Chứng minh tính chất hình học bằng phương pháp tọa độ

LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN

Chứng minh tính chất
hình học bằng phương
pháp tọa độ
TÀI LIỆU GỬI TẶNG CÁC BẠN HỌC SINH THÂN YÊU

USER
Huế, tháng 3, 2016


Bài toán 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2AD, M, G lần lượt là trung điểm AB và ED. Gọi E là điểm đối
MF EF
xứng với D qua A. Chứng minh EG  GB và tính các tỉ số
;
FA FG

Chọn hệ trục tọa độ Dxy như hình vẽ. Đặt AD  1  AB  2
1 1
Khi đó D(0; 0), A(0;1), E(0; 2), B(2;1) . M là trung điểm của AB  M(1;1)  G  ; 
2 2
  1 3    3 1   
Ta có: EG   ;  ; GB   ;   EG.GB  0  EG  GB
2 2 
2 2
Kẻ AI//DM, GK//AD.
 AB : y  1
1 
 F  ;1 
Tọa độ F là nghiệm của hệ: 
3 

EG : 3x  y  2  0
  1    2 
MF
2
Do đó: AF   ; 0  , MF   ; 0  
AF
3 
 3 
  1
   1 1 
EF
2
Tương tự, EF   ; 1  , FG   ;  
FG
3

6 2 


  450 . Gọi K là điểm nằm trên cạnh BC sao cho tam giác
Bài toán 2. Cho tam giác ABC không cân, có góc ACB
ABK cân tại A, N là điểm đối xứng với K qua cạnh AC, M là trung điểm BC. Chứng minh các tính chất sau đây:
1) AM  BN
2) Tam giác ABN vuông cân tại A
3) Tam giác AKN cân tại A

Chọn hệ trục tọa độ Hxy như hình vẽ. Gọi F là trung điểm của KN
3

Đặt BC = 4a  0 . Khi đó H(0; 0), A(0; 3a), B( a; 0), C(3a; 0), M  a; 0 

2

Phương trình đường thẳng AC : x  y  3a  0 , phương trình đường thẳng qua K vuông góc với AC là
d :x  y  a  0.

 x  y  3a
 F(2a; a) . N là điểm đối xứng với M qua AC, suy ra N(3a; 2a) .
Tọa độ điểm F: 
x  y  a
  3
 
 
Ta có AM   a; 3a  ; BN  (4a; 2a)  AM.BN  0  AM  BN
2



 
Lại có AB   a; 3a  ; AN  (3a; a)  AB.AN  0  AB  AN , AB  AN  a 10
Suy ra tam giác ABN vuông cân tại A


Mặt khác AK  (a; 3a), AN  (3a; a)  AK  AN  a 10 , suy ra tam giác AKN cân tại A.


Bài toán 3. Cho hình vuông ABCD tâm I, trên tia đối của tia CB lấy điểm M, trên tia đối của tia DC lấy điểm N
sao cho BM = CN . BD cắt MN tại K. Đường thẳng song song với AN kẻ từ M và đường thẳng song song với
AM kẻ từ N cắt nhau tại F. Chứng minh rằng:
1) Tam giác AMN vuông cân tại A
2) K là trung điểm của MN

3) FC  AC, AMPN là hình vuông

Chọn hệ trục tọa độ Axy như hình vẽ, đặt cạnh AD = 1, BM = a >0. Khi đó:
A(0; 0), M(a;1), N(1; a), B(0;1), D(1; 0)
Ta có các kết quả sau:


 
AN  (1; a), AM  (a;1)  AN.AM  0, AM  AN nên tam giác AMN vuông cân tại A

 1 a 1 a 
;
Giả sử O là trung điểm của MN  O 
mà O lại thuộc BD: x  y  1  0 nên O là giao điểm
2 
 2
của MN và BD do đó O  K  K là trung điểm của MN.

Đường thẳng MF qua M nhận AM  (a;1) làm VTPT có phương trình: ax  y  a2  1  0

Đường thẳng NF qua N nhận AN  (1; a) làm VTPT có phương trình: x  ay  a2  1  0
F là giao điểm của MF và NF  F(a  1; a  1) mà F lại đối xứng với A qua K nên K là trung điểm của
AF. Vậy tứ giác AMFN là hình vuông.


 
AF  (a  1; a  1); AC  (1;1)  AF.AC  0  AF  AC.


Bài toán 4. Cho hình thang vuông ABCD tại A và B, gọi E là trung điểm của AB, H và K lần lượt là chân đường

cao kẻ từ A và B đến ED và EC, đường thẳng AH cắt BK tại F. Gọi G là giao điểm của EF và DC. Chứng minh:
EG  DC.

Chọn hệ tọa độ Bxy như hình vẽ.
Đặt AB  2, BC  b  0, AD  a  0  B(0; 0), A(0; 2), D(a; 2), C(b; 0), E(0;1)

Phương trình đường thẳng BK nhận EC  (b; 1) làm VTPT  BK : bx  y  0

Phương trình đường thẳng AH nhận ED  ( a;1) làm VTPT  AH : ax  y  2  0

BK : bx  y  0
 2
2b 
 F
;
Tọa độ F là nghiệm của hệ 

ab ab
 AH : ax  y - 2  0
  2 b  a 

;
CD
 (a  b; 2) .T
Suy ra EF  
và

ab ab
  2( a  b) 2(b  a)
Ta có: CD.EF 


 0  CD  EF.
ab
ab


Bài toán 5. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BD, F là điểm đối xứng với C qua E. Hình
chiếu vuông góc của F trên cạnh AB và AD lần lượt là N và M. Chứng minh M, N, E thẳng hàng.

Chọn hệ trục tọa độ Avu như hình vẽ (Av tương ứng với trục Ox, Au tương ứng với trục Oy)
Khi đó A(0;0), B(2;0),C(2;1), D(0;1)
Phương trình BD: x  2 y  2  0 , mà E thuộc BD nên E(2  2e; e)  F(2  4e; 2e  1)
Phương trình AB: y  0
Phương trình AC: x  0
M và N lần lượt là hình chiếu của F lên AB, AC nên M(0; 2e  1), N(2  4e;0)
Phương trình MN: (2e  1)x  (2  4e)y  (2  4e)(2e  1)  0
Giả sử H là giao điểm của MN và BD  H(2  2e; e)  E . Vậy M,N,E thẳng hàng
Gọi F  EF 1 ẩn  Trung điểm O của AF thuộc MN  F
M và N là giao điểm của MN và đường tròn tâm O, bán kính AF
Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm M,A,E bằng hệ ba ẩn.


Bài toán 6. Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 40 và AD=2AB. Gọi M là trung điểm AB, E là hình
chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB. Giả sử C(5;2), M(1;4) và đường phân giác của góc CME có
phương trình x-1=0, tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành, biết điểm A có tung độ nhỏ hơn 2.