Số phức và ứng dụng

Cao Minh Quang
THPT chuyờn Nguyn Bnh Khiờm, Vnh Long











CHUYEN ẹE:
CHUYEN ẹE:CHUYEN ẹE:
CHUYEN ẹE:





SO PHệC & ệNG DUẽ
SO PHệC & ệNG DUẽSO PHệC & ệNG DUẽ
SO PHệC & ệNG DUẽNG
NGNG
NG

02/2009



2


Cao Minh Quang

THPT chuyờn Nguyn Bnh Khiờm, Vnh Long

CHUYEN
CHUYEN CHUYEN
CHUYEN ẹE:
ẹE:ẹE:
ẹE:

SO PHệC & ệNG DUẽ
SO PHệC & ệNG DUẽSO PHệC & ệNG DUẽ
SO PHệC & ệNG DUẽN
NN
NG
GG
G

02/2009

3


LỜI NÓI ðẦU
*****


Giải bài toán tìm nghiệm phương trình ñại số là một trong những bài toán cổ ñiển ñược rất
nhiều nhà toán học quan tâm. Trong khi các phương trình tuyến tính bậc nhất luôn có lời giải trên
tập số thực thì phương trình bậc hai, chẳng hạn phương trình
2
1 0
x
+ =
, không có nghiệm trên
tập hợp các số thực.
ðến tận thế kỉ XVIII, Leonhard Euler (1707 – 1783), thiên tài toán học Thụy Sĩ, ñã có
bước ñột phá khi ñịnh nghĩa số
1
−
, ñược kí hiệu là

i
, còn gọi là ñơn vị ảo. ðiều này ñã giúp
vi
ệc giải phương trình ñại số trở nên dễ dàng hơn. Ví dụ phương trình ñã xét
2
1 0
x
+ =
có
nghi
ệm là
i
và
i
−
.
V
ới sự xuất hiện của số
i
, một trong những kí hiệu thông dụng nhất trong toán học, ñã dẫn
ñến việc ñịnh nghĩa số phức dạng
z a bi
= +
, trong ñó
,
a b
là các số thực.
Số phức có rất nhiều ứng dụng trong toán học, gần như trong tất cả các lĩnh vực: ðại Số,
S
ố Học, Giải Tích, Hình Học… Bắt ñầu từ năm học 2008 – 2009, số phức ñược ñưa vào dạy

chính th
ức ở các lớp 12 phổ thông trung học.
Chúng tôi quyết ñịnh chọn ñề tài: “Số phức và Ứng dụng” cho hoạt ñộng nghiên cứu của
cá nhân trong n
ăm học 2008 – 2009. ðề tài gồm ba chương. Chương 1 là phần giới thiệu tổng
quan v
ề số phức: cách xây dựng số phức, các phép toán, dạng ñại số, dạng lượng giác và dạng lũy
th
ừa của số phức một cách chi tiết, kèm theo ñó là các bài toán ví dụ ñiển hình. Chương 2 và
ch
ương 3 nêu lên mối quan hệ giữa số phức và hình học, cuối mỗi chương là các bài toán hình
h
ọc ñược giải bằng công cụ số phức, ñó là những bài toán hình học hay và khó từ các ñề thi học
sinh gi
ỏi quốc gia và quốc tế trong thời gian gần ñây.
M
ục tiêu chính của ñề tài này là cung cấp cho quý thầy cô giáo và các em học sinh, ñặc
bi
ệt học sinh chuyên toán, có một tài liệu tham khảo tốt về số phức cũng như ứng dụng của số
ph
ức. Tuy nhiên, trong quá trình biên soạn, chắc hẳn tài liệu vẫn còn những thiếu sót cần ñược
ñiều chỉnh và bổ sung. Chúng tôi luôn mong nhận ñược những ý kiến ñóng góp quý báu và chân
tình c
ủa quý thầy cô giáo và các em học sinh.
M
ọi góp ý xin liên hệ tác giả theo ñịa chỉ e-mail:
Xin chân thành cám
ơn!

Vĩnh Long, Xuân 2009
Cao Minh Quang











4


Mục lục
*****

Trang

Lời nói ñầu 3
M
ục lục 4
Chương 1. ðịnh nghĩa và các phép toán 5
Chương 2. Số phức và hình học 17
Ch
ương 3. Tích thực và tích phức của các số phức 31
Tài liệu tham khảo 36

5


Chương 1. ðịnh Nghĩa Và Các Phép Toán

1.1 ðịnh nghĩa.
Xét tập hợp
(
)
{
}
2
, ,x y x y= × = ∈
ℝ ℝ ℝ ℝ
. Hai phần tử
(
)
(
)
1 1 2 2
, , ,
x y x y
thuộ
c
2
ℝ
b
ằ
ng nhau
khi và ch
ỉ
khi
1 2
x x
=

và
1 2
y y
=
. Các phép toán c
ộ
ng và nhân
ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ
a trên
2
ℝ
nh
ư
sau:
V
ớ
i m
ọ
i
(
)
(
)
2
1 1 1 2 2 2
, , ,z x y z x y

= = ∈
ℝ
, ta có
•
(
)
(
)
(
)
2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
, , ,z z x y x y x x y y
+ = + = + + ∈
ℝ

•
(
)
(
)
(
)
2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
, , ,z z x y x y x x y y x y x y
⋅ = ⋅ = − + ∈
ℝ

Ph

ầ
n t
ử

2
1 2
z z
+ ∈
ℝ

ñượ
c g
ọ
i là t
ổ
ng c
ủ
a
1 2
,
z z
, ph
ầ
n t
ử

2
1 2
z z
∈

ℝ

ñượ
c g
ọ
i là tích c
ủ
a
1 2
,
z z
.
Chú ý. N
ế
u
(
)
(
)
2 2
1 1 2 2
,0 , ,0
z x z x
= ∈ = ∈
ℝ ℝ
thì
(
)
1 2 1 2
,0

z z x x
=
.
N
ế
u
(
)
(
)
2 2
1 1 2 2
0, , 0,
z y z y
= ∈ = ∈
ℝ ℝ
thì
(
)
1 2 1 2
,0
z z y y
= −
.
Ví d
ụ
. N
ế
u
(

)
(
)
1 2
5,6 , 1, 2
z z
= − = −
thì
(
)
(
)
(
)
1 2
5,6 1, 2 4,4
z z
+ = − + − = −
và
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
5,6 1, 2 5 12,10 6 7,16
z z

= − − = − + + =
.
ðịnh nghĩa. Tập hợp
2
ℝ
với các phép toán cộng và nhân như trên ñược gọi là tập hợp các số
phức, ñược kí hiệu là
ℂ
. Bất kì một phần tử
(
)
,z x y
= ∈
ℂ
ñược xem là một số phức.
Ngoài ra, ta còn kí hiệu
(
)
{
}
*
\ 0,0
=
ℂ ℂ
.
1.2 Một số tính chất cơ bản
1.2.1. Tính chất ñối với phép toán cộng
(a) Tính giao hoán.
1 2 2 1
z z z z

+ = +
, với mọi
1 2
,z z
∈
ℂ
.
(b) Tính kết hợp.
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3
z z z z z z
+ + = + +
, với mọi
1 2 3
, ,z z z
∈
ℂ
.
(c) Phần tử ñơn vị. Tồn tại duy nhất số phức
(
)
0 0,0
=
sao cho
0 0
z z z
+ = + =

, v
ớ
i m
ọ
i
z
∈
ℂ
.
0
là phần tử ñơn vị ñối với phép cộng.
(d) Phần tử ñối. Với mọi
z
∈
ℂ
, tồn tại duy nhất
z
− ∈
ℂ
sao cho
(
)
(
)
0
z z z z
+ − = − + =
.
Khi
ñ

ó ta nói
z
−
là s
ố

ñố
i (ph
ầ
n t
ử

ñố
i) c
ủ
a
z
.
T
ừ

ñ
ây, ta có th
ể

ñị
nh ngh
ĩ
a phép tr
ừ

c
ủ
a hai s
ố
ph
ứ
c
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
, , ,
z x y z x y
= =
nh
ư
sau:
(
)
(
)
(
)
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
, , ,z z x y x y x x y y
− = − = − − ∈
ℂ

1.2.2. Tính chất ñối với phép toán nhân

(a) Tính giao hoán.
1 2 2 1
z z z z
=
, với mọi
1 2
,z z
∈
ℂ

(b) Tính kết hợp.
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3
z z z z z z
=
, với mọi
1 2 3
, ,z z z
∈
ℂ
.
(c) Phần tử ñơn vị. Tồn tại duy nhất số phức
(
)
1 1,0
=
sao cho

.1 1.
z z z
= =
, v
ớ
i m
ọ
i
z
∈
ℂ
.
1 là phần tử ñơn vị ñối với phép nhân.
(d) Phần tử ñối. Với mọi
(
)
*
,z x y
= ∈
ℂ
, tồn tại duy nhất
(
)
1 *
', '
z x y
−
= ∈
ℂ
sao cho

1 1
. 1
z z z z
− −
= =
. Khi ñó ta nói
1
z
−
là số ñối (phần tử ñối) của
z
.
Dựa vào mối quan hệ của
1
,
z z
−
như trên, ta có thể xác ñịnh ñược

6

1 *
2 2 2 2
1
,
x y
z
z x y x y
−
 



= = ∈





+ +
 
ℂ
.
T
ừ ñây, ta có thể ñịnh nghĩa phép chia của hai số phức. Xét hai số phức
(
)
(
)
*
1 1 1
, , ,z x y z x y
= ∈ = ∈
ℂ ℂ
.
Khi
ñó
( )
1
1 1 1 1 1
1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2
. , , ,
z x y x x y y x y y x
z z x y
z x y x y x y x y
−
   
+ − +
 
 
= = = ∈
 
 
 
 
 
+ + + +
   
ℂ
.
Ví dụ. Nếu
(
)
1, 2
z
=
thì
1
2 2 2 2
1 2 1 2

, ,
1 2 1 2 5 5
z
−
   
− −
 
 
= =
 
 
 
 
   
