Một số kết quả về đa giác

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài “ MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐA GIÁC “ là
kết quả mà tôi đã trực tiếp tìm tòi nghiên cứu. Trong quá trình nghiên
cứu tôi đã sử dụng lài liệu của một số tác giả. Tuy nhiên, đó chỉ là cơ sở
để tôi rút ra những vấn đề cần tìm hiểu ở đề tài của mình. Đây là kết quả
của cá nhân tôi, hoàn toàn không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Hoàng Thị Liên

Hoàng Thị Liên

Lớp K35 - CN Toán


LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo Bùi Văn Bình,
người đã hướng dẫn em tận tình, chu đáo trong suốt quá trình em thực
hiện đề tài này.
Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Hình
Học, Ban Chủ Nhiệm Khoa Toán, Ban Quản lí Trường Đại Học Sư
Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình
học tập tại trường bốn năm vừa qua và giúp em thực hiên khóa luận này.
Đề tài của em chủ yếu nghiên cứu tài liệu, tổng kết và thu thập tài
liệu cũng đã có những cách giải sáng tạo của cá nhân nhưng còn hạn chế

Với thời gian và năng lực còn hạn chế nhưng em hy vọng đề tài sẽ giúp
ích nho nhỏ cho người đọc và mong mọi người đóng góp ý kiến để khóa
luận được hoàn thiện hơn. Và em hy vọng qua đề tài này những người
yêu Toán sẽ có thái độ đúng đắn và sâu sắc hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Hoàng Thị Liên


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU...................................................................................................1
1.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI............................................................................1
2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU...................................................................2
3.NỘI DUNG VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU........................................2
4.ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU........................................2
5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU...........................................................2
6.GIẢ THUYẾT KHOA HỌC...................................................................2
I. LÝ THUYẾT............................................................................................3
1. Các định nghĩa...............................................................................3
2. Miền trong, điểm trong của đa giác...............................................4
3.Các tính chất của đa giác................................................................4
4. Đường chéo của đa giác.................................................................6
5. Cách gọi tên đa giác.......................................................................6
6.Đường tròn ngoại tiếp.....................................................................7
II.

MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC..................7

III.

PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN

TRONG ĐA GIÁC...................................................................................9
IV.

MỘT SỐ BÀI TOÁN.........................................................................9
1. Tính số cạnh của một đa giác.........................................................9
2. Tính số đo góc trong đa giác........................................................13
3. Bài Toán liên quan đến đường chéo của một đa giác...................19
4. Diện tích đa giác..........................................................................24
4.1 Hàm diện tích............................................................................24
4.2 Diện tích đa giác đơn.................................................................24
4.3 Diện tích của các hình phẳng.....................................................24


a. Hình đơn giản..............................................................................24
b. Hình khả diện...............................................................................24
c. Các tính chất của diện tích đa giác...............................................24
4.4 Các công thức tính diện tích......................................................25
5. Các khoảng cách trong đa giác....................................................31
6.Ứng dụng của định lí Ptoleme vào giải bài toán đa giác...............35
6.1 Nội dung và lí thuyết.................................................................35
6.2 Áp dụng.....................................................................................36
6.2.1 Bất đẳng thức Ptoleme và những kết quả kinh điển................36
IV. KẾT LUẬN......................................................................................47
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................48

MỞ ĐẦU
1.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong các môn học đối với học sinh thì môn Toán có một ý nghĩa
và vị trí đặc biệt quan trọng.Toán học với tư cách là một khoa học
nghiên cứu một số mặt của thế giới hiện thực,nó có một hệ thống khái
niệm, quy luật và có phương pháp riêng. Hệ thống này luôn phát triển
trong quá trình nhận thức thế giới và đưa ra kết quả là những tri thức
toán học. Những tri thức toán học, những kĩ năng toán học cùng phương
pháp toán học đã trở thành công cụ toán học giúp học sinh ứng dụng
khoa học vào thực tiễn, đồng thời phát triển tư duy và nhân cách học
sinh
Đa giác là một chương quan trọng trong chương trình hình học trung
học cơ sở nói chung và hình học 8 nói riêng.Nó cung cấp cho học sinh
cách nhìn tổng quan về hình học. Chính vì vậy em đã chọn đề tài nghiên
cứu là:
“Một số kết quả về đa giác”
Đề tài này nhằm mục đích sưu tầm và khái quát hóa các dạng toán
liên quan đến đa giác và diện tích đa giác để giúp cho người đọc có cái
nhìn hệ thống về lĩnh vực này ; giúp các em học sinh và phụ huynh có tài
liệu hữu ích để tham khao, nghiên cứu cũng như phục vụ nhu cầu giảng
dạy của những sinh viên sư phạm chúng em sau này.

