Định lý Cayley - Hamilton và ứng dụng

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN

TRAN TH± MINH

бNH LÍ CAYLEYHAMILTON VÀ ÚNG DUNG

KHÓA LU¾N TOT NGHI›P ĐAI HOC
Chuyên ngành: HÌNH HOC

Ngưài hưáng dan khoa
hoc Th. PHAM THANH
TÂM

Hà N®i - 2013


LèI CÁM ƠN
Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Pham Thanh Tâm Ngưòi thay đã trnc tiep t¾n tình hưóng dan và giúp đõ em hoàn thành
khoá lu¾n cna mình. Đong thòi em xin chân thành cám ơn các thay cô
trong to Hình Hoc và các thay cô trong khoa Toán - Trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2, đã tao đieu ki¾n cho em hoàn thành tot khoá lu¾n
này.
Trong khuôn kho có han cna m®t bài khoá lu¾n, do đieu ki¾n thòi
gian, do trình đ® có han và cũng là lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc
cho nên không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh. Vì v¾y,
em kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cna các thay cô và các ban.
Em xin chân thành cám ơn !
Hà N®i, ngày 15 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Tran Th% Minh


LèI CAM ĐOAN
Khoá lu¾n này là ket quá cna bán thân em trong quá trình hoc t¾p
và nghiên cúu. Bên canh đó em đưoc sn quan tâm cna các thay cô
giáo trong khoa Toán, đ¾c bi¾t là sn hưóng dan t¾n tình cna Thay
Pham Thanh Tâm.
Trong khi nghiên cúu hoàn thành bài khoá lu¾n này em đã tham
kháo m®t so tài li¾u đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo.
Em xin khang đ%nh ket quá cna đe tài “Đ%nh lí Cayley-Hamilton
và Úng ding ” không có sn trùng l¾p vói ket quá cna các đe tài khác.

Hà N®i, ngày 15 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Tran Th% Minh


Mnc lnc
Má đau.................................................................................................2
Chương 1. Ánh xa tuyen tính.........................................................4
1.1. Đ%nh nghĩa, tính chat.....................................................................4
1.2. Ma tr¾n cna ánh xa tuyen tính......................................................7
1.3. Ánh, hat nhân cna ánh xa tuyen tính............................................8
1.4. Bài t¾p.............................................................................................15
Chương 2. Cau trúc tN đong cau tuyen tính............................17
2.1. Tr% riêng, vectơ riêng và đa thúc đ¾c trưng............................17
2.2. Không gian con bat bien...............................................................21
2.3. Dang chuan Jordan........................................................................26

2.4. Bài t¾p.............................................................................................30
Chương 3.

Đ%nh lí Cayley- Hamilton và Nng dnng . . 35

3.1. Đ%nh lí Cayley- Hamilton.............................................................35
3.2. Úng dung cna đ%nh lí Cayley- Hamilton....................................37
3.2.1. Tính lũy thùa cna ma tr¾n vuông cap 2..........................................................37
3.2.2. Tìm ma tr¾n ngh%ch đáo...........................................................................................41
3.2.3. Úng dung đ%nh lí Cayley- Hamilton đe tính giói han.........................................42
3.2.4. Úng dung vào lũy thùa cna ma tr¾n................................................................44
3.2.5. Úng dung cho vet cna ma tr¾n và đ%nh thúc..........................................................45

3.3. Bài t¾p.............................................................................................46
Ket lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...
50

4


Mé ĐAU

1. Lý do chon đe tài
Đ%nh lí Cayley-Hamilton là m®t đ%nh lí hoàn toàn mói trong chương
trình đai so tuyen tính ó b¾c đai hoc khoi ngành sư pham. Nó là m®t
trong nhung đ%nh lí đóng vai trò quan trong b¾c nhat trong đai so
tuyen tính.
Sau khi hoc xong chương trình toán dành cho cú nhân sư pham,
đ¾c bi¾t là sau khi hoc xong môn đai so tuyen tính. Em mong muon

