Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình vào không gian xạ ảnh

1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HOC VINH

LÊ HOÀI THANH

ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI
VỚI BỘI CẮT CỤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH
VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2012


2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HOC VINH

LÊ HOÀI THANH

ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI
VỚI BỘI CẮT CỤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH
VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
MÃ SỐ: 60. 46. 05

Người hướng dẫn khoa học
TS: MAI VĂN TƯ

NGHỆ AN - 2012


1

MỤC LỤC
Trang
DANH MỤC KÍ HIỆU
LỜI NÓI ĐẦU.................................................................................................1
Chương 1 :Một số kiến thức cơ bản.............................................................5
1.1. Một số khái niệm về đường cong chỉnh hình..............................................5
1.2 Các hàm cơ bản của lý thuyết Nevanlinna- Cartan...................................6
Chương 2: Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh
hình phức........................................................................................................12
2.1 Các bổ đề và khái niệm.............................................................................12
2.2Chứng minh định lý 2.1.6...........................................................................20
KẾTLUẬN......................................................................................................27
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................28

DANH MỤC KÍ HIỆU


2

W là trường đóng đại số với đặc số 0

Pn ( W) là không gian xạ ảnh n chiều trên trường W
T f (r ) là hàm đặc trưng
f là hàm phân hình

N f (r , D) hàm đếm kể cả bội
N Mf (r , D) hàm đếm bội cắt cụt , trong đó M là chỉ số bội cắt cụt
m f (r , D) hàm xấp xỉ của f

n

f

(r , D) là số không điểm của

Q  f trong đĩa

n Mf (r , D) là số các không điểm của

z < r , kể cả bội

Q  f trong đĩa

z < r , bội cắt cụt bởi một số

nguyên dương M
δ f (D) là số khuyết
δ fM (D) là số khuyết cắt cụt của đừơng cong f kết hợp với siêu mặt D , trong đó
M là một số nguyên dương


1

LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna được đánh giá như là một trong những

thành tựu sâu sắc và đẹp đẽ của toán học trong thế kỷ XX. Được hình thành từ
những năm đầu của thế kỷ XX, lý thuyết Nevanlinna bắt đầu bằng những công
trình của Hadamard, Borel và ngày càng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
khác nhau của toán học. Lý thuyết phân bố giá trị và sự tổng quát hoá Định lý cơ
bản của đại số, chính xác hơn đó lý thuyết nghiên cứu sự phân bố giá trị của hàm
phân hình trên C . Trung tâm lý thuyết là hai định lý cơ bản. Định lý cơ bản thứ
nhất, một cách viết khác của công thức Poisson-Jensen, cho thấy quan hệ giữa
hàm đặc trưng T f (r ) của hàm phân hình f với hàm đặc trưng Tr (r , a) của hàm
1
. Định lý cơ bản thứ hai thể hiện những kết quả đẹp và sâu sắc nhất của lý
f −a

thuyết, được phát biểu dưới nhiều dạng khác nhau: Quan hệ giữa hàm đặc trưng
với các hàm đếm, các hàm đếm bội cắt cụt, các hàm xấp xỉ,…..
Kí hiệu K là một trường đóng đại số, có đặc số 0, đầy đủ với chuẩn không
Acsimet, W là C hoặc K , Pn ( W) là không gian xạ ảnh n chiều trên trường W .
Một vấn đề tự nhiên được các nhà toán học đặt ra là: Nghiên cứu lý thuyết
Nevanlinna chiều cao, tức là xét phân bố giá trị cho ánh xạ chỉnh hình giữa các
đa tạp trên W. Đầu tiên phải kể tới những công trình của H.Cartan công bố vào
năm 1933. Về sau, việc tiếp tục phát triển lý thuyết phân bố giá trị cho ánh xạ
chỉnh hình và nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết đó trong các lĩnh vực khác
nhau của toán học phát triển mạnh mẽ và thu hút được sự quan tâm của nhiều
nhà toán học trên thế giới.


2
Về đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính f : C → Pn (C) và q siêu
phẳng H 1 ,....., H q ở vị trí tổng quát trong Pn (C) . Năm 1933 H. Cartan chứng
minh: Với mỗi ε ≥ 0 , với mỗi r > 0 đủ lớn nằm ngoài một tập có độ đo Lebesgue
hữu hạn.

q

( q −n −1 −ε)T f (r ) ≤∑N nf (r , H j ) +0(1) .
j =1

Kết quả trên của H. Cartan là một dạng Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt
cụt cho đường cong chỉnh hình từ C vào Pn (C) không suy biến tuyến tính kết
hợp với các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Công trình này của ông được đánh giá
hết sức quan trọng, nó mở ra một hướng nghiên cứu mới trong việc phát triển lý
thuyết phân bố giá trị là nghiên cứu sự phân bố giá trị của ánh xạ phân hình mà
ngày nay gọi là “ Lý thuyết Nevanlinna- Cartan”. Các kết quả nghiên cứu của
các nhà toán học về lý thuyết này trong thời gian gần đây tập trung vào hai vấn
đề:
1. Xây dựng các dạng Định lý cơ bản thứ hai với mục tiêu là các siêu mặt
cố định hoặc di động, bằng các thiết lập quan hệ giữa các hàm đặc trưng
Nevanlinna- Cartan với các hàm xấp xỉ, hàm đếm được hay hàm đếm bội cắt cụt.
Từ đó suy ra các kết quả về quan hệ số khuyết.
2. Nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna- Cartan trong các
vấn đề khác nhau của toán học, chẳng hạn, nghiên cứu sự suy biến của các
đường cong đại số, xây dựng các tập xác định duy nhất cho ánh xạ phân hình,…
Một ứng dụng quan trọng của Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt trong lý
thuyết Nevanlinna -Cartan là nghiên cứu sự xác định của ánh xạ phân hình
thông qua ảnh ngược của một hay nhiều tập hữu hạn phần tử. Vấn đề này cũng
thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học: R. Nevanlinna, H. Fujimoto, L.


