Không gian xạ ảnh Pn

A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bộ môn Hình học xạ ảnh là học phần nối tiếp sau học phần Hình học
Afin và hình học Ơclit. Môn học chủ yếu đề cập đến các tính chất xạ ảnh,
các tính chất bất biến qua các phép biến đổi xạ ảnh với mục đích giúp cho
sinh viên có cái nhìn tổng quát các bài toán hình học phẳng liên quan đến
tính đồng quy, thẳng hàng. Đồng thời, Hình học xạ ảnh giúp chúng ta có
một phương pháp suy luận, phương pháp giải và sáng tạo một số bài toán
thuộc chương trình phổ thông.
n

Không gian xạ ảnh P nằm trong Hình học xạ ảnh được học vào học
vào học kỳ 1 năm thứ ba của Sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2.
Trong phần này đã đưa ra những khái niệm cơ bản: Định nghĩa về không
gian xạ ảnh và các mô hình của nó, phẳng, tọa độ xạ ảnh, phương trình của
m – phẳng, tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng, tỉ số kép của chùm bốn siêu
phẳng và nguyên tắc đối ngẫu trong các không gian xạ ảnh. Đây là một nội
dung quan trọng, mở đầu cho việc hình thành những khái niệm về hình học
xạ ảnh và cũng là cơ sở cho việc giải các bài toán hình học xạ ảnh sau này.
Với mong muốn tìm hiểu kĩ hơn về không gian xạ ảnh và các khái niệm
liên quan, được sự gợi ý của thầy hướng dẫn Đinh Văn Thủy, tôi quyết định
nghiên cứu đề tài:
n

“Không gian xạ ảnh P ”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Định nghĩa không gian xạ ảnh và tính chất của không gian xạ ảnh.

1

- Khái niệm về phẳng, tọa độ xạ ảnh, phương trình m – phẳng, tỉ số kép của
bốn điểm thẳng hàng và chùm bốn siêu phẳng. Nguyên tắc đối ngẫu trong
các không gian xạ ảnh.
- Các dạng bài tập liên quan.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống các kiến thức về không gian xạ ảnh và việc xây dựng các khái
niệm liên quan.
- Nghiên cứu các bài tập liên quan đến định nghĩa không gian xạ ảnh, tính
chất của không gian xạ ảnh. Các dạng bài tập về tọa độ xạ ảnh, phẳng, tỉ số
kép và các phát biểu đối ngẫu.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
n

- Đối tượng: các bài toán liên quan đến không gian xạ ảnh P , phẳng, hệ
điểm độc lập, tọa độ xạ ảnh, xây dựng các mô hình của không gian xạ ảnh
và các tính chất của chúng. Các dạng bài toán về tỉ số kép, hàng điểm điều
hòa, chùm siêu phẳng điều hòa.
- Phạm vi nghiên cứu: một số lớp các bài toán trong hình học xạ ảnh.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Giúp cho sinh viên có tài liệu tham khảo về việc xây dựng các ví dụ về
không gian xạ ảnh và một số tính chất của nó, giúp cho việc học tập môn
hình học xạ ảnh tốt hơn.


B. NỘI DUNG
Chương 1: CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT
1.1. Không gian xạ ảnh và các phẳng của nó
1.1.1. Định nghĩa
Cho V là không gian vectơ có dim V > 0 trên trường . Ta kí hiệu Vˆ
là tập hợp các không gian con một chiều của V. Cho P là tập hợp tùy ý.

