cm dây AB=5cm trên dây AB lấy điểm C sao cho
AC=2cm kẻ CD vuông góc với đường kính AE tại D .Tính độ dài AD :
5
7
5
D. 1,5cm
A.
B.
C.
cm
cm
cm
3

4

4

Câu 15. Cho đường tròn tâm O bán kính R=15cm dây AB=24cm. Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax, qua O
kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt Ax tại C thì độ dài OC là:
A. 20cm
B. 25cm
C. 30cm
D. 35cm
Câu 16. Nêú bạn An đi lên môt thang cuốn tốc độ là 1 bước trên giây thì bạn An sẽ đến đỉnh thang
trong 10 bước nêú bạn An tăng vận tốc lên 2 bước trên giây thì sẽ lên tới đỉnh thang trong 16 bước .
Hỏi thang cuốn có bao nhiêu bước.

A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
II. PHẦN TỰ LUÂN( 12 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh :

1  x  x 2  x3  y 3
b) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức x 2  x  6 là một số chính phương

Câu 2 (3,5 điểm)
a)Giải phương trình: 2 x 2  5 x  5  5 x  1

 x 2 y 2  1  10 y 2
b) Giải hệ phương trình : 
 xy  x  1  7 y
Câu 3 (4,0 điểm) .
1.Cho đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Từ hai điểm A và B kẻ hai tia tiếp tuyến
Ax và By với nửa đường tròn , điểm M thuộc nửa đường tròn (sao cho tia Ax, By và nửa đường tròn
chứa điểm M cùng nẳm trên nửa mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tia tiếp
tuyến Ax và By lần lượt ở C và D, Gọi giao điểm của AD và BC là K, MK và AB là H.
a) Chứng minh MK vuông góc với AB và MK=KH.
b) Vẽ tam giác vuông cân MBE đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tròn (O) (BE và BD cùng nửa
mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường
thẳng đi qua E và song song với MB luôn đi qua một điểm cố định.
2.Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC= a. Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh BC, AC,

(a  b  c) 2
4

BC là ha, hb,,hc .Chứng minh rằng: 2
ha  hb2  hc2
Câu 4 (1,5 điểm).
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
1 1 1
P  21 a 2  b 2  c 2   12  a  b  c   2017    
a b c

------HẾT------

2


KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017-2018
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9
I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( 8 điểm)
Mỗi lựa chọn đúng 0,5 điểm Câu có 2 trở lên phải chọn đủ mới cho điểm
1.D

2.C

3.B

4.A

5.D

6.A

7.C

8.B

9.D

10.A,C

11.B

12.A

13.D

14.C

15.B

16.B

II.PHẦN TỰ LUẬN(12 điểm )
Câu 1 (3,0 điểm)
a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh : 1  x  x 2  x 3  y 3
b) Tìm tất cả các số hữu tỉ x sao cho giá trị của biểu thức x 2  x  6 là một số chính
phương.
ĐÁP ÁN

ĐIỂM

b) (1,5 điểm)Ta có
2

2

1 3
11  19


x  x  1   x     0;5 x 2  11x  7  5  x   
0
2 4
10  20



0,5

 x3  1  x  x 2  x3   x  2 

0,5

2

x3   x 2  x  1  1  x  x 2  x 3   8  12 x  6 x 2  x 3    5 x 2  11x  7 
3

vì x, y  Z mà y 3  1  x  x 2  x 3
Suy ra

x  0
 1  x  x 2  x 3  x  x  1  0  
 x  1
Voi x  0  y  1
Voi x  1  y  0

 x  1

Vay

3

0,5

 x; y    0;1 ;  1;0 

b) (1,5 điểm)

x 2  x  6  n 2 ;(n, x  Z )  4 x 2  4 x  24  4n 2  4 x 2  4 x  1  4n 2  23

 2 x  1  2n  2 x  1  2n   23;2 x  1  2n  2 x  1  2n
2 x  1  2n
2 x  1  2n
4x  2

-1
23
22
5

x
Vậy số nguyên x cần tìm là 5 hoặc –6
Câu 2 (3,5 điểm)
a) Giải phương trình: 2 x 2  5 x  5  5 x  1

-23
1
-22
-6

0,75

0,75

3


 x 2 y 2  1  10 y 2
b) Giải hệ phương trình : 
(I)
 xy  x  1  7 y
ĐÁP ÁN

1
5
2
2 x  5 x  5  5 x  1  2  x 2  3x  2   x  1  5 x  1  0

ĐIỂM

a)( 1,5 điểm) ĐKXĐ x 

 2  x  3x  2  
2

 x  1

2





5x  1

x  1  5x  1



0

x 2  3x  2
1


 2  x  3x  2  
 0   x 2  3x  2   2 
0
x  1  5x  1

x  1  5x  1 

2

do x 

0,5

2

0,5

1
1
2
0
5
x  1  5x  1

x 1
x 2  3 x  2  0   x  1 x  2   0  
x  2

0,5

S  1;2
b)( 2 điểm)
ta thấy y=0 không thoả mãn hệ (I) với y  0
2


 2 1

1
x
 x    2  10
 x  y 2  10
0,5


y
y
(I )  
 
