Một cái nhìn tổng quát về toán học

Toán Học
Toán Học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các
con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi. Các nhà toán học và triết học
có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học.
Các nhà toán học tìm kiếm các mô thức và sử dụng chúng để tạo ra những
giả thuyết mới. Họ lý giải tính đúng đắn hay sai lầm của các giả thuyết bằng
các chứng minh toán học. Khi những cấu trúc toán học là mô hình tốt cho
hiện thực, lúc đó suy luận toán học có thể cung cấp sự hiểu biết sâu sắc
hay những tiên đoán về tự nhiên. Thông qua việc sử dụng những phương
pháp trừu tượng và lôgic, toán học đã phát triển từ việc đếm, tính toán, đo
lường, và nghiên cứu có hệ thống những hình dạng và chuyển động của các
đối tượng vật lý. Con người đã ứng dụng toán học trong đời sống từ xa xưa.
Việc tìm lời giải cho những bài toán có thể mất hàng năm, hay thậm chí
hàng thế kỷ.

Hình 1: Euclid, nhà toán học Hy Lạp, thế kỷ thứ 3 trước Tây lịch, theo hình
dung của họa sĩ Raphael, trong một chi tiết của bức họa "Trường Athens".
Những lập luận chặt chẽ xuất hiện trước tiên trong nền toán học Hy
Lạp cổ đại, đáng chú ý nhất là trong tác phẩm Cơ sở của Euclid. Kể từ
những công trình tiên phong của Giuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert
(1862–1943), và của những nhà toán học khác trong thế kỷ 19 về các hệ thống
tiên đề, nghiên cứu toán học trở thành việc thiết lập chân lý thông qua suy
luận lôgic chặt chẽ từ những tiên đề và định nghĩa thích hợp. Toán học phát
triển tương đối chậm cho tới thời Phục hưng, khi sự tương tác giữa những
1


phát minh toán học với những phát kiến khoa học mới đã dẫn đến sự gia
tăng nhanh chóng những phát minh toán học vẫn tiếp tục cho đến ngày nay.
Toán học được sử dụng trên khắp thế giới như một công cụ thiết yếu
trong nhiều lĩnh vực, bao gồm khoa học, kỹ thuật, y học, và tài chính. Toán

học ứng dụng, một nhánh toán học liên quan đến việc ứng dụng kiến thức
toán học vào những lĩnh vực khác, thúc đẩy và sử dụng những phát minh
toán học mới, từ đó đã dẫn đến việc phát triển nên những ngành toán hoàn
toàn mới, chẳng hạn như thống kê và lý thuyết trò chơi. Các nhà toán học
cũng dành thời gian cho toán học thuần túy, hay toán học vị toán học. Không
có biên giới rõ ràng giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng, và những
ứng dụng thực tiễn thường được khám phá từ những gì ban đầu được xem
là toán học thuần túy.

1

Lịch sử

Từ "mathematics" trong tiếng Anh bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp cổ, có nghĩa
là "thứ học được", "những gì người ta cần biết," và như vậy cũng có nghĩa
là "học" và "khoa học"; còn trong tiếng Hy Lạp hiện đại thì nó chỉ có nghĩa
là "bài học." .Trong tiếng Việt, "toán" có nghĩa là tính; "toán học" là môn
học về toán số. Trong các ngôn ngữ sử dụng từ vựng gốc Hán khác, môn học
này lại được gọi là số học.
Sự tiến hóa của toán học có thể nhận thấy qua một loạt gia tăng không
ngừng những phép trừu tượng, hay qua sự mở rộng của nội dung ngành học.
Phép trừu tượng đầu tiên, mà nhiều loài động vật có được, có lẽ là về các
con số, với nhận thức rằng, chẳng hạn, một nhóm hai quả táo và một nhóm
hai quả cam có cái gì đó chung, ở đây là số lượng quả trong mỗi nhóm.
Các bằng chứng khảo cổ học cho thấy, ngoài việc biết đếm những vật thể
vật lý, con người thời tiền sử có thể cũng đã biết đếm những đại lượng trừu
tượng như thời gian - ngày, mùa, và năm.
Đến khoảng năm 3000 trước Tây lịch thì toán học phức tạp hơn mới xuất
hiện, khi người Babylon và người Ai Cập bắt đầu sử dụng số học, đại số,
và hình học trong việc tính thuế và những tính toán tài chính khác, trong

