Nghiên Cứu Một Số Thuật Toán Chọn K-Láng Giếng Gần Trong 2D Và Áp Dụng Cho Phương Pháp Rbf-Fd Giải Phương Trình Poisson

1

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG

TRẦN XN TIỆP

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ THUẬT TỐN
CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN TRONG 2D VÀ
ÁP DỤNG CHO PHƯƠNG PHÁP RBF-FD
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

THÁI NGUN - 2014

Số hóa bởi Trung
tâm Học liệu

u.vn/


2

TRƯỜNG ĐẠI HỌ

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN

CHUYÊN NGÀ

LUẬN

N


i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi. Các số liệu, kết
quả nêu trong luận văn là trung thực và mới mẻ.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã
được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Học viên thực hiện luận văn

Trần Xuân Tiệp


ii

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành bản luận văn này, bên cạnh sự nỗ lực cố gắng của bản thân
còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của quý Thầy Cô, cũng như sự động viên ủng hộ
của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tập nghiên cứu và thực hiện luận
văn thạc sĩ.
Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến cô giáo TS. Đặng Thị Oanh, người đã
hết lòng giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn này. Xin
gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều mà cô đã dành cho tôi.
Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến toàn thể quý Thầy Cô trong trường Đại
học Công nghệ thông tin & Truyền thông cũng như quý Thầy Cô đã tận tình truyền
đạt những kiến thức quý báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá

trình học tập, nghiên cứu và cho đến khi thực hiện luận văn.
Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, những người đã không ngừng
động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian học tập
và thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến các anh chị và các bạn
bè đồng nghiệp đã hỗ trợ cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực
hiện luận văn một cách hoàn chỉnh.
Thái Nguyên, tháng 3 năm 2014
Học viên thực hiện
Trần Xuân Tiệp


3

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Từ

Ý nghĩa

RBF

Radial Basic Function

FD

Finite Different

LLF

Lee Liu Fan

MQ

Multiquadric

IMQ

Inverse Multiquadric

Gauss

Gaussian

BST

Binary Search Tree

W33

Wendlend's C

RMS

Root Mean Square

6

MỘT SỐ HÀM DÙNG TRONG LUẬN VĂN
Tên hàm

Viết tắt

Định nghĩa

Multiquadric

MQ

2

(r) 1r
mq

Inverse Multiquadric

IMQ

imq (r) 1 1r 2

Gausian

Gauss

Wendlend's C

6

W33

(r)


r
e

2

g

 (1 r) .(32r 3 25r 2 8r
8

1)
33




4

DANH MỤC HÌNH VẼ
Trang
Hình 1.1

Lưới sai phân

16

Hình 2.1

Cây tìm kiếm nhị phân

21

Hình 2.2

Phân hoạch Kdtree

23

Hình 2.3

Bốn cung phần tư, sử dụng 2 điểm trên mỗi cung phần tư

24

Hình 2.4

Tập các tâm rời rạc và tâm (TT cung phần tư)

25

Hình 2.5

m điểm gần nhất (TT cung phần tư)

26

Hình 2.6

Hình 2.7

Các điểm trên mỗi cung phần tư của hình tròn tâm 
(TT cung phần tư)
Chọn 2 điểm trên mỗi cung phần tư gần 
nhất (TT cung phần tư)

26

27

Hình 2.8

Tập các tâm rời rạc và tâm (TT Lee Liu Fan)

29

Hình 2.9

Bốn điểm gần nhất (TT Lee Liu Fan)

30

Hình 2.10

Bán kính D của hình tròn tâm (TT Lee Liu Fan)

30

Hình 2.11

Bộ tâm tìm được (TT Lee Liu Fan)

31

Hình 2.12

Tập các tâm rời rạc (TT Oleg&Oanh)

35

Hình 2.13

Số điểm gần tâm nhất (TT Oleg&Oanh)

36

Hình 2.14

Số tâm cần tìm (TT Oleg&Oanh)

36

Hình 3.1

Giao diện của chương trình chính

43

Hình 3.2

Số tâm ban đầu và sau cùng (Bài toán 1)

44

Hình 3.3

Đồ thị sai số của ba thuật toán (Bài toán 1)

