Định lí Ceva và định lí Menelaus trong E2

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc tới:
Thầy Phan Hồng Trường vì sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình, những
nhận xét và góp ý quý báu của thầy trong cả quá trình tôi thực hiện khoá
luận.
Các thầy cô khoa Toán đã dạy dỗ tôi trong suốt quá trình học tập tại
trường.
Ban giám hiệu, phòng đào tạo đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn
thành khoá luận.
Gia đình, bè bạn đã giúp đỡ động viên tinh thần cho tôi.
Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2010
Người thực hiện

Nguyễn Thị Len

-1-


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan kết quả đề tài đúng, chính xác, khách quan, trung
thực không trùng với kết quả của tác giả khác.
Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2010
Người thực hiện

Nguyễn Thị Len


MỤC LỤC
Trang

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục
Lời nói đầu
Chƣơng 1: Định lí Ceva

6

1.1 Vài nét về tác giả Ceva và nội dung định lí Ceva

6

1.2 Ứng dụng của định lí Ceva trong giải toán

9

1.3 Mở rộng của định lí Ceva

34

1.4 Dạng lượng giác của định lí Ceva

37

1.5 Định lí đồng quy trong ngũ giác lồi

41

1.6 Sự đồng quy của các đường vuông góc

43

Chƣơng 2: Định lí Menelaus

47

2.1 Vài nét về tác giả Menelaus và nội dung định lí Menelaus

47

2.2 Dạng mở rộng của định lí Menelaus

49

2.3 Ứng dụng của định lí Menelaus trong việc giải toán hình

51

học phẳng
Chƣơng 3: Một số bài tập củng cố

63

Kết luận

70

Tài liệu tham khảo

71

Chƣơng 1: Định lí Ceva
1.1 Vài nét về nhà toán học Ceva và nội dung định lí Ceva
1.1.1 Vài nét về nhà toán học Ceva
Giovani Ceva sinh ngày 7 tháng 12 năm 1647 tại Milan, nước Ý.Ông
mất ngày 15 tháng 6 năm 1734 tại Mantua, nước Ý.
Thuở nhỏ, ông theo học tại trường dòng thiên chúa giáo ở Milan, lớn lên ông
học tại trường Đại học Pisa và sau đó, năm 1686 được bổ nhiệm làm giáo sư
Toán tại trường đại học Mantua, nơi ông gắn bó suốt cuộc đời.
Năm 1686, khi mới được bổ nhiệm, Giovani Ceva làm việc dưới quyền cai trị
của vua Gonzagas. Tuy nhiên, năm 1708 nước Áo đem quân chiếm đóng và
bắt đầu xây dựng công sự, Giovani Ceva nhanh chóng chuyển sang làm việc
dưới chế độ thống trị của người nước Áo.
Phần lớn cuộc đời Giovani Ceva giành cho nghiên cứu hình học. Ông đã
khám phá ra một trong những kết quả quan trọng về tam giác bằng phương
pháp hình học tổng hợp. Định lí phát biểu rằng các đường thẳng qua đỉnh của
một tam giác và cắt các cạnh đối diện rõ ràng thì đồng quy khi tích tỉ số các
đoạn thẳng chia cạnh tam giác bằng 1.
Định lí Ceva được in trong cuốn “ De lineis rectis” (1678)
Ceva cho xuất bản “ Opuscula mathematica” năm 1682. Trong “Geometria
Motus” (1692), trong một chừng mực nào đó, ông đã đề cập đến phép tính vi
phân. Năm 1711, ông cho ra đời cuốn “Dere Nummeraria”, một trong những
công trình đầu tiên về toán kinh tế, nhằm tìm ra điều kiện cân bằng cho hệ
thống tiền tệ của bang Mantua.
Ceva cũng có những công trình quan trọng về thuỷ lực học, tiêu biểu là cuốn
“Opus hydro staticum” (1728). Ông là một viên chức nhỏ ở Mantua, và đã


dùng kiến thức của mình về thuỷ lực học để bác bỏ thành công dự án ngăn

dòng chảy sông Reno để vào sông Po.
1.1.2 Nội dung định lí Ceva
Gọi E, F, G là ba điểm tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB của tam
giác ABC. Lúc đó, ba đường thẳng AE, BF, CG cắt nhau tại một điểm O
AG BE CF
khi và chỉ khi :
.
.
= 1
GB EC FA
A
F

K
G
B

O
E

C

L

Chứng minh
A

Phần thuận:
Giả sử AE, BF, CG cắt nhau tại một điểm O.