xây dựng, và trong quan sát thiên văn. Toán học được sử dụng sớm nhất
trong thương mại, đo đạc đất đai, hội họa, dệt, và trong việc ghi nhớ thời gian.

2


Các phép tính số học căn bản trong toán học Babylon (cộng, trừ, nhân,
và chia) xuất hiện đầu tiên trong các tài liệu khảo cổ. Giữa năm 600 đến 300
trước Tây lịch, người Hy Lạp cổ đã bắt đầu nghiên cứu một cách có hệ thống
về toán học như một ngành học riêng, hình thành nên toán học Hy Lạp. Kể
từ đó toán học đã phát triển vượt bậc; sự tương tác giữa toán học và khoa
học đã đem lại nhiều thành quả và lợi ích cho cả hai. Ngày nay, những phát
minh toán học mới vẫn tiếp tục xuất hiện.

2

Cảm hứng, thuần túy ứng dụng, và vẻ đẹp

Toán học nảy sinh ra từ nhiều kiểu bài toán khác nhau. Trước hết là những
bài toán trong thương mại, đo đạc đất đai, kiến trúc, và sau này là thiên văn
học; ngày nay, tất cả các ngành khoa học đều gợi ý những bài toán để các
nhà toán học nghiên cứu, ngoài ra còn nhiều bài toán nảy sinh từ chính bản
thân ngành toán. Chẳng hạn, nhà vật lý Richard Feynman đã phát minh ra
tích phân lộ trình (path integral) cho cơ học lượng tử bằng cách kết hợp suy
luận toán học với sự hiểu biết sâu sắc về mặt vật lý, và lý thuyết dây - một lý
thuyết khoa học vẫn đang trong giai đoạn hình thành với cố gắng thống nhất
tất cả các tương tác cơ bản trong tự nhiên - tiếp tục gợi hứng cho những lý
thuyết toán học mới. Một số lý thuyết toán học chỉ có ích trong lĩnh vực đã
giúp tạo ra chúng, và được áp dụng để giải các bài toán khác trong lĩnh vực
đó. Nhưng thường thì toán học sinh ra trong một lĩnh vực có thể hữu ích

trong nhiều lĩnh vực, và đóng góp vào kho tàng các khái niệm toán học.
Các nhà toán học phân biệt ra hai ngành toán học thuần túy và toán học
ứng dụng. Tuy vậy các chủ đề toán học thuần túy thường tìm thấy một số
ứng dụng, chẳng hạn như lý thuyết số trong ngành mật mã học. Việc ngay cả
toán học "thuần túy nhất" hóa ra cũng có ứng dụng thực tế chính là điều mà
Eugene Wigner gọi là "sự hữu hiệu đến mức khó tin của toán học". Giống
như trong hầu hết các ngành học thuật, sự bùng nổ tri thức trong thời đại
khoa học đã dẫn đến sự chuyên môn hóa: hiện nay có hàng trăm lĩnh vực
toán học chuyên biệt và bảng phân loại các chủ đề toán học đã dài tới 46
trang. Một vài lĩnh vực toán học ứng dụng đã nhập vào những lĩnh vực liên
quan nằm ngoài toán học và trở thành những ngành riêng, trong đó có xác
suất, vận trù học, và khoa học máy tính.
Những ai yêu thích ngành toán thường thấy toán học có một vẻ đẹp nhất
định. Nhiều nhà toán học nói về "sự thanh lịch" của toán học, tính thẩm
mỹ nội tại và vẻ đẹp bên trong của nó. Họ coi trọng sự giản đơn và tính
tổng quát. Vẻ đẹp ẩn chứa cả bên trong những chứng minh toán học đơn
3