hoc hói và tìm hieu sâu thêm ve đ%nh lí Cayley-Hamilton, và m®t so
úng dung cna nó nham giái quyet m®t so van đe cna đai so tuyen tính.
Đong thòi, có the dùng làm tài li¾u cho các ban sinh viên khóa sau
tham kháo mó r®ng kien thúc cna mình.
Đong thòi rèn luy¾n tư duy logic, tính chính xác và can th¾n cho
ngưòi hoc.
Dưói góc đ® m®t sinh viên sư pham chuyên ngành Toán và trong
khuôn kho cna bài khoá lu¾n tot nghi¾p, đong thòi đưoc sn hưóng
dan nhi¾t tình cna thay Pham Thanh Tâm tôi đã chon đe tài “Đ
%nh lí Cayley-Hamilton và m®t so Úng ding”.
2. Mnc đích nghiên cNu cúa đe tài
Nghiên cúu ve đ%nh lí Cayley-Hamilton và m®t so úng dung.
3. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Đ%nh lí Cayley- Hamilton và m®t so dang bài có the giái nhò úng dung
đ%nh lí.


4. Giái han và pham vi nghiên cNu cúa đe tài
Nghiên cúu đ%nh lí Cayley- Hamilton và m®t so dang bài t¾p úng
dung cna nó trong pham vi cna môn đai so tuyen tính.
5. Giá thuyet khoa hoc
Xây dnng h¾ thong bài t¾p úng dung đ%nh lí Cayley- Hamilton làm
thành tài li¾u giúp các ban sinh viên khóa sau có the thay đưoc vai trò
cna nó trong môn đai so tuyen tính .
6.Nhi¾m vn nghiên cNu cúa đe tài
Nghiên cúu m®t so kien thúc chuan b% liên quan đen đ%nh lí CayleyHamilton.
7. Phương pháp nghiên cNu
Nghiên cúu tài li¾u tham kháo.
Tong hop, phân tích, h¾ thong lai các khái ni¾m, tính chat.
8. Cau trúc khóa lu¾n

Khoá lu¾n gom 3 chương:
Chương 1. Ánh xa tuyen tính.
Chương 2. Cau trúc cna tn đong cau tuyen tính.
Chương 3. Đ%nh lí Cayley- Hamilton và úng dung.

Hà N®i, ngày 15 tháng 5 năm 2013
Tác giá
Tran Th% Minh


Chương 1
Ánh xa tuyen tính
1.1. Đ%nh nghĩa, tính chat.
Đ%nh nghĩa 1.1.1. Cho V, W là hai không gian vectơ trên trưòng K.
Ánh xa f : V → W là m®t ánh xa tuyen tính neu:
f (α˙ + β˙ ) = f (α˙ ) + f (β˙ ).
f (kα˙ ) = kf (α˙ ).
vói moi α˙
∈ V, k ∈ K. M®t ánh xa tuyen tính còn đưoc goi là đong
,
β˙
cau tuyen tính, hay m®t cách van tat là đong cau.
Tính chat 1.1.2. Giá sú f : V → W là m®t ánh xa tuyen tính. Khi
đó: a) f (˙0) = ˙0.
b) f (−α˙ ) = −f

∈ V.

(α˙ ), ∀α˙
c) f (λ1 α˙1 +λ2 α˙2 +...+λn α˙n ) = λ1 f (α˙1 )+λ2 f (α˙2 )+...

∈ V.

+λn f (α˙n ), ∀α˙
Ví dn 1.1.3. a) Ánh xa 0 : V → W cho bói 0(α˙ ) = ˙0, ∈ V là m®t
∀α˙
ánh xa tuyen tính.

là m®t ánh

b) Ánh xa tuyen tính đong nhat idV : V → W; idV (α˙ ) =
α˙
xa tuyen tính.
c) Ánh xa đao hàm
đa thúc m®t an x.

d
dx

: R[x] → R[x] ; trong đó R[x] là không gian các


d (anxn + ... + a x + a0) = nanxn−1 + ... + a1.
1
dx
là m®t ánh xa tuyen tính.
d) Cho A = (aij )m×n ∈ Mat(m × n, K). Ánh xa f : K n → K n

cho bói:

x1 
.