44


Hình 3.4

Số tâm ban đầu và sau cùng (Bài toán 2)

45

Hình 3.5

Đồ thị sai số của ba thuật toán (Bài toán 2)

46

Hình 3.6

Số tâm ban đầu và sau cùng (Bài toán 3)

47

Hình 3.7

Đồ thị sai số của ba thuật toán (Bài toán 3)

48

Hình 3.8

Số tâm ban đầu và sau cùng (Bài toán 4)

49

Hình 3.9

Đồ thị sai số của ba thuật toán (Bài toán 4)

50

Hình 3.10

Số tâm ban đầu và sau cùng (Bài toán 5)

51

Hình 3.11

Đồ thị sai số của ba thuật toán (Bài toán 5)

52

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN........................................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN............................................................................................................................... ii
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT...............................................................................................iii
DANH MỤC HÌNH VẼ................................................................................................................ iv
LỜI MỞ ĐẦU............................................................................................................................... 1
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ....................................................................................3
1.1. Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson....................................................................3
1.2. Hệ phương trình đại số tuyến tính.......................................................................................4
1.3. Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính.................................................5
1.3.1. Chuẩn của véc tơ, chuẩn của ma trận............................................................................5
1.3.2. Phương pháp Gauss......................................................................................................6
1.4. Một số định nghĩa và khái niệm cơ bản của nội suy hàm RBF.............................................8
1.5. Nội suy hàm RBF............................................................................................................. 10
1.5.1. Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian Rd...........................................................10
1.5.2. Nội suy với hàm cơ sở theo bán kính.......................................................................... 11
1.5.3. Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dương có điều kiện........................ 13
1.6. Phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Different - FD)...................................................... 15
1.6.1. Bài toán truyền nhiệt dừng trong miền chữ nhật......................................................... 15
1.6.2. Lưới sai phân............................................................................................................. 15
1.6.3. Hàm lưới.................................................................................................................... 16
Chương 2. MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN TRONG 2D....................19
2.1. Một số kiến thức cơ sở về cây tìm kiếm nhị phân.............................................................. 19
2.2. Thuật toán cung phần tư.................................................................................................... 23
2.2.1. Ý tưởng...................................................................................................................... 23
2.2.2. Nội dung.................................................................................................................... 23
2.2.3. Thuật toán.................................................................................................................. 24
2.2.4. Ví dụ.......................................................................................................................... 25
2.2.4. Ưu, nhược điểm.......................................................................................................... 27

2.3. Thuật toán Lee Liu Fan (LLF)........................................................................................... 27
2.3.1. Ý tưởng...................................................................................................................... 28
2.3.2. Nội dung.................................................................................................................... 28
2.3.3. Thuật toán.................................................................................................................. 28
2.3.4. Ví dụ.......................................................................................................................... 29
2.2.5. Ưu, nhược điểm.......................................................................................................... 31
2.3. Thuật toán Oleg&Oanh – 2011.......................................................................................... 31
2.3.1. Ý tưởng...................................................................................................................... 31
2.3.2. Nội dung.................................................................................................................... 32
2.3.3. Thuật toán.................................................................................................................. 33
2.3.4. Ví dụ.......................................................................................................................... 35
2.3.5. Ưu, nhược điểm......................................................................................................... 37


vii
Chương 3. ÁP DỤNG THUẬT TỐN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN CHO PHƯƠNG PHÁP
RBF-FD TRONG KHƠNG GIAN 2D.........................................................................................38
3.1. Rời rạc hóa phương trình Poisson.....................................................................................38
3.2. Phương pháp RBF-FD (Radial Basis Function Finite Different)........................................39
3.2.1. Véc tơ trọng số dựa vào hàm nội suy theo cơ sở bán kính..........................................39
3.2.2. Xây dựng ma trận hệ số (ma trận cứng)......................................................................41
3.2.3. Lược đồ phương pháp RBF-FD..................................................................................42
3.3. Thử nghiệm số.................................................................................................................. 43
3.3.1. Thử nghiệm trên miền hình chữ nhật..........................................................................43
3.3.2. Thử nghiệm trên một số miền có hình học phức tạp...................................................45
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................................54
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN..........................................................................56

