Cơ sở Grobner và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỞ ĐẦU
Trong Đại số giao hoán, khi nghiên cứu vành đa thức một biến
K[x] (với K là một trường), ta đã biết mọi iđêan đa thức I đều sinh bởi
một đa thức g nào đó mà ta gọi đó là phần tử sinh của I. Vì vậy với
ƒ ∈ K[x] bất kì, ta thực hiện phép chia đa thức ƒ cho đa thức g
theo thuật toán Euclide để tìm đa thức dư r, đa thức này xác định duy
nhất và ƒ ∈ I khi và chỉ khi r = 0. Một lẽ rất tự nhiên khi mở rộng
lên vành đa thức nhiều biến K[x1, … , xn], để xác định một đa thức ƒ
∈ K[x1, … , xn]
bất kì có thuộc iđêan đa thức I ⊆ K[x1, … , xn] cho trước nào đó hay
không, ta sẽ đi tìm tập các phần tử sinh {g1, … , gs} ≔ G, trong đó
các gi ∈ I, và sau đó thực hiện phép chia đa thức ƒ cho tập các đa
thức G. Tuy nhiên, liệu rằng có thực hiện được phép chia đa thức ƒ
cho tập các đa thức G để tìm đa thức dư r hay không? Và đa thức dư
này vẫn còn
xác định duy nhất? Thuật toán chia có thay đổi ra sao so với thuật toán
Euclide? Liệu ƒ ∈ I khi và chỉ khi r = 0?... Cơ sở Gröbner trong Đại
số máy tính cho phép giải đáp được tất cả những thắc mắc trên.
Được sự động viên, giúp đỡ của thầy, cô giáo khoa Toán, đặc biệt là
các thầy cô tổ Đại số, em đã chọn đề tài: “Cơ sở Gröbner và ứng
dụng”.
Nội dung của đề tài trình bày về những khái niệm cơ sở của lí
thuyết Gröbner và ứng dụng của nó. Xây dựng quan hệ thứ tự trên tập
các đơn thức nhiều biến, từ đó, chúng ta thấy được và làm rõ cách thức
mở rộng thuật toán chia đa thức một biến ở trung học cơ sở sang trường
Đỗ Thị Mùi

1

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

hợp đa thức nhiều biến. Qua đó, người ta xác định phương hướng để giải
quyết một số bài toán về iđêan trong vành đa thức nhiều biến.

Đỗ Thị Mùi

2

K35A – SP Toán


Đề tài được trình bày trong hai chương:
Chương 1. Cơ sở Gröbner.
Chương này đề cập đến khái niệm thứ tự từ, xuất phát điểm để xây
dựng cơ sở Gröbner. Từ đó, người ta đưa ra khái niệm iđêan khởi đầu, từ
khởi đầu, cũng như định nghĩa và một số tính chất cơ bản của cơ sở
Gröbner. Tiếp đó, tác giả trình bày việc mở rộng thuật toán chia với dư
trong vành đa thức nhiều ẩn. Cuối cùng, chúng ta đề cập tới thuật toán
Buchberger.
Chương 2. Một số ứng dụng của Cơ sở Gröbner.
Nội dung chủ yếu của chương này trình bày ứng dụng của cơ sở
Gröbner để giải quyết một số bài toán về iđêan trong vành đa thức nhiều

biến.
Mặc dù có nhiều cố gắng song còn nhiều hạn chế về thời gian và
kiến thức, khóa luận này không thể tránh khỏi những thiếu sót, em rất
mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn
sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện.


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ GRÖBNER
1.1 Thứ tự từ
1.1.1 Thứ tự, giả thứ tự
Định nghĩa 1.1:
Cho tập X ≠ ∅. Quan hệ hai ngôi S là một quan hệ thứ tự bộ
phận trên X nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
i)

Với x ∈ X: xSx (tính chất phản xạ)

ii)

Với mọi x, y ∈ X: nếu xSy và ySx thì x = y (tính chất phản đối
xứng)

iii)

Với mọi x, y, z ∈ X : nếu xSy và ySz thì xSz (tính chất bắc
cầu)
Ta thường kí hiệu quan hệ thứ tự là ≤, ≥.
Nhận xét: Nếu S là

một

quan

hệ

thứ

tự

bộ

phận

thì:

S–1 = {(x, y)|(y, x) ∈ S} cũng là quan hệ thứ tự bộ phận và gọi là thứ
tự ngược của . Nếu kí hiệu S là ≤ thì S–1 được kí hiệu là ≥.
Ví dụ
 Quan hệ ≤ trong tập hợp các số tự nhiên N là một quan hệ thứ
tự.
 Quan hệ chia hết trong N là một quan hệ thứ tự bộ phận.
Định nghĩa 1.1.2
Nếu trên X có một thứ tự bộ phận ≤ ta nói X là tập được sắp bộ
phận. Khi đó, với mọi x, y ∈ X thì x ≤ y hoặc y ≤ x, hoặc x, y không
so sánh được với nhau.
Quan hệ thứ tự ≤ trên X được gọi là thứ tự toàn phần nếu mọi cặp
phần tử của X đều so sánh được với nhau. Khi đó, ta nói X là tập được
sắp hoàn toàn.