3
Smiley, H. H. Khoai, G. Dethloff, D. D. Thai, C. C. Yang, A. Boutabaa, W.
Cherry, M. Ru và nhiều nhà toán học khác. Năm 1926, R. Nevanlinna chứng
minh: Hai hàm phân hình phức khác hằng f , g thỏa mãn f

thì f ≡g

−1

−1

(ai ) = g (ai ) ,

i = 1,2,...,5

. Năm 1975 H. Fujimoto mở rộng kết quả này của Nevanlinna cho

ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức, cho thấy tồn tại các tập xác định
duy nhất kể cả bội gồm 3n + 2 siêu phẳng ở vị trí tổng quát cho họ các ánh xạ
phân hình phức không suy biến tuyến tính. Năm1983, L.Smeley chứng minh một
kết quả về sự xác định duy nhất của ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính
bởi ảnh ngược của một họ hữu hạn các siêu phẳng, vấn đề đó được H. Fujjmoto
nghiên cứu lại năm 1998. Năm 2006, G. Dethloff và T. V. Tan xem xét vấn đề
tương tự cho trường hợp siêu phẳng di động. Năm 2002 và 2003, V. H. An và Đ.
Q. Manh đưa ra một số điều kiện đại số của tập hợp xác định điều kiện duy nhất
không kể bội cho các ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh phức và không
Acsimet trong trường hợp siêu phẳng cố định. Năm 2008, bằng việc sử dụng
định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình của AnPhuong, Dulock và Ru đã chứng minh định lý duy nhất cho đường cong chỉnh
hình trong trường hợp siêu mặt. Thời gian gần đây các nhà toán học tập trung
vào việc nghiên cứu các vấn đề: Tìm các đặc trưng của tập xác định duy nhất và
các dạng tập xác định duy nhất với số phần tử ít nhất có thể. Chú ý rằng, hầu hết
những chứng minh của các kết quả về tập xác định duy nhất đều dựa vào dạng
Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt.
Sự lựa chọn đề tài: “Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong
chỉnh hình vào không gian xạ ảnh” của tác giả luận văn cũng nhằm tiếp tục tìm

hiểu lý thuyết Nevanlinna-Cartan.


4
Luận văn trình bày một số dạng Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho
đường cong chỉnh hình vào không gian xạ ảnh phức và không Acsimet.
Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản liên quan đến hàm chỉnh
hình trong lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna- Cartan.
Chương 2: Tìm hiểu Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường
cong chỉnh hình phức. Đặc biệt, Định lý 2.1.6 là một dạng định lý cơ bản thứ hai
với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình từ C vào Pn (C) kết hợp với các siêu
mặt cố định ở vị trí tổng quát trong Pn (C) , cho thấy một quan hệ giữa hàm đặc
trưng T f (r ) của đường cong chỉnh hình f : C → Pn (C) với các hàm đếm bội cắt cụt
N Mf (r , D) , trong đó chúng tôi chỉ ra một cách tường minh chỉ số bội cắt cụt.

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của
TS Mai Văn Tư. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Mai Văn
Tư đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận
lợi, cùng với những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập
nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Trường
Đại học Vinh đã động viên trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu cũng như
quá trình viết và chỉnh sửa luận văn này.
Mặc dù đã cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng
tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn
đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
vinh, tháng 9 năm 2012
tác giả

5

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
Cho hàm chỉnh hình f : C → C , điểm z0 ∈C được gọi là không điểm bội k
của f nếu tồn tại một hàm chỉnh hình h(z ) không triệt tiêu trong một lân cận U
của z0 sao cho trong lân cận U đó hàm f được biểu diễn dưới dạng.

f ( z ) = ( z − z 0 ) k h( z ).
Nghĩa là f ( z0 ) = f / ( z0 ) = .... = f ( k −1) ( z0 ) = 0 và f ( k ) ( z0 ) ≠ 0. Với z ∈ C , ta kí hiệu:
k nếu z là không điểm bội k của f ,
ord f ( z ) = 
0 nếu f ( z ) ≠ 0 .

Giả sử f là một hàm phân hình, khi đó f =

f1
, trong đó f1 , f 2 là các
f2

hàm chỉnh hình không có không điểm chung. Số phức z0 gọi là không điểm
bội k của f nếu z0 là không điểm bội k của f1 , z0 gọi là cực điểm bội k của f
nếu z0 là không điểm bội k của f 2 .
1.1 Một số khái niệm về đường cong chỉnh hình
1.1.1 Định nghĩa
Một ánh xạ chỉnh hình từ C vào Pn (C) hay còn gọi là đường cong chỉnh
hình trong không gian xạ ảnh Pn (C) được định nghĩa là ánh xạ:

f =

(f

;.....;

0

f

) : C →P ( C)
Z →( f ( z ) : .... f
n

n

0

n

( z) )


6
Trong đó, f j ,0 ≤ j ≤ n , là các hàm nguyên trên C . Nếu f j , j = o,..., n , là
các đa thức thì f được gọi là đường cong đại số.
1.1.2 Định nghĩa
Đường cong chỉnh hình f : C → Pn (C) được gọi là suy biến tuyến tính nếu
ảnh của f chứa trong một đa tạp tuyến tính thực sự nào đó của không gian xạ
ảnh Pn (C) . Đường cong f được gọi là suy biến đại số nếu ảnh của f chứa trong
một đa tạp con đại số thực sự nào đó của Pn (C) .