Hoàng Thị Liên

5

Lớp K35 - CN Toán


2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đưa ra một số kết quả mang tính chất hệ thống là tài liệu giúp học
sinh, phụ huynh có thể tra cứu, tham khảo nhằm góp phần nâng cao việc
giảng dạy và học.
3.NỘI DUNG VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
3.1 Xác định các căn cứ xây dựng hệ thống và cấu trúc hệ thống các kết

quả về đa giác.
3.2 Xây dựng và phân loại các hệ thống bài tập và phương pháp giải
nhằm rèn luyện cho học sinh các kĩ năng trong việc giải các bài toán đa
giác.
4.ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
4.1 Đối tượng nghiên cứu :các kết quả về đa giác, các bài toán áp dụng với

cách giải cụ thể.
4.2 Phạm vi nghiên cứu : các kết quả về bài toán đa giác.

5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
5.1 Nghiên cứu lí luận : Nghiên cứu các sách,báo, tạp chí,các công trình
nghiên cứu,một số đề thi học sinh giỏi các quốc gia … có liên quan đến
đề tài.
5.2 Thực hành giải toán : Giải các bài toán liên quan tới các kết quả bài
toán đa giác đưa ra.
6. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu biết xây dựng hệ thống các kết quả, các bài tập áp dụng cụ thể
rõ ràng thì đề tài sẽ là một tài liệu hữu ích, thích hợp,chủ động nâng cao
chất lượng học tập của học sinh và giảng dạy của thầy cô,tạo tiềm lực
phát triển năng lực học toán cho các em.


I. LÝ THUYẾT

1. Các định nghĩa.
a) Đường gấp khúc : Đường gấp khúc n cạnh là hình hợp thành bởi
đoạn thẳng

Ai1 Ai
và

A1 A2 , A2 A3 ,..., An
An1 ,

trong đó hai đoạn thẳng liên tiếp

Ai Ai1 không cùng nằm trên một đường thẳng ( i  2,3,..., n ).

Đường gấp khúc như trên được kí hiệu là
Các điểm

A1A2 ...An1 .

Ai gọi là các đỉnh của đường gấp khúc (có n+1 đỉnh), còn

các đoạn thẳng

Ai
Ai1

gọi là các cạnh của đường gấp khúc. Từ định

nghĩa trên ta suy ra ba đỉnh liên tiếp

Ai1 , Ai
và

và hai cạnh liên tiếp

Ai .

Ai1 Ai

Ai1 không thẳng hàng,

Ai Ai1 chỉ có điểm chung duy nhất là đỉnh

và

b) Đa giác : Đa giác n cạnh là đường gấp khúc n cạnh ( n  3 )

A1 A2
...An1
A1
A2

sao cho đỉnh đầu A1 và đỉnh cuối

trùng nhau, cạnh đầu

An1

và cạnh cuối An An1 (cũng coi là hai cạnh liên tiếp)không nằm trên

một đường thẳng.
Đa giác như thế kí hiệu là

A1 A2 ...An1 . Đa giác n cạnh còn gọi là n 

giác.
Các điểm Ai gọi là các đỉnh của đa giác, các đoạn thẳng

Ai Ai1


gọi là
các cạnh của đa giác. Góc

Ai1 Ai Ai1 gọi là góc của đa giác ở

Ai .

đỉnh
c) Đa giác đơn : Đa giác đơn là đa giác mà bất kỳ hai cạnh không liên
tiếp nào cũng không có điểm chung.
d) Đa giác lồi : Đa giác lồi là đa giác mà nó nằm về một phía đối với
đường thẳng chứa bất kì một cạnh nào của đa giác đó.
e) Đa giác đều : là đa giác có tất cả các cạnh của chúng bằng nhau và tất cả
các góc của chúng bằng nhau.


2. Miền trong, điểm trong của đa giác.
a) Định lí Jordan: Cho H là đa giác nằm trong mặt phẳng P. Khi đó tập
hợp P\H là hợp của hai tập hợp H

0



và H , có các tính chất sau đây:

i) Bất kì hai điểm nào cùng thuộc vào một trong hai tập hợp đó đều có thể
nối với nhau bằng một đường gấp khúc không có điểm chung với H.
ii)Một đường gấp khúc bất kì nối hai điểm thuộc hai tập hợp

0

H và



H thì luôn có điểm chung với H.
Tập H

iii)
0

không chứa đường thẳng nào, tập H



có chứa nhưng

đường thẳng.

b) Định nghĩa :
Tập H

nói trong định lí Jordan gọi là miền trong của đa giác H.