+ +
.
N
ế
u
(
)
(
)
1 2
1,2 , 3,4
z z
= =
thì
1
2

3 8 4 6 11 2
, ,
9 16 9 16 25 25
z
z
   
+ − +
 
 
= =
 
 
 
 
   
+ +
.
* Lũy thừa nguyên của số phức.
L
ũ
y th
ừ
a nguyên c
ủ
a m
ộ
t s
ố
ph
ứ

c
*
z
∈
ℂ
ñược ñịnh nghĩa
như sau:

(
)
(
)
(
)
0 1 2 1
1, , . , . ,
n
n n
n
z z z z z z z z z z n z z n
−
+ − −
= = = = ∈ = ∈
ℤ ℤ
.
Tr
ườ
ng h
ợ
p

0
z
=
, ta
ñị
nh ngh
ĩ
a
0 0,
n
n
+
= ∈
ℤ
.
Các tính ch
ấ
t c
ủ
a l
ũ
y th
ừ
a nguyên c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c c

ũ
ng t
ươ
ng t
ự
nh
ư
s
ố
th
ự
c.
(e)
Tính phân phối của phép nhân ñối với phép cộng.
(
)
1 2 3 1 2 1 3
z z z z z z z
+ = +
, với mọi
1 2 3
, ,z z z
∈
ℂ
.
1.3 Biểu diễn số phức dưới dạng ñại số
Theo ñịnh nghĩa trên, mỗi số phức tương ứng với một cặp số
(
)
2

,x y
∈
ℝ
, ñiều này sẽ gây ít
nhiều khó khăn cho việc trình bày các kiến thức về số phức. Vì lẽ ñó, ta sẽ biểu diễn các số phức
dưới dạng ñại số.
Xét tập hợp
{
}
0
×
ℝ
, cùng với phép toán cộng và nhân trên
2
ℝ
như trên. Khi ñó hàm số
{
}
(
)
(
)
: 0 , ,0
f f x x
→ × =
ℝ ℝ

là song ánh. Hơn nữa,
(
)

(
)
(
)
,0 ,0 ,0
x y x y
+ = +
và
(
)
(
)
(
)
,0 ,0 ,0
x y xy
⋅ =
.
Ta nhậ
n th
ấ
y r
ằ
ng các phép toán trên
{
}
0
×
ℝ
c

ũ
ng t
ươ
ng t
ự
nh
ư
trên
ℝ
. T
ừ

ñ
ây, ta s
ẽ

ñồ
ng
nh
ấ
t c
ặ
p s
ố

(
)
,0
x
v

ớ
i s
ố

x
, ta vi
ế
t
(
)
,0
x x
=
.
Bây gi
ờ
ta
ñặ
t
(
)
0,1
i
=
. Khi
ñ
ó ta có
2
1
i

= −
. Thật vậy,
(
)
(
)
(
)
2
0,1 0,1 1,0 1
i
= ⋅ = − = −
.
Ta có mệnh ñề sau.
Mệnh ñề. Mọi số phức
(
)
,
z x y
=
ñề
u
ñượ
c bi
ể
u di
ễ
n duy nh
ấ
t d

ướ
i d
ạ
ng
z x iy
= +
.
Chứng minh.
Th
ậ
t v
ậ
y,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, ,0 0, ,0 0,1 ,0
z x y x y x y x iy
= = + = + ⋅ = +
.
Khi s

ố
ph
ứ
c
z

ñượ
c bi
ể
u di
ễ
n d
ướ
i d
ạ
ng
z x iy
= +
, ta g
ọ
i
x
là ph
ầ
n th
ự
c c
ủ
a
z

và kí hi
ệ
u là
(
)
Re
x z
=
, còn
y
là ph
ầ
n
ả
o và
ñượ
c kí hi
ệ
u là
(
)
Im
y z
=
;
i

ñượ
c g
ọ

i là
ñơ
n v
ị

ả
o.
T
ừ
cách bi
ể
n di
ễ
n trên, ta c
ũ
ng có m
ộ
t s
ố
nh
ậ
n xét
ñơ
n gi
ả
n sau:
a)

(
)

(
)
1 2 1 2
Re Re
z z z z
= ⇔ =
và
(
)
(
)
1 2
Im Im
z z
=
.
b)

(
)
(
)
Im 0, \ Im 0
z z z z
∈ ⇔ = ∈ ⇔ ≠
ℝ ℂ ℝ
.
Ngoài ra ta có một số tính chất về các phép toán các số phức ñược biểu diễn dưới dạng ñại số.
1. Phép cộng

7

(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
z z x iy x iy x x y y i
+ = + + + = + + +
.
Nhận xét.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2
Re Re Re ;Im Im Im
z z z z z z z z

+ = + + = +
.
2. Phép nhân
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
.
z z x iy x iy x x y y x y x y i
= + + = − + +
.
Nh
ậ
n xét.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
Re Re Re Im Im ;Im Re Im Re Im
z z z z z z z z z z z z
= − = +
.
Ngoài ra n
ế
u
λ
là m
ộ
t s
ố
th
ự
c và
z x yi
= +
thì ta có
(
)

z x yi x yi
λ λ λ λ
= + = +
.
3. Phép trừ
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
z z x iy x iy x x y y i
− = + − + = − + −
.
Nhận xét.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

1 2 1 2 1 2 1 2
Re Re Re ;Im Im Im
z z z z z z z z
− = − − = −
.
1.4 Lũy thừa của
i

T
ừ
tính ch
ấ
t
2
1
i
= −
, ta dễ dàng nhận thấy rằng
{
}
1, 1, ,
n
i i i
∈ − −
, trong
ñ
ó
n
là m
ộ

t s
ố
nguyên
d
ươ
ng; tr
ườ
ng h
ợ
p
n
là m
ộ
t s
ố
nguyên âm, ta vi
ế
t
(
)
( ) ( )
1
1
n
n n
n
i i i i
−
− −
−

= = = −
.
Ví dụ.
Tìm s
ố
ph
ứ
c
; ,z x yi x y
= + ∈
ℤ
thỏa mãn ñiều kiện
3
18 26
z i
= +
.
Lời giải. Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2
3 2 2

2
z x yi x yi x yi x y xyi x yi
= + = + + = − + + =


(
)
(
)
3 2 2 3
3 3
x xy x y y
= − + −
.
T
ừ ñiều kiện
3
18 26
z i
= +
, ta nhận ñược hệ phương trình
3 2
2 3
3 18
3 26
x xy
x y y


− =




− =


.
T
ừ phương trình ñầu của hệ, ta nhận thấy
0, 0
x y
≠ ≠
. Bằng cách ñặt
y tx
=
, từ phương trình
(
)
(
)
2 3 3 2
18 3 26 3
x y y x xy
− = −
, ta có
(
)
(
)
3 2

18 3 26 1 3
t t t
− = −
hay
(
)
(
)
2
3 1 3 12 13 0
t t t
− − − =
.
Ph
ương trình này có nghiệm hữu tỉ
1
3
t
=
. Th
ế
vào ph
ươ
ng trình
ñầ
u c
ủ
a h
ệ
, ta nh

ậ
n
ñượ
c
1
y
=
,
suy ra
3
x
=
. Do
ñ
ó
3
z i
= +
.
1.5 Số phức liên hợp
Cho s
ố
ph
ứ
c
z x yi
= +
, khi
ñ
ó s

ố
ph
ứ
c có d
ạ
ng
z x yi
= −

ñượ
c g
ọ
i là s
ố
ph
ứ
c liên h
ợ
p c
ủ
a
s
ố
ph
ứ
c
z
. Ta có m
ệ
nh

ñề
sau.
Mệnh ñề.
V
ớ
i m
ọ
i s
ố
ph
ứ
c
1 2
, ,
z z z
ta có các tính ch
ấ
t sau:
(1)
z z z
= ⇔ ∈
ℝ
.
(2)
z z
=
.
(3) .z z
∈
ℝ

.
(4)
1 2 1 2
z z z z
+ = +
.
(5)
1 2 1 2
. .
z z z z
=
.
(6)
(
)
1
1
z z
−
−
= .
(7)
1 1
2
2
2
, 0
z z
z
z

z
 



= ≠





 
.
(8)
( ) ( )
Re ,Im
2 2
z z z z
z z
i
+ −
= = .

8

Việc chứng minh các tính chất trên tương ñối dễ dàng, dựa trên cơ sở của ñịnh nghĩa.
Nhận xét. Với mọi số phức
*
z
∈

ℂ
, ta có
2 2 2 2 2 2
1
.
z x yi x y
i
z x y x y x y
z z
−
= = = −
+ + +
.
V
ớ
i m
ọ
i s
ố
ph
ứ
c
*
2
z
∈
ℂ
, ta có
(
)

(
)
1 1 2 2
1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
.
.
x y i x y i
z z z x x y y x y x y
i
z x y x y x y
z z
+ −
+ − +
= = = +
+ + +
.
1.6 ðộ lớn (modul) của số phức
Số
2 2
z x y
= +
là ñộ lớn (hay modul) của số phức
z x yi
= +
. Chẳng hạn, nếu cho các số
phức
1 2 3

4 3 , 3 , 2
z i z i z
= + = − =−
thì
1 3 3
5, 3, 2
z z z
= = =

M
ộ
t s
ố
tính ch
ấ
t v
ề
modul c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c s
ẽ

ñượ
c th
ể
hi

ệ
n
ở
m
ệ
nh
ñề
d
ướ
i
ñ
ây.
Mệnh ñề.
V
ớ
i m
ọ
i s
ố
ph
ứ
c
1 2
, ,
z z z
ta có các tính ch
ấ
t sau:
(1)
(

)
(
)
Re , Im
z z z z z z
− ≤ ≤ − ≤ ≤
.
(2)
0, 0 0
z z z
≥ = ⇔ =
.
(3)
z z z
= − =
.
(4)
2
.
z z z
= .
(5)
1 2 1 2
. .
z z z z
=
.
(6)
1 2 1 2 1 2
z z z z z z

− ≤ + ≤ +
.
(7)
1 1
, 0
z z z
− −
= ≠
.
(8)
1
1
2
2 2
, 0
z
z
z
z z
= ≠
.
1.7 Biểu diễn hình học của các phép toán ñại số
1.7.1 Biểu diễn hình học của số phức
Ta v
ừ
a
ñị
nh ngh
ĩ
a s