1.1.3 Định nghĩa
n
Cho đường cong chỉnh hình f = ( f 0 ,..., f n ) : C → P (C) trong đó f 0 ,..., f n là các

hàm nguyên, không có không điểm chung trên C . Ta gọi ánh xạ
f = ( f 0 ,... f n ) : C → Cn +1 \ { 0} là một biểu diễn tối giản của f .

Mệnh đề sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa, chúng tôi sử dụng để
chứng minh hai đường cong chỉnh hình đồng nhất bằng nhau.
1.1.4 Mệnh đề
Cho f , g : C → Pn (C) , là hai đường cong chỉnh hình khác hằng và
( f 0 ,..., f n ), ( g 0 ,..., g n ) lần lượt là các biểu diễn tối giản của

f , g . Khi đó

f ≡g nếu và chỉ nếu f i g j ≡ f j g i với mọi cặp chỉ số phân biệt i, j ∈ ( 0,1,..., n ) .
Tiếp theo ta định nghĩa hàm đặc trưng, hàm xấp xỉ, hàm đếm được của
đường cong kết hợp với các siêu mặt cố định. Cho đường cong chỉnh hình
f : C → Pn (C) và các biểu diễn tối giản ( f 0 ,..., f n ) của f .

1.2 Các hám cơ bản của lý thuyết Nevanlinna - Cartan
1.2.1 Định nghĩa Hàm T f (r ) =

1
2π

2π

∫ || f (re
0

iθ

) || dθ


7
Được gọi là hàm đặc trưng Nevanlinna- Cartan ( hay hàm độ cao Cartan)
của f , trong đó

f ( z ) = max{ f 0 ( z ) ,......, f n ( z ) } .

Giả sử D là một siêu mặt (cố định) bậc d trong Pn (C) , xác định bởi đa thức
thuần nhất Q .
1
1.2.2 Định nghĩa Hàm m f (r , D ) = m f (r , Q) :=
2π

2π

(

f reiθ

)

d

∫ log Q( f ) ( re θ ) dθ
0

i

Được gọi là hàm xấp xỉ của f kết hợp với siêu mặt D .
Kí hiệu n f (r , D) là số không điểm của Q  f trong đĩa z < r , kể cả bội,
n Mf (r , D) là số các không điểm của Q  f trong đĩa z < r , bội cắt cụt bởi một số

nguyên dương M . Nghĩa là.
n f (r , D) =
n Mf (r , D) =

∑ ord

z∈C ,| z|< r

Q f

( z ).

∑ min{M , ord

z∈C ,| z |< r

Q f

( z )}.

Ta kí hiệu
n f (0, D) = ord Q f (0),
n Mf (0, D) = min{M , ord Q f (0)}.

1.2.3 Định nghĩa Hàm
r

N f (r , D) = N f (r , Q) :=

∫

n f (t , D) − n f (0, D)
t

0

dt + n f (0, D) log r

Được gọi là hàm đếm kể cả bội và hàm
r

N Mf (r , D) = N Mf (r , Q) := ∫
0

n Mf (t , D ) − n Mf (0, D)
t

dt + n Mf (0, D) log r

Được gọi là hàm đếm bội cắt cụt bởi M của đường cong f kết hợp với siêu
M
mặt D . Số M trong kí hiệu N f (r , D) được gọi là chỉ số bội cắt cụt. Trường hợp

8
1
đặc biệt, nếu M = 1 , ta viết N f (r , D) thay cho N f (r , D) và gọi là hàm đếm không

kể bội.
Với mỗi số nguyên dương k , kí hiệu n f (r , D, ≤ k ) là số các không điểm có
bội nhỏ hơn hay bằng k của Q  f trong đĩa z < r và n f (r , D, > k ) là số không
điểm có bội ít nhất bằng k + 1 của Q  f trong đĩa z < r . Các hàm đếm được
định nghĩa như sau:
r

N f ,≤k ( r , D) = ∫

n f (t , D, ≤ k ) −n f (0, D, ≤ k )
t

0

r

N f ,>k (r , D) = ∫

dt + n f (0, D, ≤ k ) log r ;

n f (t , D, > k ) −n f (0, D, > k )
t

0

dt + n f (0, D, > k ) log r;

Trong đó n f (0, D, ≤ k ) = ord Q  f (0) nếu ord Q  f (0) ≤ k , bằng 0 trong trường hợp
ngược lại, n f (0, D, > k ) = ord Q  f (0) nếu ord Q  f (0) > k , bằng 0 trong trường hợp
ngược lại. Với các số nguyên dương ∆, k . Ta kí hiệu:
n ∆f (r , D, ≤ k ) =
n ∆f (r , D, > k ) =