Số hóa bởi Trung
tâm Học liệu

u.vn/


1

LỜI MỞ ĐẦU

Nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài toán biên của phương
trình vật lý toán. Giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu quan
trọng của thực tiễn. Trong một số ít trường hợp thật đơn giản, việc đó có thể làm
được nhờ vào nghiệm tường minh của bài toán dưới dạng các công thức sơ cấp,
các tích phân hoặc các chuỗi hàm. Còn trong đại đa số trường hợp khác, đặc biệt
là đối với các bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên
miền bất kỳ thì nghiệm tường minh của bài toán không có, hoặc có nhưng rất
phức tạp. Trong những trường hợp đó việc tính nghiệm phải dựa vào các phương
pháp giải gần đúng.
Trong suốt thế kỷ XX một loạt các phương pháp số đã hình thành và phát triển
như các phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn v.v… đã
đem lại những đóng góp to lớn trong việc ứng dụng các phương pháp toán học vào
thực tiễn. Các phương pháp vừa nêu nói chung đều là các phương pháp lưới. Tuy
nhiên, các phương pháp này còn nhiều hạn chế khi áp dụng vào lớp các bài toán
thực tế có cấu trúc phức tạp.
Vào khoảng những năm cuối của thế kỷ trước đã hình thành một xu hướng
mới của các phương pháp số: Phương pháp không lưới. Cũng như các phương pháp
lưới, lược đồ giải các bài toán biên bằng phương pháp không lưới cũng cần thiết tạo
ra các tập hợp nút, mà ở đây gọi là các bộ tâm để tính toán. Từ bộ tâm này ta xấp xỉ
các toán tử vi phân bằng tổ hợp các giá trị của hàm tại các nút. Phương pháp tìm
các vectơ trọng số dựa trên các hàm cơ sở bán kính (RBF – Radial Basis Function)
gọi là phương pháp nội suy dữ liệu phân tán với các hàm cơ sở bán kính RBF – FD

(Radial Basis Function – Finite Different). Khi áp dụng phương pháp này, khó
khăn gặp phải là chọn bộ tâm cho nội suy hàm RBF để tìm véc tơ trọng số. Nhận


thức được vấn đề trên và sự định hướng của TS. Đặng Thị Oanh, tôi đã mạnh dạn
chọn đề tài: “Nghiên cứu một số thuật toán chọn k-láng giềng gần trong 2D và
áp dụng cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson”.
Mục đích của đề tài là tìm hiểu một số thuật toán chọn tâm phổ biến hiện nay
và cài đặt thử nghiệm để so sánh hiệu quả của mỗi thuật toán. Đồng thời tìm
nguyên nhân gây ra sai số của mỗi thuật toán, trên cơ sở đó phân loại lớp bộ tâm
phù hợp cho mỗi thuật toán.
Nội dung luận văn bao gồm 3 chương:
Chương 1: Một số kiến thức cơ sở
Chương này trình bày một số kiến thức về hình học phẳng; Điều kiện
vật lý dẫn đến phương trình Poisson; Hệ phương trình đại số tuyến tính;
Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính; Một số định
nghĩa và khái niệm cơ bản của nội suy hàm RBF; Nội suy hàm RBF;
Phương pháp sai phân hữu hạn.
Chương 2: Một số thuật toán chọn K-láng giềng gần trong 2D
Chương này sẽ tập trung nghiên cứu ba thuật toán tìm K-Láng giềng
gần trong 2D là: thuật toán bốn cung phần tư, thuật toán Lee Liu Fan,
thuật toán Oleg&Oanh-2011, phương pháp không lưới có sự hỗ trợ của
thuật toán tìm K-Láng giềng gần.
Chương 3: Áp dụng thuật toán chọn K-láng giềng gần cho phương
pháp RBF-FD trong không gian 2D
Chương này dành cho phần thử nghiệm nhằm so sánh hiệu quả của các
thuật toán tìm K-Láng giềng gần khi áp dụng để hỗ trợ phương pháp không
lưới giải phương trình Poisson.