0


Tập H gọi là miền ngoài của đa giác H.
Mỗi điểm của

0

H gọi là điểm trong của đa giác H. Mỗi điểm thuộc



H gọi là điểm ngoài của đa giác H.
Tập

0

H  H = P\ H



gọi là miền của đa giác H, hoặc đơn giản là

miền đa giác H. Miền đa giác H được kí hiệu là  H  .
3.Các tính chất của đa giác

a) Trong mặt phẳng cho điểm A và một số  > 0, tập hợp tất cả những
điểm cách A một khoảng < được gọi là lân cận của điểm A. Nói cách
khác lân cận  của điểm A là tập hợp những điểm nằm trong đường tròn
tâm A bán kính  . Lân cận đó đươc kí hiệu là  A,  .
i) Điều kiện cần và đủ để điểm A là điểm trong của đa giác H là có một
lân cận 

 A,   H

của A chứa trong
0

.

0

H , nói khác đi có 

> 0 sao cho


Thật vậy, nếu A là điểm trong của H, ta có thể chọn  là số dương,
sao cho  < AM với mọi điểm M  H. Khi đó nếu điểm B   A, 

thì

hiển nhiên đoạn thẳng AB cũng không cắt H. Vì A là điểm trong nên B
cũng là điểm trong.
Ngược lại nếu điểm A có lân cận  A,   H

0

thì cố nhiên A H

0

tức A là điểm trong.
ii) Điều kiện cần và đủ để điểm A là điểm ngoài của H là có một lân cận

 của A chứa trong H :  A,   H .




Từ đó suy ra :
iii) Nếu A H thì mọi lân cận  A,



đều có chứa điểm trong và điểm

ngoài của H.
b ) Cho A là một đỉnh nào đó của đa giác H, và hai cạnh có chung đỉnh
A là AB và AC. Ta có thể lấy một lân cận  A,



với  đủ nhỏ sao cho

nó không có điểm chung với các cạnh khác của H ngoài hai cạnh AB và

AC. Khi đó lân cận  A,



được phân thành hai phần : một phần nằm

trong góc BAC mà ta kí hiệu là phần I, và phần kia nằm ngoài góc BAC
mà ta kí hiệu là phần II. Hiển nhiên nếu một trong hai phần đó chứa một
điểm trong (tương ứng một điểm ngoài) của H thì mọi điểm của phần đó
đều là điểm trong (tương ứng là điểm ngoài) của H.
Vì lân cận A,



phải chứa cả điểm ngoài và cả điểm trong nên ta

suy ra: Một trong hai phần đó chứa trong

0

H , và phần kia chứa trong

H
Định nghĩa : Đỉnh A gọi là đỉnh lồi nếu phần I chứa trong


gọi là đỉnh lõm nếu phần II chứa trong H .
Định lí : Mỗi đa giác có ít nhất là một đỉnh lồi.

0

H , và


4. Đường chéo của đa giác
ĐN: Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh không kề nhau của một đa giác gọi là
đường chéo của đa giác đó.
ĐL: Bằng một đường chéo thích hợp mọi n – giác đơn có thể phân
hoạch thành 2 đa giác có số cạnh bé hơn
5. Cách gọi tên đa giác.
Đa giác thường được gọi theo số cạnh của nó, người Việt thường dùng
các từ chỉ số lượng Hán- Việt. Ví dụ:

Tên đa giác tam giác tứ giác ngũ giác lục giác bát giác thập giác
Số cạnh

3

4

5

6

8

10

Tuy nhiên gần đây có xu hướng Viêt hóa các từ này.Trừ các tam giác và
tứ giác đã quá quen thuộc, người ta đã bắt đầu gọi hình năm cạnh thay

cho ngũ giác,hình sáu cạnh thay cho lục giác,hình mười cạnh thay cho
thập giác…,tuy chưa thông dụng lắm.Đặc biệt đa giác với các số cạnh
lớn đã thường xuyên dùng với từ Việt hóa: hình mười cạnh,hình hai
mười cạnh,…Nếu cẩn trọng thì dùng từ :đa giác mười cạnh,đa giác hai
mươi cạnh.Sở dĩ như vậy vì các từ Hán- Việt chỉ số đếm như thập nhất,
thập nhị đã dần xa lạ đa số người Việt.


