Định lý siêu việt Hermite - Lindemann

Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn
Trong thời gian học tập tại khoa Toán - Trường Đại học sư phạm Hà
Nội 2, được sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo, em đã tiếp
thu được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới,
bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học.
Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy, các cô
trong khoa Toán – những người đã luôn chăm lo, dìu dắt cho chúng em
trưởng thành như hôm nay.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy NCS. Nguyễn Huy Hưng,
người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong
thời gian em thực hiện khoá luận này.
Sinh viên
Đào Xuân Tiềm

1


Lời cam đoan
Khoá luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy NCS.
Nguyễn Huy Hưng cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên
cứu, em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài
liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận là kết quả nghiên cứu
của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Sinh viên
Đào Xuân Tiềm

Mục lục
Trang


Mở đầu
Vào khoảng 287 - 212 trước CN, nhà toán học cổ Hi Lạp Archimède đã
tìm ra số π , dựa vào những công trình hình học của ông là nhằm tìm ra
tương quan giữa độ dài đường tròn và đường kính của nó. Đến cuối thế kỉ
XVII đầu thế kỉ XVIII, Euler nhà toán học người Thụy Sĩ đã đưa ra số e.
Khi số π và số e ra đời, nó có vai trò quan trọng trong Toán học,
Vật lý học và cả trong một số lĩnh vực kĩ thuật. Ta đã biết số π và số e là
những số siêu việt, nhưng thực sự để chỉ ra tính siêu việt của hai số này
không phải đơn giản. Vào năm 1882, nhà Toán học người Đức
Lindemann đã chứng minh định lí siêu việt Hermite – Lindemann và kết
quả thật đáng ngạc nhiên trong việc chỉ ra số π và số e là số siêu việt thật
dễ dàng khi dựa vào định lí này.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn tính siêu việt của
số π và số e, bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em
đã chọn đề tài “ Định lí siêu việt Hermite – Lindemann ”.
Nội dung của luận văn gồm hai chương:
Chương 1. Những kiến thức bổ trợ
Chương 2. Định lí siêu việt Hermite – Lindemann
Trong chương 1, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về đa thức,
nghiệm của đa thức; hàm hữu tỉ và đặc biệt là khái niệm số đại số, số siêu
việt.
Trong chương 2, tôi đưa ra các bổ đề để sử dụng trong việc chứng minh định
lí siêu việt Hermite-Lindemann và đưa ra một số hệ quả của nó.
Phương pháp nghiên cứu của đề tài là đọc tài liệu và trao đổi nghiên

cứu.



Chương 1. Những kiến thức bổ trợ
1.1. Đa thức
Định nghĩa 1.1.1. Một hàm số dạng f(x) = axn gọi là một đơn thức, với a ≠
0 là một số bất kì (trường hợp chung nhất là số phức), x là biến độc lập và n
là một số nguyên không âm, a được gọi là hệ số của đơn thức, n được gọi là
bậc của đơn thức.
Định nghĩa 1.1.2. Một hàm số P(
x)

gọi là một đa thức, nếu có thể biểu diễn

như tổng hữu hạn những đơn thức, nghĩa là:
P ( x) =
a 1x
trong đó các a1,a2 ,...,
ak

n
1

n

n

2

k

+ a2 x + ... + ak x ,

là những số bất kỳ, còn n1, n2,…,nk là những số

nguyên không âm.
Định nghĩa 1.1.3. Nếu đa thức P(x) viết dưới dạng:
n

n-1

P(x) = a0 x + a1x

+ …+an-1x + an,

trong đó a0 ≠ 0, thì ta nói rằng nó được viết theo bậc của x hoặc là biểu
diễn dưới dạng chuẩn tắc. Các số a0, a1,…, an gọi là các hệ số của đa thức. Số
a0 là hệ số bậc cao nhất còn số an gọi là hệ số tự do. Số n gọi là bậc của đa
thức và kí hiệu là: deg P(x) = n.
Ví dụ 1.1.1. Hãy viết dạng chuẩn tắc của các đa thức sau:
4

3

a, P(x) = (x - 1) - x ,
2

b, P(x) = (x - 2) (x + 1),
2 2

3

2

c, P(x) = (2 - ix ) + (2 + i 3 )x + i x .
Lời
giải.