∑ min{ord

| z|≤ r , ord Q  f ≤ k

∑ min{ord

| z|≤ r , ord Q  f > k

Q f

Q f

( z ), ∆}
( z ), ∆}

Các hàm đếm bội cắt cụt được định nghĩa như sau:
N

∆
f , ≤k

r

=∫
0

N

∆
f ,>k

r

=∫
0

n ∆f (t , D, ≤ k ) − n ∆f (0, D, ≤ k )
t

dt + n ∆f (0, D, ≤ k ) log r;

n ∆f (t , D, > k ) − n ∆f (0, D, > k )
t

dt + n ∆f (0, D, > k ) log r;

∆
Trong đó n f (0, D, ≤ k ) = min(ord Q  f (0), ∆) nếu ord Q  f (0) ≤ k , bằng 0 trong
∆
trường hợp ngược lại, n f (0, D, > k ) = min(ord Q  f (0), ∆) nếu ord Q  f (0) > k , bằng 0

9
trong trường hợp ngược lại. Bổ đề sau sẽ cho một số tính chất của các hàm đếm
và hàm đếm bội cắt cụt.
1.2 4 Bổ đề.
Với các giả thiết và các kí hiệu như trên, ta có:
1) N f ( r , D) = N f ,≤k (r , D) + N f ,>k (r , D);
∆
∆
∆
2) N f (r , D) = N f ,≤k ( r , D ) + N f ,>k (r , D );
∆
3) N f (r , D) ≤ N f (r , D);
1
∆
1
4) N f ( r , D) ≤ N f (r , D ) ≤ ∆N f ( r , D );

1
∆
1
5) N f , ≤ K ( r , D ) ≤ N f , ≤ K (r , D ) ≤ ∆N f , ≤ K (r , D );
1
∆
1
6) N f , >K (r , D) ≤ N f , >K (r , D ) ≤ ∆N f , >K (r , D);

7)

1
∆

N ∆f , ≤ k ( r , D) + N ∆f , > k (r , D) ≤
N f (r , D);
k +1
k +1

Chứng minh: Các tính chất 1, 2, 3, 4, 5 và 6 là hiển nhiên theo định nghĩa
của các hàm đếm và hàm đếm bội cắt cụt. Ta chứng minh tính chất 7. Từ các
tính chất 5 và 6 ta có
1
∆
N ∆f , ≤ k (r , D) + N ∆f , > k (r , D) ≤
N 1f , ≤ k (r , D) + ∆N 1f , > k ( r , D).
k +1
k +1
1
Chú ý rằng N f , > k (r , D) chỉ đếm tại các không điểm bội ≥ k + 1 của Q  f , nên

N 1f , > k (r , D) ≤

1
N f , > k (r , D).
k +1

Kéo theo
1
∆
∆
∆
N ∆f , ≤ k (r , D) + N ∆f , > k (r , D) ≤
N f , ≤ k (r , D) +

N f , > k (r , D) =
N f (r , D).
k +1
k +1
k +1
k +1

Tính chất 7 được chứng minh.
1.2.5 Bổ đề




10
n
Giả sử f = ( f 0 ,..., f n ) : C → P (C) là đường cong chỉnh hình khác hằng, khi

đó N f j (r ,0) ≤ T f (r ) + 0(1) Với mỗi j = 0,1,..., n trong đó N f (r ,0) là hàm đếm
j

được tại các không điểm của hàm f j .
Giả sử f : C → Pn (C) là đường cong chỉnh hình và D là một siêu mặt bậc
d trong Pn (C) xác định bởi các đa thức thuần nhất Q .

1.2.6 Định nghĩa . Số

δ f ( D) = δ f (Q) = 1 − lim sup

N f (r , Q)

r→ ∞

dT f (r )

,

Được gọi là số khuyết và số

δ ( D) = δ (Q) = 1 − lim sup
M
f

M
f

r→ ∞

N Mf (r , Q)
dT f (r )

,

Được gọi là số khuyết bội cắt cụt của đường cong f kết hợp với siêu mặt
f : C → Pn (C) , trong đó M là một số nguyên dương.

Dễ thấy rằng, với mỗi đường cong chỉnh hình f : C → Pn (C) , ta luôn có
0 ≤ δ f ( D) ≤ δ fM ( D) ≤ 1

Với mọi số nguyên dương M và siêu mặt D .
1.2.7 Định lý.( Định lý cơ bản thứ nhất với lý thuyết Nevanlinna)

Giả sữ f : C → Pn (C) , là một đường cong chỉnh hình và là một siêu mặt
bậc d trong Pn (C) . Nếu f (C) ⊄ D thì với mỗi số thực dương r , ta có

m f (r , D) + N f (r , D) = dT f (r ) + 0(1),
trong đó 0(1) là một hằng số độc lập với r .
Kí hiệu ( z0 ,..., z n ) là hệ tọa độ thuần nhất trong Pn (C) Cho đa tạp đại số xạ
ảnh X có số chiều bằng k , (k ≤ n) , và một họ gồm q siêu mặt.


11
D = {D1,..., Dq } trong Pn (C) . Trong đó D j xác định bởi đa thức thuần nhất Q j
trong C[ z 0 ,.., z n ], j = 1,2..., q . Với số nguyên dương N ≥ k , ta định nghĩa khái niệm
họ các siêu mặt ở vị trí tổng quát như sau:
1.2.8 Định nghĩa
Họ D các siêu mặt trong Pn (C) được gọi là ở vị trí N - tổng quát đối với
đa tạp X nếu q ≥ N + 1 và với mọi cách chọn N + 1 siêu mặt D j ,1 ,.., D j , N +1 trong họ
D, ta luôn có
{x ∈ X | Qi1 ( x) = ... = QiN +1 ( x) = 0} ≠ φ .

