- Trang chủ >>
- Sư phạm >>
- Sư phạm toán
Một điều kiện đối ngẫu cho công thức dưới vi phân của tổng các hàm số lồi và các ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (387.72 KB, 89 trang )
Khóa luận tốt nghiệp
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*********
NGUYỄN THỊ DỊU
MỘT ĐIỀU KIỆN ĐỐI NGẪU CHO CÔNG
THỨC DƯỚI VI PHÂN CỦA TỔNG CÁC
HÀM LỒI VÀ CÁC ỨNG DỤNG
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Giải tích
Người hướng dẫn khoa học
Th.S NGUYỄN VĂN TUYÊN
Hà nội - 2013
Nguyễn Thị Dịu
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đến các thầy cô trong tổ giải tích, khoa Toán trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa
luận.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên
đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành
khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong
khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận
được góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Dịu
LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực
tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo nhiệt
tình của thầy giáo Nguyễn Văn Tuyêncũng như các thầy cô trong tổ Giải
tích, khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Đây là đề tài độc lập
không trùng với đề tài của tác giả khác.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô cùng bạn bè để khóa
luận được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Dịu
DANH MỤC KÍ HIỆU
□ , □ các tập số tự nhiên, số thực.
□
n
n
nón các vec-tơ không âm trong □ .
core A các điểm bọc của A.
lin A bao tuyến tính của A .
X *, X
các không gian liên hợp của X .
**
int X , X phần trong và bao đóngcủa X .
f g tổng chập cực tiểu của f và g.
*
f , f ** hàm liên hợp, liên hợp bậc hai của f .
N D x nón pháp tuyến của D tại x .
f or cl f , co f bao đóng, bao lồi của hàm f .
convX bao lồi của tập X .
epi f trên đồ thị của hàm f .
dom f miền hữu hiệu của hàm f .
o
K tập đối cực của K ,
f ' x; d
C
x , C x hàm chỉ, hàm tựa của tập C X .
đạo hàm của hàm f tại x theo hướng d .
f x dưới vi phân của hàm lồi f tại x .
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
MỞ ĐẦU...............................................................................
1
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.....
3
1.1. Tập lồi.................................................................................
3
1.2. Nón.......................................................................................
12
1.3. Hàm lồi.................................................................................
18
1.4. Dưới vi phân của hàm lồi.................................................
23
CHƯƠNG 2. ĐIỀU KIỆN ĐỐI NGẪU CHO CÔNG
THỨC DƯỚI VI PHÂN CỦA TỔNG CÁC HÀM LỒI VÀ
CÁC ỨNG DỤNG....................................................................
31
2.1. Trên đồ thị của các hàm liên hợp.........................................
31
2.2. Công thức dưới vi phân của tổng.........................................
34
2.3. Đặc trưng nghiệm tối ưu......................................................
39
KẾT LUẬN................................................................................
44
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................
45
MỞ ĐẦU
Có nhiều công thức tính toán dưới vi phân của một tổng. Trong đó
công thức dưới vi phân của tổng hai hàm lồi, chính thường và nửa liên
tục dưới f , g : X □ n là:
f
g x f x g x ,
x dom f dom g,
(0.1)
khi điều kiện chính qui tại f và g thỏa mãn. Công thức này là một chìa
khóa quan trọng để giải các bài toán tối ưu lồi có ràng buộc. Các điều
kiện chính qui đảm bảo cho công thức dưới vi phân của tổng. Đây là một
điều kiện quan trọng trong tối ưu lồi cũng như trong lý thuyết đối ngẫu
của các nón lồi và sự tồn tại cận sai số cho hệ bất đẳng thức lồi. Khi cả
hàm f và hàm g được thay bằng hàm chỉ của các tập lồi C và D thì
công thức dưới vi phân của tổng trở thành công thức xác định nón pháp
tuyến của giao: với mỗi x C D, N x N x N x .
CD
C
D
Trong những năm gần đây các điều kiện cho công thức dưới vi
phân của tổng hay nón pháp tuyến của giao đã được nghiên cứu (xem [2,
, 4, 5, 10, 18, 19, 20]). Tuy nhiên, nguồn gốc của các điều kiện chính qui
này chính là các điều kiện kiểu phần trong-điểm [4, 5]. Mục đích của
khóa luận này trình bày các điều kiện chính qui yếu hơn các điều kiện
kiểu phần trong-điểm cho công thức dưới vi phân của tổng và sau đó đưa
ra các điều kiện tối ưu và các nguyên lý đối ngẫu. Chúng tôi sẽ chỉ ra
công thức tổng (0. 1) đúng khi Epi f * Epi
*
g
là kí hiệu trên đồ thị của hàm liên hợp
Nguyễn Thị Dịu
*
là đóng yếu , với Epi f
*
*
f của hàm f .