Quan hệ hai ngôi chỉ thỏa mãn tính chất phản xạ và bắc cầu được
gọi là giả bộ thứ tự.
Ví dụ
 (N, ≤) là tập sắp thứ tự toàn phần.
 (R, ≤) là tập sắp thứ tự toàn phần vì mọi phần tử trong R đều so sánh
được với nhau. Tuy nhiên, (C, ≤) được xác định như sau:
a≤c
a + bi ≤ c + di ⟺ {
là quan hệ thứ tự bộ phận trên ℂ.
b≤d
 Quan hệ chia hết là một thứ tự bộ phận trên tập N nhưng chỉ là giả thứ
tự bộ phận trên Z.
 M là tập đơn thức của vành K[x] với quan hệ xác định như sau:
xa ≤ x b, xa = x1a1 … xnan, xb = x1b1 … xnbn, nếu ai ≤ bj , ∀i =
1, … n là quan hệ thứ tự bộ phận trên X. Với số biến là 1 thì quan hệ
là quan hệ thứ tự toàn phần.
Định nghĩa 1.1.3
Cho (X, ≤) là tập được sắp bộ phận, Ø ≠ A ⊆ X
i) a ∈ A được gọi là phần tử tối tiểu (tương ứng tối đại) trong A, nếu với
mọi b ∈ A ta có b ≤ a (tương ứng a ≤ b) thì a = b.
ii) a ∈ A là phần tử bé nhất (tương ứng lớn nhất) trong A nếu với mọi b
∈ A ta có a ≤ b (tương ứng b ≤ a).
iii) Phần tử b ∈ X là chặn trên (tương ứng chặn dưới) của A, nếu với mọi
a ∈ A ta có a ≤ b (tương ứng b ≤ a).
iv) Tập A được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị trên, vừa bị chặn dưới
v) Tập X được gọi là sắp thứ tự tốt nếu nó được sắp hoàn toàn và mọi tập
con khác rỗng của X để có phần tử bé nhất.
Ví dụ

 (N, |), A = {n ∈ ℕ ∶ n > 1}. Các phần tử tối tiểu là các số nguyên
tố.
 (ℝ, ≤), A = [1,2], B = (1,2). Khi đó: 1,2 lần lượt là phần tử bé nhất,
lớn nhất của A. B không có phần tử bé nhất, lớn nhất, tối tiểu, tối đại
nhưng bị chặn trên và bị chặn dưới trong ℝ.
 (ℕ, ≤) là tập được sắp thứ tự tốt vì (ℕ, ≤) được sắp hoàn toàn và mọi
bộ phận khác rỗng của N đều có phần tử bé nhất. Tuy nhiên, (ℤ, ≤)
không

phải

là

tập

được

sắp

thứ

tự

tốt

vì

tập A = {x|x

∈ ℤ, x < −2} không có phần tử bé nhất.

Bổ đề 1.1.1 ( Bổ đề Zorn)
Nếu X là tập được sắp (bộ phận) sao cho mọi tập con khác rỗng
được sắp hoàn toàn của nó bị chặn trong X thì X có phần tử tối đại.
1.1.2 Thứ tự từ Định
nghĩa 1.1.4
Cho M là tất cả các đơn thức của K[x]. Thứ tự toàn phần ≤ trên tập
M được gọi là thứ tự từ nếu:
i)

Với mọi m ∈ M, 1 ≤ m.

ii)

Với mọi m1, m2, m ∈ M mà m1 ≤ m2 thì mm1 ≤ mm2. Ví dụ:
Quan hệ theo bậc của đơn thức một biến là một thứ tự từ. Bổ đề
1.1.2
Một thứ tự toàn phần ≤ trên M là thứ tự tốt khi và chỉ khi mọi dãy
đơn thức thực sự giảm:
m1 > m2 > m3 > ⋯
sẽ dừng (sau hữu hạn phần tử).
Chứng minh
-