giản và gọn nhẹ, chẳng hạn chứng minh của Euclid cho thấy có vô hạn số
nguyên tố, và trong những phương pháp số giúp đẩy nhanh các phép tính
toán, như phép biến đổi Fourier nhanh. Trong cuốn sách Lời bào chữa của
một nhà toán học (A Mathematician’s Apology) của mình, G. H. Hardy tin
rằng chính những lý do về mặt thẩm mỹ này đủ để biện minh cho việc nghiên
cứu toán học thuần túy. Ông nhận thấy những tiêu chuẩn sau đây đóng góp
vào một vẻ đẹp toán học: tầm quan trọng, tính không lường trước được, tính
không thể tránh được, và sự ngắn gọn. Sự phổ biến của toán học vì mục đích
giải trí là một dấu hiệu khác cho thấy nhiều người tìm thấy sự sảng khoái
trong việc giải toán...

3

Ký hiệu, ngôn ngữ, tính chặt chẽ

Hầu hết các ký hiệu toán học đang dùng ngày nay chỉ mới được phát minh
vào thế kỷ 16. Trước đó, toán học được viết ra bằng chữ, quá trình nhọc
nhằn này đã cản trở sự phát triển của toán học. Euler (1707–1783) là người
tạo ra nhiều trong số những ký hiệu đang được dùng ngày nay. Ký hiệu hiện
đại làm cho toán học trở dễ hơn đối với chuyên gia toán học, nhưng người
mới bắt đầu học toán thường thấy nản lòng. Các ký hiệu cực kỳ ngắn gọn:
một vài biểu tượng chứa đựng rất nhiều thông tin. Giống ký hiệu âm nhạc,
ký hiệu toán học hiện đại có cú pháp chặt chẽ và chứa đựng thông tin khó
có thể viết theo một cách khác đi.
Ngôn ngữ toán học có thể khó hiểu đối với người mới bắt đầu. Những từ
như hoặc và chỉ có nghĩa chính xác hơn so với trong lời nói hàng ngày. Ngoài
ra, những từ như mở và trường đã được cho những nghĩa riêng trong toán
học. Những thuật ngữ mang tính kỹ thuật như phép đồng phôi và khả tích
có nghĩa chính xác trong toán học. Thêm vào đó là những cụm từ như nếu
và chỉ nếu nằm trong thuật ngữ chuyên ngành toán học. Có lý do tại sao cần
có ký hiệu đặc biệt và vốn từ vựng chuyên ngành: toán học cần sự chính xác
hơn lời nói thường ngày. Các nhà toán học gọi sự chính xác này của ngôn
ngữ và logic là "tính chặt chẽ."

4

Các lĩnh vực toán học

Nói chung toán học có thể được chia thành các ngành học về lượng, cấu trúc,
không gian, và sự thay đổi (tức là số học, đại số, hình học, và giải tích).
Ngoài những mối quan tâm chính này, toán học còn có những lĩnh vực khác

khảo sát mối quan hệ giữa toán học và những ngành khác, như với logic và
4


Hình 2: Leonhard Euler, người tạo ra và phổ biến hầu hết các ký hiệu toán
học được dùng ngày nay.
lý thuyết tập hợp, toán học thực nghiệm trong những ngành khoa học khác
nhau (toán học ứng dụng), và gần đây hơn là sự nghiên cứu chặt chẽ về tính
bất định.