Nếu có một song ánh:
: Vˆ → P
〈x⃗〉 

(〈x⃗〉)= M

thì bộ ba (P,V, )được gọi là không gian xạ ảnh.
V:Không gian vectơ liên kết với không gian xạ ảnh.
Mỗi phần tử của P được gọi là điểm (xạ ảnh).
Vectơ x⃗ ≠ 0 mà

(〈 x⃗〉 )= M được gọi là vectơ đại diện của M, thường kí

hiệu là M¯⃗.
Do đó, ∀y⃗ = kx⃗(k ≠ 0)cũng là vectơ đại diện của M.
Nếu dim V = n + 1 thì bộ ba (P,V, ) được gọi là không gian xạ ảnh
n
chiều. Kí hiệu là P n .
Không gian xạ ảnh trên trường số thực R gọi là không gian xạ ảnh thực.
Kí hiệu: P n (R).
Không gian xạ ảnh trên trường số phức C gọi là không gian xạ ảnh phức.
Kí hiệu: P n (C).
1.1.2. hẳng
1.1.2.1. Định nghĩa


Cho (P,V, )là không gian xạ ảnh. Gọi W là không gian vectơ con của
V
có dim W > 0.
Khi đó α =

(Wˆ ) được gọi là phẳng xạ ảnh α = {M\M¯⃗ ∈

W}. Nếu dim W = m + 1 thì α được gọi là m − phẳng.
Như vậy, mỗi điểm của Pn là một 0 − phẳng.
1 − phẳng chính là đường thẳng.
2 − phẳng chính là mặt phẳng.
(n − 1)− phẳng của P n còn gọi là siêu phẳng.
1.1.2.2. Phẳng tổng, phẳng giao
Cho α1 ,α2 là các phẳng xạ ảnh, αi =

(Wˆ i ) (i = 1,2).

Khi đó α1 ∩ α2 = ∅  W1 ∩ W2 = {0¯⃗}.
Do vậy khi α1 ∩ α2 ≠ ∅ thì α1 ∩ α2 =

(W1ˆ∩ W2 ) cũng là phẳng.

Nó được gọi là phẳng giao của α1 và α2.
α = (W1ˆ+ W2 ) là phẳng có số chiều bé nhất chứa cả α1 ,α2 được gọi
là
phẳng tổng của α1 và α2. Kí hiệu là α = α1 + α2.
Tương tự có thể xây dựng các khái niệm:
+ Phẳng giao của một họ phẳng là phẳng lớn nhất nằm trong các phẳng
của họ.
+ Phẳng tổng của một họ phẳng là phẳng bé nhất chứa tất cả các phẳng
của họ.
1.1.2.3. Định lý số chiều
Định lý:
a) α ∩ þ ≠ ∅  dim(α + þ)= dimα + dimþ − dim(α ∩ þ).

b) α ∩ þ = ∅  dim(α + þ)= dimα + dimþ + 1.


Chứng minh:
α + þ là phẳng có không gian con liên kết là W
+Z α =


(Wˆ ), þ =

(Zˆ )

dim(α + þ )= dim(W + Z )+ 1.

a) α ∩ þ ≠ ∅
dim(W + Z ) = dim W + dim Z − dim(W ∩ Z )


dim (α + þ)+ 1 = (dimα + 1)+(dimþ + 1)− [dim(α ∩ þ )+ 1]



dim (α + þ ) = dimα + dimþ − dim(α ∩ þ ).

b) α ∩ þ = ∅


dim(W + Z ) = dim W + dim Z



dim (α + þ )+ 1 = dimα + 1 + dimþ + 1



dim (α + þ ) = dimα + 1 + dimþ + 1.

Phản chứng để có điều ngược lại của a), b).
1.1.3. điểm độc lập
1.1.3.1. Định nghĩa

  
Cho m điểm A , A ,, A trong P n . Nếu A , A ,, A
độc lập tuyến
1
2
m



1

2



m

tính thì hệ điểm đã cho được gọi là hệ điểm độc lập.
Ví dụ:

Hệ hai điểm phân biệt độc lập.


 
độc lập tuyến tính.
A  B  A  k B ,k  A, B

 

Hệ ba điểm không thẳng hàng (cùng thuộc một đường thẳng) là độc lập.
  
  
độc lập tuyến tính.
C  AB  C  A, B  C , A, B






1.1.3.2. Định lý
Định lý 1: Qua

m  1 điểm độc lập có và duy nhất m  phẳng.