x1 
.

x

x

 .. 
.. 
›→
A
 
 
n

n

là m®t ánh xa tuyen tính neu coi
moi vectơ (x1, ..., xn) ∈ Kn là m®t
ánh

 ..
.
x



x1 
.
xa c®t: 


n

e) Ánh xa
f : R → R,

b ƒ= 0.
x ›→

ax + b.
không phái là m®t ánh xa tuyen
tính.
Đ%nh lí 1.1.4. Giá sú V là không
gian vectơ n- chieu.Khi đó moi ánh
xa tuyen tính tù V vào W đưoc hoàn
toàn xác đ%nh bói ánh cna nó qua
m®t
cơ só cna V và W. Nói rõ hơn, giá
sú (s) = ,s˙ , s˙ , · · · , s˙ , là m®t cơ
só

1
2
n

cna V và c¾p β˙1 , β˙2 , ..., β˙n là n
vectơ nào đó cna W. Khi đó ton
tai m®t và chí m®t ánh xa tuyen
tính f : V → W sao cho f (s˙i) =
β˙i , i = 1, 2, ..., n.


Chúng minh. Ton tai: Neu
α˙ = x1 s˙1
+ x2 s˙2 + ...
+ xn s˙n ∈
V.
t
a
đ
¾
t
:

f (α˙ ) = x1 β˙1 +
x2 β˙2 + ... + xn β˙n
∈ W.

thì de dàng thú lai rang f : V
→ W là m®t ánh xa tuyen
tính và
f (s˙i ) = β˙i , i = 1, 2, ...n.
Duy nhat: Neu có 2 ánh xa
tuyen tính f, g : V
W mà f (s˙i) =

.n
˙
g(s˙i) = β i, i =
xi s˙i ∈
= 1, 2, ..., n
V ta đeu có:
i=1
thì vói moi α˙

→


n

f (α˙ ) = (
xi g(s˙i ).

.

n

xi s˙i ) =

i=1

=

i=
1
n

.

.

n

xi f (s˙i ) =

.

i=1

g(xi s˙i ) = g(α˙ ).

i=1

V¾y f =
g.
Đ%nh nghĩa 1.1.5. Cho f : V → W là ánh xa tuyen tính. Khi đó f
đưoc goi là:
a) M®t đơn cau neu f là đơn ánh.
b) M®t toàn cau neu f là toàn ánh.
c) M®t đang cau neu f là m®t song ánh.
Neu f : V → W là m®t đang cau thì f −1 : V → W cũng là m®t
đang
cau goi là phép ngh%ch đáo cna f . Do đó, ta cũng nói moi đong cau
là m®t đong cau khá ngh%ch.
Neu có m®t đang cau f : V → W thì ta nói V đang cau vói W và viet
V ∼= W.
Quan h¾ đang cau giua các không gian là m®t quan h¾ tương

đương.
Đ%nh lí 1.1.6. Cho V, W là hai không gian vectơ huu han chieu
trên trưòng so K. Khi đó V đang cau vói W khi và chí khi dimV =
dimW. Chúng minh. Giá sú V ∼= W, túc là có m®t đang cau tuyen
tính f : V →
W. Khi đó, neu (α˙ 1 , ..., α˙ n ) là m®t cơ só cna V thì (f (α˙ 1 ), ..., f
(α˙ n )) là m®t cơ só cna W.
nào đó trong W, vì
Th¾t v¾y, moi vectơ β˙ ∈ W có dang β˙ = f
(α˙ ) vói α˙
α˙ có bieu th% tuyen
tính α˙

= a1 α˙ 1 + ... + an α˙ n nên


β˙ = f (α˙ ) = f (a1 α˙ 1 + ... + an α˙ n ) = a1 f (α˙ 1 ) + ...
+ an f (α˙ n ).
Neu
β˙

còn bieu th% tuyen tính β˙ = b1 f (α˙ 1 ) + ... + bn f (α˙ n ) thì
α˙ = f −1 (β˙ ) = b1 α˙ 1 + ... + bn α˙ n .