Đặc biệt nếu N = K , ta nói họ các siêu mặt D ở vị trí tổng quát đối với X .
Nếu N = K = n , ta nói họ D ở vị trí tổng quát ( đối với Pn (C) ).


12
CHƯƠNG 2
ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THƯ HAI VỚI BỘI CẮT CỤT CHO ĐƯỜNG
CONG CHỈNH HÌNH PHỨC
Trước khi phát biểu và chứng minh kết quả chính, chúng tôi trình bày một
số bổ đề cần thiết cho việc chứng minh. Cho α là một số nguyên dương, kí
hiệu Vα là không gian các đa thức thuần nhất, bậc α trong C[ z0 ,.., z n ] .

2.1 Các bổ đề và khái niệm
2.1.1 Bổ đề
Giả sử g1 ,..., g n là các đa thức thuần nhất trong C[ z0 ,.., z n ] , xác định một
đa tạp con trong Pn (C) có số chiều bằng 0. Khi đó, với mỗi
n

α ≥ ∑ deg g i , dim
i =1

Vα
= deg g1.... deg g n .
( g1 ,..., g n ) ∩ Vα

Ta gọi mỗi bộ m số tự nhiên (i1 ,..., im ) là một m - bộ các số tự nhiên.
2.1.2 Định nghĩa
Cho hai m - bộ các số tự nhiên. ( j1 ,..., j m ), (i1 ,..., i m ) , ta nói
( j1 ,..., j m ) >(i1 ,..., i m ) nếu và chỉ nếu tồn tại b ∈ {1,..., m} sao cho jl = il với

mọi l < b và jb > ib .
Với định nghĩa trên, chúng ta xây dựng được một quan hệ thứ tự trong N m ,
thứ tự đó gọi là thứ tự từ điển của các m - bộ các số tự nhiên. Với một m - bộ
m

(i ) = (i1 ,..., im ) các số tự nhiên ta kí hiệu σ (i ) = ∑ i j .
j =1

Giả sử g1 ,..., g n ∈ C[ z0 ,..., z n ], là các đa thức thuần nhất bậc d , định nghĩa
một đa tạp con trong Pn (C) các số chiều 0, ta xây dựng một lọc của Vα , (α ≥ nd )
dựa trên các đa thức g1 ,..., g n như sau: Kí hiệu:

13
I α , d = {(i ) = (i1 ,..., in ) ∈ N n | σ (i ) ≤ α / d }. Nó đã được sắp xếp thứ tự theo từ

điển. Với mỗi (i ) ∈ Iα , d , gọi Si = Sα , (i ) là không gian con của Vα được định nghĩa
bởi.
S (i ) =

∑g

e1
1
( e )∈Iα , d , ( e ) ≥( i )

.....g nen Vα −dσ ( e ) .

Khi đó S ( 0,...,0)= Vα và S(i ) ⊂ S(i ) nếu (i / ) > (i ) Như vậy {S (i ) | (i) ∈ Iα , d } cho ta
/

một lọc của Vα . Bổ đề sau đây sẽ cho một tính chất của không gian thương của
hai không gian liên tiếp trong lọc.
2.1.3 Bổ đề
Giả sử (i / ) > (i ) là hai phần tử liên tiếp theo thứ tự từ điển trong Iα , d . Khi
Vα − dσ ( i )

S (i )

đó tồn tại đẳng cấu S (i / ) = ( g ,..., g ) ∩ V
.
1

n
α − dσ ( i )
S (i )

Ngoài ra, ta có thể chọn được một cơ sở của S (i / ) từ tập hợp tất cả các
i
lớp tương đương có dạng g1i ..... g n η modulo S (i ) trong đó η là một đơn thức
1

n

,

bậc α − dσ (i ) của các biến z 0 ,....z n .
Chứng minh. Trước tiên, ta xây dựng đồng cấu φ giữa các không gian véctơ
φ : Vα −dσ (i ) →

S (i )

S (i / ) ,

Trong đó φ được xác định như sau: với một đa thức η trong Vα − dσ (i ) , φ
(η ) là lớp tương đương của g1 ,....., g nη ( thuộc Vα − dσ (i ) ) modulo Vα −dσ ( i / ) . Theo

định nghĩa của không gian Vα − dσ (i ) , đồng cấu trên là một toàn ánh. Như vậy, ta
chỉ cần chứng minh ker φ = ( g1 ,.., g n ) ∩Vα−dσ( i ) .


14
S (i )

Từ cấu trúc của đồng cấu φ , ta có thể chọn được một cơ sở của S (i / ) từ tập
i
hợp tất cả các lớp tương đương có dạng g1i .....g n η modulo S i , trong đó η là một
1

n

/

đơn thức của các biến z 0 ,....z n . với bậc tổng cộng bằng α − dσ (i ) . Vì tập hợp tất
cả các đơn thức của các biến z 0 ,....z n . với bậc tổng cộng bằng α − dσ (i ) tạo nên
một cơ sở của Vα − dσ (i ) nên ta có điều cần chứng minh.