Giả sử ≤ không là thứ tự tốt trên M, tức là tồn tại tập con
A ⊆ M sao cho A không có phần tử bé nhất. Lấy m1 là một phần tử bất


kì trong A. Vì A không có phần tử bé nhất nên tìm được m2 < m1 trong
A, với m2 ta tìm được m3 < m2. Lặp lại quá trình trên mãi mãi ta nhận
được một dãy vô hạn các đơn thức thực sự giảm:

m1 > m2 > m3 > ⋯ > mn > ⋯
-

Ngược lại, nếu có một dãy vô hạn các đơn thức thực sự giảm thì dãy đó
không có phần tử bé nhất. Vì vậy, thứ tự đã cho không là thứ tự tốt.
Bổ đề 1.1.3
Mọi thứ tự từ là thứ tự tốt. Ngược lại, mọi thứ tự tốt trên M thỏa
mãn điều kiện ii) của Định nghĩa 1.1.4 là thứ tự từ.
Chứng minh
- Cho ≤ là thứ tự từ. Giả sử ∅ ≠ A ⊆ M, gọi I ⊆ K[x] là iđêan
đơn thức sinh bởi A. Theo Bổ đề Dickson tồn tại hữu hạn phần tử
m1, … , mn ∈ A sao cho : I = (m1, … , mn).
Vì ≤ là thứ tự toàn phần nên có thể giả thiết m1 ≤ mi, với mọi
i ≤ n. Ta chứng tỏ m1 là phần tử bé nhất của A. Thật vậy, với mọi
m ∈ A, vì I = (m1, … , mn) nên theo bổ đề về tính chia hết của
iđêan đơn thức, ta tìm được i ≤ n sao cho m = mrmi, với mr là đơn
thức nào đó. Vì 1 ≤ mr nên theo tính chất của A hay ≤ là thứ tự tốt.
-

Ngược lại, giả sử ≤ là thứ tự tốt và tồn tại đơn thức m sao cho :

1 > m. Khi đó, theo tính chất ii) của Định nghĩa 1.1.4 ta có :
1 > m = m. 1 > m. m = m2, m2 = m. m > m. m2 = m3, …
- Cứ tiếp tục như vậy ta nhận được một dãy vô hạn đơn thức thực
sự giảm: 1 > m > m2 > m3 > ⋯ Theo bổ đề về tính tương đương của
iđêan đơn thức, điều này trái với giả thiết ≤ là thứ tự tốt. Suy ra, 1 ≤ m
với mọi m ∈ M. Vậy ≤ thỏa mãn cả hai tính chất của Định nghĩa
1.1.4, hay ≤ là thứ tự từ.

1.1.3 Một số thứ tự từ quan trọng
Trong phần này, chúng ta sẽ xét xem những thứ tự từ quan trọng mà
những phần tiếp theo chúng ta sẽ thường xuyên sử dụng đến chúng. Đó
là thứ tự từ điển, thứ tự từ điển phân bậc, thứ tự từ điển ngược.
Cho ≤ là một thứ tự từ. Bằng cách thay đổi chỉ số biến nếu cần
thiết có thể giả thiết : x1 > x2 > ⋯ > xn.
Định nghĩa 1.1.5
i)

Thứ tự từ điển, kí hiệu là ≤1es, được xác định như sau : x1α1 …
xnαn <1es x1þ1 … xnþn nếu thành phần đầu tiên khác không kể từ bên
trái của véctơ (α1 − þ1, … , αn − þn) là một số âm. (Nói cách khác,
nếu tồn tại 0 ≤ i < n sao cho α1 = þ1, … , αi = þi nhưng αi+1 < þi+1).

ii)

Thứ tự từ điển phân bậc, kí hiệu là ≤g1es, được xác đinh như sau :
x1α1 … xnαn
nếu deg(x1α1 … xnαn ) <

(x1þ1 … xnþn) hoặc deg(x1α1 … xnαn ) = (x1þ1 … xnþn) và là thành
phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của véctơ (α1 − þ1, … , αn
− þn) là một số âm. Nói cách khác, nếu α1 + ⋯ + αn < þ1 + ⋯
+ þn hoặc α1 + ⋯ + αn = þ1 + ⋯ + þn và x1α1 … xnαn ≤1es x1þ1 …
xnþn
iii)

Thứ tự từ điển ngược, kí hiệu là ≤r1es, được xác định như sau :
x1α1 … xnαn

deg(x1þ1 … xnþn) hoặc deg(x1α1 … xnαn) = deg(x1þ1 … xnþn ) và
thành phần đầu tiên khác không kể từ bên phải của véctơ (α1
− þ1, … , αn − þn) là số dương. Nói cách khác, nếu α1 + ⋯ + αn <
þ1 +
⋯ + þn hoặc α1 + ⋯ + αn = þ1 + ⋯ + þn và tồn tại 1 ≤ i ≤ n sao
cho
αn = þn ,…, αi+1 = þi+1 nhưng αi > þi.