K

Từ A, C kẻ các đường thẳng song song với BF, chúng lần lượt cắt CG và AE
B

tại K, L tương ứng.
Ta có:

AG BE
.
=
AK
GB EC CL
AK
=
AO CL
OL

(1)

(2)
=
FA
CF

E

H

Từ (1) và (2) ta thu được:

AG BE
FA
.
GB EC =
CF


AG

.
⇔
BE CF
.
= 1

(điều phải chứng minh)
GB EC FA
Phần đảo
Giả sử E, F, G lần lượt nằm trên ba cạnh
BC, CA, AB và thoả mãn
AG BE CF
.
= 1
GB .EC FA
Ta phải
chứng minh
AE, BF, CG
đồng quy.

Gọi AE cắt
BF tại O.
Nối C với O cắt AB tai G1.

A

KFhi đó theo AG BE CF
1
phần thuận
.
.
= 1
ta có:
EC FA

K

G1B
G

B

O

Mà theo AG BE
AG 1
giả thiết ta
⇒
.
có:

CF
AG
=
.
E

1

1
=G
B
⇒ E
C
F
G
A

G1B

GB

C

≡
G

⇒ AE, BF, CG đồng quy tại
O
1.1.3 Nhận xét :
L

(a) Trong chứng
minh phần
thuận của định
lí Cêva đã sử
dụng các tỉ số
diện tích như
sau:
A

B
E
C

Gọi K, H là
hình chiếu của
B, C xuống
đường thẳng
AE.
Khi đó :

BE

=

BK
EC
CH

Mặt khác:
1
S∆AOB

BK.AO
= 2

BK
= S∆C 1
CH.AO
2
OA
BE
Do
đó :

=

EC
S∆C
OA

Tương tự ta
được :

CH

S∆AOB

 =
A
G


G
B


S∆COA

S∆BOC

 CF = S∆BOC
 S∆AOB

Như
vậy:


F
A
AG BE CF
S
S
S
.
.
= ∆COA . ∆AOB . ∆BOC
S S S∆AOB

GB
EC
∆B ∆C
FA
OC
OA
AG BE CF
.
⇒
= 1
GB EC FA .
(b) Để tỏ lòng tôn kính Ceva người ta đã
gọi các đoạn thẳng AE, BF, CG là các
Cevian.

Tổng quát : một Cevian là một đoạn thẳng nối một đỉnh
của tam giác với một điểm trên cạnh đối của đỉnh đó.
1.2 Ứng dụng của định lí Ceva trong việc giải toán
hình học phẳng
1.2.1 Ví dụ 1 ( Các điểm đặc biệt trong tam giác)


Dùng định lí
Ceva, hãy chứng
minh
a) Ba đường trung
tuyến của một
tam giác đồng
quy tại một
điểm, điểm này

được gọi là trọng
tâm.
b) Ba đường phân
giác của một tam
giác đồng quy tại
một điểm ( tâm
đường tròn nội
tiếp)
c) Ba đường cao
của một tam giác
đồng quy tại một
điểm, điểm này
gọi là trực tâm.


d) Gọi D, E, F là các tiếp điểm tròn nội tiếp tam giác ABC ứng với các cạnh
BC, CA, AB. Chứng minh rằng: Các đường thẳng AD, BE, CF giao nhau
tại một điểm, điểm này được gọi là điểm Gergonne.
∠CAM ≤
∠MAB

e) Cho tam giác ABC với trung tuyến AM. Giả sử

Ta nói ASa là một đối trung tuyến của tam giác ABC nếu Sa thuộc
cạnh BC và ∠BASa ≤ ∠CAM
Chứng minh rằng : Trong một tam giác, ba đối trung tuyến đồng quy tại
một điểm, điểm này được gọi là điểm Lemoine.
g) Gọi Xa là tiếp điểm của cạnh BC với đường tròn tâm Ia , là đường
bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Định nghĩa tương tự như thế cho các
điểm Xb và Xc trên các cạnh tương ứng AC và AB.

Chứng minh rằng: Ba đường thẳng AXa , BXb , CXc giao nhau tại một
điểm , điểm này được gọi là điểm Nagel.
Giải
a)
A
N

P
B

M

C

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA , AB
BM CN AP
.
⇒
= 1
MC NA PB .