4

3

2

3

a, P(x) = x - 4x + 6x - 4x + 1 - x


=

4

3

2

x - 5x + 6x - 4x +1, b, P(x)
3

2

= x + x - 2x - 2


3

2

= x - 2x + x - 2,
2

4

3

c, P(x) = 4 - 4 i x - x + (2 + i 3 ) x + ix
4

3

2

2

= - x + (2 + i 3 )x - 3ix + 0.x + 4.
Một số tính chất
Cho P(x) và Q(x) là những đa thức. Khi đó, ta có một số tính chất sau:
1, Tính của hai đa thức P(x) và Q(x) là một đa thức R(x), và ta có: degR(x)=

degP(x) + degQ(x).
2, Tổng (hiệu) của hai đa thức P(x) và Q(x) là một đa thức R(x), và ta có:
degR(x) = Max{degP(x); degQ(x)}.
Định nghĩa1.1.4. Cho đa thức P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 1. Khi đó,
một số α gọi là nghiệm của đa thức nếu P(α ) = 0.
Ví dụ 1.1.2. Hãy tìm nghiệm của đa thức trên  và  :
3

a, P(x) = x - 3x + 2,
2

b, P(x) = x - 2x + 2.
Lời giải.
3

a,Ta có P(x) = x -3x + 2
2

= (x - 1) (x + 2)
⇒ P(x)= 0 ⇔
 x=

 x =1

−2
Vậy nghiệm của đa thức này trên  và  là trùng nhau, đó là những giá trị :
x = 1 và x = -2.
2

b, Ta có P(x) = x – 2x +2

∆ = 1 - 2 = -1 < 0
'

⇒ Đa thức này không có nghiệm thực. Nhưng ta lại có -1 =
2

i nên đa thức này có hai nghiệm phức đó là: x= 1 + i và x = 1 – i.
n

n-1

Định lí 1.1.1. Mọi đa thức P(x) = a0x +a1x
dưới dạng :

+ …+an-1x+an có thể biểu diễn


P(x) = a0 (x - α1 ) (x - α2 ) … (x - αn ),
trong đó α1 , α2 , là những nghiệm của đa thức.
…, αn
Định lí 1.1.2. Mọi đa thức bậc n ( n ∈  * ) đều có không quá n nghiệm.
Định lí 1.1.3. Mọi đa thức bậc n ( n ∈  * ) đều có n nghiệm phức.
Công thức Viéte
Cho
−
P(x) = a xn + a xn 1
+...+ a
x
+ a
0

1

là một đa thức bất kỳ và

n−1

P(x) = a0 ( x −α1 )( x
− α2 )...( x −αn ) ,

n

trong đó α1,α2 là những nghiệm của
,...,αn

đa thức. Khi đó, ta có công thức Viéte:
a1
α1 + α2 + … + αan = 0
a2
α1 α2 +α1 α3 + … + α1 αn + α2 α3 + … +αn−1
αn =
a0

α1 α 2

= (-1)

… αk + …+ αn−k +1

k

αn−k +2 … αn

ak
a
0

………………………

α1 α 2
n an
… αn = (-1)
.
0

a
Định nghĩa 1.1.5. Một hàm số dạng

ϕ ( x , x ) = axn xn ...xn , trong
1

,..., x
1

2

k

đó

a ≠ 0 là một số ( trường hợp chung nhất là một số
phức),

1

2

2

k

k

x1, x2 ,...,
xk

là những

biến số, còn n1, n2 ,…,nk là những số nguyên không âm, được gọi là một đơn
thức của những biến

x1, x2 ,..., xk . Số a gọi là hệ số của đơn thức, còn số


n = n1+n2 + …+ nk gọi là bậc của đơn
thức. Kí hiệu : degϕ ( x1, x2 ,..., xk ) = n1
+ n2 +...+ nk .
Những số n1, n2,…, nk gọi là bậc của đơn thức ứng với những biến
x1, x2 ,..., xk .
Định nghĩa 1.1.6. Hai đơn thức gọi là đồng dạng, nếu chúng chỉ khác nhau

về hệ số.