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson
Xét một bản mỏng vật chất , có đường biên là một đường cong
khép kín ,
đặt trong mặt phẳng Oxy.
Khi đó ta có phương trình truyền nhiệt trong môi trường phẳng đồng chất
2u  2 ˆ
k  
˜
t 2 
, (x, y)
2
Œ,
x
y 

u

t
0,

k
const

(1.1)

Hay trường hợp tổng quát hơn:
1

u  
(x, y, t,
u)
k
y

˘
x
˙ 
˚

(x, y, t,uu)  
t 
x 


u
f (x, y, t, u) , (x, y)
˙
˘y
˚ Œ, t 0

2

(1.2)

Hay khi k1 , k2 , f không phụ thuộc vào u thì có phương trình tuyến tính
1

(x,uy, t)  
t 

x


u  
(x, y, t)
yk


˘
x
˙

˚

u
q(x, y, t)u f (x, y, t) ; (x, y)
˙
˘y
Œ  ,t 0
˚

2

(1.3)

Các phương trình (1.1), (1.2), (1.3) gọi là các phương trình truyền nhiệt hai
chiều.

Nếu đến một lúc nào đó phân bố nhiệt trên bản mỏng vật chất đã ổn định,
không thay đổi theo thời gian nữa thì ta nói hiện tượng truyền nhiệt đã dừng.
Từ lúc đó nhiệt độ không thay đổi theo thời gian nên
trình truyền nhiệt dừng như sau:

2

u
x

2

2



u
y

2

0 ,

u
t

0 và ta có phương

(x, y) Œ 

(1.4)


Hay
 
u ˘
u ˘  
f (x, y, u) , (x, y) Œ 
k2 (x, y,
k1 (x, y, ˙ 
˙
u)
u)

(1.5)
x 
x ˚ y
y ˚

 
u ˘
u ˘  
q(x,
k2 (x,
k1 (x, y) ˙ 
˙
y)
y)u 
x 
x ˚ y

y ˚


f (x, y) , (x, y) Œ 

(1.6)

Khi vế phải (1.4) khác 0 ta có phương trình
 2u
x2



 2u



f (x, y) , (x, y) Œ 

(1.7)

y2

Người ta gọi chúng là phương trình Poisson hai chiều.
Đối với phương trình Poisson hai chiều (1.7) điều kiện phụ cho tại biên
 của miền .

Điều kiện phụ
u(x, y) g(x, y) , (x, y) Œ 

(1.8)

Gọi là điều kiện biên loại một hay điều kiện biên Dirichlet.
Bài toán tìm hàm số u u(x, y) thỏa mãn phương trình (1.7) với điều kiện biên
(1.8) gọi là bài toán biên loại một hay bài toán biên Dirichlet đối với phương trình
Poisson (1.7)
Ý nghĩa vật lý của bài toán này là mô tả sự phân bố nhiệt đã ổn định trong mặt
phẳng khi phân bố nhiệt độ tại biên của
 ổn định là

g(x, y) . [14]

1.2. Hệ phương trình đại số tuyến tính
Xét một hệ phương trình gồm n phương trình tuyến tính với n ẩn số
x1 , x2 ,...,
xn

được cho bởi

a11x1 a12 x2 ... a1n
xn  b1

a21xa
x
1 22 x2 ... a
2n n
 b
...




an1 x1
2

an2
x2 ...


ann xn
bn

(1.9)


5

Hệ này có thể viết dưới dạng ma trận Ax b , trong đó
a11
 ...

A
... ...
˙

,



 an1

a1n ˘
...
˙

an

)T , b (b , b ,..., b )T

x (x , x
,...x
1

1

2

2

n

n

ann ˙˚

2

Nếu det A
0

thì hệ (1.9) có nghiệm duy nhất và nghiệm của nó có thể tính

theo công thức Cramer:
det A
x 

(1.10)

j
j

det
A

trong đó Aj là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ j bởi
cột b.
Công thức (1.10) thường chỉ dành cho hệ với ma trận hệ số cỡ nhỏ, còn với
ma trận cỡ lớn thì chi phí cho tính toán quá lớn. Do đó, người ta đã đi xây dựng các
phương pháp nhanh để giải hệ phương trình đại số tuyến tính cỡ lớn là khai thác
triệt để các thông tin về ma trận của hệ.
1.3. Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính
1.3.1. Chuẩn của véc tơ, chuẩn của ma trận
a) Chuẩn của véc tơ
X (x1 , x2 ,..., xn )

