Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 huyện bù đăng tỉnh bình phước năm học 2015 2016(có đáp án)

SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC
PHÒNG GD&ĐT BÙ ĐĂNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN BÙ ĐĂNG
NĂM HỌC 2015-2016
Đề thi môn : Toán
Ngày thi: /1/2016
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Bài 1(5,0 điểm):
1. Cho biểu thức:

A=

x +1
x −2

+

2 x
x +2

+

2+5 x
.
4− x

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A;
b) Tính giá trị của A, biết x = 16 − 8 3 .
2. Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình: x 2 = y 2 + y + 1
Bài 2(5,0 điểm):
 y 2 − y + x 2 = 2 xy − x
2
2
2 x + x − y + y − 3 = 0

1. Giải hệ phương trình: 

2. Cho phương trình x 2 + 2mx + m 2 − 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm.
Bài 3(5,0 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Ba đường
cao AK; BE; CD cắt nhau ở H ( K ∈ BC , E ∈ AC , D ∈ AB) .
1. Chứng minh tứ giác BDEC ; BDHK nội tiếp.
2. Chứng minh AD. AB = AE .AC
3. Chứng minh KA là phân giác của góc ·DKE
4. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và DE. Chứng minh: OA//MN.
Bài 4(2,0 điểm):
Cho tứ giác lồi ABCD có AB và CD không song song với nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của các cạnh BC và AD . Chứng minh rằng: AB + CD > 2 MN
Bài 5(3,0 điểm):
1. Cho a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh (a3 + b3 + c3 ) − (a + b + c) chia hết cho 6.
2. Cho x , y > 0 và x + y ≤ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P =

1
2

x +y

2

+

2
+ 4 xy .
xy

- - - Hết - - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: …………………………………. Số báo danh: ……………………
Chữ ký của giám thị 1: …………………………………………………………….……
Chữ ký của giám thị 2: …………………………………………………….……………
Trang 1/4


HƯỚNG DẪN GIẢI-THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HSG TOÁN 9 HUYỆN BÙ ĐĂNG NĂM HỌC 2015-2016
Nội dung

Bài
1
(5đ) a) Rút gọn A =

x +1
x −2

+

2 x
x +2

x ≥ 0

x ≥ 0
+) ĐK:  x − 2 ≠ 0 ⇔ 
x ≠ 4
4 − x ≠ 0


+) A =
=

x +1
x −2

+

2 x
x +2

3x − 6 x
( x + 2)( x − 2)

=

+

+

Điểm

2+5 x
.
4− x

(*)

0,50

−2 − 5 x
( x + 2)( x − 2)

3 x ( x − 2)
( x + 2)( x − 2)

=

=

( x + 1)( x + 2) + 2 x ( x − 2) − 2 − 5 x
( x + 2)( x − 2)

3 x

0,50
0,75

x +2

b) Tính giá trị của A khi x = 16 − 8 3 .
0,50

Ta có x = 16 − 8 3 = (2 3 − 2)2 ⇒ x = 2 3 − 2
⇒A=

3(2 3 − 2)
2 3 −2+2

=

3 3 −3
3

= 3− 3

0,75

2. Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình: x 2 = y 2 + y + 1
Vì y ≥ 0 và y nguyên ⇒ y 2 < y 2 + y + 1 ≤ ( y 2 + y + 1) + y = ( y + 1)2

0,50

⇒ y 2 + y + 1 = ( y + 1)2 ⇒ y = 0 ⇒ x = 1
Vậy pt đã cho có nghiệm ( x; y) = (1;0)

1,00
0,50

2
 y 2 − y + x 2 = 2 xy − x
1.Giải
hệ
phương
trình:
 2
(5đ)
2

2 x + x − y + y − 3 = 0

(1)
(2)

(1)

Pt (1) ⇔ ( y 2 − 2 xy + x 2 ) − ( y − x ) = 0 ⇔ ( y − x )2 − ( y − x ) = 0

0,50

y = x
⇔ ( y − x )( y − x − 1) = 0 ⇔ 
y = x +1
x = 1⇒ y = 1
2
+) y = x thế vào (2) ta được x + 2 x − 3 = 0 ⇔  x = −3 ⇒ y = −3

0,25



0,50
x = 3 ⇒ y = 1+ 3
2
+) y = x + 1 thế vào (2) ta được x = 3 ⇔ 

0,50

Vậy hpt đã cho có 4 nghiệm ( x; y ) : (1;1) , (3;3) , ( 3;1 + 3), ( 3;1 − 3).