Chứng minh:
Thật vậy, cho hệ {AO ,… ,Am } độc lập.

 W = Ai (i = 0¯¯,¯m¯ ) là không gian vectơ m + 1 chiều.
α=

(Wˆ ) (i = 0¯¯,¯m¯ ) là m − phẳng đi qua Ai và Ai ∈ W

Nếu þ = (Zˆ) cũng m − phẳng đi qua AO ,A1 ,… ,Am

 Ai ∈ Z,i = 0¯¯,¯m¯

 W = Ai ⊂ Z
(1)
dim W = m + 1 = dim Z

(2)

Từ (1) và (2) suy ra W = Z. Định lý được chứng minh.
Định lý 2: Hệ r điểm (r ≥ 2) là độc lập khi và chỉ khi chúng không cùng
thuộc một (r – 2) – phẳng.
Chứng minh:
Giả sử M1 ,M2 ,… Mr là r điểm của không gian xạ ảnh P n , có đại diện lần
lượt là r vectơ

¯1⃗, ¯2⃗,… ¯r⃗của V n+ 1 (r ≥ 2). 
,
m
độc lập tuyến tính nên
Hệ điểm Mi là độc lập khi và chỉ khi các vectơ
mi
không cùng thuộc một không gian vectơ con r – 1 chiều của V n+ 1, tức là
khi và chỉ khi hệ điểm Mi không cùng nằm trên một (r – 2) – phẳng. Định lý
được chứng minh.
1.1.4. Định lý Đờ-dác 1

Định lý:


Trong không gian xạ ảnh cho 6 điểm A,B,C,A’,B’,C’trong đó không
có ba điểm nào thẳng hàng. Khi đó, hai mệnh đề sau đây tương đương:


a. Ba đường thẳng AA’,BB’,CC’đồng quy.
b. Giao điểm của các cặp đường thẳng AB và A’B,’BC và B’C,’CA
và
C’A’là ba điểm thẳng hàng.
Chứng minh:
(a ⇒ b) Gọi S = AAr ∩ BB r ∩ CCr
S ∈ AAr ⇒ S¯⃗= λ1 A¯⃗+ μ1 B¯⃗
Do các vectơ đại diện có thể sai khác thừa số khác 0. Có thể coi rằng:
S¯⃗= A¯⃗+ A¯⃗′
Tương tự: S¯⃗= B¯⃗+ B¯⃗′= C¯⃗+ C¯⃗′

B

A’

Suy ra: A¯⃗+ A¯⃗′= B¯⃗+ B¯⃗′
⇒ A¯⃗− B¯⃗= B

¯′⃗− A¯⃗′= M¯⃗

M

⇒ M¯⃗là vectơ đại diện của

P

C

M = AB ∩ AB′

N
B

Và B¯⃗+ B¯⃗′= C¯⃗+ C¯⃗′

A

C’

⇒ B¯⃗− C¯⃗= C ¯ ⃗ ¯⃗
′− B ′= N¯⃗
S

⇒ N¯⃗là vectơ đại diện của
N = BC ∩ B′C′
⇒ C¯⃗+ C¯⃗′= A¯⃗+ A¯⃗′

⇒ C¯⃗− A¯⃗=

¯′⃗− C¯⃗′= P¯⃗

⇒ P¯⃗ là vectơ đại diện của P = CA ∩ C′A.′Ta có: M¯⃗+ N¯⃗ + P¯⃗= 0¯⃗
⇒ M ,N ,P thẳng hàng.

(b ⇒ a) Xét hệ 6 điểm {B,B r,M
,C,Cr,P} Với M = AB ∩ AB r,P = AC ∩
A′C′


Do BC,B’C,’MP đồng quy tại N nên theo chứng minh phần trên ta suy ra:
BC ∩ B′C,′B rM ∩ CrP,MB ∩ PC thẳng hàng.
 AA’,BB’,CC’đồng quy. Định lý được chứng minh.