ố
ph
ứ
c
(
)
,
z x y x yi
= = +
t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i c
ặ
p s
ố
th
ự
c
(
)
,x y
∈ ×
ℝ ℝ
, vì
vậy, một cách tự nhiện, ta có thể ñặt số phức
z x yi

= +
ứng với một ñiểm
(
)
,
M x y
trong mặ
t
ph
ẳ
ng
×
ℝ ℝ
.
G
ọ
i
P
là t
ậ
p h
ợ
p t
ấ
t c
ả
các
ñ
i
ể

m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c t
ọ
a
ñộ

Oxy
. Khi
ñ
ó
ánh x
ạ

(
)
(
)

: , ,
P z M x y
ϕ ϕ
→ =
ℂ
là song ánh.
ðịnh nghĩa. ðiểm
(
)
,
M x y
ñượ
c g
ọ
i là
ả
nh hình h
ọ
c c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c
z x yi
= +
. Ng
ượ
c l

ạ
i, s
ố

ph
ứ
c
z x yi
= +

ñượ
c g
ọ
i là t
ọ
a
ñộ
ph
ứ
c c
ủ
a
ñ
i
ể
m
(
)
,
M x y

. H
ơ
n n
ữ
a, ta s
ẽ
dùng kí hi
ệ
u
(
)
M z

ñể
ch
ỉ
t
ọ
a
ñộ
ph
ứ
c c
ủ
a
M
là s
ố
ph
ứ

c
z
.


9

T
ừ

ñị
nh ngh
ĩ
a này, ta suy ra
ñ
i
ể
m
(
)
' ,
M x y
−
(
ñố
i x
ứ
ng v
ớ
i

(
)
,
M x y
qua tr
ụ
c Ox) là
ả
nh hình
h
ọ
c c
ủ
a
z x yi
= −
.
Ta bi
ế
t r
ằ
ng, t
ọ
a
ñộ
c
ủ
a
ñ
i

ể
m
(
)
,
M x y
c
ũ
ng là t
ọ
a
ñộ
c
ủ
a vector
v OM
=
 
, do ñó, ta cũng có
thể ñồng nhất số phức
z x yi
= +
với vector
v OM
=
 
.
Gọi
0
V

là tập hợp tất cả các vector có cùng ñiểm gốc
O
. Khi ñó, ta chứng minh ñược ánh xạ
(
)
0
' : , '
V z OM v xi y j
ϕ ϕ→ = = = +
   
ℂ ,
Là song ánh, trong
ñ
ó
,
i j
 
là các vector
ñơ
n v
ị
c
ủ
a tr
ụ
c hoành và tr
ụ
c tung.
1.7.2 Biểu diễn hình học của modul
Xét số phức

z x yi
= +
có tọa ñộ ảnh hình học
(
)
,
M x y
trong mặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c. Ta có
( ) ( )
2 2
M O M O
OM x x y y
= − + −
,
suy ra
2 2
OM x y z v
= + = =

. Nói cách khác, modul của số phức
z x yi
= +
là ñộ dài của
ñoạn thẳng
OM

hay ñộ dài của vetor
v

.
1.7.3 Biểu diễn hình học của các phép toán ñại số
a) Phép cộng và phép trừ. Xét các số phức
1 1 1
z x y i
= +
và
1 2 2
z x y i
= +
lần lượt tương ứng
với các vector
1 1 2 2
,
v x i y j v x i y j
= + = +
     
. Ta dễ dàng thấy rằng
1 2
z z
±
tương ứng với
1 2
v v
+
 
.

Ví dụ. Ta có
(
)
(
)
3 5 6 9 6
i i i
+ + + = +
, vì vậ
y
ả
nh hình h
ọ
c c
ủ
a t
ổ
ng này
ñượ
c th
ể
hi
ệ
n là

Ta có
(
)
(

)
3 2 3 5 2
i i i
− + − + =− −
, vì v
ậ
y
ả
nh hình h
ọ
c c
ủ
a hi
ệ
u này
ñượ
c th
ể
hi
ệ
n là

10



Chú ý.
Ta có
( ) ( )
2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
M M M M z z v v x x y y
= = − = − = − + −
 
.
b) Tích của một số thực và một số phức. Xét số phức
z x yi
= +
ứng với vector
v xi y j
= +
  
.
Nếu
λ
là một số thực thì
z x yi
λ λ λ
= +
ứng với vector
v xi y j
λ λ λ
= +
  
. Hơn nữa, nếu
0
λ
>
thì
các vector

,
v v
λ
 
cùng hướ
ng và
v v
λ λ
=
 
.

2. Số phức dưới dạng lượng giác
2.1 Tọa ñộ cực trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng tọa ñộ, ta xét ñiểm
(
)
,
M x y
không trùng gố
c t
ọ
a
ñộ
. S
ố
th
ự
c
2 2

r x y
= +

ñượ
c g
ọ
i là bán kính c
ự
c c
ủ
a
ñ
i
ể
m
M
. Góc
[
)
*
0,2
t
π
∈
hợp bởi vector
OM

với trục
Ox
(theo

chiều dương) ñược gọi là argument cực của ñiểm
M
. Cặp
(
)
*
,
r t
ñược gọi là tọa ñộ cực của ñiểm
M
. Khi ñó ta viết
(
)
*
,
M r t
. Ta chú ý rằ
ng hàm s
ố

{
}
(
)
[
)
: \ 0,0 0, 0,2
h
π
× → +∞ ×

ℝ ℝ
, trong
ñ
ó
(
)
(
)
(
)
*
, ,
h x y r t
=
là m
ộ
t song ánh.
G
ố
c t
ọ
a
ñộ

O
là
ñ
i
ể
m duy nh

ấ
t mà
0
r
=
, nh
ư
ng argument
*
t
không xác
ñị
nh.
V
ớ
i b
ấ
t k
ỳ

ñ
i
ể
m
(
)
,
M x y
trong m
ặ

t ph
ẳ
ng, t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ
t
ñ
i
ể
m
P
là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a tia
OM
v
ớ
i
ñườ
ng tròn
ñơ

n v
ị
tâm
O
. Khi
ñ
ó
ñ
i
ể
m
P
có cùng argument c
ự
c v
ớ
i
M
là
*
t
. Ta d
ễ

dàng tìm
ñượ
c t
ọ
a
ñộ

c
ủ
a
(
)
* *
cos ,sin
P t t
và
(
)
* *
cos , sin
M r t r t
, trong
ñ
ó
2 2
r x y
= +
.

11


V
ấ
n
ñề

ñặ
t ra là v
ớ
i b
ấ
t k
ỳ

ñ
i
ể
m
(
)
,
M x y
trong m
ặ
t ph
ẳ
ng, ta s
ẽ
tìm argument c
ự
c c
ủ
a
ñ
i
ể

m
M
là
*
t
nh
ư
th
ế
nào? Ta xét hai tr
ườ
ng h
ợ
p sau:
(a) N
ế
u
0
x
≠
, t
ừ
k
ế
t qu
ả

*
tan
y

t
x
=
, ta có
ñượ
c
*
arctan
y
t kx
x
= +
, v
ớ
i
(
)
( )
( )
0 0, 0
1 0,
2 0, 0
x y
k x y
x y


> ≥




= < ∈



> <



ℝ
.
(b) N
ếu
0, 0
x y
= ≠
, thì
( )
( )
*
0
2
3
0
2
y
t
y
π
π




>



=



<





Ví dụ. 1. Tìm tọa ñộ cực của các ñiểm sau:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

1 2 3 4 5 6
2, 2 , 1,0 , 2 3, 2 , 3,1 , 3,0 , 2,2
M M M M M M− − − − − .
Lời giải. Ta kí hiệu tọa ñộ cực của ñiểm
i
M
là
(
)
*
, , 1, 2, ,6
i i
r t i
=
. Ta có
•
( ) ( )
2
2 *
1 1
7
2 2 2 2, arctan 1 2 2
4 4
r t
π π
π π= + − = = − + = − + =
, do ñó
1
7
2 2,

4
M
π
 






 
.
•
*
1 2
1, arctan 0r t
π π
= = + =
, do
ñ
ó
(
)
2
1,
M
π
.
•
*

3 3
3 7
4, arctan
3 6 6
r t
π π
π π= = + = + = , do
ñ
ó
3
7
4,
6
M
π
 






 
.
•
*
4 4
3
2, arctan
3 6

r t
π
= = =
, do
ñ
ó
4
2,
6
M
π
 






 
.
•
*
5 5
3, arctan 0 0 0
r t
= = + =
, do
ñ
ó
(

)
5
3,0
M .
•
( )
*
6 6
3
2 2, arctan 1
4 4
r t
π π
π π= = − + = − + =
, do
ñ
ó
6
3
2 2,
4
M
π
 







 
.
2
. Tìm t
ọ
a
ñộ
(Descartes) c
ủ
a các
ñ
i
ể
m
( )
1 2 3
2 7
2, , 3, , 1,1
3 4
M M M
π π
   
 
 
 
 
 
 
   
.

Lời giải. Ta kí hiệu tọa ñộ (Descartes) của ñiểm
i
M
là
(
)
, , 1,2,3
i i
x y i
=
. Ta có
•
1 1
2 2
2cos 1, 2sin 3
3 3
x y
π π
= =− = =
, do ñó
(
)
1
1, 3
M −
.