4.1

Nền tảng và triết học

Để làm rõ nền tảng toán học, lĩnh vực logic toán học và lý thuyết tập hợp
đã được phát triển. Logic toán học bao gồm nghiên cứu toán học về logic
và ứng dụng của logic hình thức trong những lĩnh vực toán học khác. Lý
thuyết tập hợp là một nhánh toán học nghiên cứu các tập hợp hay tập hợp
những đối tượng. Lý thuyết phạm trù, liên quan đến việc xử lý các cấu trúc
và mối quan hệ giữa chúng bằng phương pháp trừu tượng, vẫn đang tiếp tục
phát triển. Cụm từ "khủng hoảng nền tảng" nói đến công cuộc tìm kiếm
một nền tảng toán học chặt chẽ diễn ra từ khoảng năm 1900 đến 1930. Một
số bất đồng về nền tảng toán học vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Cuộc
khủng hoảng nền tảng nổi lên từ một số tranh cãi thời đó, trong đó có những
tranh cãi liên quan đến lý thuyết tập hợp của Cantor và cuộc tranh cãi giữa
Brouwer và Hilbert.
Khoa học máy tính lý thuyết bao gồm lý thuyết khả tính (computability
5

Hình 3: Kurt G¨odel là một trong những nhà logic toán học lớn, với các định
lý bất toàn.
theory), lý thuyết độ phức tạp tính toán, và lý thuyết thông tin. Lý thuyết
khả tính khảo sát những giới hạn của những mô hình lý thuyết khác nhau
về máy tính, bao gồm mô hình máy Turing nổi tiếng. Lý thuyết độ phức tạp
nghiên cứu khả năng có thể giải được bằng máy tính; một số bài toán, mặc
dù về lý thuyết có thể giải được bằng máy tính, cần thời gian hay không gian
tính toán quá lớn, làm cho việc tìm lời giải trong thực tế gần như không thể,
ngay cả với sự tiến bộ nhanh chóng của phần cứng máy tính. Một ví dụ là
bài toán nổi tiếng P = N P . Cuối cùng, lý thuyết thông tin quan tâm đến
khối lượng dữ liệu có thể lưu trữ được trong một môi trường lưu trữ nhất
định, và do đó liên quan đến những khái niệm như nén dữ liệu và entropy
thông tin.

6


4.2
4.2.1

Toán học thuần túy
Lượng

Việc nghiên cứu về lượng (quantity) bắt đầu với các con số, trước hết với số
tự nhiên và số nguyên và các phép biến đổi số học, nói đến trong lĩnh vực
số học. Những tính chất sâu hơn về các số nguyên được nghiên cứu trong lý
thuyết số, trong đó có định lý lớn Fermat nổi tiếng. Trong lý thuyết số, giả
thiết số nguyên tố sinh đôi và giả thiết Goldbach là hai bài toán chưa giải
được.

Khi hệ thống số được phát triển thêm, các số nguyên được xem như là
tập con của các số hữu tỉ. Các số này lại được bao gồm trong số thực vốn
được dùng để thể hiện những đại lượng liên tục. Số thực được tổng quát hóa
thành số phức. Đây là những bước đầu tiên trong phân bố các số, sau đó
thì có các quaternion (một sự mở rộng của số phức) và octonion. Việc xem
xét các số tự nhiên cũng dẫn đến các số vô hạn (transfinite numbers), từ đó
chính thức hóa khái niệm "vô hạn". Một lĩnh vực nghiên cứu khác là kích cỡ
(size), từ đó sinh ra số đếm (cardinal numbers) và rồi một khái niệm khác
về vô hạn: số aleph, cho phép thực hiện so sánh có ý nghĩa kích cỡ của các
tập hợp lớn vô hạn.
4.2.2