0,25

x = − 3 ⇒ y = 1− 3

2. Cho phương trình x 2 + 2mx + m 2 − 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi m
Ta có ∆ = 4m2 − 4(m 2 − 1) = 4 > 0, ∀m nên pt (1) có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm.
S<0
Vì pt (1) có nghiệm với mọi m nên pt (1) có hai nghiệm đều âm ⇔  P > 0



1,00

0,50
Trang 2/4

 −2 m < 0
x + x < 0
⇔ 1 2
⇔ 2
 x1 x2 > 0
m − 1 > 0
m > 0

⇔   m < −1 ⇔ m > 1
  m > 1
Suy ra m ≤ 1 thì pt (1) có ít nhất một nghiệm không âm.

0,50
0,50

0,50
3
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Ba đường cao AK;
(5đ) BE; CD cắt nhau ở H ( K ∈ BC , E ∈ AC , D ∈ AB ) .
Vẽ đúng hình nền cho 0,5 điểm
x
A

N

E

D
H
B

K

0,50

O

C

M

1.Chứng minh tứ giác BDEC; BDHK nội tiếp.
+) ·BDC = ·BEC = 900 suy ra tứ giác BDEC nội tiếp
+) ·BDH +·CKH = 180 0 suy ra tứ giác BDHK nội tiếp
2. Chứng minh AD. AB = AE. AC
Ta có: µA chung và ·ADE = ·BCA (cùng bù ·BDE ) ⇒ ∆ ADE : ∆ ACB (g.g)
⇒

AD AE
=
⇒ AD.AB = AE . AC
AC AB

(đpcm)

0,50
0,50
0,50
0,50

3. Chứng minh KA là phân giác của góc ·DKE
+) tứ giác BDHK nội tiếp ⇒ ·DKH = ·DBH

(1)

+) tứ giác BDEC nội tiếp ⇒ ·DBH = ·ECH

(2)

+) tứ giác KHEC nội tiếp ⇒ ·EKH = ·ECH
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra ·DKA = ·EKA ( do H ∈ KA )
Suy ra KA là phân giác của góc ·DKE .
4. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và DE. Chứng minh: OA//MN.
+) Kẻ tiếp tuyến Ax của (O)
1
⇒ ·CAx = ·CBA (= sd»AC )
2
·
·
Lại có CBA = DEA ( cùng bù góc ·DEC )
⇒ ·CAx = ·DEA ⇒ Ax//DE

mà Ax ⊥ OA ⇒ DE ⊥ OA (4)
+ Mặt khác: Trung điểm M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDEC
mà N là trung điểm của dây DE ( DE không đi qua tâm M)
⇒ MN ⊥ DE

(5)

0,75

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 3/4


4
(2đ)

Từ (4) và (5) suy ra MN //OA (đpcm)
0,25
Bài 4(2,0 điểm): Cho tứ giác lồi ABCD có AB và CD không song song với nhau. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD . Chứng minh rằng: AB + CD > 2 MN
D

N
A

0,25

I
B
C

M

Gọi I là trung điểm của AC, khi đó MI và NI lần lượt là đường trung bình của tam
1
2

0,50

1
2

giác ABC và ACD nên MI = AB và NI = CD
1
⇒ MI + NI = ( AB + CD ) ⇒ AB + CD = 2( MI + NI )
2
Mặt khác: Tam giác MNI có MN < MI + NI ⇒ 2 MN < 2( MI + NI ) = AB + CD
Vậy AB + CD > 2 MN

0,25
0,50

5
Bài 5(3,0 điểm):
(3đ) 1. Cho a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh (a3 + b3 + c3 ) − (a + b + c) chia hết cho 6.
0,25
Đặt M = (a3 + b3 + c3 ) − (a + b + c) = (a3 − a) + (b3 − b) + (c3 − c)
Ta có : a3 − a = a(a − 1)(a + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết
cho 2 và một số chia hết cho 3, mà (2;3) = 1 nên a(a − 1)(a + 1) chia hết cho 6.
Tương tự : (b3 − b) và (c3 − c) chia hết cho 6
Vậy M chia hết cho 6.
2. Cho x , y > 0 và x + y ≤ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P =



1

1   1



1
x 2 + y2

+

4
( x + y )2

+2

5

0,50

0,50

1
5
.4 xy +
≥ 4 + 2 + 5 = 11
4 xy
( x + y )2

Dấu " = " xảy ra ⇔ x = y =

0,25

2
+ 4 xy .
xy

+ 4 xy ÷+
÷+ 
Ta có P =  2 2 +
2 xy ÷
 4 xy
x +y
  4 xy
≥

0,50

1
2

0,50
0,25

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của P bằng 11 tại x = y =

1
2

0,25

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà đúng giám khảo vẫn cho điểm theo thang tương ứng.

- - - Hết - - -

Trang 4/4