12

•

2 2
7 3 2 7 3 2
3cos , 3sin
4 2 4 2
x y
π π
= = = = −
, do ñó
2
3 3 3 3
,
2 2
M
 



−





 
.
•
3 3
cos1, sin1
x y
= =

, do ñó
(
)
3
cos1,sin1
M .
2.2 Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác
Từ sự tương ứng giữa tọa ñộ Descartes và tọa ñộ cực của ñiểm
M
, cho phép ta biểu diễn bất
kỳ số phức
z x yi
= +
dưới dạng lượng giác là
(
)
* *
cos sin
z r t i t
= +
, trong ñó
[
)
0,r
∈ +∞
và
[
)
*
0, 2

t
π
∈
. Khi ñó, ta gọi
*
t
là argument (chính) của
z
, ký hiệu là
arg
z
và
r
là modul của
z
.
Với mọi
0
z
≠
, modul và argument c
ủ
a
z

ñượ
c xác
ñị
nh duy nh
ấ

t.
Nhận xét. Cho
(
)
* *
cos sin
z r t i t
= +
và
*
2 ,t t k k
π
= + ∈
ℤ
thì
(
)
(
)
(
)
cos 2 sin 2 cos sin
z r t k i t k r t i t
π π
 
= − + − = +
 
,
tức là, bất kỳ số phức
z

nào cũng có thể ñược viết dưới dạng
(
)
cos sin
z r t i t
= +
,
0,r t
≥ ∈
ℝ
.
T
ậ
p h
ợ
p
{
}
*
: 2 ,Argz t t k k
π
= + ∈
ℤ

ñượ
c g
ọ
i là argument m
ở
r

ộ
ng c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c
z
.
Do
ñ
ó, hai s
ố
ph
ứ
c
1 2
, 0
z z
≠
, có dạng
(
)
(
)
1 1 1 1 2 2 2 2
cos sin , cos sin
z r t i t z r t i t
= + = +

bằ
ng
nhau khi và ch
ỉ
khi
1 2
r r
=
và
1 2
2 ,t t k k
π
= + ∈
ℤ
.
Ví dụ. 1. Hãy biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác và xác ñịnh argument mở rộng
của chúng:
1 2 3
1 , 2 2 , 1 3
z i z i z i
= − − = + = − +
.
Lời giải.
Ta kí hi
ệ
u
*
, ,
i i i
r t P

là modul, argument chính và
ả
nh c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c
, 1, 2,3
i
z i
=
. Ta có
•
( ) ( )
2 2
*
1 1
5
1 1 2, arctan arctan1
4 4
y
r t
x
π π
π π π= − + − = = + = + = + =
. Do ñó
1
5 5

2 cos sin
4 4
z i
π π
 


= +




 
và
1
5
2 ,
4
Argz k k
π
π
 
 
 
= + ∈
 
 
 
 
ℤ

.


•
2 2 *
2 2
2 2 2 2, arctan1
4
r t
π
= + = = =
. Do
ñ
ó
2
2 2 cos sin
4 4
z i
π π
 


= +




 
và
2

2 ,
4
Argz k k
π
π
 
 
 
= + ∈
 
 
 
 
ℤ

•
( )
(
)
(
)
2
2
*
3 3
2
1 3 2, arctan 3
3 3
r t
π π

π π= − + = = − + = − + =
. Do
ñ
ó
3
2 2
2 cos sin
3 3
z i
π π
 


= +




 
và
3
2
2 ,
3
Argz k k
π
π
 
 
 

= + ∈
 
 
 
 
ℤ


13

2.3 Các phép toán của số phức biểu diễn dưới dạng lượng giác
1. Phép nhân
Mệnh ñề. Giả sử rằng
(
)
(
)
1 1 1 1 2 2 2 2
cos sin , cos sin
z r t i t z r t i t
= + = +
. Khi ñ
ó
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2
cos sin
z z r r t t i t t

 
= + + +
 

Chứng minh.
Ta có
(
)
(
)
1 2 1 2 1 1 2 2
cos sin cos sin
z z r r t i t t i t
= + +

(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
cos cos sin sin sin cos sin cos cos sin
r r t t t t i t t t t rr t t t t
   
= − + + = + + +
   
.

Chú ý.
a) T
ừ
h
ệ
th
ứ
c trên, ta th
ấ
y
ñượ
c
1 2 1 2
.
z z z z
=
.
b) Ta có
(
)
1 2 1 2
arg arg arg 2
z z z z k
π
= + −
, trong ñó
1 2
1 2
0, khi arg arg 2
1, khi arg arg 2

z z
k
z z
π
π

+ <


=


+ ≥


.
c) Ta có th
ể
vi
ế
t
(
)
{
}
1 2 1 2
rg arg arg 2 ,A z z z z k k
π
= + + ∈
ℤ

.
d) N
ế
u
(
)
cos sin , 1,2, ,
k k k k
z r t i t k n
= + =
thì
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2
cos sin
n n n n
z z z r r r t t t i t t t
 
= + + + + + + +
 

2. Lũy thừa của số phức
ðịnh lý. (Công thức De Moivre)
1
, (Nhà toán học Pháp (1667 – 1754)).
Cho
(
)

cos sin ,z r t i t n
= + ∈
ℕ
. Ta có
(
)
cos sin
n n
z r nt i nt
= +

ðịnh lý ñược suy ra trực tiếp từ nhận xét d) khi cho
1 2

n
z z z z
= = = =
.
Chú ý. a)
n
n
z z
=
.
b) Nếu
1
r
=
thì
(

)
cos sin cos sin
n
t i t nt i nt
+ = +
.
c) Ta có thể viết
{
}
rg arg 2 ,
n
A z n z k k
π
= + ∈
ℤ
.
3. Phép chia
Mệnh ñề. Giả sử rằng
(
)
(
)
1 1 1 1 2 2 2 2
cos sin , cos sin 0
z r t i t z r t i t
= + = + ≠
. Khi
ñ
ó
( ) ( )

1 1
1 2 1 2
2 2
cos sin
z r
t t i t t
z r
 
= − + −
 

Chứng minh.
Ta có
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
1 1 1 1 1 1 2 2
1 1
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
cos sin cos sin cos sin
cos sin
cos sin

r t i t r t i t t i t
z r
z r r t i t
r t i t
+ + −
= = =
+
+


(
)
(
)
(
)
( ) ( )
1 1 2 1 2 1 2 2 1
1
1 2 1 2
2 2
2
2 2 2
cos cos sin sin sin cos sin cos
cos sin
cos sin
r t t t t i t t t t
r
t t i t t
r

r t i t
 
+ + −
 
 
= = − + −
 
+
.
Chú ý.
a) T
ừ
h
ệ
th
ứ
c trên, ta th
ấ
y
ñượ
c
1
1 1
2 2 2
z
z r
z r z
= = .
b) Cho
1

1
z
=
,
2
z z
=
, ta nh
ậ
n
ñượ
c
( ) ( )
1
1 1
cos sin
z t i t
z r
−
 
= = − + −
 
.
c) V
ớ
i m
ọ
i n
∈
ℤ

, ta có
(
)
cos sin
n n
z r nt i nt
= +
.


1
De Moivre, Nhà toán học Pháp (1667 – 1754)

14

Một Số Bài Toán Áp Dụng
Bài toán 1. Chứng minh rằng
1 5
cos
5 4
π +
=
.
Lời giải. ðặt
cos , sin
5 5
x y
π π
= =
và

cos sin
5 5
z x iy i
π π
= + = +
. Ta có
5
1
z
= −
hay
(
)
(
)
4 3 2
1 1 0
z z z z z
+ − + − + =
.
Vì
1
z
≠ −
nên
4 3 2
1 0
z z z z
− + − + =
. D

ễ
th
ấ
y r
ằ
ng
0
z
≠
, chia hai v
ế
cho
2
z
, ta nh
ậ
n
ñượ
c
2
2
2
1 1 1 1
1 0 1 0
z z z z
z z z z
       
   
   
+ − + + = ⇔ + − + − =

   
   
   
   
       
.
Ta
ñể
ý r
ằ
ng
1 1
2
x z
z
 


= +




 
, t
ừ

ñẳ
ng th
ứ

c trên, ta có
2
1 5
4 2 1 0
4
x x x
±
− − = ⇔ =
.
Vì
0
x
>
nên
1 5
cos
5 4
x
π +
= =
.
Bài toán 2.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
3 5 1
cos cos cos
7 7 7 2

π π π
+ + =
.
Lời giải. ðặt
cos sin
7 7
z i
π π
= +
. Khi ñó,
7
cos sin 1
z i
π π
= + = −
hay
7
1 0
z
+ =
.
M
ặt khác, ta có
3 5
3 5
3 5 1 1 1 1 1 1
cos cos cos
7 7 7 2 2 2
z z z
z z z

π π π
     
  
  
+ + = + + + + +
  
  
  
  
     
.

10 8 6 4 2
5
1
2
z z z z z
z
+ + + + +
=
.
Vì
7
1 0
z
+ =
nên
10 3
z z
= −

và
8
z z
= −
. Suy ra
10 8 6 4 2 6 4 3 2
1 1
z z z z z z z z z z
+ + + + + = + − + − + =

7
6 5 4 3 2 5 5 5
1
1
1
z
z z z z z z z z z
z
+
= − + − + − + + = + =
+
.
Do
ñó
5
5
3 5 1
cos cos cos
7 7 7 2 2
z

z
π π π
+ + = =
.
Bài toán 3. (Vietnam 1996) Giải hệ phương trình
1
3 1 2
1
7 1 4 2
x
x y
y
x y

 




+ =





+
 





 




− =





+

 


.
Lời giải. Trước hết, ta nhận thấy
, 0
x y
>
. ðặt
,
u x v y
= =
. H
ệ
ph
ươ

ng trình tr
ở
thành
2 2
2 2
1 2
1
3
1 4 2
1
7
u
u v
v
u v

 




+ =

 



 
+





 




− =





 
+



.
Vì
2 2
u v
+
là bình phương của modul số phức
z u iv
= +
, bằng cách cộng phương trình thứ
nh
ất với phương trình thứ hai (sau khi nhân hai vế với

i
), ta ñược

15

2 2
2 4 2
3 7
u iv
u iv i
u v
 
−



+ + = +





+
 
.
Vì
2
2 2
1
u iv z z

u v z
zz
z
−
= = =
+
nên ph
ươ
ng trình trên
ñượ
c vi
ế
t l
ạ
i d
ướ
i d
ạ
ng
2
1 2 4 2 2 4 2 1 2 2 2
1 0 2
3 7 3 7 3 21 7
z i z i z z i
z
     
 
  
  



  
+ = + ⇔ − + + = ⇔ = ± + ±
  


  

  


  
  
 
     
.
T
ừ

ñ
ó suy ra
( )
1 2 2 2
, , 2
3 21 7
u v
 
 
 