⇒ Theo định lí Ceva thì AM , BN , CP đồng quy


A

b)

E

F
B

C
D

Theo tính chất của đường phân giác, ta có :
BD
AB
DC

=

CE
AF
AC
;
=
=
CB
EA; BA FB BC

AC
BD
AB CB AC
⇒
.
.
=
CE AF

. DC
. EA FB AC BA BC
Theo định lí Ceva thì AD , BE , CF đồng quy
c)
A
E

F

C

D

B

Ta có: ∆ ACD và ∆ BCE là hai tam giác đồng dạng
⇒
CE
=
BE CD

(1)

AD
∆ AFC và ∆ AEB là hai tam giác đồng dạng

(2)
⇒
AF
CF

=


AE

BE

∆ BAD và ∆ BCF là hai tam giác đồng dạng

⇒
BD

(3)

AD
= FB CF
Từ (1), (2), (3) ta được :

AF BD CE AF BD
.
.
.
.
CE
=
FB DC EA AE FB
CD

=

CF AD BE
.
.
=1
BE CF AD


AF BD CE
.
⇒
= 1
FB DC EA.

⇒

Theo định lí Ceva thì AD , BE ,

CF đồng quy. d)
A

E

F

B
D

C

Gọi D, E , F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với

các cạnh BC , CA , AB.
Khi đó : BD = BF , CD = CE , AE = AF
Vậy:

BD CE AF BD CE AF
.
.
.
.
= 1
=
DC EA FB

BF CD AE

Do đó theo định lí Ceva thì AD , BE , CF đồng quy
e)
A

B

C
Sa

Ma

Gọi ba đối trung tuyến của ∆ ABC là ASa , BSb , CSc.
Ta tính diện tích tam giác bằng cách sử dụng hai công thức
2S = a.b.sinC
2S = c.hc

Ta có:

S∆BA
Sa

S∆A C
Ma

1/ 2.ha
BSa
=
=
.BSa 1/ 2.h a CMa
.CMa

S

1/
=
=
2.AB.ASa . A
sin Sa AB B
.
S 1/ 2.AM
a
A
.AC.sin
∆

S
CAM a
C
a
Ma
A
M
∆
A
Sa

a

.
A
C

S∆BA Sa
⇒
S∆A C Ma =
A
B.
A
Sa
A
M
a.
A
C

(1)

S∆A CSa

(2)

S∆A BMa = =
C AC.
Sa AS a
B A
M Ma
.A
a
B
Chia đẳng thức (1) cho đẳng thức (2) ta
được:
BSa

.
B

AB
=
hay

2

2

B =AB ( do

S BMa = CMa)
a

M
a

CMa C
S
a

A CSa
C
2

AC

2


Tươn S S Sc B suy
g tự
ra
ab
ta
CA
AS
cũng
T
có
a,

những h
BS
đẳng
e
M
thức
b,
như
K
o
CS
thế
B
c
cho
các
p
đồ Xc
O3
đỉnh
h
ng
khác:
Xb
ầ
quy
C BA A
P.
n
C

SC
2 S
2
b
==
g)
A B B
đ
S ;S C
2
bB
ả
A
2
o
⇒
đ

B ị
S n
a

h

.
C l
S

í

b

C

.
A e
S

v
a

c

= t
a

1

O1
Xa

N

C

Q

O2
- 16 -

Gọi O1, O2 , O3 lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B, C.
Gọi R1 , R2 , R3 là lần lượt là bán kính đường tròn tâm O1, O2 , O3.
Giả sử (O1, R1) tiếp xúc với AB, AC tương ứng tại M, N.
(O2, R2) tiếp xúc với AB, BC tương ứng tại P, Q.
(O3, R3) tiếp xúc với AC, BC tương ứng tại R, K.
Theo tính chất của tiếp tuyến ta có:
CXa = CN ; XBb = BM ; XbC = CQ
XbR = RP ; XcA = CQ ; XcB = BK
AXb
AX b BXc CXa
. =
.
.
⇒
CXa BXc
.
X b Xa B Xc A AX BX a CXb
C
c
AX BX CX
= ARb . BMc . CN a
=

R 2 R 3 R1
.
.
= 1
R 3 R1 R 2

⇒ Theo phần đảo của định lí Ceva ta suy ra AXa , BXb , CXc
đồng quy.
1.2.2 Ví dụ 2
Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của BC. E, F lần lượt là hai điểm
trên AB và AC. Chứng minh rằng: Nếu AD, BF, CE đồng quy thì EF song
song với BC.
A

Giải
F

E

B

D

C

Áp dụng định lí Ceva trong tam giác ABC với ba đường thẳng đồng quy AD,
BF, CE ta có:

BD CF AE
.
.
= 1
- 17 -


DC FA EB

- 18 -


Vì BD = DC nên AE CF
.
= 1

EB FA
AE
FA
⇒
=
EB CF

Theo định lí Talet, ta có EF song song với BC (điều phải
chứng minh)
1.2.3 Ví dụ 3
Từ điểm I thuộc miền trong của tam giác ABC, kẻ tia AI
cắt BC ở D. Qua I kẻ các đường thẳng MN, PQ, RS lần
lượt song song với BC, AB, AC .
( M, S trên AB; Q, R trên BC; N, P trên AC).
Chứng minh
IM IP IR
rằng:
= 1
IN IQ . IS .
Giải
A
S