x 1
x  x  1  7

x

 7


y y
y y

đặt
1

S

x



y


P  x

y
0,5
 S 2  2 P  10
P  7  S
 S  6  S  4
thay vào (II) ta được 
 2


 P  13  P  3
S  P  7
 S  2S  24  0
t  1
1
S  4
Với 
=> x và
là 2 nghiệm của phương trình t 2  4t  3  0   t  1 t  3  0  
y
P  3
t  3

x  1

x  1


* 1

1

3
y
 y  3

x  3
x  3

* 1

 y 1 y 1


4


 S  6
1
suy ra x và
là 2 nghiệm của phương trình

y
 P  13

0,5

t 2  6t  13  0   t  3  4  0 Vo nghiem
2




1
 ;  3;1 
 3 


 x; y   1;

0,5

Câu 3 (4,0 điểm) .
1.Cho đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Từ hai điểm A và B kẻ hai tia tiếp
tuyến Ax và By với nửa đường tròn , điểm M thuộc nửa đường tròn (sao cho tia Ax, By và nửa
đường tròn chứa điểm M cùng nẳm trên nửa mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M kẻ tiếp tuyến thứ
ba, cắt các tia tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở C và D, Gọi giao điểm của AD và BC là K, MK và
AB là H.
a) Chứng minh MK vuông góc với AB và MK=KH;
b) Vẽ tam giác vuông cân MBE đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tròn (O) (BE và BD cùng
nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì
đường thẳng đi qua E và song song với MB luôn đi qua một điểm cố định.
2.Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC= a. Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh BC,
AC, BC là ha, hb,,hc chứng minh rằng.

(a  b  c) 2
4
ha2  hb2  hc2

.

F
D

E

M
C
K
A

H

O

B

N
ĐÁP ÁN
a)( 2 điểm) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
AC = CM, BD = DM.
Vì Ax và By cùng vuông góc với AB nên Ax // By, theo định lí Ta-lét ta

ĐIỂM

1,0

5


có:

KD BD
KD MD

 MK // AC mà AC  AB  MK  AB


KA AC
KA MC

Ta có

KH BK
KM DK
KD BK

(1);

(2);

(3);Tu (1)(2)(3) ta có :
AC BC
AC DA
AD BC

1,0

KH MK

 MK  KH
AC AC

b)( 1 điểm )Gọi F là giao điểm của tia By và đường thẳng đi qua E và song song với
 = 90 0 .
MB. Ta có BEF
Chứng minh tam giác AMB và tam giác FEB bằng nhau ( g-c-g)
 AB = BF=2R  BF không đổi,
F thuộc tia By cố định  F cố định.
Vậy khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua E và
song song với MB luôn đi qua điểm cố định F.

0,5

0,5

c) ( 1 điểm)
D

c

ha

A

d

b
ha

c

ha
H

B

a

C

Qua A kẻ đường thẳng d//BC gọi D là đối xứng của B qua d thì BD  2ha , AD  c
Trong tam giác ACD ta có DC  AD  AC  c  b  DC 2   b  c 

2

dấu “=: xảy ra khi ABC A  600
mà trong tam giác vuông DBC

DC 2  BD 2  BC 2  4ha2  a 2  4ha2   b  c   a 2   b  c  a  b  c  a  ,(1)
2

0,5

Tương tự 4hb2   a  c  b  b  c  a  ,(2);4hc2   a  b  c  b  c  a  ,(3)

Từ (1);(2);(3) ta có:

4ha2  4hb2  4hc2   a  b  c  b  c  a  a  c  b  a  b  c    a  b  c 

a  b  c


2

2

ha2  hb2  hc2

4

0,5

Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều

6


Câu 4 ( 1,5 điểm) Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
2
1 1 1
P  21 a 2  b 2  c 2   12  a  b  c   2017    
a b c

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Ta có Theo BĐT Bunhiacôpky ta có 3  a 2  b 2  c 2    a  b  c  ;
2

1 1 1
9
1 1 1
Mặt khác  a  b  c       9    
a b c abc
a b c
Nên

P  19  a  b  c  
2

18153
8
8
2

 17849
 19  a  b  c  


Q

abc
a


b

c
a

b

c
a

b

c



0,5

0,5

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có

P  Q  19.3 3  a  b  c  .
2

8
8
17849
17849 18305

.

 228 

abc abc
2
2
2


a  b  c  0

18305
2
Min(P) 
 a  b  c  2
abc
2
3

8
2
 a  b  c  
abc


0,5

...................................... HẾT .................................
Chú ý : - Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25

- Nếu cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa ứng với từng phần trong hướng dẫn chấm

7