KĨ THUẬT CÂN BẰNG VÀ PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG

KĨ THUẬT CÂN BẰNG VÀ PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG
Ví dụ 1. Giải phương trình x3  1  2 3 2 x  1
 Biểu thức cân bằng: 3 2 x  1  x
(chú ý lấy nghiệm lẻ)
3
2x  2 2x 1
 Cân bằng bước 1:


x3  2 x   2 x  1  2 3 2 x  1

Cân bằng bước 2:

Do đó phương trình đã cho  x3  2 x   2 x  1  2 3 2 x  1
Từ đây dễ dàng giải bằng phương pháp hàm số hoặc phân tích thành nhân tử.
Ví dụ 2. Giải phương trình x3  3x 2  x  3  3 3x  5
 Biểu thức cân bằng 3 3x  5  x  1
x  1  3 3x  5
 Cân bằng bước 1:




 x  1

3

Cân bằng bước 2:

 x  1  3x  5  3 3x  5

Do đó phương trình đã cho   x  1  x  1  3x  5  3 3x  5
Từ đây dễ dàng giải bằng phương pháp hàm số hoặc phân tích thành nhân tử
Ví dụ 3. Giải phương trình :


3

 x  4

Điều kiện x  2 .
 Biểu thức cân bằng:






x  2  x3  x 2  x  5 



3

x  2  2 x  2  x3  x 2  x  5

x  2  x 1

Cân bằng bước 1:





Lượng còn thiếu:

3
x3  x 2  x  5   x  1  2  x  1  2 x 2  6 x  2



Cân bằng bước 2:

2

x  2  2 x  2   x  1  2  x  1
3



x2



3

2

 2  x  1

2

Như vậy phương tình đã cho tương đương với





3

x2 2



x2



2

 2 x  2   x  1  2  x  1  2  x  1
3

2

3
2
Xét hàm số f  t   t  2t  2t ….

Ví dụ 4. Giải phương trình x3  3x 2   x  1 x  2  6 x  4 x  2  6
Điều kiện: x  2 .

Phương trình tương đương với x3  3x 2  6 x  6 





3

x2 3 x2

Ta thấy phương trình có một nghiệm chẵn x  2 , để ý hệ số hai vế ta tìm được
x  x2
 Biểu thức cân bằng:





3

Cân bằng bước 1:

x3  3x 

Lượng còn thiếu

x3  3x 2  6 x  6   x3  3x   3x 2  3x  6



Cân bằng bước 2:

3x 2  3



Do đó phương trình đã cho tương đương với



x2



2

  x  2 3 x  2
 x  3x  3x  1   x  2   3  x  2   3 x  2  1
  x  1   x  2  1
x3  3x 2  3x 

3





x2 3 x2

3

x  2 3
3

2

3

 x 1  x  2 1

3

2

2


Ví dụ 5: Giải phương trình  4  x  2  x   x  15 x  1  6 x  18 .
Điều kiện: 1  x  2
 Tính nghiệm x  1.914213562... tìm được 2  x  x  1  2
2  x  2  x  1 (chú ý hệ số trong phương trình để suy ra)
 Biểu thức cân bằng:



 2



3



Cân bằng



Xét hàm số f  t   t 3  2t ………

2 x





3

2  x  2  x 1  2 2  x 1



Ví dụ 6. Giải phương trình  2 x  3 2 x  1   x  6  x  8x  6
Điều kiện: x  0
 Tính nghiệm x  0.4169947557 …..tìm được


Viết lại phương trình:



Cân bằng bước 1:





2x 1  2  x



2 x  1  2 2 x  1    x  6 x  8x  6
3





3

  22  x 
x   2  2  x   2x  8

2x 1  2 2x 1  2  x



Lượng còn thiếu:   x  6  x  8 x  6  2 



2



Cân bằng bước 2: 2



Phương trình đã cho tương đương với:






3

2x 1  2

2x 1









3

3

 2 2  x



2



2

2x 1  2 2x 1  2  x

Xét hàm f  t   t 3  2t 2  2t ……………

Ví dụ 7. Giải phương trình 4  3 2 x  9  3



x 6

  2 2  x 
3



4  x  3x  1  2

2



2 2 x



 4  x 3x  1

1
Điều kiện   x  4
3



11
3
Nhận thấy vế phải có dạng đối xứng: Đặt t  4  x  2 x  1 , thay hai nghiệm vào nhận thấy
t  2x  9



Cân bằng 1: 3 2 x  9  3



Tìm được hai nghiệm: x  0; x 




Cân bằng 2:  2 x  9   



Phương trình đã cho tương đương với

2



2x  9



2


2x  1

4  x  2x 1
4 x 

 3 2x  9 



2



2

4  x  2x 1  3

Xét hàm số f  t   t 2  3t trên  0;   ……..



4  x  2x 1



Ví dụ 8. Giải phương trình 3 3 2  x   x  5 x  1  4 x  1
Điều kiện: x  1
 Tìm được 3 nghiệm x  1; x  2; x  10






Tìm mối liên hệ hai căn: Giả sử a. 3 2  x  b x  1  c  0 , thay 3 nghiệm vào giải hệ được
a  b  c  1 , suy ra 3 2  x  x  1  1
Từ hệ số của căn suy ra biểu thức cân bằng 3 2  x  1  x  1
Viết lại phương trình 3 3 2  x    x  5 x  1  4 x  1


Cân bằng 2:  2  x   1 


x 1

Cân bằng 1: 3 3 2  x  3 1  x  1
3

3

3




Phương trình đã cho tương đương với



Suy ra

3

3

2 x

 3
3

3



2  x  1  x 1

Đặt u  3 2  x ; v  x  1  v  0 , thu được hệ

u  1  v
……
 3 2
u  v  1



3



2  x  1  x 1  3 1  x 1