Nhận xét : Dễ dàng chứng minh 3 thứ tự kể trên là thứ tự từ.
Ví dụ


 Trong cả 3 thứ tự trên ta luôn có : x1 > x2 > ⋯ > xn.
 Cho các đơn thức : x 2 y 8 , x 5yz4, xyz3, xy 4. Sắp xếp các biến
x > y > z:
- Đối với thứ tự từ điển:
x5 yz4 > x 2 y 8 > xy4 > xyz3
- Đối với thứ tự từ điển phân bậc:
x5 yz 4 > x 2 y 8 > xyz3 > xy 4
- Đối với thứ tự từ điển ngược:
x 2 y 8 > x5 yz 4 > xy4 > xyz3
1.2 Iđêan khởi đầu, cơ sở Gröbner
1.2.1 Từ khởi đầu, đơn thức đầu Định
nghĩa 1.2.1
Cho ≤ là một thứ tự từ và ƒ ∈ K[x]. Từ khởi đầu của đa thức
ƒ, kí hiệu là inŠ(ƒ), là từ lớn nhất của đa thức ƒ đối với thứ tự từ
≤.
số

Nếu inŠ(ƒ) = α. x a , 0 ≠ α ∈ K thì lcŠ(ƒ) = α được gọi là hệ

đầu và lmŠ(ƒ) = xa là đơn thức đầu của ƒ đối với thứ tự từ ≤.
Nếu thứ tự từ ≤ đã được xác định rõ ràng ta thường viết gọn in(ƒ)
(tương ứng lc(ƒ), lm(ƒ)) thay cho inŠ(ƒ) (tương ứng lcŠ(ƒ),
lmŠ(ƒ)). Chú ý
 Từ khởi đầu của đa thức 0 là không xác định, nó có thể nhận giá trị tùy
ý.
 Trong biểu diễn chính tắc của đa thức ƒ nếu ta viết các từ theo thứ
tự giảm dần thì in(ƒ) sẽ xuất hiện đầu tiên.
Ví dụ


Cho đa thức ƒ = 3x5y3 + x 4 y 2 z − 6xy 5z + x 2 z − 2z. Viết
theo thứ tự giảm dần với x > y > z, ta có:
inŠlex (ƒ) = 3x 5 y 3


inŠglex (ƒ) = x 4

y2z
5

inŠrlex (ƒ) = −6xy z
Bổ đề 1.2.1:
Cho ƒ, g ∈ K[x] và m ∈ M. Khi đó:
i) in(ƒg) = in(ƒ)in(g)
ii) in(mƒ) = m. in(ƒ)
iii) lm(ƒ + g) ≤ max{lm(ƒ), lm(g)}. Dấu < xảy ra khi và chỉ khi
in(ƒ) =

−in(g). Chứng
minh
Giả sử: ƒ = in(ƒ) + ∑ mi , mi < in(ƒ) và g = in(g) + ∑
nj , nj < in(g), trong đó mi và nj là các từ có thể bằng 0. Khi
đó:
i) Với mọi i, j: in(ƒ)in(g) ≠ 0, in(ƒ)nj < in(ƒ)in(g) và miin(g) <
in(ƒ)in(g). Do đó, in(ƒ)in(g) không thể giản ước được với bất
kì từ nào của khai triển tích ƒg và in(ƒ)in(g) là từ lớn nhất của
ƒg. Vậy in(ƒg) = in(ƒ)in(g).
ii) Vì in(m) = m nên điều chứng minh được suy ra từ i).
iii) Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử in(ƒ) ≥ in(g)
 Nếu in(ƒ) > in(g) thì ta có : ƒ + g = in(ƒ) + in(g)
+
∑ mi + ∑ nj . Ta có : in(ƒ) > in(g) > nj nên in(ƒ) > nj . Theo
định nghĩa từ khởi đầu, ta có : in(ƒ) > mi. Vậy, in(ƒ) là từ lớn
nhất trong tổng ƒ + g và không giản ước được với bất kì từ nào
khác, nên lm(ƒ +
g) = lm(ƒ) = max{lm(ƒ), lm(g)}.


 Nếu

in(ƒ) = in(g) và

lc(ƒ) ≠ −lc(g) thì

ƒ+g

= (lc(ƒ) + lc(g))lm(ƒ) + ∑ mi + ∑ nj .
nj

Do lc(ƒ) + lc(g) ≠ 0 và lm(ƒ) > mi, lm(ƒ) = lm(g) >

nên lại có: lm(ƒ + g) = lm(ƒ) = max{lm(ƒ), lm(g)}.