Vì (α˙ 1 , ..., α˙ n ) là m®t cơ só cna V cho nên a1 = b1 , ..., an = bn .
V¾y moi vectơ bieu th% tuyen tính duy nhat qua h¾ (f (α˙ 1 ), ..., f
(α˙ n ))
β˙
nên h¾ này là m®t cơ só cna W. Nói cách khác dimV = dimW.

Ngưoc lai, giá sú dimV = dimW = n. Chon các cơ só (α˙ 1 , ..., α˙
n ) cna
V và (β˙1 , ..., β˙n ) cna W. Ánh xa tuyen tính duy nhat ϕ : V → W
đưoc
xác đ%nh bói ϕ(α˙ 1 ) β˙1 , ..., ϕ(α˙
=
n) =

β˙n là m®t đang cau tuyen
tính.

Th¾t v¾y, ngh%ch đáo cna ϕ là ánh xa tuyen tính ψ : W → V đưoc xác
đ%nh bói đieu ki¾n ψ(β˙1 ) = α˙ 1 , ..., ψ(β˙n ) = α˙ n .

1.2. Ma tr¾n cúa ánh xa tuyen tính.
Đ%nh nghĩa 1.2.1. Giá sú V, W là nhung K- không gian vectơ huu
han chieu. Goi (e) = {˙e1 , ..., ˙en } là m®t cơ só cna V, (s) = {s˙1 , ...,
s˙n } là m®t cơ só cna W. Theo đ%nh lí 1.1.4, moi ánh xa tuyen tính f
: V → W se đưoc bieu dien duy nhat bói h¾ vectơ {f (˙s1 ), ..., f (˙sn )}.
Các vectơ f (e˙j ) lai bieu th% tuyen tính m®t cách duy nhat qua cơ só
(s) = {s˙1 , ..., s˙n } cna
W.
n .
f (e˙j ) =
aij s˙i , j = 1, 2, ..., n.
i=1

trong đó các aij đeu thu®c trưòng K.
Đ¾t A là ma tr¾n xác đ%nh bói:



 a11 a12 · · · a1n 
 a21 a22 · · · a2n 
A=
 = (aij )m×n.
 .

.
·
·
·
.
am1 am2 · · ·

amn
Khi đó A đưoc goi là ma tr¾n cna ánh xa tuyen tính f : V → W đoi vói
c¾p cơ só (e) và (s).


Bieu thNc toa đ® cúa ánh xa tuyen tính. Cho f : V → W là ánh
xa tuyen tính có ma tr¾n A = (aij )m×n đoi vói c¾p cơ só (e) và
(s).


Moi vectơ
α˙
=

∈ V có toa đ® (x1, ..., xn) trong cơ só (e), viet dưói dang

c®t
.
: α˙


x

x1
.
 . . Khi đó, toa đ® cna vectơ f (α˙ ) ∈ W
trong cơ só (s) là

n

y1 
(y1 , ..., yn ), viet dưói dang
 .c®t:
.  f (α˙ ) =
công thúc:
 
y
n

.

cho bói

y = Ax.

⇔

⇔

(1)
y = a
x + a x + ... + a x
11 1
12 2
1n n
 1

y2 = a21 x1 + a22 x2 + ... +
a2n xn
 ..............................................


yn = an1x1 + an2x2 + ... + amnxn

n
 y.
i
=
(2)
a x
ij

j

i=1


i=
1, 2,
..., m

Ta goi công thúc trên là bieu th% toa đ® cna ánh xa
tuyen tính f đoi vói c¾p cơ só (e) và (s) đã cho. Th¾t
v¾y, ta có:
n
n
.
.n
. yi s˙i = f (α˙ ) = f ( xj s˙j )
=
xj f (s˙j ).
i=1

i=1

n

m


i

m
n

1.3. Ánh, hat nhân cúa ánh xa tuyen

tính.
=
x M¾nh đe 1.3.1. Giá sú f : V → W là m®t đong cau.
a Khi đó ánh bói
= f cna moi không gian vectơ con cna V là m®t không gian
vectơ con cna
(
a
s

j=1 i i= j=1
1

Dang
(1) đưoc
goi là dang
ma tr¾n
cna ánh xa
tuyen tính
f ; dang
(2) đưoc
goi là dang
tưòng
minh cna f
.


