SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VIET

SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VIET
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Tác giả: Nguyễn Đễ. Nguồn: Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ
Định lý Vi-ét là một định lý quen thuộc, nhưng sử dụng định lý trong những bài toán cụ thể lại là
việc không đơn giản. Điều quan trọng hơn cả là hãy từ giả thiết của bài toán làm thế nào đó để
có được biểu diễn của tổng và tích hai đại lượng, từ đó dẫn đến một phương trình bậc hai. Cuối
cùng là tính biệt số của phương trình và giải bất phương trình
Thật khó có thể nêu lên cách giải tổng quát, vì vậy thông qua các ví dụ, bạn đọc tự rút ra những
nhận xét quan trọng để vận dụng khi giải toán.
Ví dụ 1. Cho các số thực x,y,z khác 0 và thỏa mãn điều kiện và
Chứng minh rằng
Lời giải: Dễ thấy
Suy ra là các nghiệm của phương trình:
Ta có
Từ đây dễ dàng suy ra
Ví dụ 2. Các số thực thỏa mãn điều kiện và . Chứng
minh rằng
Lời giải. Từ điều kiện của bài toán ta có và
Suy ra là nghiệm của phương trình:
Có
Từ đây dễ suy ra đpcm
Ví dụ 3. Giả sử là nghiệm của PT . Tìm tất cả các giá trị của
để có BDT
Lời giải.
Ta xét a trong hai trường hợp
• Nếu thì với mọi k. Khi đó PT đã cho luôn có hai nghiệm khác
nhau và khác dấu. Điều đó dẫn đến BDT đã cho đúng với mọi k
• Nếu
Ta có
Áp dụng công thức trên ta được:
Nhưng (dễ dàng có nhờ định lý Viet)

Vậy
Đặt ta có
Suy ra hay
Ví dụ 4. Giả sử là nghiệm của phươn trình Tìm tất cả các giá trị của
k sao cho có BDT
Lời giải.
Dễ thấy
Ta có:
Mặt khác
Vậy
Tới đây chỉ áp dụng định lý Viet là xong.
Nhận xét:
Hai ví dụ trên thuộc dạng bài toán tìm kiếm giá trị của tham số. Cách tìm kiếm này dựa trên các
phép biến đổi tương đương và phương trình bậc hai cho trước có chứa tham số được khai thác
được nhờ định lý Viet.
Kết thúc bài viết.
Nhận xét thêm của diễn đàn: Các bạn thử đọc lại ví dụ 1 và ví dụ 2, hãy dùng định lý Viet để
sáng tạo ra các bài toán BDT mới xem nào