Page6
Khóa luận được bố cục như sau:
Chương 1. Trình bày các kiến thức cơ sở về Giải tích lồi.
Chương 2. Trình bày một điều kiện đối ngẫu cho công thức dưới vi
phân của các hàm lồi và ứng dụng. Nội dung chính của chương này trình
bày các kết quả trong bài báo [7].
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.
Tập lồi
1.1.1. Các khái niệm cơ bản
Khái niệm tập lồi là khái niệm trung tâm của thuyết tối ưu. Tập lồi
là tập mà khi lấy hai điểm bất kì của nó thì toàn bộ đoạn thẳng nối các
điểm đó chứa trong tập.
Định nghĩa 1. 1. Một tập X □ n được gọi là tập lồi nếu với mọi
1
x X và x 2
X
nó chứa tất cả các điểm x1 1 x2 , 0 1.
Bổ đề 1. 1. Giả sử I là tập chỉ số bất kì. Nếu tập X i
các tập lồi thì
tập
n
□ , i I là
X iI Xi là tập lồi.
Chứng minh. Ta xét hai trường hợp:
+ Nếu X iI X i
+ Nếu
thì X là tập lồi.
X iI X i , ta có: x, y iI
X i , 0;1
thì suy
ra x, y X i , i I . Khi đó, x 1 y X i , i X i , suy ra,
x 1 y iI
Xi , i X i . Vậy X là tập lồi.
Bổ đề 1. 2. Giả sử X và Y là hai tập lồi trong □ n
và
thực. Khi đó,
Z
□
c , d là các số
c X d Y là tập lồi .
1
Chứng minh. Nếu z Z thì z1 cx1 dy1 với x1
X
1
và y Y .
Tương tự, z2 Z ta cũng có: z 2 cx2 dy2 với x2 X và y2 Y . Khi
đó, với mọi 0,1 ta có:
z1 1 z2 c x1 1 x2 d y1 1 y2 Z .
□
Định nghĩa 1. 2. Một điểm x được gọi là một tổ hợp lồi của các điểm
1
m
x ,, x nếu tồn tại 0 , …,
1
1
x 1x 2 x
2
m
0 sao cho:
... m x
m
và 1 2 ... m 1.
Định nghĩa 1. 3. Bao lồi của tập X (kí hiệu là convX ) là giao của tất cả
các tập lồi chứa X .
Mối quan hệ giữa hai định nghĩa là nội dung của bổ đề sau:
Bổ đề 1. 3. Tập convX làtập hợp các tổ hợp lồi của các điểm thuộc X .
m
m
convX x | x i xi , xi X , 0, i 1, m □ .
i1
i1
Chứng minh. Ta xét tập Y là tập hợp các tổ hợp lồi của các phần tử
thuộc X .
Nếu
1
2
y Y và y Y , thì
1
1
2
m
y 1x 2 x
2
m x ,
1
2
y 1z 2 z
l z ,
l
ở đó x1,, xm , z1,, zm X với mọi hệ số và là các hệ số không
âm, và
m
l
1 , 1.
i
Do đó, với mọi 0;1
i
i1
i1
thì
y 1 y 2
1
(1 ) zi ,
m
l xi
i
i1
i
i1
là tổ hợp lồi của các điểm x1,, xm , z1,, zm . Do đó tập Y là tập lồi.
Hơn nữa, Y X suy ra:
convX Y .
Mặt khác, nếu y Y
thì y là một tổ hợp lồi của các
điểm thuộc X ,
được chứa trong mọi tập lồi nằm trong X . Do đó, convX Y .
□
n
Bổ đề 1. 4. Nếu X □ , thì mọi phần tử của convX là một tổ hợp lồi của
nhiều
nhất
n 1 điểm của X .
Chứng minh. Cho x là tổ hợp lồi
của
m n 1 điểm của X . Ta sẽ
chỉ ra rằng m là giá trị có thể giảm tới một. Nếu j 0
cho một vài j ,
thì ta có thể xóa đi điểm thứ j và ta thực hiện. Vì vậy, ta giả sử mọi
i 0 khi đó m n 1, ta có thể tìm 1 , 2 ,, m
đều khác không, do
đó ta có:
(1.1)
x1
x2
xm
1 2
m
0.
1
1
1
Giả sử min i : i 0 . Chú ý rằng, cũng được xác định, vì
i
nếu
tổng
của
chúng
là
bằng
không
thì
m
m
i1
Theo định nghĩa của , thì có ít nhất một j 0
j 0.Giả
sử
i
.
i
i1
và ta xóa đi điểm thứ
j. Tiếp tục cách này, ta có thể giảm giá trị m tới điểm.
□
Bổ đề 1. 5. Nếu X là tập lồi, thì phần trong của nó là intX và bao đóng
của nó là X cũng là các tập lồi.