W. Ngh%ch ánh bói f cna moi không gian vectơ con cna W là m®t
không gian vectơ con cna V.
Chúng minh. Giá sú T là m®t không gian vectơ con cna V. Khi đó

f (T ) ƒ= ∅, bói vì nó chúa m®t vectơ 0. Hơn nua, neu α˙r , β˙r là
nhung vectơ
cna f (T ) thì chúng có
dang:

α˙r = f (α˙ ), β˙r = f (β˙ ),
trong đó

α˙ ∈ T .
,
β˙

Khi đó, vì f là m®t đong cau cho nên vói vô hưóng bat kì a ∈ K, ta có:
α˙r + β˙r = f (α˙ ) + f (β˙ ) = f (α˙ +
β˙ ) ∈ f (T ). aα˙r = af (α˙ ) = f (aα˙ )
∈ f (T ).
V¾y f (T ) là m®t không gian vectơ con cna W.
Bây giò, giá sú U là m®t không gian vectơ con cna W. Khi đó,
α˙ ∈ f −1 (U ) thì
f −1 (U ) ƒ= ∅ bói vì nó cũng chúa vectơ 0.
,
Neu
β˙
f (α˙ ), f (β˙ ) ∈ U . Vì f là m®t đong cau cho nên vói moi vô hưóng
a ∈ K,
ta có:
f (α˙ + β˙ ) = f (α˙ ) +
f (β˙ ) ∈ U f (aα˙ ) = af
(α˙ ) ∈ U.
Vì the α˙

+ β˙
cna V.

và
aα˙

∈ f −1 (U ). V¾y f −1 (U ) là m®t không gian vectơ
con

Đ%nh nghĩa 1.3.2. Giá sú f : V → W là m®t đong cau.
(i)

Ker(f ) = f −1 (0) = ˙,x ∈ V : f (˙x) = 0, ⊂ V đưoc goi là hat
nhân


(hay hach) cna f . So chieu cna Ker(f ) đưoc goi là so khuyet cna f
.
(ii)

Im(f ) = f (V) = ,f (˙x) : ˙x ∈ V, ⊂ W. đưoc goi là ánh cna
f . So

chieu cna Im(f ) đưoc goi là hang cna f và đưoc kí hi¾u là rank(f ).
Tính chat 1.3.3. a) Đ%nh lí 1. Đong cau f : V → W là m®t toàn
cau neu và chí neu rank(f ) = dimW.
Chúng minh. Theo đ%nh nghĩa, f là m®t toàn cau neu và chí neu
Im(f ) =
W. Vì Im(f ) là m®t không gian vectơ con cna W, nên đang thúc trên

tương đương vói:
rank(f ) := dimf (V) = dimW.
Th¾t v¾y, neu f (V) = W thì hien nhiên dimf (V) = dimW. Ngưoc
lai, giá sú dimf (V) = dimW. Do f (V) là m®t không gian vectơ con
cna W, nên moi cơ só cna f (V) cũng là m®t h¾ đ®c l¾p tuyen tính
trong W vói so phan tú bang dimf (V) = dimW. Nói cách khác, moi
cơ só cna f (V) cũng là m®t cơ só cna W. V¾y f (V) = W.
b) Đ%nh lí 2. Cho đong cau f : V → W khi đó các m¾nh đe sau là tương
đương:
(i) f là đơn cau.
(ii) Ker(f ) = {0}.
(iii)Ánh bói f cna m®t h¾ vectơ đ®c l¾p tuyen tính là m®t h¾ vectơ đ®c
l¾p tuyen tính.
Ánh bói f cna moi cơ só cna V là m®t h¾ đ®c l¾p tuyen tính trong
W.
(v) Ánh cna m®t cơ só nào đó cna V là m®t h¾ đ®c l¾p tuyen tính trong
W.
(vi)Rank(f ) = dimV.
(iv)

