MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC BIẾN TRONG PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN

Ngô Ngọc Hà
THPT Lạng Giang 1
MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC BIẾN TRONG PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN
1. Phân tích đa thức:
Ví dụ 1:  x  y  x  2 y   3x  2 y  4  x2   3 y  3 x  2 y 2  2 y  4  0
 Nhập biểu thức vế trái vào máy tính, ấn shift slove , cho Y=100 thu được X=-99, suy ra X=1-Y,
do đó nghiệm còn lại là X= -(3Y+3)-(1-Y)= -2Y-4.
 Ta có phân tích  x2   3 y  3 x  2 y 2  2 y  4   x  y  1 x  2 y  4  .
Ví dụ 2: x3  3xy 2  x2  y 2  x  1  2 y3  3x2 y  xy  2 y .
 Dùng máy tính, chỉ ra phương trình có nhân tử  x  2 y  1 hay phương trình có nghiệm x  2 y  1 .


Viết theo đa thức ẩn x: x3  1  3 y  x2   3 y 2  y  1 x  2 y3  y 2  2 y  1



Dùng lược đồ Hooc-ne chia đa thức ta được:

x3  1  3 y  x 2   3 y 2  y  1 x  2 y 3  y 2  2 y  1   x  2 y  1  x 2  xy  y 2  1

2

y  3y2 
=  x  2 y  1  x   
 1 .
2
4


2
2

3
2
Ví dụ 3: 3x y  2 x  y  2 y  y  2  2 x3  3xy 2  2 xy  2 x




Dùng máy tính chỉ ra y  2 x  2 (dùng chức năng giải Y theo X để nhận ra điều này dễ hơn)
Viết thành đa thức ẩn y (để chia cho đẹp), chia ta được  y  2 x  2  x2  xy  y 2  1  0

2. Liên hợp – ép tích thành nhân tử.
a) Nhân tử nghiệm đơn.
Ví dụ 4: x3  x2  2 y  1  x2 y  y  1 , với x  0; y  0 .
 Dùng máy tính tìm được quan hệ x  y


x3  x 2  2 y  1  x 2 y  y  1  x 2  x  y  

 x2  x  y  





x2  2 y  1  y  1  0

 2

0


x

y
x 



x2  2 y  1  y  1



  0  x  y  0.
x 2  2 y  1  y  1 

x2  y 2

x y

Ví dụ 5: 2 x2  3x  y  4 x  y 2  x  1 , với x, y  0 .
 Tìm được mối quan hệ: x  y  1  0


Khi đó nhận thấy:



2 x 2  3x  y  4 x  y 2  x  1 

x 2  3x  y  4 x  y 2



 

x 2  3x  y  4 x  y 2 



x 2  3x  y  x  1  0



x y
1
  x  y  1  2

  0  x  y 1  0
 x  3x  y  4 x  y 2
x 2  3x  y  x  1 


Ví dụ 6: x2  x  y . 3 x  y  y với x  0; x2  x  y  0 .
 Tìm được mối quan hệ x  y  1  0 .


x2  x  y . 3 x  y  y  3 x  y  1 

y
x x y
2

1



1
x y

  0  x  y 1  0 .
  x  y  1

2
 3

2
2
x  y  3 x  y 1 y  x  x  y x  x  y 
 

Ví dụ 7: 1  y  x  y  x  2   x  y  1 y với x  y  0 .








Dùng máy tính chỉ ta mối quan hệ x  y  1 .
Nhận thấy với y  1 phương trình luôn đúng (dùng chức năng giải Y theo X để nhận ra điều này).



pt   x  y  1

ĐT: 0985192025





y  1  x  y  1  2  1  y  x  y  x


Ngô Ngọc Hà
  x  y  1





y  1   y  1



 1

1
x  y  1  0   y  1 x  y  1 


  0  y  1 x  y  1  0
 y 1
x  y  1 




x  2 y  1  x  3 y 2  4 y  1  3 y  1 với y  0 .

Ví dụ 8.




THPT Lạng Giang 1

x  2 y  1  y 2  2 y  1  y  1 và

Tìm được mối liên hệ x  y 2 . Khi đó

 



x  2 y  1  x  3y2  4 y  1  3y  1 

x  2 y  1  y 1 

x  3y2  4 y  1  2 y  1



x  3 y2  4 y  1  2 y 1  0



1
1
  x  y2 

  0  x  y2
 y  1  x  2 y  1 2 y  1  x  3y2  4 y  1 



Ví dụ 9:  3  2 y  2 y  x   x  1  2  x  1 y  3 .
2



Cho Y=100, giải được X  11.7214626...  A . Tính căn



3  2 y 

2 y  x   x  1  2  x  1 y  3   3  2 y 
2







200  A  13.7214626...  A  2





2 y  x  x  2   x  2   2 y  x   0 .
2

 x  2  2 y  x x  2 y 1 2 y  x  0

Ví dụ 10. x3  y 2 x   2 x  2 y 2  2 x  3 y 2 .


Cho Y=0.01, giải được X  1.5001125...10 4 , thay vào căn được
2 A  3  0.01  1.5001125....10 4  A , do đó có mối quan hệ

2x  3 y2  x .

2



Phân tích được






 1
 x   x 
 2



2x  3 y 2  x 2x  3 y 2  x 2x  3 y 2  x 2  y 2  0



2x  3y2


 3
2x  3 y 2   x2  y 2   0 .
 4

2

b) Nhân tử kép.

 x  y

Ví dụ 11:




2

 4x  3  x  1  y .

Chỉ ra nhân tử x  y  1 , cho y=100, ta thấy x=99 là nghiệm kép của phương trình , do đó nhân tử
x  y  1 là nhân tử kép.

 x  y

2

 4x  3  x  1  y 

  x  y   3x  y  2  2
2

 x  y

2

 4x  3  x  1  y

 x  1 y  0   x  y  1

2





x 1  y



2

 0  y  x  1.

Chú ý: Đối với nhân tử kép, ngoài liên hợp, ta có thể tạo bình phương hoặc đánh giá bằng bất đẳng thức.
Ví dụ 12: x 12  y  y 12  x2   12 .


Cho Y  0.01  X  3.4626578.... . Kiểm tra thấy X là nghiệm kép và khi đó  12  X 2  Y , hay
X  12  Y



Do đó x 12  y  y 12  x 2   12  24  2 x 12  y  2 y 12  x 2   0



 x  12  y

 
2

y  12  x 2



2

 0  y  12  x 2 .

3) Hàm đặc trưng.
Đối với loại này, cần chú ý sự tương ứng giữa các biểu thức: Các biểu thức cân bằng bậc và hệ số (có thể
dùng MTCT để hỗ trợ việc tìm ra biểu thức tương ứng)
3
2
Ví dụ 13: x3  y3  5x2  2 y 2  10 x  3 y  6  0   x  1  2  x  1  3( x  1)  y3  2 y 2  3 y …..
Ví dụ 14: 32 x5  5 y  2  y( y  4) y  2  2 x  (2 x)5  2 x 



2
Ví dụ 15. x  x  4

 y 







5

y  2  y  2 …….

y 2  1  2  x  x2  4  (2 y)2  4  (2 y) ….

Ví dụ 16. 2 x3  4 x 2  3x  1  2 x3  2  y  3  2 y
3

 2

4 3 1
 1  1
 2  3  2  2  y  3  2 y  1    1     3  2 y  3  2 y  3  2 y .....
x x
x
 x  x

ĐT: 0985192025