1.2. Mô hình của không gian xạ ảnh
1.2.1. nh chính tắc (mô hình vectơ):
Cho V là một không gian vectơ n + 1 chiều. P = Vˆ và là phép
đồng nhất của Vˆ. Do là song ánh nên:
(Vˆ ,V,idVˆ )là không gian xạ ảnh n chiều.
1.2.2. nh bó
Giả sử A n+ 1 là không gian afin n + 1 chiều có nền là V n+ 1. Lấy
0 ∈ A n+ 1. Tập hợp các đường thẳng đi qua 0 được gọi là bó đường thẳng
tâm 0 , kí hiệu BO.
Xét ánh xạ :Vˆ n+ 1 → B O
〈x⃗〉  Đường thẳng qua 0 có phương 〈x⃗〉
d = (0 ,〈x⃗〉)
thì là song ánh nên (B O ,V n+ 1 , )là không gian xạ ảnh n chiều.
1.2.3. nh afin
Lấy siêu phẳng A n ⊂ A n+ 1, có nền là V n .
Gọi A˜n = A n ∪ Vˆ n . Gọi B O là bó đường thẳng tâm 0 với 0 ∉ A n .
Xét ánh xạ j:B O → A˜n
d ∩ A n nếu d ∦
A d {

d⃗
nếu d ∥ A n
n

thì jlà song ánh và
song ánh:

r

= j. với trong mô hình bó ở 1.2.2 thì ′là

:Vˆ n → A˜n

r


⇒ (A˜n ,V n+ 1 , r) là không gian xạ ảnh n
chiều. Chú ý: Trong A˜n có hai loại điểm:
Điểm afin thông thường trong An
Điểm “vô tận” thuộc Vˆ n .
1.2.4. nh số học
Cho K là một trường nào đó, K n+ 1 là tích Đề-các của với chính nó n + 1
lần, tức là:
K n+ 1 = {(xO ,x2 ,… ,xn )\xi ∈ K }
Xét không gian vectơ K n+ 1 . Cho vectơ x⃗ = (xO ,x2 ,… ,xn ) ∈ K n+ 1
mà x⃗ ≠ 0¯⃗= (0,0,… ,0)∈ K n+ 1
kí hiệu 〈 x⃗〉 là không gian vectơ một chiều sinh ra bởi x⃗ và kí hiệu
(xO ,x2 ,… ,xn ) = 〈x⃗〉− {0¯⃗}
Như vậy (xO ,x2 ,… ,xn ) là một lớp các bộ số sắp thứ tự (không đồng
thời bằng 0) của K và hai bộ bất kỳ trong lớp đó thì tỉ lệ với nhau (hệ số

tỉ lệ k ≠ 0).
Gọi P là tập hợp tất cả các lớp như vậy.
Có thể lập song ánh :Kˆn+ 1 → P
〈x⃗〉 (xO ,x2 ,… ,xn )
Khi đó (P,K n+ 1 , ) là một không gian xạ ảnh n chiều trên K . Ta gọi
nó là mô hình số học của P n (K ).
1.3. Tọa độ xạ ảnh
1.3.1. Mục tiêu xạ ảnh
Cho không gian xạ ảnh Pn liên kết K – không gian vectơ V n+ 1.
Một tập hợp có thứ tự n + 2 điểm của P n : {SO ,S1 ,… ,Sn ;U } được gọi
là mục tiêu xạ


ảnh nếu bất kỳ n + 1 trong n + 2 điểm đó đều độc lập.
Dễ thấy rằng mục tiêu xạ ảnh là tồn tại.
Các điểm Si gọi là các đỉnh của mục tiêu xạ ảnh, điểm U gọi là điểm đơn
vị. Các m − phẳng (m < n) đi qua m + 1 đỉnh gọi là các m − phẳng
toạ độ, đặc biệt là các đường thẳng Si Sj với i ≠ j, gọi là các trục tọa độ.
1.3.2. Định lý
1.3.2.1. Phát biểu
Nếu cho các mục tiêu xạ ảnh R = {Si ,U }n trong Pn thì trong không
i=
O

gian vectơ liên kết V n+ 1 có cơ sở





 e

i

Si (i =
0¯¯,¯n¯ )
.
n 
ei là vectơ đại diện của điểm U
i0
.
'