Định nghĩa 1.1.7. Một hàm số P ( x1, x2 ,...,
xk )

gọi là một đa thức nhiều biến,

nếu nó có thể biểu diễn như tổng của hữu hạn những đơn thức, nghĩa là:
P
xk () x1, x2 ,..., = a1 x x … x + … + an x x … x ,
n
n
n
l
l
l
1

1

2

trong
đó a1 xn xn … xn ,…, an xl xl …
l
x
1

k

2

1

2
k

1

1

k

1

k

2

2

k

là các đơn thức của những biến

2

k

1

k

2

2

k

x1, x2,…, xk.
Định nghĩa 1.1.8. Cho một đa thức nhiều biến P ( x1, x2 ,..., xk ) . Đa thức
này gọi là đa thức đối xứng, nếu với mọi hoán vị các số i1, i2, … ik của các số
1,2,
…, k đều thoả mãn đẳng thức sau:

(

P x , x ,...,
x
i1

i2

)=

P ( x , x ,..., x ) .
1

ik

2

k

Nói cách khác, một đa thức là đối xứng nếu nó không thay đổi khi thay đổi
vai trò của các biến cho nhau trong dạng khai triển của nó.
Ví dụ 1.1.3. Đa thức sau đây là đối xứng
2

2

2

P(x1,x2,x3) = x1 + x1 + x - x1x2x3
3
vì dễ dàng kiểm tra những đẳng thức sau là đúng:
P(x1,x2,x3) = P(x1,x2,x3) = P(x2,x1,x3) = P(x2,x3,x1)
= P(x3,x1,x2) = P(x3,x2,x1).
Định nghĩa 1.1.9. Những đa thức sau đây gọi là những đa thức đối xứng cơ
sở:

δ1 = x1 + x2 + … + xk,
δ2 = x1x2 + x1x3 + … + x1xk + … + xk-1xk,
………….

δm = x1x2…xm +…+ xk-m+1 xk-m+2…xk,

δk = x1x2…xk.

Định lí 1.1.4. (Định lí cơ bản cho những đa thức đối xứng)
Mọi đa thức đối xứng có thể biểu diễn như đa thức của những đa thức đối
xứng cơ sở và sự biểu diễn này là duy nhất.


Hệ quả 1.1.1. Nếu α1
, α2 ,…,αk

là k nghiệm của đa thức với hệ số hữu tỉ và

P(x1,x2,…,xk) là một đa thức đối xứng với hệ số là các số hữu tỉ, thì ta có:
P( α1 , α2 ,…,αk ) là một số hữu tỉ.
1.2. Hàm hữu tỉ
Định nghĩa 1.2.1. Hàm hữu tỉ là hàm dạng

P(x)
R( x ) =
, trong đó P(x) và
Q(x)

Q(x) là những đa thức:

P(x) = a xn + a xn−1 + ...a
0

1

Q(x) = b0 x m

n−1

n

x+ a

+... + bm−1x + bm ,
+ b

xm−11
với a 0 , a1 ,…,
an ;

b0 , b1 ,…, bm là những hằng số (trường hợp chung nhất là số

phức), gọi là các hệ số của hàm hữu tỉ, a0 ≠ b0 ≠ 0, n và m là những
0,
số
nguyên không âm.
Hàm hữu tỉ R(x) xác định với mọi x mà làm cho Q(x) ≠ 0 .
Định nghĩa 1.2.2. Hàm hữu tỉ gọi là hàm hữu tỉ chuẩn nếu bậc của đa thức tử
nhỏ hơn bậc của đa thức mẫu.
Ví dụ 1.2.1. Các hàm sau là các hàm hữu tỉ
2x3 − 4x + 1
a) R(x) = 2
,
3x + 4x + 1
x+ 1
b) R(x) =
.

2
x − 2x + 2
Định nghĩa 1.2.3. Hàm hữu tỉ nguyên là tên gọi khác của đa thức.


Ta thấy hàm hữu tỉ nguyên là trường hợp riêng của hàm hữu tỉ (với đa thức
mẫu là đa thức bậc 0).


1.3. Số đại số
1.3.1. Một số định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 1.3.1. Một số α gọi là số đại số, nếu nó là nghiệm của một
đa thức hệ số hữu tỉ.
Ví dụ 1.3.1. Những số

3, −
2,

3

1
+
3i,
(−1
+
2
2
1

3i đều là những số đại số.

)

Thật vậy, ta thấy:
+) 3 là nghiệm của đa thức x 2 − 3∈ [ x ] ,
+)
−
+)
3i

3

1

2

là nghiệm của đa thức x3 + 2∈ [ x ] ,

+ là nghiệm của đa thức  x −( 1 + 3i)  x −( 1 − 3i)

2



2






2




1
1
2
= x − ( 1 − 3i)x −
(
+ 3i)x
1
+ ( + 3i)( − 3i) 2 2
2
2

1
+)
(−1+
2

1
1
2
= x − x + 13ix − x
2 2
− 3ix + − i 3 ) 2
2
4
37

2
= x − x+
∈ [ x ] ,
4
3i là nghiệm của đa thức x2 + x + 1∈
)

[x].