Chứng minh:
Giả sử B là hình cầu đơn vị. Nếu x1 int X , x2 int X , khi đó tồn
tại 0 sao cho x1 B X . Do đó, x1 1 x2 B X
với
mọi 0 1. Do đó, x1 1 x2 int X . Để chứng minh phần thứ
hai của bổ đề, giả sử xk x và yk y với xk X và y k X . Khi đó,
dãy điểm x 1 y
k
k
là nằm trong
X
và hội tụ tới điểm
x (1 ) y X .
Bổ đề 1. 6. Giả sử
tập
□
n
X □ là tập lồi. Thì int X khi và chỉ khi X
nằm trong một đa tạp tuyến tính có số chiều nhỏ hơn n .
Chứng minh. Giả sử x0 X . Xét hệ các vectơ
x
x0
với mọi
x X . Giả sử m là giá trị lớn nhất của các vectơ độc lập tuyến tính
trong hệ này. Khi đó các vectơ x x0 với mọi x X , có thể được diễn tả
giống như tổ hợp tuyến tính của m các vectơ v1,v2 ,...,vm . Chú ý rằng,
linv1,v2 ,..., vm
là không gian con của tất cả các tổ hợp tuyến tính của
các vectơ v1,v2 ,...,vm , ta có thể viết như sau:
X x0 linv1, v2 ,...,vm .
Nếu tập X có phần trong là khác rỗng, ta có thể chọn
Khi đó hình cầu tâm
x0 int X .
x0 bao hàm trong X và ta có thể chọn duy nhất n
vectơ độc lập tuyến tính vi
(theo từ phần trên). Do đó trong trường hợp
này thì m n . Hơn nữa, ta giả sử rằng tập x x0 : x X nằm trong n
vectơ độc lập tuyến tính v1,v2 ,...,vm . Theo định nghĩa tập lồi của X ta có
được:
n
n
X x0 ivi : i 1, i 1,..., n .
i1
i1
Vì các vectơ độc lập tuyến tính
vi
nên ta có tập ở vế bên phải là đơn hình
n - chiều và có phần trong khác rỗng.
1. 1. 2. Hình chiếu.
G
iả
s
ử
ta
xét một tập đóng, lồiV □
n
□
và một điểm
n
x□ . Ta gọi
tập các điểm thuộc V gần nhất với x là hình chiếu của x trên V và ta kí
hiệu nó là x . Rõ ràng, nếu x V thì x x , nhưng hình chiếu
V
V
luôn luôn được xác định, vì vậy ta có kết quả sau đây:
Định lí 1. 1. Nếu
tập
x□
n
V□
khác rỗng, lồi và đóng, khi đó với mọi
n
tồn tại duy nhất một điểm z V gần nhất với x .
Chứng minh. Giả sử inf z x : z V . Khi đó V là khác
rỗngvà là hữu hạn. Giả sử ta xét một dãy các điểm
k
z x
k
z V sao cho
là dãy hội tụ
, với k . Do dãy này bị chặn nên dãy zk
với k □ . Kí hiệu giới hạn của dãy là z . Ta có:
zx
lim
k
k
z
x .
VìV là tập đóngnên z V
Suy ra z là hình chiếu của x .
.
Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất:
Thật vậy, giả sử ta có hai điểm z1 X và z 2 X khác nhaulà hình chiếu
của x trên V . Ta xét điểm z
Pythago:
zx
Suy ra
1
2
2
1
4
zz /2,
1
1
z z
2
2
2
2
z V .Khi đó theo định lí
(mâu thuẫn).
2
z z . Vậy Định lí được chứng minh.
Bổ đề 1. 7. Giả sử
rằng
n
□
n
V □ là một tập lồi, đóng và giả sử x□ .
Khi đó V x z khi và chỉ khi z V và
v z, x z 0 với mọi v V.
(1.2)
Chứng minh. Giả sử z x
v
và v V (xem hình (1. 2). Xét các
điểm của hình
v 1 z , 0 1.
Do tính lồi, tất cả các điểm thuộc V và khoảng cách của chúng tới x
không thể nhỏ hơn z x . Ta có:
x
zx
z v z x, z v z x
2
2
2
z x, v
z
2
2 vz .
Xét biểu thức trên như là một hàm của 0,1 . Nó bị chặn dưới bởi
zx
2
khi và chỉ khi các số hạng tuyến tính có hệ số không âm.
Giả sử (1. 2) thỏa mãn với z V nào đó. Đặt v x trong (1. 2)
V
ta có:
V x z, x z 0 .
x
V x
v
Hình 1.2. Hình chiếu
Theo phần đầu của chứng minh, vì z V , bất đẳng thức (1. 2) thỏa mãn:
z V x , x V x
0.