= ± ±






 






 

 
 
. Do
ñ
ó h
ệ

ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
( )
2
2
1 2 2 2
, , 2
3 21 7
x y
 
 
 










= ± ±







 






 
 


 
.
Bài toán 4. Cho
, ,
a b c
là các số thực sao cho
cos cos cos sin sin sin 0
a b c a b c
+ + = + + =
.
Ch
ứng minh rằng
cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 0
a b c a b c
+ + = + + =
.
Lời giải. ðặt

cos sin , cos sin , cos sin
x a i a y b i b z c i c
= + = + = +
. Ta có
0
x y z
+ + =
và
( ) ( ) ( )
1 1 1
cos sin cos sin cos sin 0
a i a b i b c i c
x y z
+ + = − + − + − =
.
Do ñó
0
xy yz zx
+ + =
. Suy ra
(
)
(
)
2
2 2 2
2 0
x y z x y z xy yz zx
+ + = + + − + + =
hay

(
)
(
)
(
)
cos 2 sin 2 cos2 sin 2 cos 2 sin 2 0
a i a b i b c i c
+ + + + + =
.
T
ừ ñó ta có ñược
cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 0
a b c a b c
+ + = + + =
.
Bài toán 5. Tính
sin sin 2 sin
n
S a a na
= + + +
và
cos cos 2 cos
n
C a a na
= + + +
.
Lời giải. ðặt
cos sin

z a i a
= +
. Ta có
2
1

1
n
n
n n
z
C iS z z z z
z
−
+ = + + + =
−
.
Vì
2
cos 1 2sin
2
x
x − = −
và
sin 2sin cos
2 2
x x
x =
nên
2

2
2sin 2 sin cos
1 cos sin 1
2 2 2
1 cos sin 1
2sin 2 sin cos
2 2 2
n
na na na
i
z na i na
a a a
z a i a
i
− +
− + −
= =
− + −
− +


( ) ( )
sin cos sin
sin
1 1
2 2 2
2
cos sin
2 2
sin

sin cos sin
2
2 2 2
na na na
na
i
n a n a
i
a
a a a
i
 


+


 


− −
 
 
= = +
 
 

 

+





 
.
Do
ñ
ó
( )
( ) ( )
sin
1 1
1
2
cos sin cos sin
1 2 2
sin
2
n
n n
na
n a n a
z
C iS z a i a i
a
z
 
− −
−

 
+ = = + +
 
−
 


( ) ( )
sin
1 1
2
cos sin
2 2
sin
2
na
n a n a
i
a
 
+ +
 
= +
 
 
.

16

ðồ

ng nh
ấ
t ph
ầ
n th
ự
c và ph
ầ
n th
ự
c, ph
ầ
n
ả
o và ph
ầ
n
ả
o, ta nh
ậ
n
ñượ
c
(
)
1
sin sin
2 2
sin sin 2 sin
sin

2
n
n a
na
S a a na
a
−
= + + + = và
(
)
1
sin cos
2 2
cos cos2 cos
sin
2
n
n a
na
C a a na
a
−
= + + + = .
Bài Tập
1. Cho các s
ố
ph
ứ
c
(

)
(
)
(
)
1 2 3
1, 2 , 2,3 , 1, 1
z z z
= = − = −
. Hãy tính
a)
1 2 3
z z z
+ +
; b)
1 2 2 3 3 1
z z z z z z
+ +
; c)
1 2 3
z z z
;
d)
2 2 2
1 2 3
z z z
+ +
; e)
3
1 2

2 3 1
z
z z
z z z
+ +
; f)
2 2
1 2
2 2
2 3
z z
z z
+
+
.
2. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a)
(
)
(
)
7 7
1
2 5 2 5E i i
= + + − ∈
ℝ

; b)
2
19 7 20 5
9 7 6
n n
i i
E
i i
   
+ +
 
 
= + ∈
 
 
 
 
   
− +
ℝ
.
3. Tìm t
ấ
t c
ả
các s
ố
ph
ứ
c

0
z
≠
sao cho
1
z
z
+ ∈
ℝ
.
4. Tìm t
ấ
t c
ả
các s
ố
ph
ứ
c
z
sao cho
1
z
=
và
2
2
1
z z
+ =

.
5. Tìm t
ấ
t c
ả
các s
ố
ph
ứ
c
z
sao cho
2
2
4 8 8
z z
+ =
.
6. Cho
*
z
∈
ℂ
th
ỏ
a
ñ
i
ề
u ki

ệ
n
3
3
1
2
z
z
+ ≤
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1
2
z
z
+ ≤
.
7. Cho các s
ố
ph
ứ
c
1 2 3
, ,
z z z
th
ỏ

a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
1 2 1 2
3, 1
z z z z
+ = = =
. Tính
1 2
z z
−
.
8. Tìm t
ấ
t c
ả
các s
ố
nguyên d
ươ
ng
n
sao cho
1 3 1 3
2
2 2

n n
i i
   
− + − −
 
 
 
+ =
 
 
 
 
 
 
   
.
9. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
3 5 7 9 1
cos cos cos cos cos
11 11 11 11 11 2
π π π π π
+ + + + =
.
10. Ch
ứ
ng minh r

ằ
ng
0 0 0
1
cos20 .cos40 .cos80
8
=
.
11. Cho
, ,
x y z
∈
ℝ
sao cho
sin sin sin cos cos cos 0
x y z x y z
+ + = + + =
. Chứng minh rằng
sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 0
x y z x y z
+ + = + + =
.
12. Cho
(
)
4 3 2
f x x ax bx cx d
= + + + +
là ña thức với hệ số thực. Giả sử
(

)
1
f i
=
. Chứng
minh rằng
0
a b c d
= = = =
.
13. Cho
,
x y
là hai số
ph
ứ
c phân bi
ệ
t sao cho
x y
=
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1
2
x y x
+ <

.
14. Cho s
ố
ph
ứ
c
z
th
ỏ
a
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
1
z
=
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2
2 1 1 4
z z
≤ − + + ≤
.
15. Cho

z
là m
ộ
t s
ố
ph
ứ
c th
ậ
t s
ự
và
2
2
1
1
z z
z z
+ +
∈
− +
ℝ
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1
z
=

.

17


Chương 2. Số Phức Và Hình Học

2.1 Căn bậc
n
của 1
2.1.1 Căn bậc
n
của một số phức
Cho
2
n
>
là một số nguyên và số phức
0
0
z
≠
. Như trong trường các số thực, phương trình
0
0
n
Z z
− =

ñược dùng ñể ñịnh nghĩa căn bậc

n
của
0
z
. Vì thế, bất kỳ nghiệm
Z
nào của phương trình trên
cũng ñược xem là một căn bậc
n
của
0
z
.
ðịnh lý. Cho
(
)
* *
0
cos sin
z r t i t
= +
là một số phức với
[
)
*
0, 0,2
r t
π
> ∈
. Khi ñó

0
z
có
n
căn
bậc
n
khác nhau và ñược cho bởi công thức
* *
2 2
cos sin , 0,1, , 1
n
k
t k t k
Z r i k n
n n
π π
 
+ +



= + = −





 
.

Chứng minh. Giả sử
(
)
cos sin
Z i
ρ ϕ ϕ
= +
là một căn bậc
n
của
0
z
, tức là
0
n
Z z
=
, hay
(
)
(
)
* *
cos sin cos sin
n
n i n r t i t
ρ ϕ ϕ
+ = +
.
Do

ñ
ó
n
r
ρ
=
và
*
2 ,n t k k
ϕ π
= + ∈
ℤ
. Suy ra
n
r
ρ
=
và
*
2
.
k
t
k
n n
π
ϕ = +
. Do
ñó
(

)
cos sin ,
n
k k k
Z r i k
ϕ ϕ
= + ∈
ℤ
.
Ta nh
ận thấy rằng
0 1 1
0 2
n
ϕ ϕ ϕ π
−
≤ < < < <
, vì thế các số
{
}
, 0,1, , 1
k
k n
ϕ
∈ −
là các
argument thu g
ọ
n, t
ứ

c là
*
k k
ϕ ϕ
=
. Ta có
ñượ
c
n
c
ă
n phân bi
ệ
t c
ủ
a
0
z
là
0 1 1
, , ,
n
Z Z Z
−
.
V
ới
k
nguyên dương và
{

}
0,1, , 1
r n
∈ −
, ta có
,k nq r q
= + ∈
ℤ
và
( )
* *
2 2
2 2
k r
t t
nq r r q q
n n n n
π π
ϕ π ϕ π
= + + = + + = +
.
Vì thế
k r
Z Z
=
. Do ñó
{
}
{
}

0 1 1
: , , ,
k n
Z k Z Z Z
−
∈ =
ℤ
, hay chỉ có ñúng
n
căn bậc
n
khác nhau.
Lưu ý. Ta dễ dàng chứng minh ñược rằng ảnh hình học của các căn bậc
n
của
0
0
z
≠
là các
ñỉnh của một
n
−
giác ñều nội tiếp trong ñường tròn tâm
O
là gốc tọa ñộ, bán kính bằng
n
r
.
Ví dụ. Căn bậc 3 của số phức

1 2 cos sin
4 4
z i i
π π
 


= + = +




 
là
6
2 2
2 cos sin , 0,1,2
12 3 12 3
k
Z k i k k
π π π π
 
   
 
 
 
= + + + =
 
 
 

 
 
   
 
hay
6 6 6
0 1 2
3 3 17 17
2 cos sin , 2 cos sin , 2 cos sin ,
12 12 4 4 12 12
Z i Z i Z i
π π π π π π
     
  
  
= + = + = +
  
  
  
  
     

Các c
ă
n b
ậ
c 3 này có các
ả
nh hình h
ọ

c t
ươ
ng
ứ
ng là
6 6 6
0 1 2
3 17
2, , 2, , 2,
12 4 12
M M M
π π π
     
  
  
  
  
  
  
     
.
Các
ñ
i
ể
m này là ba
ñỉ
nh c
ủ
a m

ộ
t tam giác
ñề
u n
ộ
i ti
ế
p trong
ñườ
ng tròn tâm
O
, bán kính
6
2
r
=
.