Cấu trúc

Nhiều đối tượng toán học, chẳng hạn tập hợp những con số và những hàm
số, thể hiện cấu trúc nội tại toát ra từ những phép biến đổi toán học hay
những mối quan hệ được xác định trên tập hợp. Toán học từ đó nghiên cứu
tính chất của những tập hợp có thể được diễn tả dưới dạng cấu trúc đó;
chẳng hạn lý thuyết số nghiên cứu tính chất của tập hợp những số nguyên
có thể được diễn tả dưới dạng những phép biến đổi số học. Ngoài ra, thường
thì những tập hợp có cấu trúc (hay những cấu trúc) khác nhau đó thể hiện
những tính chất giống nhau, khiến người ta có thể xây dựng nên những tiên
đề cho một lớp cấu trúc, rồi sau đó nghiên cứu đồng loạt toàn bộ lớp cấu trúc
thỏa mãn những tiên đề này. Do đó người ta có thể nghiên cứu các nhóm,
7


vành, trường, và những hệ phức tạp khác; những nghiên cứu như vậy (về
những cấu trúc được xác định bởi những phép biến đổi đại số) tạo thành
lĩnh vực đại số trừu tượng.

Với mức độ tổng quát cao của mình, đại số trừu tượng thường có thể được
áp dụng vào những bài toán dường như không liên quan gì đến nhau. Một
ví dụ về lý thuyết đại số là đại số tuyến tính, lĩnh vực nghiên cứu về các
không gian vectơ, ở đó những yếu tố cấu thành nó gọi là vectơ có cả lượng
và hướng và chúng có thể được dùng để mô phỏng các điểm (hay mối quan
hệ giữa các điểm) trong không gian. Đây là một ví dụ về những hiện tượng
bắt nguồn từ những lĩnh vực hình học và đại số ban đầu không liên quan
gì với nhau nhưng lại tương tác rất mạnh với nhau trong toán học hiện đại.
Toán học tổ hợp nghiên cứu những cách tính số lượng những đối tượng có
thể xếp được vào trong một cấu trúc nhất định.

4.2.3

Không gian

Việc nghiên cứu không gian bắt đầu với hình học - cụ thể là hình học Euclid.
Lượng giác là một lĩnh vực toán học nghiên cứu về mối quan hệ giữa các
cạnh và góc của tam giác và với các hàm lượng giác; nó kết hợp không gian
và các con số, và bao gồm định lý Pythagore nổi tiếng. Ngành học hiện đại
về không gian tổng quát hóa những ý tưởng này để bao gồm hình học nhiều
chiều hơn, hình học phi Euclide (đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết
tương đối tổng quát), và tô-pô. Cả lượng và không gian đều đóng vai trò
trong hình học giải tích, hình học vi phân, và hình học đại số. Hình học lồi
và hình học rời rạc trước đây được phát triển để giải các bài toán trong lý
thuyết số và giải tích phiếm hàm thì nay đang được nghiên cứu cho các ứng
dụng trong tối ưu hóa (tối ưu lồi) và khoa học máy tính (hình học tính toán).
Trong hình học vi phân có các khái niệm bó sợi (fiber bundles) và vi tích
phân trên các đa tạp, đặc biệt là vi tích phân vectơ và vi tích phân tensor.
Hình học đại số thì mô tả các đối tượng hình học dưới dạng lời giải là những
tập hợp phương trình đa thức, cùng với những khái niệm về lượng và không

gian, cũng như nghiên cứu về các nhóm tô-pô kết hợp cấu trúc và không
8


gian. Các nhóm Lie được dùng để nghiên cứu không gian, cấu trúc, và sự
thay đổi. Tô-pô trong tất cả những khía cạnh của nó có thể là một lĩnh vực
phát triển vĩ đại nhất của toán học thế kỷ 20; nó bao gồm tô-pô tập hợp
điểm (point-set topology), tô-pô lý thuyết tập hợp (set-theoretic topology),
tô-pô đại số và tô-pô vi phân (differential topology). Trong đó, những chủ
đề của tô-pô hiện đại là lý thuyết không gian mêtric hóa được (metrizability
theory), lý thuyết tập hợp tiên đề (axiomatic set theory), lý thuyết đồng
luân (homotopy theory), và lý thuyết Morse. Tô-pô cũng bao gồm giả thuyết
Poincaré nay đã giải được, và giả thuyết Hodge vẫn chưa giải được. Những
bài toán khác trong hình học và tô-pô, bao gồm định lý bốn màu và giả
thuyết Kepler, chỉ giải được với sự trợ giúp của máy tính.