Cộng hai bất đẳng thức cuối ta được:
V x z, V x z
0 , dấu “=” xảy ra khi V v z .
Đặc biệt, nếu tập V là một đa tạp tuyến tính, với mọi v V ta có:
2V x vV .
Do các bất đẳng thức : v V x , x V x
0,
V x , x V x
là tương đương với v x , x x
V
V
Định lí 1. 2. Giả sử
rằng
0,
0 . Vì
vậy,
x V x V .
n
V □ là một tập lồi, đóng. Khi đó với mọi
n
x □ và y □ ta có:
n
V x V y
xy .
Chứng minh. Theo Bổ đề 1. 7 ta có:
V y V x , x V x
0,
(1.3)
V x V y , y V y
0.
(1.4)
Cộng cả hai vế của (1. 3) và (1. 4) ta có:
V x V y , V x V y , y x
0.
V x V y
0.
Suy ra:
Ta lại có:
1
0
12
2
2
V x V y , y x
(1.5)
x y y x 2
V
V
2
V x V y y x
V x V y , y x
Từ (1. 5) và (1. 6) ta suy ra:
1
2
x
V
y y x 2
V
y x 2.
1
2
yx .
2
(1.6)
1
2
Suy ra điều phải chứng minh.
□
1.1.2. Các Định lí Tách
Định lí 1. 3. Giả
sử
tồn tại 0 y □
n
n
X □ là một tập lồi, đóng và giả sử x X . Khi đó
và 0 sao cho: y,v
Chứng minh:
Giả sử z
X
x , vì X
– với mọi v X .
y,
v
là tập đóngnên theo Bổ đề 1. 7, ta có:
x z, v z 0, v X .
Đặt y x z , và ta có y vì x X . Suy ra y, x 0, v X .
z
Khi đó
y, v y, z y, x y, z x
Suy ra,
y,v y, z y, x y, z x
y, x y 2 .
2
, với y > 0.
y,
x
Vậy định lí được chứng minh.
Định lí 1. 4. Giả
sử
tồn tại 0 y □
n
□
n
X □ là một tập lồi, đóng và giả sử x X . Khi đó
và 0 sao cho: y,v
Chứng minh:
y,
x
với mọi v X .
k
Giả sử x x, xk X , k , với mỗi xk tồn tại
k
y 0, 0 sao
cho:
k
y , v yk ,
k
x
yk , xk ,
với mọi v X .
k
Do y 0 , k nên ta coi yk 1. Do B 0;1
nên
y B 0;1 . Suy ra, tồn tại dãy con
k
Nguyễn Thị Dịu
là tập compact trong □
y y
kl
k
n
sao cho
Page21
lim
k
yl
y B 0;1. Từ
l
k
y l, v
k
y l,
k
xl
,l và tích vô hướng là một
□
Nguyễn Thị Dịu
Page22
hàm liên tục theo hai biến nên cho l ta được
y,v
điều phải chứng minh.
Định lí 1. 5. Giả sử
thì tồn tại 0 y □
□n.
Nếu
X1 và X 2 là hai tập lồi
trong sao cho:
y,
x
suy ra
X1 X 2 ,
n
y, x1 y, x2 ,
với
mọi
1
2
x X,x X .
1
2
Chứng minh:
Đặt
1
2
1
2
xx
x
X X1 X 2
X 2 . Do X1 X 2
| x X1,
x
nên 0 X . Từ X và X là hai tập lồi nên suy ra X cũng là tập lồi,
1
2
theo Định lí 1. 4 ta có:
y, v 0, v X ,
suy ra,
1
y, x x
2
0,x
1
X1,
x
2
X 2.
Suy ra y, x1 y, x2 với mọi x1 X , x2 X .
1
Định lí 1. 6. Giả
sử
chặn.
Nếu
X1
và
□
2
n
□ . Và giả
sử
X 2 là hai tập lồi
trong
n
X X , khi đó tồn tại 0 y □ sao cho:
1
2
y, x1 y,
x2
,
X1 bị
với
mọi
1
2
x X,x X .
1
2
Chứng minh. Ta có X , X là hai tập đóng và tập X là tập bị chặn
1
2
nên tập X X X là tập đóng . Do 0 X , theo Định lí 1. 4 tồn tại
1
2
y 0, 0 sao cho
y,
v
1
,v X . Suy ra,
y, x x
2
1
,x X1,
x
2
X2 .
Vậy y, x1 y, x2 – với mọi x1 X , x2 X . □
1
2
1. 2. Nón
1. 2. 1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1. 4. Tập K □ được gọi là nón nếu với mọi x K và với
n
mọi 0 ta có x K . Một tập được gọi là nón lồi nếu nó vừa là một
nón và vừa là tập lồi.
Một ví dụ đơn giản của một nón lồi nằm trong
không âm:
□ nvới orthant