18



2.1.2 Căn bậc
n
của ñơn vị
Nghiệm của phương trình
1 0
n
Z
− =

ñược gọi là căn bậc
n
của ñơn vị. Vì
1 cos0 sin 0
i
= +

nên các căn bậc
n
của 1 là
{ }
2 2
cos sin , 0,1, 2, , 1
k
k k
i k n
n n
π π
ε
= + ∈ −
.
ðặt
{
}
2 1
1, , , ,
n
n
U
ε ε ε

−
=
. Phần tử
k n
U
ε
∈
ñược gọi là nguyên tố nếu
1
m
k
ε
≠
v
ớ
i m
ọ
i
m n
<
.
Mệnh ñề 1. (a) Nếu
n q
thì bất kỳ nghiệm nào của
1 0
n
Z
− =
cũng là nghiệm của
1 0

q
Z
− =
.
(b) Nghiệm chung của
1 0
m
Z
− =
và
1 0
n
Z
− =
là nghiệm của
1 0
d
Z
− =
, với
(
)
gcd ,
d m n
=
.
Chứng minh. (a) Nếu
q pn
=
thì

(
)
(
)
( )
(
)
1
1 1 1 1
p
p n
p n n n
Z Z Z Z Z
−
− = − = − + + +
. Từ ñó
ta có
ñiều phải chứng minh.
(b) Xét
2 2
cos sin
p
p p
i
m m
π π
ε = +
là một nghiệm của
1 0
m

Z
− =
và
2 2
' cos sin
p
q q
i
n n
π π
ε = +

là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a
1 0
n
Z
− =
. Vì
' 1
p q
ε ε
= =
nên
p q

ε ε
=
khi và ch
ỉ
khi
arg arg '
p q
ε ε
=
, t
ứ
c là
2 2
2 ,
p q
r r
m m
π π
π
= + ∈
ℤ
hay
pn qm rmn
− =
.
M
ặ
t khác, ta có
' , '
m m d n n d

= =
, v
ới
(
)
gcd ', ' 1
m n
=
. T
ừ

pn qm rmn
− =
, ta có
ñượ
c
' ' ' '
n p m q rm n d
− =
. Suy ra
' '
m n p
, hay
'
m p
. T
ứ
c là
' '
p p m

=
,
'
p
là m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng, và
2 2 ' ' 2 '
arg
'
p
p p m p
m m d d
π π π
ε
= = =
và
1
d
p
ε
=
.
Do
ñ
ó, t

ừ
tính ch
ấ
t (a), và
,
d m d n
, b
ấ
t k
ỳ
nghi
ệ
m nào c
ủ
a
1 0
d
Z
− =
c
ũ
ng
ñề
u là nghi
ệ
m c
ủ
a
1 0
m

Z
− =
và
1 0
n
Z
− =
.
Mệnh ñề 2. Nếu
n
U
ε
∈
là căn nguyên tố của 1, thì nghiệm của phương trình
1 0
n
Z
− =
có
d
ạng
1 1
, , ,
r r r n
ε ε ε
+ + −
, với
r
là một số nguyên dương bất kỳ.
Chứng minh. Gọi

r
là một số nguyên dương nào ñó. Xét
{
}
0,1, , 1
h n
∈ −
. Ta có
(
)
(
)
1
n r h
r h n
ε ε
+
+
= =
hay
r h
ε
+
là một nghiệm của
1 0
n
Z
− =
.
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh

1 1
, , ,
r r r n
ε ε ε
+ + −
là các số phân biệt. Giả sử ngược lại, tức là tồn
tại
1 2
r h r h
+ ≠ +
,
1 2
h h
>
sao cho
1 2
r h r h
ε ε
+ +
=
. Khi ñó,
(
)
2 1 2
1 0
r h h h
ε ε
+ −
− =
. Vì

2
0
r h
ε
+
≠
nên
ta phải có
1 2
1
h h
ε
−
=
. Nh
ư
ng
ñ
i
ề
u này không th
ể
x
ả
y ra vì
1 2
h h n
− <
và
ε

là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a
1 0
n
Z
− =
, mâu thu
ẫ
n này k
ế
t thúc vi
ệ
c ch
ứ
ng minh.
Mệnh ñề 3. Cho
0 1 1
, , ,
n
ε ε ε
−
là
n
căn bậc
n

của 1.Với bất kỳ số nguyên dương
k
, ta có
(
)
(
)
1
0

0 †
n
k
j
j
n n k
n k
ε
−
=




=






∑
.

19

Chứng minh. Xét
2 2
cos sini
n n
π π
ε = + , thì
n
U
ε
∈
là m
ột căn nguyên tố của 1, vì
1
m
ε
=
khi
và ch
ỉ
khi
n m
. Gi
ả
s
ử

n
không chia h
ế
t
k
, ta có
( ) ( )
(
)
(
)
1 1 1
0 0 0
1 1
0
1 1
n k
k n
n n n
k j
k j k
j
k k
j j j
ε ε
ε ε ε
ε ε
− − −
= = =

− −
= = = = =
− −
∑ ∑ ∑
.
N
ế
u
n k
, thì
k qn
=
,
q
là m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng, ta
ñượ
c
( )
1 1 1 1
0 0 0 0
1
n n n n
q
k qn n

j j j
j j j j
n
ε ε ε
− − − −
= = = =
== = = =
∑ ∑ ∑ ∑

Mệnh ñề 4. Cho
p
là một số nguyên tố và
2 2
cos sini
p p
π π
ε = +
. Nếu
0 1 1
, , ,
p
a a a
−
là các số
nguyên khác
0
, thì
1
0 1 1
0

p
p
a a a
ε ε
−
−
+ + + =
khi và ch
ỉ
khi
0 1 1

p
a a a
−
= = =
.
Chứng minh. Nếu
0 1 1

p
a a a
−
= = =
thì ta có ngay ñiều cần chứng minh. Ngược lại, ta ñịnh
nghĩa các ña thức
[
]
,
f g X

∈
ℤ
như sau:
(
)
1
1 1 1

p
p
f X a a X a X
−
−
= + + +
và
(
)
1
1
p
g X X X
−
= + + +
.
N
ế
u
,
f g
có nghi

ệ
m chung, thì
(
)
gcd ,
f g
chia h
ế
t
g
. T
ừ
tiêu chu
ẩ
n b
ấ
t kh
ả
quy c
ủ
a Eisenstein,
ta th
ấ
y r
ằ
ng
g
b
ấ
t kh

ả
quy trên
ℤ
. Do
ñ
ó,
(
)
gcd ,
f g g
=
, suy ra
g f
hay
g kf
=
, v
ớ
i
k
là m
ộ
t s
ố

nguyên khác 0, suy ra
0 1 1

p
a a a

−
= = =
.
2.2 Số phức và hình học
2.2.1 Một số kí hiệu hình học ñơn giản và các tính chất
2.2.1.1 Khoảng cách giữa hai ñiểm
Giả sử các số phức
1 2
,
z z
có các ảnh hình học
1 2
,
M M
. Khi ñó, khoảng cách giữa hai ñiểm này
ñược xác ñịnh bởi
1 2 1 2
M M z z
= −
.
2.2.1.2 ðoạn thẳng, tia, ñường thẳng
Cho hai ñiểm phân biệt
,
A B
với tọa ñộ phức lần lượt là
,
a b
. Ta nói rằng ñiểm
M
có tọa ñộ

phức
z
nằm giữa các ñiểm
,
A B
nếu
,
z a z b
≠ ≠
và
a z z b a b
− + − = −
. Kí hiệu là
A M B
− −
.
Tập hợp
(
)
{
}
AB M A M B
= − −
ñược gọi là ñoạn thẳng mở xác ñịnh bởi hai ñiểm
,
A B
.
Tập hợp
[
]

(
)
{
}
,
AB AB A B
=
∪
ñược gọi là ñoạn thẳng ñóng xác ñịnh bởi hai ñiểm
,
A B
.
Tập hợp
(
{
}
AB M A M B A B M
= − − ∨ − −
ñược gọi là tia mở với ñiểm ñầu
A
và chứa
B
.
Ta thừa nhận không chứng minh các ñịnh lý sau ñây.
ðịnh lý 1. Giả sử
(
)
(
)
,

A a B b
là hai
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t. Các phát bi
ể
u sau là t
ươ
ng
ñươ
ng:
(1)
(
)
M AB
∈
;
(2) T
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t s
ố
th
ự

c d
ươ
ng
k
sao cho
(
)
z a k b z
− = −
;
(3) T
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t s
ố
th
ự
c
(
)
0,1
t
∈
sao cho
(
)
1

z t a tb
= − +
, trong
ñ
ó
(
)
M z
.
ðịnh lý 2.
Gi
ả
s
ử

(
)
(
)
,
A a B b
là hai
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t. Các phát bi
ể
u sau là t

ươ
ng
ñươ
ng:
(1)
(
M AB
∈
;

20

(2) T
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t s
ố
th
ự
c
(
)
0,1
t
∈
sao cho
(

)
1
z t a tb
= − +
, trong
ñ
ó
(
)
M z
.
(3)
(
)
(
)
arg arg
z a b a
− = −
;
(4)
z a
b a
+
−
∈
−
ℝ
.
ðịnh lý 3. Giả sử

(
)
(
)
,
A a B b
là hai ñiểm phân biệt. Các phát biểu sau là tương ñương:
(1)
(
)
M z
nằm trên ñường thẳng
AB
;
(2) Tồn tại một số thực
t
sao cho
(
)
1
z t a tb
= − +
, trong ñó
(
)
M z
;
(3)
z a
b a

−
∈
−
ℝ
;
(4)
0
z a z a
b a b a
− −
=
− −
;
(5)
1
1 0
1
z z
a a
b b
=
.
2.2.1.3 Chia ñoạn thẳng theo tỉ số cho trước
Xét hai ñiểm phân biệt
(
)
(
)
,
A a B b

. M
ộ
t
ñ
i
ể
m
(
)
M z
n
ằ
m trên
ñườ
ng th
ẳ
ng
AB
chia
ñ
o
ạ
n
th
ẳ
ng
AB
theo t
ỉ
s