 Nếu in(ƒ) = −in(g) thì ta có: ƒ + g = ∑ mi + ∑ nj .
Khi đó, ƒ + g = 0 hoặc lm(ƒ + g) = lm(mi) < lm(ƒ), hoặc lm(ƒ
+ g) = lm(nj ) < lm(g). Vậy, lm(ƒ + g) < max{lm(ƒ), lm(g)}.
Đó là điều phải chứng minh.
1.2.2 Iđêan khởi đầu Định
nghĩa 1.2.2
Cho I là iđêan của K[x] và ≤ là một thứ tự từ. Iđêan khởi đầu
của I, kí hiệu inŠ(I), là iđêan của K[x] sinh bởi các từ khởi đầu của
các phần tử thuộc I. Nghĩa là:
inŠ(I) = (inŠ(ƒ)|ƒ ∈ I).
Nhận xét


inŠ(I) là iđêan đơn thức.



Ta cũng sẽ viết in(I) thay vì inŠ(I) nếu thứ tự ≤ đã xác định.

Bổ đề 1.2.2
Cho ≤ là một thứ tự từ và I, J là hai iđêan của R. Khi đó :
i) Tập tất cả các đơn thức trong in(I) là tập {lm(ƒ)|ƒ ∈ I}.
ii) Nếu I là iđêan đơn thức thì in(I) = I.
iii) Nếu I ⊆ J thì in(I) ⊆ in(J). Hơn nữa, nếu I ⊆ J và in(I) = in(J)

thì I = J.
iv) in(I)in(J) ⊆ in(IJ).
v) in(I) + in(J) ⊆ in(I + J).
Chứng minh
i) Nếu m ∈ in(I) thì theo bổ đề về các điều kiện tương đương của iđêan
đơn thức, ta có : m = lm(ƒ)mr và mrƒ ∈ I. Vậy m
∈
{lm(ƒ)|ƒ ∈ I}. Điều ngược lại hiển nhiên đúng.

Đỗ Thị Mùi

14

K35A – SP Toán


ii) Vì I là iđêan đơn thức nên I sinh ra một tập A nào đó các đơn thức.
Với mỗi m ∈ A, m = in(m) ∈ in(I), nên I ⊆ in(I). Ngược lại, giả
sử ƒ ∈ I là một phần tử tùy ý thì theo bổ đề về tính chia hết, các
điều kiện tương đương của iđêan đơn thức, in(ƒ) chia hết cho
đơn thức m ∈ A nào đó. Lại theo bổ đề về tính chia hết của
iđêan đơn thức, in(ƒ) ∈ I. Suy ra, in(I) ⊆ I, tức là in(I) = I.
iii) Theo định nghĩa, rõ ràng I ⊆ J kéo theo in(I) ⊆ in(J). Giả sử, in(I)
= in(J), I ⊂ J. Theo Bổ đề 1.1.3, tìm được ƒ ∈ J ∖ I để lm(ƒ) =
min{lm(g)|g ∈ J ∖ I}. Vì lm(ƒ) ∈ in(J) = in(I) nên tồn tại g ∈ I
để lm(ƒ) = lm(g). Ta có thể giả thiết lc(ƒ) = lc(g) = 1 (vì nếu
không như vậy ta chia ƒ, g cho lc(ƒ), lc(g) tương ứng). Đặt ℎ = ƒ
− g, ta có: ƒ, g ∈ I nên ℎ ∈ J nhưng mặt khác ƒ ∉ I, g ∈ I nên ℎ
∉ I. Vậy ℎ ∈ J ∖
I. Mặt khác, theo Bổ đề 1.2.1 iii), ta có: lm(ℎ) < lm(ƒ). Mâu thuẫn

với việc chọn ƒ. Vậy I = J.
iv) Ta có: in(I)in(J) sinh bởi các từ in(ƒ)in(g), trong đó ƒ ∈ I, g
∈ J. Mặt khác, theo Bổ đề 1.2.1 i), in(ƒg) = in(ƒ)in(g) nên ta có
ngay in(I)in(J) ⊆ in(IJ).
v) I, J ⊆ I + J nên theo iii) ta có ngay in(I) + in(J) ⊆ in(I + J). □
1.2.3 Cơ sở Gröbner
Định nghĩa 1.2.3
Cho ≤ là một thứ tự từ, I là một iđêan của K[x]. Tập hữu hạn
các đa thức khác không g1, … , gs ∈ I được gọi là một cơ sở
Gröbner của I đối với thứ tự từ ≤ nếu: inŠ(I) = (inŠ(g1), … ,
inŠ(gs)).
Định lí 1.2.1


Cho I là một iđêan tùy ý của K[x]. Nếu g1, … , gs là một cơ sở
Gröbner đối với thứ tự nào đó thì g1, … , gs là một cơ sở của I.
Chứng minh


Đặt

J: = (g1, … , gs) ⊆ I.