- Chuẩn dòng
X



max xi 

i1,n

- Chuẩn cột

n

X

1

xi
i1

- Chuẩn Ơclit
1/2
n
2 ˆ
X 2  i

˜


6

i1




6

b) Chuẩn của ma trận


a11

a1

... a1n ˘

2


a
 21
A 

an1

a22
an2

- Chuẩn dòng
A



˙
... a2n
˙

...
˙
˙
... ann ˚

 n ˆ
 aij ˜
max
1
in

- Chuẩn cột

- Chuẩn Ơclit

j 1 

 n ˆ
m a ˜
A1
ax
ij
1j n
i1 
1/2
 n n
2 ˆ
A 2   aij
 j 1


[14]

˜

i1

1.3.2. Phương pháp
Gauss
Đây là phương pháp trực tiếp giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Ý tưởng
của phương pháp khử Gauss là khử dần các ẩn để đưa hệ ban đầu về hệ với ma trận
tam giác trên bằng các phép biến đổi tương đương:
1) Đổi chỗ hai phương trình bất kì.
2) Nhân một phương trình với một số khác không.
3) Cộng vào phương trình một tổ hợp tuyến tính của một phương trình

khác. Như vậy phương pháp Gauss gồm hai quá trình:
Quá trình thuận: Đưa hệ về dạng tam giác trên.
Quá trình ngược: Giải hệ tam giác trên từ dưới lên trên.


a) Quá trình thuận: Để viết gọn ta xét hệ
a11x1 a12 x2  ... a1n xn a1,n1



 

a2,n1
a21 x1 a22

... a2n

x2
... xn

 an1 x1 an 2 x2  ... ann xn an,n1


Và đặt a (0)
ij

, (i 1, 2,...,
n;

(1.11)

j 1,..., n 1)

ij

Bước 1: Dùng phương trình đầu tiên để khử x1 trong n - 1 phương trình còn lại. Giả
sử a11 0 (ta luôn có được điều này bằng cách đổi chỗ hai phương trình). Chia hai
vế của phương trình thứ nhất cho a1 ta được phương trình:
1

Với b1



j

(1.12)

x1 b12 x2  ... b1n xn
b1,n1

a1(0)
j , j 2,..., n
(0)
a11 1.

Cộng vào phương trình thứ i của hệ (1.11) phương trình (1.12) sau khi đã nhân
với a(0)i1 , i
2,..., n

ta được hệ

a
x

a(1) x


22
n
(1)

2

 ... a(1)

x

(1)

23

3

a x 
a
 32 x 2 33

2

(1)

(1)

a

2n

2,n1

3n

3,n1

(1)
...

(1)
x a
a

n



a(1) x a(1)
x n2
 n 2 2

...
(1)
 ... a
x
nn

(1.13)

(1)

a
n

n,n1

2

(1)

Với aij(1) a(0) a
i
i1 b1 j , i 2,..., n; j 2,..., n 1
j

Như vậy sau bước 1 ta thu được phương trình (1.12) và hệ (1.13).
Bước 2: Dùng phương trình đầu tiên trong (1.13) khử x2 trong các phương trình
còn lại tương tự như đã làm trong bước 1. Quá trình được tiếp tục như vậy. Kết quả
sau bước thứ m ta thu được hệ

a(m )

x
...

m1,m1 m1

 a( m)
x
m1,n

a
n

(m )

m1,n1


a(m ) x

n,m1 m1

xm bm,m1
xm1

..  a( m)
.
x m,n
..
.



bm,n
xn

a
n

(m )

n,n1

bm,n1


với
a

b

mj

a

(m-1)

/ a(m-1) ,

mj

(m)

mm

(m-1)
- a(m-1)b
a
, ij
im
mj

ij

j m 1,..., n 1
i m 1,...,
n;

j m 1,..., n 1

Cuối cùng, sau n bước khử ta thu được hệ phương trình với ma trận tam giác

trên sau đây:
x1 b12 x2  ... b1n xn b1,n1
x2  ... b2n xn b2,n1

(1.14)

...
xn bn,n1

Các hệ số được tính theo công thức
b a
mj

aij
(m)

( m1)

mj

a
i
j

/a

( m1)

mm



( m1)