ố

{
}
\ 1
k
∈
ℝ
nếu
.
MA k MB
=
 
. Từ hệ thức này, ta có ñược
( ) ( )
1
1
a kb
a z k b z k z a kb z
k
−
− = − ⇔ − = − ⇔ =
−
.
Nhận xét. Cho
(
)
(
)
(

)
, ,
A a B b C c
là các
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t, không th
ẳ
ng hàng trong m
ặ
t ph
ẳ
ng
ph
ứ
c. Khi
ñ
ó, trung
ñ
i
ể
m
M
c
ủ
a
ñ

o
ạ
n th
ẳ
ng
[
]
AB
có t
ọ
a
ñộ
ph
ứ
c là
2
M
a b
z
+
=
; tr
ọ
ng tâm
G

c
ủ
a tam giác
ABC

có t
ọ
a
ñộ
ph
ứ
c là
3
G
a b c
z
+ +
= .
2.2.1.4 Góc của tam giác
M
ộ
t tam giác có h
ướ
ng d
ươ
ng n
ế
u các
ñỉ
nh c
ủ
a nó theo th
ứ
t
ự

ng
ượ
c chi
ề
u quay c
ủ
a kim
ñồ
ng
h
ồ
. Ng
ượ
c l
ạ
i, ta nói tam giác có h
ướ
ng âm. Xét các
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t
(
)
(
)
1 1 2 2
,

M z M z
và không
trùng v
ớ
i g
ố
c t
ọ
a
ñộ
c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c. Góc

1 2
M OM
ñược ñịnh hướng nếu các ñiểm
1 2
,
M M

theo thứ tự ngược chiều quay của kim ñồng hồ.

Mệnh ñề. Số ño của góc ñịnh hướng


1 2
M OM
là
2
1
arg
z
z
.
Chứng minh.
Ta xét hai tr
ườ
ng h
ợ
p
(i)

N
ế
u tam giác
1 2
M OM
theo h
ướ
ng âm thì

21





2
1 2 2 1 2 1
1
arg arg arg
z
M OM xOM xOM z z
z
= − = − =

(ii) Nếu tam giác
1 2
M OM
theo hướng dương thì
 
2
1 2 2 1
1
2 2 arg
z
M OM M OM
z
π π= − = −
.
Do
ñ
ó

1 2 2

1 2
2 1 1
2 arg 2 2 arg arg
z z z
M OM
z z z
π π π
 



= − = − − =





 
.
Chú ý. M
ệ
nh
ñề
v
ẫ
n
ñ
úng n
ế
u ba

ñ
i
ể
m
1 2
, ,
O M M
th
ẳng hàng.
Ví d
ụ. a) Cho
1 2
1 , 1
z i z i
= + = − +
. Khi ñó
(
)
(
)
2
1
1 1
1
1 2
i i
z i
i
z i
− + −

− +
= = =
+
. Từ ñó suy ra
 
( )
1 2 2 1
3
arg , arg
2 2
M OM i M OM i
π π
= = = − =

b) Cho
1 2
, 1
z i z
= =
. Khi
ñ
ó
2
1
1z
i
z i
= = −
. Do
ñ

ó

( )

( )
1 2 2 1
3
arg , arg
2 2
M OM i M OM i
π π
= − = = =
.
ðịnh lý. Cho các ñiểm phân biệt
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 3 3
, ,
M z M z M z
. Khi
ñ
ó, góc
ñị
nh h
ướ
ng


2 1 3
M M M

có số ño là
3 1
2 1
arg
z z
z z
−
−
.
Chứng minh. Thực hiện phép tịnh tiến theo vector
1
M O

. Qua phép tịnh tiến này, các ñiểm
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 3 3
, ,
M z M z M z
lần lượt trở thành
(
)

(
)
(
)
' '
2 2 1 3 3 1
0 , ,
O M z z M z z
− −
. Hơn nữa, ta cũng có
ñược


' '
2 1 3 2 3
M M M M OM
=
. Từ kết quả ở mệnh ñề trên, ta có


' '
3 1
2 1 3 2 3
2 1
arg
z z
M M M M OM
z z
−
= =

−
.
Ví dụ. Cho
1 2 3
4 3 , 4 7 , 8 7
z i z i z i
= + = + = +
. Khi ñó
(
)
2 1
3 1
1
4 1
4 4 2 2
i i
z z i i
z z i
−
− +
= = =
− +
.
T
ừ ñó ta có

3 1 2
1
arg
2 4

i
M M M
π
+
= =
,

( )
2 1 3
2 7
arg arg 1
1 4
M M M i
i
π
= = − =
+
.
2.2.1.5 Góc giữa hai ñường thẳng
ðịnh lý. Cho bốn ñiểm phân biệt
(
)
, 1, 2,3,4
i i
M z i
=
. Khi
ñ
ó s
ố

ñ
o c
ủ
a góc
ñượ
c xác
ñị
nh gi
ữ
a
hai
ñườ
ng th
ẳ
ng
1 3 2 4
,
M M M M
bằng
3 1
4 2
arg
z z
z z
−
−
hoặc
4 2
3 1

arg
z z
z z
−
−
.
Chứng minh. Xin dành cho bạn ñọc như bài tập.
2.2.1.6 Phép quay quanh một ñiểm
Cho góc
α
và số phức
cos sin
i
ε α α
= +
. Xét số phức
(
)
cos sin
z r t i t
= +
, và
(
)
M z
. Ta có

22

(

)
(
)
cos sinz r t i t
ε α α
 
= + + +
 
,
(
)
,arg argz r z z
ε ε α
= = +
.
Do
ñ
ó
ả
nh hình h
ọ
c
'
M
c
ủ
a
z
ε
là

ả
nh c
ủ
a
M
qua phép quay quanh tâm
O
v
ớ
i góc quay
α
.

Mệnh ñề. Giả sử
(
)
C c
là ảnh của
(
)
B b
qua phép quay tâm
(
)
A a
, góc quay
α
. Khi ñó
(
)

c a b a
ε
= + −
, trong ñó
cos sin
i
ε α α
= +

Chứng minh. Thực hiện phép tịnh tiến theo vector
AO

, khi ñó các ñiểm
, ,
A B C
lần lượt trở
thành các ñiểm
(
)
(
)
(
)
0 , ' , '
O B b a C c a
− −
. Vì
'
C
là ảnh của

'
B
qua phép quay tâm
O
, góc quay
α
nên
(
)
c a b a
ε
− = −
hay
(
)
c a b a
ε
= + −
.
2.2.2 Các ñiều kiện thẳng hàng , vuông góc và cùng thuộc một ñường tròn
Cho bốn ñiểm phân biệt
(
)
, 1, 2,3,4
i i
M z i
=
.
Mệnh ñề 1.
Các

ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t
1 2 3
, ,
M M M
th
ẳ
ng hàng khi và ch
ỉ
khi
*
3 1
2 1
z z
z z
−
∈
−
ℝ
.
Chứng minh. Ta có các ñiểm
1 2 3
, ,
M M M
thẳng hàng khi và chỉ khi


{
}
2 1 3
0,
M M M
π
∈
hay
{ }
3 1
2 1
arg 0,
z z
z z
π
−
∈
−
hay
*
3 1
2 1
z z
z z
−
∈
−
ℝ
.
Mệnh ñề 2. Các ñường thẳng

1 2 3 4
,
M M M M
vuông góc với nhau khi và chỉ khi
*
1 2
3 4
z z
i
z z
−
∈
−
ℝ
.
Chứng minh. Ta có
1 2 3 4
M M M M
⊥
khi và chỉ khi
( )
1 2 3 4
3
, ,
2 2
M M M M
π π
 
 
 

∈
 
 
 
 
. ðiều này tương
ñương với
1 2
3 4
3
arg ,
2 2
z z
z z
π π
 
−
 
 
∈
 
 
−
 
 
hay
*
1 2
3 4
z z

i
z z
−
∈
−
ℝ
.
Chú ý. Khi
2 4
M M
≡
ta có
1 2 3 2
M M M M
⊥
nếu và chỉ khi
*
1 2
3 2
z z
i
z z
−
∈
−
ℝ
.
Ví dụ. Cho các ñiểm
(
)

(
)
(
)
(
)
1 2 3 4
2 , 1 2 , 2 , 1 2
M i M i M i M i
− − + − − +
. Khi
ñ
ó
1 2
3 4
3 3
3 3
z z i
i
z z i
− −
= =
− − −
hay
1 2 3 4
M M M M
⊥
.
Mệnh ñề 3.
B

ố
n
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t
1 2 3 4
, , ,
M M M M
(x
ế
p theo th
ứ
t
ự
này) cùng thu
ộ
c m
ộ
t
ñườ
ng
tròn khi và ch
ỉ
khi
*
3 2 3 4
1 2 1 4

:
z z z z
k
z z z z
− −
= ∈
− −
ℝ
.
Chứng minh. Bốn ñiểm phân biệt
1 2 3 4
, , ,
M M M M
cùng thuộc một ñường tròn khi và chỉ khi


{
}
1 2 3 1 2 3
3 ,
M M M M M M
π π
+ ∈
hay
{ }
3 2 1 4
1 2 3 4
arg arg 3 ,
z z z z
z z z z

π π
−
−
+ ∈
− −

hay
{ }
3 2 3 4
1 2 1 4
arg arg 3 ,
z z z z
z z z z
π π
− −
− ∈
− −
, t
ứ
c là
0
k
<
.