Định nghĩa 1.3.2. Cho α là một số đại số. Khi đó, đa thức m(x) với hệ
số hữu tỉ gọi là đa thức tối tiểu của số α nếu m(x) là đa thức có hệ số
bậc cao nhất bằng 1 và m(x) là đa thức bậc thấp nhất mà nhận α làm
nghiệm.


Ví dụ 1.3.2. Đa thức tối tiểu của số đại số 1+2i là: x2 − 2x + 5.
( Ta có thể dễ dàng chỉ ra không có đa thức bậc nhất nào mà nhận 1+ làm
2i
nghiệm. )
Định nghĩa 1.3.3. Một số không phải là số đại số được gọi là số siêu việt.
Ví dụ 1.3.3. Số π và số e là những số siêu việt (tính siêu việt của π ,
e ta thấy ở phần sau).


Định nghĩa 1.3.4. Một số α gọi là số đại số nguyên nếu nó là nghiệm
của đa thức hệ số nguyên.
Định nghĩa 1.3.5. Số nguyên Cyclotomic là số có dạng :

α0
+α1ζ

p−1

ζ

p−1

,

+... + α
trong đó ζ
= e

α,
α ,...,α
0

2 πi
p

là số Moivre, p là số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 23 và

là các số nguyên.

1

p−1

Ví dụ 1.3.4. Ta xét trường hợp p = 2 ta có ζ = eπ i = −1, suy ra các số
nguyên

Cyclotomic có dạng α0
+α1ζ

= α0 −α1 . Do đó, mọi số nguyên đều là
số

nguyên Cyclotomic.
Ví dụ 1.3.5. Ta xét trường hợp p = 3, ta có:
2π i
1
1
2
= e=
3
ζ
=
−1+
ζ
3
i ,
−1−
2
2

) (

3i

).

Suy ra số nguyên Cyclotomic có dạng:
 1


3 

α0 +α1  − + i  +α12 3 i 
2
2− −

2

 2 



α1





α





α1 α2 3 

3
2 
=  α0 −
−  +
−2
2
 2





α0 −2
=




2

i



i(α1 − α2 ) 3
+
2
Bây giờ, ta lấy các giá trị
cụ thể của α0 , α1 ,α2

α1  α 2 
2−




Cyclotomic:

ta được các số nguyên

α0

α1

α2

2

0

0

2

0

1

α1
α2

α −
−
 0 ( α1 −

 α 2) 3


+ 2

2

2

3 3
2 −2 i

2

i


1
2
…

4
3
…

2

1
…

-2+3 i
3i
…

Định nghĩa 1.3.6. Số nguyên Eisenstein là số có dạng a + b ω , trong
đó a và
1
3) .
b là các số nguyên, ω =
(−1+ i
2
Từ định nghĩa, ta có thể dễ dàng chỉ ra: tổng, hiệu, tích hai số nguyên
Eisenstein là một số nguyên Eisenstein.
1
2
Do ω =
3) π 3 , nên mọi số nguyên Eisenstein đều là số nguyên
i
(−1+ i
=
2
e
Cyclotomic. Điều ngược lại không đúng.
Định nghĩa 1.3.7. Số nguyên Gaussian là số phức a + bi, trong đó a và b là
các số nguyên.
Từ định nghĩa, ta có thể dễ dàng chỉ ra: tổng, hiệu, tích hai số nguyên
Gaussian là một số nguyên Gaussian.

Đinh nghĩa 1.3.8. Số nguyên Hamiltonian là tổ hợp tuyến tính của các
Quaternion.
Định nghĩa 1.3.9. Số nguyên hữu tỉ là tên gọi chung của các số sau:
số nguyên Cyclotomic, số nguyên Eisenstein, số nguyên Gaussian, số nguyên
Hamiltonian.
1.3.2. Một số tính chất
1, Mọi số hữu tỉ đều là số đại số.
2, Mọi số phức dạng a + bi trong đó a, b ∈  đều là các số đại số.
3, Số α là số đại số khi và chỉ khi nó là nghiệm của đa thức hệ số
nguyên.