0

i








s là duy nhất theo nghĩa nếu có   e '



 là vectơ đại diện của
mà e

n



như vậy thì e  ke
'
i

i

1.3.2.2. Chứng minh

Sự tồn tại: Gọi là vectơ đại diện của
si

.
i

SO

Si (i =
0¯¯,¯n¯)



 si 

n

là cơ sở của
V

n+ 1

.

0

S1

Gọi u¯⃗là vectơ đại diện của U thì:




10

S2


u  k0 s0  k1 s1  kn sn
với ki ≠ 0 (i = 0¯¯,¯n¯)
Vì trái lại có, chẳng hạn kO = 0 thì:




u  k1 r1  k2 r2   kn rn

U

10


 {u¯⃗,s¯1⃗,… ¯n⃗} phụ thuộc tuyến tính
,
 {U ,S1 ,… ,Sn } không độc lập (trái với định nghĩa của R).



Gọi ei  ki (i  0, thì: u¯⃗ = ¯O⃗+ e¯1⃗+ ⋯ + ¯n⃗ với ei cũng là vectơ đại
n)
si
 n cũng là cơ sở cần tìm.
'
'
diện của Si (do ki ≠ 0) nên   e i



 n

'

'
i



Tính duy nhất: Nếu có   e

0

 là vectơ đại diện
cũng thỏa mãn ei'

0

của Si


'
 ei  k ie
n



e '
i0

n



n



là vectơ đại diện của U  e 'i  k.(ei )

i0 
k
 i0

i
n




(i  0,
n)



k .e  k.e
i i
i0

i
i0

n

   k i  k .ei  0 

ki  k

i  0, n

i0

* Chú ý:
s được gọi là cơ sở đại diện của R.
Với M ∈ P n tọa độ của M¯⃗ trong cơ sở đại diện s được gọi là tọa độ xạ ảnh
của M trong R.
M¯⃗ = xO ¯O⃗+ x1 e¯1⃗+ ⋯ + xn ¯n⃗
 M có tọa độ: M = (xO ,x1 ,… ,xn ).
* Nhận xét:
11


P n : tọa độ gồm n + 1 số, không đồng thời bằng 0, (xi ) ≠ (0)


n

i

hay i0 x 2  0 .
Tọa độ xạ ảnh của điểm không duy nhất, có thể sai khác số k ≠ 0.

12


Ví dụ: SO = (1,0,… ,0)
vì

¯O ⃗ =

¯O ⃗

¯n⃗=



¯n⃗

Sn = (0,… ,0,1)
vì

 
U = (1,1,… ,1) vì ei  U
n

i0

1.3.3. thức đổi tọa độ
Cho R = {Si ,U } trong P n thì M(xO ,x1 ,… ,xn ).
r

r

r

r

r

r

Lấy mục tiêu xạ ảnh mới R = {Si } thì M có tọa độ mới (xO ,x1 ,…
,xn ).
,U

Gọi s, sr là các cơ sở đại diện của R, R r và ma trận A là ma trận chuyển
tọa độ từ s → sr.
Từ định nghĩa tọa độ suy ra:
kx = Axr

(*)

k ≠ 0 tùy ý

(*) được gọi là công thức đổi tọa độ từ R → R r.
1.4. Phương trình của m − phẳng
1.4.1. hương trình tham số
Cho α =
gồm

(W )là m − phẳng. Lấy cơ sở của W

¯O⃗ ¯1⃗,… ¯n⃗.
, ,a  n
Giả sử rằng trong mục tiêu xạ ảnh của R với cơ sở đại diện
  ei 0 thì



a¯⃗s = (aO i,a1 i,… ,an i ) (i = 0¯¯,¯m¯ )

Điểm M = (xO ,x1 ,… ,xn )∈ α  M¯⃗ ∈ W
n

 x   ti a i

i0

xO


(1)
aOi
x= ( ) ,
xn (

ai =

 )

ani


tO ,t1 ,… ,tm làm + 1 tham số không đồng thời bằng 0, được gọi là
các tham số.