Vì

in(I) = (in(g1), … , in(gs)) ⊆

in(J) ⊆ in(I) nên in(J) = in(I). Theo Bổ đề 1.2.2 iii), ta có I = J. □
Nhận xét
Như vậy, việc xác định iđêan khởi đầu tương đương với việc tìm

một cơ sở Gröbner của I đối với một thứ tự nào đó. Tuy nhiên, việc làm
này không hề đơn giản vì không phải mọi cơ sở của I đều là cơ sở
Gröbner của I. Hơn nữa, một cơ sở đã cho của I có thể là cơ sở Gröbner
đối với thứ tự này nhưng không là cơ sở Gröbner đối với thứ tự khác.
Ví dụ
 I là iđêan của vành K[x]. Ta biết rằng trên vành này chỉ có một
thứ tự từ là thứ tự từ phân bậc của đa thức. Ta có, với mọi I ⊆
K[x], I = (ƒ), ƒ ∈ K[x]. Từ đó, in(I) = (in(ƒ)).


I = {ƒ1 , ƒ2 } ∈ K [x, y], ƒ1 = x 2 y + y − xy, ƒ2 = x 2 y 2 − xy 2
Đối với 3 thứ tự : thứ tự từ điển, thứ tự từ điển phân bậc,

thứ tự từ điển ngược, ta có : in(ƒ1 ) = x 2 y, in(ƒ2 ) = x 2 y 2 . Mặt
khác, ta có : y 2 = yƒ1 − ƒ2 ∈ I nhưng in(y 2 ) = y 2 ∉ in(I). Vậy
{ƒ1 , ƒ2 } không là cơ sở Gröbner của I.
 I = {x − y, y + z 2 } ⊆ K[x, y, z]. Đối với thứ tự từ điển mà x > y
> z. Ta chứng tỏ x − y, y + z2 là cơ sở Gröbner của I. Thật vậy, với
mọi đa thức 0 ≠ ƒ ∈ I có dang :
ƒ = g(x − y) + ℎ(y + z2 )
Nếu in(ƒ) không chứa biến x, y thì ƒ chỉ chứa biến z, tức
là ƒ = ƒ(z). Chọn x = −z2, y = −z2 thay vào biểu diễn của ƒ ta
có : ƒ = g. 0 + ℎ. 0, vô lí. Vậy in(ƒ) ∈ (x, y) = (in(x − y), in(y +
z2)) hay x − y, y + z2 là cơ sở Gröbner của I đối với thứ tự từ điển.
Định nghĩa 1.2.4


Cơ sở Gröbner tối tiểu của I đối với thứ tự ≤ đã cho là một sở
Gröbner G ⊆ I sao cho :
i) lc(g) = 1, với mọi g ∈ G.

ii) Với mọi g ∈ G, không tồn tại gr ∈ G mà in(gr)|in(g). Hệ
quả 1.2.1
Cho ≤ là một thứ tự từ. Khi đó, mọi iđêan có cơ sở Gröbner tối tiểu
và mọi cơ sở Gröbner tối tiểu đều có chung số phần tử và chung tập từ
khởi đầu.
Nhận xét
Dựa vào thuật toán tìm tập sinh đơn thức tối tiểu của iđêan đơn thức
ta có ngay cách xây dựng cơ sở Gröbner tối tiểu xuất phát từ một cơ sở
Gröbner nào đó. Sau đây là thuật toán tìm cơ sở Gröbner tối tiểu.
Thuật toán 1.2.1 (Thuật toán tìm cơ sở Gröbner tối tiểu)
Tìm cơ sở Gröbner tối tiểu CSGRTT(ƒ1 , … , ƒr ) ≔ {g1 , … , gs } từ
cơ sở Gröbner ƒ1 , … , ƒr
Input : ƒ1 , … , ƒr : đa thức trong K[x]
Output: g1, … , gs : đa thức trong K[x]
FOR i ≤ r DO
ƒi ≔ ƒi ⁄lc(ƒi ), mi ≔
in( ƒi ) s ≔ 0; i ≔ 1
WHILE i ≤ r DO
j≔i+1
WHILE j ≤ r DO
IF mj |mi THEN
i ≔ i + 1; j ≔ i + 1
ELSE