Chúng minh. (i) → (ii): Giá sú

∈ Ker(f ). Khi đó, f (α˙ ) = f (0)

α˙
= 0.
Vì f là đơn cau nên suy ra = 0. Do đó Ker(f ) = {0}.
α˙
(ii) → (iii): Giá sú (α˙ 1 , ..., α˙ k ) là h¾ vectơ đ®c l¾p tuyen tính trong

V.
Neu có m®t quan h¾ tuyen tính giua các ánh bói f cna các phan tú đó:
k

.

ai f (α˙ i ) = 0 (ai ∈ K),

i=1
k

thì f (

.

cho nên
i=1

ai α˙ i ) = 0. Vì Ker(f ) = {0}

k
.

ai α˙ i = 0. Tù đó,

ta có:
i=1


a1 = ... = ak = 0, bói vì h¾ vectơ (α˙ 1 , ..., α˙ k ) là đ®c l¾p tuyen tính.

Như


v¾y, (f (α˙ 1 ), ..., f (α˙ k )) cũng đ®c l¾p tuyen tính.
(iii) → (iv) và (iv) → (v) là hien nhiên.
(v) → (vi): Giá sú (α˙ 1 , ..., α˙ n ) là m®t cơ só cna V sao cho (f (α˙ 1 ),
..., f (α˙ n ))
là m®t h¾ đ®c l¾p tuyen tính. Rõ ràng, h¾ này sinh ra f (V). Ta có:
Rank(f ) = dimf (V) = rank(f (α˙ 1 ), ..., f (α˙ n )) = n
= dimV.
(vi) → (i) :Giá sú (α˙ 1 , ..., α˙ n ) là m®t cơ só cna V. Ta có:
Rank(f ) = dimf (V) = rank(f (α˙ 1 ), ..., f (α˙ n )) =
dimV = n.
cho nên h¾ vectơ (f (α˙ 1 ), ..., f (α˙ n )) là đ®c l¾p tuyen tính. Giá
sú
.
.
α˙ =
aiα˙ i, β˙ =
biα˙ i và f (α˙ ) = f (β˙ ).
i

Khi đó:

i

.
˙
˙
0 = f (α˙ ) − f (β ) = f (α˙ − β ) = f ( (ai − bi )α˙

i ).
i
.
= (ai − bi )f (α˙ i ).
i

Tù đó, a1 = b1 , ..., an = bn , bói vì (α˙ 1 ), ..., f (α˙ k )) đ®c l¾p tuyen
tính.
Đieu này có nghĩa là = β˙ . V¾y f là đơn cau.
α˙
c) Đ%nh lí 3. (Đ%nh lí đong cau các không gian vectơ). Giá sú f : V → W
là m®t ánh xa tuyen tính. Khi đó ánh xa f¯ : V/Ker(f ) → W cho bói
f¯([α˙ ]) = f (α˙ ) là m®t đơn cau, lúc này nó gây nên m®t đang
cau tù
V/Ker(f ) lên Im(f ).
Chúng minh. Trưóc het, ta can chí ra ¯
f hoàn toàn xác đ%nh, nghĩa là
nó không phu thu®c vào phan tú đai di¾n
α˙


cna lóp [α˙ ] ∈ V/Ker(f ).
Th¾t v¾y, neu [α˙ ] = .α˙r ., α˙ − α˙r ∈ Ker(f ) nên − α˙r ) = 0
thì
f (α˙
suy
ra f (α˙ ) = f (α˙r ). Vì f là m®t ánh xa tuyen tính nên de dành kiem
tra f¯ cũng là m®t ánh xa tuyen tính.
Giá sú có f¯ [α˙ ] = f¯ .β˙ .,thì f (α˙ ) = f (β˙ ) nên f (α˙ −β˙ ) =
f (α˙ )−f (β˙ ) =