4.2.4

Sự thay đổi

Hiểu và mô tả sự thay đổi là chủ đề thường gặp trong các ngành khoa học
tự nhiên. Vi tích phân là một công cụ hiệu quả đã được phát triển để nghiên
cứu sự thay đổi đó. Hàm số từ đây ra đời, như một khái niệm trung tâm
mô tả một đại lượng đang thay đổi. Việc nghiên cứu chặt chẽ các số thực và
hàm số của một biến thực được gọi là giải tích thực, với số phức thì có lĩnh
vực tương tự gọi là giải tích phức. Giải tích phiếm hàm (functional analysis)
tập trung chú ý vào những không gian thường là vô hạn chiều của hàm số.
Một trong nhiều ứng dụng của giải tích phiếm hàm là trong cơ học lượng
tử (ví dụ: lý thuyết phiếm hàm mật độ). Nhiều bài toán một cách tự nhiên
dẫn đến những mối quan hệ giữa lượng và tốc độ thay đổi của nó, rồi được

nghiên cứu dưới dạng các phương trình vi phân. Nhiều hiện tượng trong tự
nhiên có thể được mô tả bằng những hệ thống động lực; lý thuyết hỗn độn
nghiên cứu cách thức theo đó nhiều trong số những hệ thống động lực này
thể hiện những hành vi không tiên đoán được nhưng vẫn có tính tất định.

9


4.3

Toán học ứng dụng

Toán học ứng dụng quan tâm đến những phương pháp toán học thường
được sử dụng trong khoa học, kỹ thuật, kinh doanh, và công nghiệp. Như
vậy, "toán học ứng dụng" là một ngành khoa học toán học với kiến thức đặc
thù. Thuật ngữ toán học ứng dụng cũng được dùng để chỉ lĩnh vực chuyên
nghiệp, ở đó các nhà toán học giải quyết các bài toán thực tế. Với tư cách
là một ngành nghề chú trọng vào các bài toán thực tế, toán học ứng dụng
tập trung vào "việc thiết lập, nghiên cứu, và sử dụng những mô hình toán
học" trong khoa học, kỹ thuật, và những lĩnh vực thực hành toán học khác.
Trước đây, những ứng dụng thực tế đã thúc đẩy sự phát triển các lý thuyết
toán học, để rồi sau đó trở thành chủ đề nghiên cứu trong toán học thuần
túy, nơi toán học được phát triển chủ yếu cho chính nó. Như vậy, hoạt động
của toán học ứng dụng nhất thiết có liên hệ đến nghiên cứu trong lĩnh vực
toán học thuần túy.
4.3.1

Thống kê và những lĩnh vực liên quan

Toán học ứng dụng có nhiều phần chung với thống kê, đặc biệt với lý thuyết

xác suất. Các nhà thống kê, khi làm việc trong một công trình nghiên cứu,
"tạo ra số liệu có ý nghĩa" sử dụng phương pháp tạo mẫu ngẫu nhiên (random sampling) và những thí nghiệm được ngẫu nhiên hóa (randomized experiments); việc thiết kế thí nghiệm hay mẫu thống kê xác định phương pháp
phân tích số liệu (trước khi số liệu được tạo ra). Khi xem xét lại số liệu từ
các thí nghiệm và các mẫu hay khi phân tích số liệu từ những nghiên cứu
bằng cách quan sát, các nhà thống kê "làm bật ra ý nghĩa của số liệu" sử
dụng phương pháp mô phỏng và suy luận – qua việc chọn mẫu và qua ước
tính; những mẫu ước tính và những tiên đoán có được từ đó cần được thử
nghiệm với những số liệu mới.
Lý thuyết thống kê nghiên cứu những bài toán liên quan đến việc quyết
định, ví dụ giảm thiểu nguy cơ (sự tổn thất được mong đợi) của một hành
động mang tính thống kê, chẳng hạn sử dụng phương pháp thống kê trong
10