Như một hệ quả trực tiếp của các bổ đề 2.1.1 và 2.1.3, ta có bổ đề sau đây
đưa ra đánh giá về số chiều của các không gian thương của hai không gian liên
tiếp trong lọc.
2.1.4 Bổ đề
Giả sử g1 ,..., g n là các đa thức thuần nhất bậc d trong C[ z0 ,.., z n ] Nếu
S(i )
= d n.
σ (i) ≤ α / d − n thì ∆ i := dim
S
(i / )

Khi xem xét bội của không điểm của đường cong, người ta thường xem xét
hàm Wronskian của nó. Để tiện theo dỏi chúng tôi nhắc lại một số tính chất
quen thuộc của hàm này. Cho đường cong chỉnh hình f : C → Pn (C) và một biểu

diễn tối giản ( f 0 ,..., f n ) của f , Wronskian của đường cong f là hàm.

f 0 ...... f n
f 0/ ...... f n/
W ( f ) =W ( f 0 ,.., f n ) :=
 
f 0( n ) .... f n( n )
2.1.5 Bổ đề
Cho n + 1 dạng tuyến tính độc lập tuyến tính L0 ,..., Ln trong Pn (C) . Với mỗi
j = 0,...., n đặt F j = L j ( f 0 ,..., f n ) . khi đó W ( F0 ,..., Fn ) = C.W ( f 0 ,..., f n ),


15
Trong đó C ≠ 0 là một hằng số chỉ phụ thuộc vào các hệ số của
L j , j = 1,...., n , không phụ thuộc vào f 0 ,..., f n .

Kí hiệu

1..........1
/
0

f / f 0 ... f n/ / f n
 

L = L( f ) = L( f 0 ,...., f n ) =

f 0( n ) / f 0 ... f n( n ) / f n
Khi đó L( f ) =

W ( f 0 ,..., f n )
.
f 0 ,...., f n

Sau đây chúng tôi phát biểu và chứng minh một dạng định lý cơ bản thứ hai
đối với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình từ C vào Pn (C) kết hợp với các
siêu mặt ở vị trí tổng quát.
2.1.6 Định lý
Cho một đường cong chỉnh hình không suy biến đại số f : C → Pn (C) và một
họ các siêu mặt D j ,1 ≤ j ≤ q trong Pn (C) có bậc d j tương ứng ở vị trí tổng quát.
Gọi d là bội số chung nhỏ nhất của các d j .
Với 0 < ε < 1 và M ≥ 2d [2n (n + 1)n(d + 1)ε −1 ]n , ta có
q

(q − (n + 1) − ε )T f (r ) ≤ ∑ d −j 1 N Mf (r , D j )
j =1

,

(2.1)

Trong đó bất đẳng thức trên đúng với mọi r > 0 đủ lớn nằm ngoài một tập
thích hợp có độ đo Lebesgue hữu hạn.
Để chứng minh Định lý 2.1.6 ta cần các bổ đề sau
2.1.7 Bổ đề
Giả sử f : C → Pn (C) là một đường cong chỉnh hình không suy biến đại số
và D j ,1 ≤ j ≤ q , là các siêu mặt bậc d ở vị trí tổng quat trong Pn (C) . Gọi


16

Q j , j = 1,..., q , là các đa thức thuần nhất bậc d xác định siêu mặt D j tương ứng.

Khi đó
q

2π

j =1

0

∑ m f (r , Q j ) ≤

∫

|| f (re iθ ) || dθ
+ 0(1),
iθ
k =1 | Qi k  f ( re ) | 2π
n

max log ∏

{i1 ,..., i n }

(2.2)

Trong đó maximum được lấy trên mọi cách chọn bộ n chỉ số {i1 ,.., in } trong
tập {1,..., q} .
Chứng minh. Lấy tùy ý z ∈ C , khi đó tồn tại một hoán vị {i1 ,.., iq } của các

chỉ số {1,..., q} sao cho
Qi1  f ( z ) ≤ Qi2  f ( z ) ≤ ...... ≤ Qiq  f ( z ) .

(2.3)

Do Qi ,1 ≤ j ≤ n , ở vị trí tổng quát theo Hilberts Nullstelensatz ta có với mỗi
j

số nguyên k ,0 ≤ k ≤ n , tồn tại số nguyên

m

k

≥ d sao cho

n +1

z kmk = ∑ b jk ( z 0 ,..., z n )Qi j ( z 0 ,..., z n ),
j =1

Trong đó b jk ,1 ≤ j ≤ n + 1,0 ≤ k ≤ n , là các đa thức thuần nhất bậc mk − d với
các hệ số lấy trên C . Suy ra
n +1

| f k ( z ) |m k ≤ ∑ | b jk ( f 0 ( z ),..., f n ( z )) | . | Qi j ( f 0 ( z ),..., f n ( z )) | .
j =1

(2.4)

Do b jk là các đa thức thuần nhất bậc mk − d nên

{

b jk ( f 0 ( z ),..., f n ( z )) ≤ c jk max f 0 ( z )

(

= c jk max { f 0 ( z ) ,..., f n ( z ) }

)

mk − d

mk − d

,..., f n ( z )

= c jk f ( z )

mk − d

mk − d

}

,

Trong đó c jk là tổng môđun các hệ số trong b jk . Hiển nhiên c jk chỉ phụ
thuộc vào b jk mà không phụ thuộc vào f 0 ,..., f n . Mặt khác, với mỗi k = 0,1,..., n ,

ta có


17
n +1

∑| Q ( f
j =1

0

( z ),..., f n ( z )) |≤ ( n + 1) max{| Qi1  f ( z ) |,...., | Qi n + 1  f ( z ) |}.

c1 = (n + 1) max{c jk : j = 1,..., n + 1 : k = 0,..., n}. .