(1)



 x0  t0a00  t1a01   tma0m

 x1  t0a10  t1a11   tma1m


 m1

với rank
a




 xm  t0an0  t1an1   tm anm


ij

(1) được gọi là phương trình tham số của m − phẳng α trong mục tiêu R.
Ngược lại, cho một phương trình có dạng (1) với dạng trên
rank  aij   m  1 thì có m − phẳng α nhận nó làm phương trình tham số.

có tọa độ cột là hệ số ti
Cụ thể xét

ai
Do rank  aij   m  1  W  ai là không gian con m  1 chiều. Gọi

αi = (Wˆ ) thì theo trên phương trình tham số của α là (1).
Đặc biệt, phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B có
dạng:  X     A    B

trong đó ß và µ không đồng thời bằng 0.

Ví dụ: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
A = (aO ,a1 ,… ,an ), B = (bO ,b1 ,… ,bn )

là

 x0  a0  b0

 x1  a1   b1



 xn  an  bn

(ß,µ) ≠ (0,0)

Áp dụng: A = (1,− 2,… ,1), B = (2,0,… ,
5)


 x0  .1  .2

 x0    2 



AB có phương trình tham số:  x1 .(2)  .0
x  .1  .5
2



  x1  2 
x    5
2


1.4.2. hương trình tổng quát
Lấy m + 1 phương trình độc lập tuyến tính trong hệ (1). Đó là hệ
Crame của m + 1 ẩn tO ,t1 ,… ,tm nên có nghiệm duy nhất.
Sau khi thế các nghiệm tìm được vào n − m phương trình còn lại của hệ (1)
ta có hệ:
n

{

b x

ij j

j0

(i =
1¯,¯n¯ ¯−¯
¯m¯ )

(2)

vớirank(bij) = n − m
(2) được gọi là phương trình tổng quát của α.

Ngược lại, cho hệ (2) trong R đã cho luôn có m − phẳng α nhận nó làm
phương trình tổng quát.
Ví dụ: Phương trình tổng quát của siêu phẳng trong
Pn m = n − 1 

n − m = 1 nên α có một

phương trình bO xO + b1 x1 + ⋯ + bn xn = 0 với bi ≠
0
Chẳng hạn, với A(1,− 2,5), B (2,0,5)ta có phương trình tham số:
 x0    2 

 x1  2
 x    5
2
1

Có

2

 x    2
0
 4  0 . Từ 
0
 x1  2
2

 

1

x
2

x 

x1 
2


0

2x0  x1


2

Thế vào phương trình còn lại ta được:

4


x
2x  x 2x1  10x0  4x1
x   21  5. 0 4 1 
4
10x0  3x1  4x2  0

2

là phương trình tổng quát của AB .

1.4.3. của siêu phẳng
Cho α là siêu phẳng của Pn. Trong R phương trình tổng quát của α là:
aOxO + a1x1 + ⋯ + anxn = 0
hay

n

a x  0
i0

i

i

trong đó các ai không đồng thời bằng 0. Thì bộ (aO ,a1 ,… ,an )được gọi
là tọa độ của α trong R.
Tính chất: Giống như tính chất của tọa độ điểm
+ Có ít nhất một số sai khác nhau.
+ Có thể sai khác nhân tử khác không.
Ví dụ siêu phẳng đi qua mọi đỉnh của mục tiêu xạ ảnh trừ đỉnh Si có
phương trình: xi = 0, và tọa độ của nó là: (0,… ,0,1,0,… ,0)(số 1 nằm
ở vị trí thứ i + 1, ngoài ra là số 0).
Đối với mỗi siêu phẳng α = (aO ,a1 ,… ,an )ta cũng kí hiệu ma trận
cột tọa độ của nó là (α). Như thế phương trình của siêu phẳng α có
thể viết dưới dạng ma trận:
(α )t(X ) = 0.
1.4.4. siêu phẳng độc lập