WHILE mi |mj DO
k ≔ j; r ≔ r − 1
WHILE k ≤ r DO
mk ≔ mk+1 ; ƒk ≔ ƒk+1 ; k ≔ k + 1
j≔j+1

s ≔ s + 1; gs ≔ ƒi ; i ≔ i + 1
Ví dụ
Cho G = {x4 − xy, x 3y − y2 + x, x 2 , −xy 2, x − y, xy, −y2} là
cơ sở Gröbner của iđêan I = (x4 − xy, x 3 y − y2 + x). Tìm cơ
sở Gröbner tối tiểu của I.
Áp dụng thuật toán 1.2.1 tìm cơ sở Gröbner tối tiểu của I như
sau : Với ƒ1 = x 4 − xy, ƒ2 = x 3 y − y 2 + x, ƒ3 = x 2 , ƒ4 =
−xy 2 ,
ƒ5 = x − y, ƒ6 = xy, ƒ7 = −y 2 . Ta có các từ tương ứng là : m1
=
x4 , m2 = x3y, m3 = x 2, m4 = xy 2, m5 = x, m6 = xy, m7 = y 2.
Vòng lặp thứ 1 : s ≔ 0; i ≔ 1;
Đầu tiên (i = 1) <= (7 = r) nên j ≔ 2. Vì (j = 2) <= (7 = r).
Kiểm tra m2 ∤ m1, thực hiện lệnh else kiểm tra m1 ∤ m2 nên j ≔
j + 1 = 3. Ta có : (j = 3) <= (7 = r) kiểm tra m3|m1 thì i ≔ i +
1=
2; j ≔ j + 1 = 4. Ta lại có : (j = 4) <= (7 = r) kiểm tra m4 ∤ m2 thì
thực hiện lệnh else kiểm tra m2 ∤ m4 nên j ≔ j + 1 = 5. Lại có
: (j = 5) <= (7 = r) kiểm tra m5|m2 thì i ≔ i + 1 = 3; j ≔ j + 1 =
6. Tiếp tục (j = 6) <= (7 = r) kiểm tra m6 ∤ m3, thực hiện lệnh
else kiểm tra m3 ∤ m6 nên j ≔ j + 1 = 7. Cuối cùng, (j = 7) <=
(7 = r) kiểm tra m3 ∤ m7 nên j ≔ j + 1 = 8 > (7 = r), thoát.


s ≔ s + 1 = 1; g1 ≔ ƒ3 ; i ≔ 4
Vòng lặp thứ 2 : s = 1; i = 4;


Đầu tiên, (i = 4) <= (7 = r) nên j ≔ 5. Vì (j = 5) <= (7 =
r), kiểm tra m5|m4 nên i ≔ i + 1 = 5; j ≔ j + 1 = 6. Ta có : (j =

6) <= (7 = r), kiểm tra m6 ∤ m5 thực hiện lệnh else kiểm tra
m5|m6 nên k ≔ i = 6; r ≔ r − 1 = 6, (k = 6 <= (r = 6)) thì ƒ6
≔ ƒ7 , m6 = m7, k ≔ k + 1 = 7, j ≔ j + 1 = 7 > (6 = r), thoát,
s ≔ s + 1 = 2; g2 ≔ ƒ5 ; i ≔ i + 1 = 6;
Vòng lặp thứ 3 : s = 2; i = 6;
Kiểm tra thấy (i = 6) <= (6 = r) nên j ≔ i + 1 = 7 > (6 = r)
thoát.
s ≔ s + 1 = 3; g3 ≔ ƒ6 ; i ≔ i + 1 = 7 > (6 = r). Kết thúc thuật
toán.
Vậy cơ sở Gröbner tối tiểu của I là: {x2, x − y, y2}.
Định nghĩa 1.2.5
Cơ sở Gröbner rút gọn của iđêan I đối với thứ tự đã cho là một cơ
sở Gröbner của I thỏa mãn các tính chất:
i)

lc(g) = 1, với mọi g ∈ G.

ii) Với mọi g ∈ G, với mọi từ m của g, không tồn tại gr ∈ G ∖
{g} mà in(gr)|m.
Nhận xét : Mọi cơ sở Gröbner rút gọn là cơ sở Gröbner tối tiểu.
Định lí 1.2.2
Cho I ≠ 0. Khi đó, mọi thứ từ từ I có duy nhất một cơ sở
Gröbner rút gọn.
Chứng minh
 Sự tồn tại:
Cho G là một cơ sở Gröbner tối tiểu của I. Ta nói: g ∈ G rút
gọn trong G nếu không có từ nào của g, trừ từ khởi đầu của nó chia