23

Các tr
ườ
ng h

ợ
p còn l
ạ
i c
ủ
a
1 2 3 4
, , ,
M M M M

ñược chứng minh tương tự.
Chú ý.
(1) S
ố thực
k
ñược xác ñịnh như trên ñược gọi là tỷ số kép của bốn ñiểm
1 2 3 4
, , ,
M M M M
.
(2) Các
ñiểm
1 2 3 4
, , ,
M M M M
thẳng hàng khi và chỉ khi
*
3 2
1 2
z z

z z
−
∈
−
ℝ
và
*
3 4
1 4
z z
z z
−
∈
−
ℝ
.
(3) Các
ñiểm
1 2 3 4
, , ,
M M M M
cùng thuộc một ñường tròn khi và chỉ khi
*
3 2 3 4
1 2 1 4
:
z z z z
k
z z z z
− −

= ∈
− −
ℝ
, nhưng
3 2
1 2
z z
z z
−
∉
−
ℝ
và
3 4
1 4
z z
z z
−
∉
−
ℝ
.
Ví dụ. (1) Bốn số phức có ảnh hình học lần lượt là
1, , 1,
i i
− −
cùng thuộc một ñường tròn. Thật
v
ậy, vì tỉ số kép
*

1 1
: 1
1 1
i i
k
i i
− − − +
= = − ∈
− +
ℝ
và
1 1
,
1 1
i i
i i
− − − +
∉ ∉
− +
ℝ ℝ
.
(2) Bốn ñiểm
(
)
(
)
(
)
(
)

1 2 3 4
2 , 3 2 , 1 2 , 2 3
M i M i M i M i
− − − + − +
th
ẳ
ng hàng. Th
ậ
t v
ậ
y, vì ta có
*
4 4 1
: 1
1 4 4
i i
k
i i
− + −
= = ∈
− + −
ℝ
và
*
4 4
4
1
i
i
− +

= ∈
− +
ℝ
.
2.2.3 ðiều kiện các tam giác ñồng dạng và tam giác ñều
2.2.3.1 ðiều kiện các tam giác ñồng dạng
ðịnh nghĩa. Cho sáu ñiểm
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
, , , , ,
A a A a A a B b B b B b
trong m
ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c.
Ta nói r

ằ
ng các tam giác
1 2 3
A A A
và
1 2 3
B B B

ñồ
ng d
ạ
ng v
ớ
i nhau n
ế
u góc
(
)
1,2,3
k k
A B k
= =
.
Mệnh ñề 1.
Các tam giác cùng h
ướ
ng
1 2 3
A A A
và

1 2 3
B B B

ñồ
ng d
ạ
ng v
ớ
i nhau khi và ch
ỉ
khi
2 1 2 1
3 1 3 1
a a b b
a a b b
− −
=
− −
.
Chứng minh.
Ta có
1 2 3
A A A
và
1 2 3
B B B

ñồ
ng d
ạ

ng v
ớ
i nhau khi và ch
ỉ
khi
1 2 1 2
1 3 1 3
A A B B
A A B B
= và


3 1 2 3 1 2
A A A B B B
=

hay
2 1 2 1
3 1 3 1
a a b b
a a b b
− −
=
− −
và
2 1 2 1
3 1 3 1
arg arg
a a b b
a a b b

− −
=
− −
hay
2 1 2 1
3 1 3 1
a a b b
a a b b
− −
=
− −
.
Mệnh ñề 2.
Các tam giác ng
ược hướng
1 2 3
A A A
và
1 2 3
B B B
ñồng dạng với nhau khi và chỉ khi
2 1 2 1
3 1
3 1
a a b b
a a
b b
− −
=
−

−
.
Chứng minh. Thực hiện phép ñối xứng qua trục
Ox
, các ñiểm
1 2 3
, ,
B B B
biến thành các ñiểm
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 3 3
, ,
M b M b M b
. Khi ñó các tam giác
1 2 3
B B B
và
1 2 3
M M M
ñồng dạng với nhau nhưng
ngược hướng. Tức là hai tam giác
1 2 3
A A A
và
1 2 3

M M M
ñồng dạng với nhau và cùng hướng. Từ
ñó ta nhận ñược ñiều cần chứng minh.
2.2.3.2 ðiều kiện tam giác ñều
Mệnh ñề 1.
Giả sử
1 2 3
, ,
z z z
là các tọa ñộ của các ñỉnh của tam giác
1 2 3
A A A
. Khi ñó, các phát
bi
ểu sau ñây là tương ñương:
(a)
1 2 3
A A A
là tam giác ñều;
(b)
1 2 2 3 3 1
z z z z z z
− = − = −
;
(c)
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1
z z z z z z z z z
+ + = + +
;

24

(d)
3 2
2 1
3 2 1 2
z z
z z
z z z z
−
−
=
− −
;
(e)
1 2 3
1 1 1
0
z z z z z z
+ + =
− − −
, trong ñó
1 2 3
3
z z z
z
+ +
=
;

(f)
(
)
(
)
2 2
1 2 3 1 2 3
0
z z z z z z
ε ε ε ε
+ + + + =
, trong ñó
2 2
cos sin
3 3
i
π π
ε = + ;
(g)
1 2 3
2 3 1
1 1 1
0
z z z
z z z
=
.
Chứng minh. Ta nhận thấy rằng tam giác
1 2 3
A A A

ñều khi và chỉ khi
1 2 3
A A A
ñồng dạng với
tam giác cùng hướng
2 3 1
A A A
, hay
( ) ( )( )
2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 1
1 1 1
0 0 0
z z z z z z z z z z z z z z z z z z
z z z
ε ε ε ε
= ⇔ + + − + + = ⇔− + + + + =
,
tức là
(
)
(
)
(
)
(
)
a g c f
⇔ ⇔ ⇔

.
Dễ thấy rằng
(
)
(
)
d c
⇔
,
(
)
(
)
a b
⇔
. Cuối cùng, chứng minh
(
)
(
)
a c
⇔
xin dành cho bạn ñọc.
Mệnh ñề 2. Giả sử
1 2 3
, ,
z z z
là các tọa ñộ của các ñỉnh của tam giác
1 2 3
A A A

. Khi ñó, các phát
biểu sau ñây là tương ñương:
(a)
1 2 3
A A A
là tam giác ñều;
(b)
(
)
3 1 2 1
z z z z
ε
− = −
; trong ñó
cos sin
3 3
i
π π
ε = +
;
(c)
(
)
2 1 3 1
z z z z
ε
− = −
; trong
ñ
ó

5 5
cos sin
3 3
i
π π
ε = +
;
(d)
2
1 2 3
0
z z z
ε ε
+ + =
, trong
ñ
ó
2 2
cos sin
3 3
i
π π
ε = +
.

Chứng minh. Tam giác
1 2 3
A A A
là tam giác ñều khi và chỉ khi
3

A
nhận ñược từ
2
A
qua phép
quay tâm
1
A
, góc quay
3
π
. Tức là,
( )
3 1 2 1
cos sin
3 3
z z i z z
π π
 


= + + −




 
, hay
(
)

(
)
a b
⇔
.
Tương tự, thực hiện phép quay tâm
1
A
, góc quay
5
3
π
thì
3
A
trở thành
2
A
. Ta ñược
(
)
(
)
a c
⇔
.
Cuối cùng, ñể chứng minh
(
)
(

)
b d
⇔
, ta nhận thấy rằng
(
)
b
tương ñương với
( )
3 1 2 1 1 2
1 3 1 3 1 3
2 2 2 2 2 2
z z i z z i z i z
     
  
  
  
= + + − = − + +
  
  
  
  
  
     
.

25

Do ñó,
2

1 2 3 1 3 1 2 3
1 3 1 3
2 2 2 2
z z z z z z i z i z
ε ε
   
 
 
 
+ + = = + − + + − − =
 
 
 
 
 
   


1 2 1 2
1 3 1 3 1 3 1 3
2 2 2 2 2 2 2 2
z i z i i z i z
 
       
   
   
 
   
= + − + + − − − + +
   

   
 
   
   
   
       
 
 


1 2 1 2
1 3 1 3
0
2 2 2 2
z i z z i z
   
 
 
 
= + − + − + − =
 
 
 
 
 
   
.
Hay
(
)

(
)
b d
⇔
.
Mệnh ñề 3. Giả sử
1 2 3
, ,
z z z
là các tọa ñộ của các ñỉnh
1 2 3
, ,
A A A
của tam giác ñịnh hướng
không âm. Khi
ñó, các phát biểu sau ñây là tương ñương:
(a)
1 2 3
A A A
là tam giác ñều;
(b)
(
)
3 1 2 1
z z z z
ε
− = −
; trong ñó
5 5
cos sin

3 3
i
π π
ε = + ;
(c)
(
)
2 1 3 1
z z z z
ε
− = −
; trong
ñ
ó
cos sin
3 3
i
π π
ε = + ;
(d)
2
1 2 3
0
z z z
ε ε
+ + =
, trong
ñ
ó
2 2

cos sin
3 3
i
π π
ε = + .
Chứng minh. Xin dành cho bạn ñọc, chú ý rằng
1 2 3
A A A
là tam giác ñều ñịnh hướng âm khi và
chỉ khi
1 3 2
A A A
là tam giác ñều ñịnh hướng dương.
Mệnh ñề 4. Giả sử
1 2 3
, ,
z z z
là các tọa ñộ của các ñỉnh của tam giác ñều
1 2 3
A A A
. Các phát biểu
(a)
1 2 3
A A A
là tam giác ñều;
(b)
1 2 2 3 3 1
. . .
z z z z z z
= =

;
(c)
2
1 2 3
z z z
=
và
2
2 1 3
z z z
=
;
Khi
ñ
ó,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, ,
b a c a b c
⇒ ⇒ ⇔

.
Chứng minh.

(
)
(
)
b a
⇒
. Ta có
1 2 2 3 3 1
. . .
z z z z z z
= =
. Suy ra
1 2 2 3 3 1
. . .
z z z z z z
= =
hay
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
. . . . . .
z z z z z z z z z z z z
= = ⇒ = =

2 2 2
1 2 3 1 2 3
1 2 3
, , ,
r r r

r z z z z z z
z z z
⇒ = = = = = =
.
Từ ñó suy ra
3
1 2
2 3 1
z
z z
z z z
= =
hay
2 2 2
1 2 3 2 3 1 3 1 2
, ,
z z z z z z z z z
= = =
.
C
ộng các ñẳng thức trên theo từng vế, ta nhận ñược
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1
z z z z z z z z z
+ + = + +
, do ñó
tam giác
1 2 3
A A A
là tam giác ñều.

Ta cũng dễ dàng chứng minh ñược
(
)
(
)
b c
⇒
và chiều ngược lại, vì vậy
(
)
(
)
b c
⇔
. Do ñó, ta
c
ũng có
(
)
(
)
c a
⇒
.