Cho m là siêu phẳng α1 ,… ,αm có tọa
độ: α1 (aO1 ,a11 ,… ,an1 )
α2 (aO2 ,a12 ,… ,an2 )
…………………….
αn (aOm ,a1m ,… ,anm )


Nếu rank(aij) = m thì {αi }mi= được gọi là hệ siêu phẳng độc lập.
1

Nếu m siêu phẳng đó độc lập thì phương trình tổng quát của chúng làm
thành một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có hạng bẳng m.
Từ đó suy ra: Giao của n − m siêu phẳng độc lập là m − phẳng.
1.5. Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng
1.5.1. Định nghĩa
Trong K − không gian xạ ảnh Pn liên kết với V n+ 1 cho bốn điểm
thẳng hàng A,B ,C,D trong đó có ba điểm A,B ,C đôi một không trùng
nhau.
Ta gọi a⃗,b¯⃗,¯c⃗,¯d¯⃗ là các vectơ lần lượt đại diện cho các điểm A,B ,C,D thì
các vectơ đó thuộc một không gian vectơ hai chiều, trong đó a⃗ và b¯⃗độc
lập tuyến tính. Ta suy ra có các số k1 ,l1 và k2 ,l2 sao cho:
c⃗= k1 a⃗+ l1 b¯⃗
d⃗ = k2 a⃗+ l2 b¯⃗
Trong đó (k1 ≠ 0 và l1 ≠ 0 vì C không trùng với A và B )
có nghĩa (tức là ≠ 0) thì nó được gọi là tỉ số
l2
Khi đó nếu tỉ số: k2
:
k1
l2

l1

kép của bốn điểm thẳng hàng A,B ,C,D . Kí hiệu là: (ABCD )hay [ABCD
].
k
Nếu l2 = 0 thì phân số 2 không có nghĩa. Khi đó ta xem tỉ số kép của
l2
bốn điểm A,B ,C,D bằng  (vô cùng).
k2 k1
∶

nếu l ≠ 0


Như vậy: (ABCD )= { l2 l1
∞

2

nếu l2 = 0


Nhận xét: Tỉ số kép nói trên không phụ thuộc vào cách chọn các vectơ đại
diện cho A, B,C, D .
1.5.2. hất của tỉ số kép
Cho bốn điểm

A, B,C, D thẳng hàng và phân biệt. Khi đó:
1

a.  ABCD   BACD 

 ABCD

Có nghĩa là: Khi hoán vị hai điểm đầu với nhau hoặc hai điểm cuối với
nhau thì tỉ số kép trở thành số nghịch đảo.

b.(ABCD ) = (BADC )
Có nghĩa là: Khi hoán vị đồng thời hai điểm đầu với nhau và hai điểm
cuối với nhau thì tỉ số kép không thay đổi.

c. (ABCD )= (CDAB )
Có nghĩa là: Khi hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối, tỉ số kép
không thay đổi.

d.(ACBD ) = (DBCA )= 1 − (ABCD )
Có nghĩa là: Khi hoán vị hai điểm ở giữa với nhau hoặc hoán vị điểm
đầu và điểm cuối với nhau thì được tỉ số kép mới bằng 1 trừ đi tỉ số kép cũ.

e. Nếu A,B ,C,D ,E là năm điểm thẳng hàng và phân biệt thì:
(ABCD ).(ABDE ) = (ABCE )
1.5.3. iểu thức tọa độ
Giả sử trong P n đã chon một mục tiêu xạ ảnh {Si ,U } cho bốn điểm
thẳng hàng A,B ,C,D với các ma trận cột tọa độ lần lượt là: (A),(B
),(C ),(D ).
Như đã biết, khi đó ta có: (C ) = k1 (A)+ l1 (B )và (D ) = k2 (A)+ l2 (B
)