hết cho các từ khởi đầu của đa thức khác trong in(G) ≔ {in(ƒ)|ƒ ∈

G}. Chúng


ta sẽ biến đổi G sao cho nhận được cơ sở Gröbner mà mọi phần tử của
nó đều rút gọn.
Ta có nhận xét rằng : Nếu g rút gọn trong G thì g cũng rút gọn
trong mọi cơ sở Gröbner tối tiểu G bất kì chứa g của I (vì G, Gr có cùng
số phần tử và chung tập của từ khởi đầu).
Giả sử: g ∈ G là một phần tử không rút gọn trong G. Chọn
từ 0 ≠ αm ≠ in(g), α ∈ K, m ∈ M, lớn nhất của g sao cho tồn
tại: gr ∈ G ∖ {g} để in(gr)|m. Đặt g1 = g − αmgr⁄in(gr). Vì
in(g) >
m ≥ in(gr) nên theo Bổ đề 1.2.1 iii) in(g1) = in(g) = lm(g). Do đó,
G1 = (G ∖ {g}) ∪ {g1} là cơ sở Gröbner tối tiểu. Hơn nữa, nếu đặt
s(g) = m, m là đơn thức được chọn như trên thì hoặc gr rút gọn trong
G, hoặc s(g1) < s(g). Thật vậy, giả sử g1 không rút gọn. Nếu s(g1) là
đơn thức của g1 chia hết cho từ khởi đầu của g∗ ∈ G nào đó thì từ này
không thể là s(g) vì s(g) đã bị triệt tiêu nên s(g1) ≤ s(gr)m|in(gr) <
m = s(g). Vậy ta luôn có: s(g1) < s(g) nếu s(g1), s(g) tồn tại, tức là
tìm được đơn thức m theo cách trên. Tiếp tục lặp lại quá trình trên, vì
thứ tự là thứ tự từ tốt nên đến một lúc nào đó ta nhận được: Gs =
(G ∖ {g}) ∪ {gs} mà không còn s(g). Tức là, gs rút gọn trong Gs.
Lặp lại quá trình trên với tất cả các từ chưa rút gọn trong G ta nhận
được cơ sở Gröbner Gr mà mọi phần tử của nó đều rút gọn. Khi đó, theo
Định lí 1.2.5, Gr là cơ sở Gröbner rút gọn.
 Tính duy nhất:
Giả sử G, Gr là hai cơ sở Gröbner rút gọn. Theo Hệ quả 1.2.1,
G, Grchung số phần tử và tập từ khởi đầu. Lấy g ∈ G tùy ý, khi đó
tìm được gr ∈ Gr sao cho in(g) = in(gr). Đặt ℎ = g − gr, ta có :
in(ℎ) ≠ in(g) = in(gr). Nếu ℎ ≠ 0 thì in(ℎ) hoặc là một từ của g, hoặc

là một từ của gr, nhưng khác in(gr). Theo định nghĩa cơ sở Gröbner,
in(ℎ)


chia hết cho một từ khởi đầu in(g∗), g∗ ∈ G nào đó. Điều này mâu
thuẫn với giả thiết G là cơ sở Gröbner rút gọn. Vậy, ℎ = 0, từ đó : g =
gr ∈ G r , tức là G ⊆ Gr . Chứng minh hoàn toàn tương tự, bằng cách đổi
vai trò G, Gr ta chứng minh được Gr ⊆ G. Vậy G = Gr .

□

1.3 Thuật toán chia
1.3.1 Phép chia với dư trong vành đa thức một biến
Cấu trúc iđêan của vành đa thức một biến trên một trường khá đơn
giản. Đó là do vành đa thức một biến thỏa mãn định lí chia đa thức. Mặc
dù kết quả đơn giản nhưng chứng minh của nó chứa đựng ý tưởng sâu
sắc để mở rộng cho trường hợp nhiều biến. Trong phần này chúng ta sẽ
chứng minh mọi iđêan của vành một biến đều sinh bởi một đa thức.
Định lí 1.3.1 (Định lí chia đa thức một biến)
Cho K là một trường và g(x) là một đa thức khác 0 của K[x]. Khi
đó, với mọi đa thức ƒ(x) ∈ K[x] có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng :
ƒ(x) = q(x)g(x) + r(x),
trong đó : q(x), r(x) ∈ K[x] và hoặc r(x) = 0 hoặc deg r(x)
< deg r(x). Hơn nữa, q(x), r(x) được xác định duy nhất.
Chứng minh
Với mọi ƒ ∈ K[x], ƒ có thể biểu diễn dưới dạng :
ƒ = an. xn + an–1. xn–1 +…
+aO, trong đó : n = deg ƒ, an ≠ 0.

Ta sẽ chứng minh sự tồn tại của q, r bằng quy nạp theo deg ƒ
như sau : Nếu deg ƒ < deg g, đặt q = 0 và r = ƒ.
Giả sử định lí đúng với mọi đa thức có bậc ≤ n − 1, trong đó :
n ≥ deg g. Ta sẽ chứng minh nó đúng với đa thức ƒ tùy ý có deg ƒ
= n.
inf

Xét đa thức ƒ1 = ƒ −
g. Ta có : ƒ1 < deg ƒ = n. Theo giả thiết
ing
quy