4, Nếu α là một số đại số, thì a α cũng là một số đại số (với a là
một số hữu tỉ).
5, Nếu α , β là 2 số đại số, thì α ± β , α . β cũng là các số
đại số.


(Vì tập các phần tử của trường K là đại số trên trường A lập thành một
trường con của K trong đó A là một mở rộng của K. Ta có 

⊂  suy

⊂ ra


các phần tử của  hoặc  là đại số trên trường  lập thành một trường con
của  hoặc  ).

Chương 2. Định lí siêu việt Hermite - lindemann

2.1. Một số bổ đề

A ,...,
Bổ đề 2.1.1. Cho α1,...,α là các số đại số đôi một khác 1
AL
nhau;

là các

số đại số khác với số 0 (  , L ∈  * , L ≥  ). Khi đó, tích của tất cả các
biểu thức
α
A eα +...+
A ,..., A là  thành phần bất kì của A ,..., A ) sau khi kết
A e (với
1



r

s

r

s

1

L

∗

hợp mỗi phần tử với cùng hệ số mũ e luôn có dạng:
β
Π′ = A1′e β +...+ A
′
m e
m

1

,

trong đó các hệ số A ′,..., A ′ là các số khác số 0.
1
m
Chứng minh.
Ta gọi một trong hai số phức x + iy và X + iY là số “nhỏ hơn” khi: x < X
hoặc x = X và đồng thời có y < Y. Kí hiệu: x + iy < X + iY.

α1 < α2 < .... <
không như vậy ta sẽ sắp xếp lại và đánh chỉ số lại). α (vì nếu
α
Khi đó, không mất tính tổng quát, ta có thể coi

Để thuận lợi, ta kí hiệu các biểu thức A e 1 + .... + A
α
e r  (với

thành phần bất kì của A1 ,…, AL ) là:

Ar ,..., As là 


Fj = jrA e

α1

α

+ ... + A e

trong đó A ,..., A là  thành phần bất kì của các A ,...,
1
jr
js
AL .

,

Nhờ vậy tích
Π′

là tích của tất cả các Fj và ta có số hạng đầu tiên đã thu được lúc đó là số nhỏ


nhất trong tất cả các số mũ đã thu được, có hệ số là tích của hữu hạn các A ,
jr
do các Ajr ≠ 0

⇒

hệ số ứng với số mũ nhỏ nhất xuất

hiện chỉ một lần và khác 0. Bởi vậy, ít nhất số hạng đầu tiên của tích đã
nhân ra khác 0. Còn việc
Π′ có A' eββ1 +... + là hiển nhiên. Suy ra Bổ đề 2.1.1. được chứng
dạng
A′ e m
1

m

minh.
Bổ đề 2.1.2. Nếu có A1 ,..., A là  số đại số khác với số 0 và có  số đại số



α
đ
Ae 1
ôi
m
ột
k
h
ác
n
h

a
u

α

,
...
.,
1

α


sa
o
ch
o

+... + A e

α


= 0 , thì tồn tại m số đại
số đôi một khác nhau
sao cho:

1

β1,..., và m số B1,...,

Bm
βm

là những số nguyên khác 0

β1

B1
e

Chứng
minh.

βm

+... + Bme = 0

Giả sử đã có A1,…, A là  số đại số khác với số 0 và  số đại số đôi một
khác nhau α1,...,α sao Ae +... +
α1
α
cho:
A
e
1


= 0.

Do A1,..., A là các số đại số nên ta xét các hệ

số
của một phương trình đa thức

P( x)
= 0

A1,..., A như các nghiệm

có các hệ số hữu tỷ mà bậc của nó là

L và L ≥  (thường sẽ như vậy). Gọi các nghiệm của phương trình này là

A1, A2 ,..., A ,..., AL .
Ta lập tất cả các biểu thức được gọi là  có thể

Ar,…,As là  thành phần bất kì của A1,...,
AL

α

A e 1 + ... + A e
trong
đó
r

α

,

và ta nhân các biểu thức này với

*

nhau, luôn luôn kết hợp mỗi phần tử với cùng hệ số mũ e .
Khi đó, áp dụng Bổ đề 2.1.1 thì tích thu được có dạng:
Π′ = A1′e β +... + β
Am′ e
1
trong đó
nhau.

,

A1′,..., Am′ là các số khác 0 β1,..., là các số đại số đôi một khác
và
βm