P

F
M
Q

Gọi BI cắt AC
tại E, CI cắt AB
tại F. Vì MN
song song với
BC nên:

=
IN

h
a
y

IM

N

H

B

IM

E

=

DB

DB

DC

D

R

C


IN
DC
T
IR
ươ I
ng P và EC
tự
=
ta
cũ
ng
có =
:

F
A
IQ

IS

FB

EA

DB FA
⇒
.
.
=
EC
I
M

.
I
P

.
I
R
IN DC FB
IQ EA
IS
Do AD, BE, CF

đồng quy tại I
nên theo định lí
Ceva thì ta có:
DB FA EC
.
.
= 1FB EB
DC


IM

.
⇒
IP IR
.
= 1

(Điều phải chứng minh)
IN IQ IS
1.2.4 Ví dụ 4 (Thi vô địch Hàn Quốc, 1992)
Trong tam giác ABC có AB ≠ AC, gọi V là giao điểm
của phân giác trong của góc A với cạnh BC, D là chân
đường cao vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC. Nếu E
và F tương ứng là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp
tam giác AVD với hai cạnh CA và AB, hãy chứng minh
rằng: Các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy.
Giải
A
E

C

F
V
B

D

Nhận thấy A, D, V, E, F nằm trên
đường tròn đường kính AV Do đó:
0

∠ AFV = 90 ; ∠ ADV = 90
Xét tam giác
BFV và tam
giác BDA Có:
∠ BFV =
∠ BDA =

90

0

∠ B chung

Do đó: ∆ BFV và
∆ BDA là hai tam giác

đồng dạng Tương tự:

0


∆

C
E
V
v
à
∆

C
D
A
l
à
h
a
i
t
a
m
g
i
á


BD = AB
B

(1)
F
VB
⇒

CD
AC

 CE
=
VC


AB
VB
Mặt khác do tính chất đường phân giác, ta có:
=
AC VC
(2)
⇒
AB
AC
=
VB VC
Từ (1),(2) ta thu được:

BD
CD
BF

Do :

=

⇒

CE

DC

BD

=

BF

CE

0

∠FVA + ∠FAV =0 90
AVE + ∠VAE = 90
∠

∠FAV = ∠VAE

⇒ ∠FVA = ∠VAE
⇒
Do đó:

AE = AF
BD CE AF
BF CE AF
AF
.
.
.
.
=
=
= 1
DC EA FB CE EA FB EA

BD CE AF
.
.
⇒
= 1
DC EA FB
Theo phần đảo định lí Ceva thì AD, BE, CF đồng quy
1.2.5 Ví dụ 5 (Tạp chí Komal, bài B.3531, 2002)
Cho tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp, đường tròn này tiếp xúc
các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm A1, B1, C1. Các đường thẳng
A1O, B1O, C1O tương ứng cắt các đoạn thẳng B1C1, C1A1, A1B1 tại các điểm
A2, B2, C2.
Chứng minh rằng: Ba đường thẳng AA2, BB2, CC2 đồng quy.
A
C1

Giải

B1

A2
C2
B2


C
B

A1


Ta sử dụng kết quả sau đây :
Nếu X’ là điểm nằm trên cạnh YZ của tam giác XYZ
Kí hiệu η ,η
Y
Z
Y
Z
, δ ,δ

lần lượt là số đo các góc ∠ XYZ, ∠ XZY,
∠ YXX’,

∠ ZXX’.

Ta có:

YX

sin δY sin ηZ
.
=
'
ZX' sin sin ηY
δZ

Ta có thể chứng minh kết quả trên một cách nhanh chóng bằng việc áp dụng
định lí hàm số sin như sau:
YX'

XX

=
'
;
sinδ
sin ηY
Y

ZX '
XX ' =
sin δ Z
sin ηZ

Y
ZX '
sin δZ
⇒
;

=
X'
sin δY
=
XX sin
XX sin ηZ
'
'
ηY
YX'
sin δY sin ηZ
⇒
=
ZX' sin
sin δZ .
ηY
YX'
sin δY sin ηZ
.
⇒
ZX' sin =
sin ηY
δ
Đặc biệt: Z
Khi XY = XZ (tức tam giác XYZ cân) ta có: ηY = η
Z

Nên

YX'

sin δY
ZX' =sin δZ

Kí hiệu

α,β, γ