ước tính tham số, kiểm nghiệm giả thuyết, và chọn ra tham số cho kết quả
tốt nhất. Trong những lĩnh vực truyền thống này của thống kê toán học, bài
toán quyết định-thống kê được tạo ra bằng cách cực tiểu hóa một hàm mục
tiêu (objective function), chẳng hạn giá thành hay sự mất mát được mong
đợi, dưới những điều kiện nhất định. Vì có sử dụng lý thuyết tối ưu hóa, lý
thuyết toán học về thống kê có chung mối quan tâm với những ngành khoa
học khác nghiên cứu việc quyết định, như vận trù học, lý thuyết điều khiển,
và kinh tế học toán.
4.3.2

Toán học tính toán

Toán học tính toán đưa ra và nghiên cứu những phương pháp giải các bài
toán toán học mà con người thường không có khả năng giải số được. Giải tích
số nghiên cứu những phương pháp giải các bài toán trong giải tích sử dụng
giải tích phiếm hàm và lý thuyết xấp xỉ; giải tích số bao gồm việc nghiên

cứu xấp xỉ và rời rạc hóa theo nghĩa rộng, với sự quan tâm đặc biệt đến sai
số làm tròn (rounding errors). Giải tích số và nói rộng hơn tính toán khoa
học (scientific computing) cũng nghiên cứu những chủ đề phi giải tích như
khoa học toán học, đặc biệt là ma trận thuật toán và lý thuyết đồ thị. Những
lĩnh vực khác của toán học tính toán bao gồm đại số máy tính (computer
algebra) và tính toán biểu tượng (symbolic computation).

5

Giải thưởng toán học và những bài toán
chưa giải được

Có thể nói giải thưởng toán học danh giá nhất là Huy chương Fields, thiết
lập vào năm 1936 và nay được trao bốn năm một lần cho 2 đến 4 nhà toán
học có độ tuổi dưới 40. Huy chương Fields thường được xem là tương đương
11


với Giải Nobel trong những lĩnh vực khác. (Giải Nobel không xét trao thưởng
trong lĩnh vực toán học) Một số giải thưởng quốc tế quan trọng khác gồm
có: Giải Wolf về Toán học (thiết lập vào năm 1978) để ghi nhận thành tựu
trọn đời; Giải Abel (thiết lập vào năm 2003) dành cho những nhà toán học
xuất chúng; Huy chương Chern (thiết lập vào năm 2010) để ghi nhận thành
tựu trọn đời.
Năm 1900, nhà toán học người Đức David Hilbert biên soạn một danh
sách gồm 23 bài toán chưa có lời giải (còn được gọi là Các bài toán của
Hilbert). Danh sách này rất nổi tiếng trong cộng đồng các nhà toán học, và
ngày nay có ít nhất chín bài đã được giải. Một danh sách mới bao gồm bảy
bài toán quan trọng, gọi là "Các bài toán của giải thiên niên kỷ" (Millennium
Prize Problems), đã được công bố vào năm 2000, ai giải được một trong số

các bài toán này sẽ được trao giải một triệu đô-la. Chỉ có một bài toán từ
danh sách của Hilbert (cụ thể là giả thuyết Riemann) trong danh sách mới
này. Tới nay, một trong số bảy bài toán đó (giả thuyết Poincaré) đã có lời
giải.