Đặt

Bất đẳng thức 2.4 kéo theo
| f k ( z ) |m k ≤ c1 || f ( z ) ||m k − d max {| Qi1  f ( z ) |,...., | Qi n +1  f ( z ) |}.

(2.5)

Trong đó c1 là một hằng số dương chỉ phụ thuộc vào các hệ số của các đơn
thức trong b jk ,1 ≤ j ≤ n + 1,0 ≤ k ≤ n , tức là phụ thuộc vào các hệ số của các đa
thức thuần nhất Qi , i = 1,...q . Chú ý rằng 2.5 đúng với mọi k , nên
|| f k ( z ) ||m k ≤ c1 || f ( z ) ||m k − d max {| Qi1  f ( z ) |,...., | Qi n +1  f ( z ) |}.

Hay || f k ( z ) ||d ≤ c1 max {| Qi  f ( z ) |,...., | Qi  f ( z ) |}.
n +1

1

(2.6)

Kết hợp (2.3) và (2.6) suy ra
q

∏
j =1

d
 n
f ( z)
= ∏
Q j o f ( z )  k =1 Qik o f ( z )


f ( z)

d
 n
f ( z)
÷ ∏
÷ k =n +1 Qi o f ( z )
k


d

d

n

f ( z)
q −1
÷ ≤ c1 ∏
.
÷
k =1 Qi o f ( z )
k


Từ định nghĩa hàm xấp xỉ ta có
q

∑m
j =1

f

(r , Q j ) =

2π

q

∫ log ∏ Q
j =1

0

≤

≤

2π

n

0

k =1

∫ log ∏ Q

2π

dθ
2π
j o f ( re )
iθ

f (reiθ )

ik

n

i1 ,...,in

d

dθ
+ (q − n) log c1
o f ( reiθ ) 2π

∫ {max} log ∏ Q
0

d

f (reiθ )

k =1

f (reiθ )

ik

d

dθ
+ (q − n) log c1 ,
o f (re ) 2π
iθ

Trong đó maximum được lấy trên mọi cách chọn n chỉ số {i1 ,.., in } trong tập
{1,..., q} .

Bổ đề được chứng minh.



Giả sử γ 1 ,......., γ n là các đa thức thuần nhất bậc d xác định một đa tạp con có
số chiều bằng 0 trong Pn (C) . Với một số nguyên dương α ≥ nd , theo lập luận ở


18
trên, ta xây dựng được một lọc các không gian con S (i ) của Vα dựa trên các đa
thức γ 1 ,......., γ n . Theo bổ đề 2.1.4, ta có
∆ i := dim

S(i )
= d n.
S (i / )

Với mỗi cặp n-bộ các số tự nhiên (i / ), (i) liên tiếp nhau sao cho (i / ) > (i ) và
σ (i ),σ (i / ) ≤ α / d − n .
∆ (i )i j
Đặt M = dim Vα và ∆ := ∑
. Chú ý rằng ∆ không phụ thuộc vào j với
(i )
1≤ j ≤ n.

2.1.8 Bổ đề
Với đường cong chỉnh hình f và ε trong Định lý 2.1.6, nếu
α = d (2( n + 1)(nd + n)(2 n − 1)ε −1 ) + 3nd , thì
Mα
ε
≤ d (n + 1) + T f ( r ) ,
∆

2

(2.7)

Chứng minh. Ta biết số các bộ m số nguyên không âm mà tổng ≤ S ∈ Z
bằng với số các bộ m + 1 số nguyên không âm mà tổng đúng bằng S và bằng
 S + m

÷ Giả sử α chia hết cho d , từ bổ đề 2.1.4 ta có
m



.

∆ :=

∑i ∆
j

σ ( i ) ≤α / d

(i )

≥

∑i ∆
j

σ ( i ) ≤α / d −n

(i )

n +1
dn
=
∑∑
n +1 ∧ j =1 i j
(i )

α / d 
α(α − d )....(α − nd )
(α / d − n ) =
= d ∑(α / d − n ) = d 
,
n 
n +1
n +1
d (n +1)!
n

n

(i )
∧

Trong đó

∑

∧

(i)





được lấy trên tất cả các bộ (n + 1) số nguyên không âm với

tổng chính xác bằng α / d − n . Mặt khác


19
α + n 
M = 
÷
 n 

(2.8)

Mα ( a + 1)......( a + n ) d ( n + 1)
 α +n 
≤
≤ d ( n + 1) 
 .
(α − d )....(α − nd )
∆
 α − nd 
n

Nên

(2.9)

Nếu ta chọn α = d (2(n + 1)(nd + n)(2n − 1)ε −1 ) + 3nd , thì α chia hết cho d và
n + `1 n
   nd + n  r
n +nd 
 α +n 

=
1
+
=
1
+
∑
 ÷
÷

÷ 
÷
α −nd 
r =1  r   α − nd 
α −nd 

n

≤1 +( 2 n −1)

n

nd + n
ε
≤1 +
α − nd
2d ( n +1)

.