0. Tù đó, α˙ − β˙ ∈ Ker(f ) hay [α˙ ] = .β˙ .. V¾y f¯ là m®t đơn
cau.


Tù đ%nh nghĩa cna f¯ ta có Im(f¯) = Im(f ). Cho nên, neu xét f¯
như m®t đong cau tù V/Ker(f ) tói Im(f ) thì nó là m®t đang cau.
d) H¾ quá 1. Cho f : V → W là m®t ánh xa tuyen tính cna không gian
vectơ huu han chieu V. Khi đó:
dimV = dimKer(f ) + dimIm(f ).
Chúng minh. Theo đ%nh lí 3, ta có:
dimIm(f ) = dimIm(f¯) = dimV/Ker(f ) = dimV − dimKer(f ).
⇒ V = dimKer(f ) + dimIm(f ).
e) H¾ quá 2. Cho f : V → W là m®t ánh xa tuyen tính. Khi đó, vói
moi không gian vectơ con U cna V ta có:
dimf (U ) ≤ dimU.
Chúng minh. Xét các han che f|U cna ánh xa f trên không gian vectơ
con U , ta có:
dimU = dimKer(f|U ) + dimIm(f|U ) ≥ dimIm(f|U ) = dimf (U )
⇒dimf (U ) ≤ dim(U ).
f) Đ%nh lí 4. Giá sú f : V → W là m®t tn đong cau cna không gian
vectơ huu han chieu V. Khi đó các m¾nh đe sau là tương đương:
(i) f là m®t đang cau.
(ii) f là m®t đơn cau.
(iii)f là m®t toàn cau.
Chúng minh. Theo đ%nh lí 2, thì f là đơn cau khi và chí khi Ker(f ) =
{0}. Theo đ%nh lí 1, ta có f là đơn cau khi và chí khi dimIm(f ) =
dimV. Mà dimV = dimIm(f ) + dimKer(f ) ⇒ f là đơn ánh khi và
chí khi
dimKer(f ) = 0 hay dimV = dimIm(f ) túc là f là toàn cau.
⇒ (ii) tương đương vói (iii), do đó chúng cùng tương đương vói (i).

M¾nh đe 1.3.4. Giá sú (e) = {˙e1 , ..., ˙en } và (s) = {s˙1 , ..., s˙n } là
hai cơ
só cna không gian vectơ V, C là ma tr¾n chuyen tù cơ só (e) sang cơ
só
(s) và f : V → V là m®t tn đong cau cna V. Khi đó, neu f có ma tr¾n A
trong cơ só (e), có ma tr¾n B trong cơ só (s) thì ma tr¾n A đong dang
vói ma tr¾n B. Nói cách khác, ta có: B = C−1AC.
Chúng minh. Giá sú C = (ckj ), A = (ajk), B = (bli) thì ta có:
n

s˙j =

.
ckj e˙k ,

k=
1 n.

f (e˙k ) =

j = 1, ..., n.

ajk e˙j , k = 1, .., n.

j=
1
n.

f (s˙i ) =

bli s˙l , i = 1, ..., n.

l=1

Khi đó, ta
có:
n

f (s˙i ) = f (
n

=
1

M¾t
khác:

k=1

.

n

cki˙ek ) =

.

cki f (˙ek ).

k=1

n

.

n
n.
.
.
cki ( ajk e˙j ) = (
ajk cki )˙ej .

k=

j=1

i=
1

n

k=1

n

n

n

f (s˙i ) =
cjl bli )˙ej .

n

.

bli s˙l =

l=1

l=1

Tù hai đang thúc trên, ta suy ra:
n

n

.

j=
1

.
. .
bli ( cjl˙ej ) = (
j=1 l=1

.

ajkcki =

.
cjlbli.

i = 1, .., n; j = 1, ...,

n.
k=1

l=1

V¾y A.C = C.B. Do đó, C khá ngh%ch nên ta có B = C−1 AC.
H¾ quá 1.3.5. a)

Hai ma tr¾n đong dang vói nhau khi và chí khi

chúng là ma tr¾n cna cùng m®t tn đong cau, cna m®t không gian
vectơ trong