, m 1,..., n; j m 1,..., n 1
bmj ; i m 1,..., n; j m 1,..., n
1

a
mi

(1.15)

( m1)

Các phần tử a (m m 1,..., a là các phần tử trụ hay các phần tử chủ đạo.
1)
mm

n

b) Quá trình ngược: Giải hệ (1.14) từ dưới lên trên
xn bn,n1
n

xk bk ,n1 bkj x j ,

[14]

(1.16)

k n 1,...,1

j k 1

1.4. Một số định nghĩa và khái niệm cơ bản của nội suy hàm RBF
* Định nghĩa 1.1 (K - Láng giềng gần)
Cho tập các tâm rời rạc


với  là tâm, tất cả các điểm thuộc


xung quanh tâm được gọi là K-láng giềng của 

nằm


* Định nghĩa 1.2 (Tập các tâm rời rạc  )



Tập các tâm rời
rạc

là tất cả các tâm, bao gồm cả các tâm nằm trong

miền

và các tâm nằm trên biên. [12]

* Định nghĩa 1.3 (Véc tơ trọng số(stencil))
Cho D là toán tử vi phân tuyến tính
và

X x1 , x2 ..., xn là bộ tâm phân tán đã



được chọn trong không gian Rd . Một xấp xỉ vi phân tuyến tính đối với toán tử D.
n

(1.17)

Du x  w i

x  u xi 

i1


được xác định bởi các trọng số
wi

wi x. Khi
đó

w  w 1 , w 2 ..., w n được gọi là



véc tơ trọng số hay còn được gọi là stencil đối với toán tử vi phân D. [12]
* Định nghĩa 1.4 (Giá của véc tơ trọng số  )
Giá của véc tơ trọng
số

 là tập hợp các tâm bao gồm  và các tâm nằm

trong lân cận địa phương của nó.
Trong các phương pháp dựa trên lưới thì tập này bao gồm  và các đỉnh
của các tam giác mà được liên thông với bởi một cạnh. Còn đối với phương
pháp không lưới, cần một thuật toán lựa chọn các tâm này mà chúng tôi gọi là
thuật toán lựa chọn giá của véc tơ trọng số. [12]
* Định nghĩa 1.5 (Hàm bán kính (Radial function))
Một
hàm

:
Rd

R

được gọi là hàm bán kính nếu ở đó tồn tại một hàm


: 0, 
R

sao cho

(x) ( x ), x ŒR d

2

Trong đó x là chuẩn Euclide. [8]
2
* Định nghĩa 1.6 (Hàm xác định dương)


10

Một hàm liên
tục

được gọi là xác định dương nếu với mọi bộ tâm

:
Rd

R

phân biệt từng đôi
một

d

 x1 , x2 ,...xn  , n
và mọi
Œ vectơ
R
N

c
thì dạng
Œ
Rn

toàn phương:
n

n

 C C
j

(1.18)
k

(x j xk ) 0
j 1

k 1

Biểu thức (1.18) là đẳng thức khi và chỉ khi c là véc tơ không. [8]
* Định nghĩa 1.7. Hàm một biến : 0,

được gọi là xác định dương trên Rd

 R

nếu hàm nhiều biến tương ứng

 , x ŒRd là xác định dương.

x

(x) :

[8]

2

1.5. Nội suy hàm RBF
1.5.1.

Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian Rd
Cho (x , y ), i 1, 2,...,
n),

i

i

với x là các vị trí đo, y là các kết
x
y
Œ
Œ
d
R ,
R
i

i

i

i

quả đo đạc. Giả sử rằng dữ liệu phân tán, nghĩa là các vị trí dữ liệu không nằm
trên lưới đều.
Cho B1 , B2 ,...,
Bn

là các hàm cơ sở của không gian tuyến tính
n

F  ck Bi ,

i 1, 2,..., n

k 1

Bài toán nội suy: Tìm Pf
ŒF

sao cho
Pf (xi ) yi
,

i 1, 2,...,
n

(1.19)


Vì Pf
Œ
F

11

nên

n

Pf (x)


c B

k

k 1

,

Từ (1.19) - (1.20) ta có

Trong đó

Ac

y

k

x
Œ
d
R

(1.20)

(1.21)