Kết hợp các bất đẳng thức 2.9 và 2.10 ta có kết luận của bổ đê.

(2.10)


Định lý sau là một dạng Định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh hình
từ C vào không gian xạ ảnh kết hợp phức với các siêu phẳng. Định lý này
được chứng minh bởi M. Ru vào năm 1997, cần thiết cho việc chứng minh
Định lý 2.1.6.
2.1.9 Định lý
Cho đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính
f = ( f 0 ,..., f n ) : C → Pn (C)

và q siêu phẳng phân biệt H1 ,..., H q trong P n (C ) . Goị L j ,1 ≤ j ≤ q , là các dạng
tuyến tính xác định siêu phẳng H j tương ứng. Kí hiệu W là Wronskian của f .
Khi đó
2π

∫ max log ∏

0

K

j∈K

|| f (re iθ ) || . || L j || dθ
| L j ( f )(re iθ ) |

2π

+ N W (r ,0) ≤ (n + 1)T f (r ) + 0(T f ( r )),


20
Trong đó maximum được lấy trên tất cả các tập con K của {1,2,..., q} sao
cho các dạng tuyến tính L j , j ∈ K , là độc lập tuyến tính và | L j | là giá trị lớn
nhất của môđun các hệ số trong L j .
2.2 Chứng minh định lý 2.1.6
Định lý. Cho một đường cong chỉnh hình không suy biến đại số
f : C → Pn (C) và một họ các siêu mặt D j ,1 ≤ j ≤ q trong Pn (C) có bậc d j tương

ứng ở vị trí tổng quát. Gọi d là bội số chung nhỏ nhất của các d j . Với
0 < ε < 1 và M ≥ 2d [ 2 n (n + 1)n(d + 1)ε −1 ]n , ta có
q

(q − (n + 1) − ε )T f (r ) ≤ ∑ d −j 1 N Mf (r , D j )
j =1

,

(2.1)

Trong đó bất đẳng thức trên đúng với mọi r > 0 đủ lớn nằm ngoài một tập
thích hợp có độ đo Lebesgue hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử ( f 0 ,..., f n ) là một biểu diển tối giản của f và
Q j ,1 ≤ j ≤ q là các đa thức thuần nhất bậc d j trong C[ z0 ,.., z n ] định nghĩa D j . Do
D j ,1 ≤ j ≤ q , ở vị trí tổng quát nên q ≥ n + 1 .

Trước hết ta khẳng định rằng: Chỉ cần chứng minh Định lý trong trường
hợp d1 = ..... = d q = d . Thật vậy, nếu định lý đúng trong trường hợp này thì với
ε > 0 và M như trong Định lý 2.1.6 ta có
q

(q − (n + 1) − ε )T f (r ) ≤ ∑ d −1 N Mf (r , Q j

d /d j

).

j =1

d /d
Trong đó d là bội số chung nhỏ nhất của d j , vì khi đó Q j , j = 1,..., q , là
j

các đa thức thuần nhất bậc d . Thấy rằng, nếu z ∈ C là một không điểm của
d
Q j  f với bội α thì z cũng là không điểm của D dj / d j  f với bội α
dj .

21
d
dj
j

Suy ra N (r , Q ) ≤
M
f

d M
N f (r , Q j ).
dj

Điều đó kéo theo
q

(q − (n + 1) − ε )T f (r ) ≤ ∑ d −1 N Mf (r , Q j

d /d j

j =1

q

) ≤ ∑ d −j 1 N Mf (r , Q j ).
j =1

Như vậy, không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng các đa thức

Q1 ,...., Qq cùng có bậc bằng d .

Theo bổ đề 2.1.7, ta có
q

∑m
j =1

f

(r, Q j ) ≤

2π

n

∫ {max} log ∏ Q
0

i1 ,...,in

k =1

f (reiθ )

ik

d

dθ

+ 0(1) ,
o f (re ) 2π
iθ

(2.11)

Trong đó maximun được lấy trên mọi cách chọn bộ n chỉ số (i1 ,..., in ) trong
tập {1,..., q} .
Ta lấy tùy ý n đa thức phân biệt γ 1 ,..., γ n ∈ {Q1 ,..., Qq } . Từ giả thiết ở vị trí
tổng quát của họ các siêu mặt D1 ,..., Dq suy ra. γ 1 ,..., γ n xác định một đa tạp con
có số chiều bằng 0 trong Pn (C) . Gọi α ≥ nd là một số nguyên dương cố định (ta
sẽ chọn sau) và Vα là không gian các đa thức thuần nhất bậc α trong C[ z0 ,.., z n ]
. Theo lập luận ở trên, ta xây dựng được một lọc các không gian con S (i ) của
Vα dựa trên các đa thức γ 1 ,..., γ n .

Đặt M = dim Vα . Bây giờ ta sẽ chọn một cơ sở thích hợp {ψ 1 ,...,ψ M } của Vα
bằng quy nạp như sau : Ta bắt đầu với một không gian con khác hằng đầu tiên
S (i ) trong lọc và chọn một cơ sở bất kỳ của nó. Giả sử (i / ) > (i ) là hai n bộ liên

tiếp theo thứ tự từ điển sao cho dσ (i ), dσ (i / ) ≤ α và ta đã xây dựng được cơ sở

β (i / ) của

S (i ) . Từ định nghĩa không gian thương của các không gian liên tiếp,