6

Mối quan hệ giữa toán học và khoa học

Gauss xem toán học là "nữ hoàng của các ngành khoa học". Trong cụm từ
La-tinh Regina Scientiarum và cụm từ tiếng Đức K¨onigin der Wissenschaften
(cả hai đều có nghĩa là "nữ hoàng của các ngành khoa học"), từ chỉ "khoa
học" có nghĩa là "lĩnh vực tri thức," và đây cũng chính là nghĩa gốc của từ
science (khoa học) trong tiếng Anh; như vậy toán học là một lĩnh vực tri
thức. Sự chuyên biệt hóa giới hạn nghĩa của "khoa học" vào "khoa học tự
nhiên" theo sau sự phát triển của phương pháp luận Bacon, từ đó đối lập
"khoa học tự nhiên" với phương pháp kinh viện, phương pháp luận Aristotle
nghiên cứu từ những nguyên lý cơ sở. So với các ngành khoa học tự nhiên
như sinh học hay vật lý học thì thực nghiệm và quan sát thực tế có vai trò
không đáng kể trong toán học. Albert Einstein nói rằng "khi các định luật
toán học còn phù hợp với thực tại thì chúng không chắc chắn; và khi mà
chúng chắc chắn thì chúng không còn phù hợp với thực tại." Mới đây hơn,
Marcus du Sautoy đã gọi toán học là "nữ hoàng của các ngành khoa học;...
động lực thúc đẩy chính đằng sau những phát kiến khoa học."
Nhiều triết gia tin rằng, trong toán học, tính có thể chứng minh được
là sai (falsifiability) không thể thực hiện được bằng thực nghiệm, và do đó
toán học không phải là một ngành khoa học theo như định nghĩa của Karl
Popper. Tuy nhiên, trong thập niên 1930, các định lý về tính không đầy đủ
12

Hình 4: Carl Friedrich Gauss, người được xem là "hoàng tử của toán học."
(incompleteness theorems) của G¨odel đưa ra gợi ý rằng toán học không thể
bị quy giảm về logic mà thôi, và Karl Popper kết luận rằng "hầu hết các lý
thuyết toán học, giống như các lý thuyết vật lý và sinh học, mang tính giả
định-suy diễn: toán học thuần túy do đó trở nên gần gũi hơn với các ngành
khoa học tự nhiên nơi giả định mang tính chất suy đoán hơn hơn mức mà
người ta nghĩ."
Một quan điểm khác thì cho rằng một số lĩnh vực khoa học nhất định
(như vật lý lý thuyết) là toán học với những tiên đề được tạo ra để kết nối
với thực tại. Thực sự, nhà vật lý lý thuyết J. M. Ziman đã cho rằng khoa
học là "tri thức chung" và như thế bao gồm cả toán học. Dù sao đi nữa, toán
học có nhiều điểm chung với nhiều lĩnh vực trong các ngành khoa học vật lý,
đáng chú ý là việc khảo sát những hệ quả logic của các giả định. Trực giác
và hoạt động thực nghiệm cũng đóng một vai trò trong việc xây dựng nên
các giả thuyết trong toán học lẫn trong những ngành khoa học (khác). Toán
học thực nghiệm ngày càng được chú ý trong bản thân ngành toán học, và
việc tính toán và mô phỏng đang đóng vai trò ngày càng lớn trong cả khoa
học lẫn toán học.
Ý kiến của các nhà toán học về vấn đề này không thống nhất. Một số
13


cảm thấy việc gọi toán học là khoa học làm giảm tầm quan trọng của khía
cạnh thẩm mỹ của nó, và lịch sử của nó trong bảy môn khai phóng truyền
thống; một số người khác cảm thấy rằng bỏ qua mối quan hệ giữa toán học
và các ngành khoa học là cố tình làm ngơ trước thực tế là sự tương tác giữa
toán học và những ứng dụng của nó trong khoa học và kỹ thuật đã là động
lực chính của những phát triển trong toán học. Sự khác biệt quan điểm này
bộc lộ trong cuộc tranh luận triết học về chuyện toán học "được tạo ra"

(như nghệ thuật) hay "được khám phá ra" (như khoa học). Các viện đại học
thường có một trường hay phân khoa "khoa học và toán học". Cách gọi tên
này ngầm ý rằng khoa học và toán học gần gũi với nhau nhưng không phải
là một.

14