6.Đường tròn ngoại tiếp

Trong Hình học, đường tròn ngoại tiếp của một đa giác là một đường
tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác.
Một đa giác có đường tròn ngoại tiếp được gọi là đa giác nội tiếp đường
tròn.Tất cả các đa giác đều, các tam giác và các hình chữ nhật đều là đa
giác nội tiếp đường tròn.
Một khái niệm có liên quan là bao tròn nhỏ nhất, đó là đường tròn nhỏ
nhất chứa toàn bộ đa giác ở bên trong. Không phải mọi đa giác đều có
đường tròn ngoại tiếp thì, nhưng mọi đa giác đều có bao tròn nhỏ nhất.
Thậm chí một đa giác có đường tròn ngoại tiếp thì đường tròn đó có thể
trùng với bao tròn nhỏ nhất; ví dụ, một tam giác tù, bao tròn nhỏ nhất
của nó có đường kính là một cạnh nhưng nó không đi qua đỉnh góc tù
của tam giác.
II. MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC VD1:
Cho hình n_ giác lồi.
0

Chứng mính rằng tổng các góc của hình n_giác bằng (n - 2)180 .
Giải:
Vẽ các đường chéo xuất phát từ một định của n_ giác đó.

Khi đó các đường chéo và các cạnh của đa giác tạo thành n – 2
tam giác.
Tổng các góc của hình n_ giác bằng tổng các góc của (n - 2) tam
giác.


Vì tổng số đo các góc trong 1 tam giác bằng 180

0

Vậy tổng số đo các góc của hình n_giác bằng (n - 2).180 .

VD2: Chứng minh hình n_ giác có tổng tất cả

n  n  3 đường chéo.
2

Giải:

Cách 1: Từ mỗi đỉnh của hình n_ giác ta có thể vẽ được (n - 1)
đoạn thẳng nối từ đỉnh đó với (n - 1) đỉnh còn lại của đa giác (trong đó
có 2 đoạn thẳng trùng với hai cạnh của đa giác).
Qua mỗi đỉnh của hình n_giác vẽ được n – 1 – 2 = n – 3 đường
chéo.
Do đó hình n_ giác vẽ được n(n - 3) đường chéo.
Vì mỗi đường chéo được tính 2 lần nên trong hình n_ giác có tất
cả

n(n  3) đường chéo.

2

Cách 2: Từ mỗi đỉnh của hình n_ giác ta có thể vẽ được n -1 đoạn
thẳng nối đỉnh đó với n – 1 đỉnh còn lại của đa giác.
+ Với n đỉnh ta vẽ được n(n - 1) đoạn thẳng (trong đó mỗi đoạn
thẳng được tính 2 lần) => số đoạn thẳng thực sự là n(n 1) .
2

+ Mặt khác trong số này có n đoạn thẳng là cạnh của hình n _
giác.
Vậy hình n_ giác có

n(n 1) - n = n(n  3) đường chéo.
2
2


III.

PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN

TRONG ĐA GIÁC
1. Tính số cạnh của một đa giác.
2. Tính số đo góc trong một đa giác.
3. Bài toán liên quan đến đường chéo của đa giác.
4. Diện tích đa giác.
5. Các khoảng cách trong đa giác.
6. Ứng dụng định lí Ptoleme trong giải bài toán đa giác.
IV.MỘT SỐ BÀI TOÁN
1. Tính số cạnh của một đa giác.

Bài 1: Tổng số đo các góc của một đa giác n _ cạnh trừ đi góc A
của nó bằng 570 . Tính số cạnh của đa giác đó và A□
0

Giải:
0

Ta có (n - 2). 180 –
A□

0

0

0
= 570  A□ = (n - 2).180 – 570 .

0
0
0
0
0
Vì 0 < A□ < 180  0 < (n - 2). 180 – 570 < 180 .

 0
1
6 <1  5

1

6


1
6

Vì n  N nên n = 6.
Đa giác đó có 6 cạnh và

0

0

0

= (6 - 2). 180 – 570 = 150 .

A□

Bài 2: Tính số cạnh của một đa giác, biết đa giác đó có:
a. Tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài ( tại mỗi đỉnh của đa giác
chỉ kẻ một góc ngoài).
b. Số đường chéo gấp đôi số cạnh.
0

c. Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 2570 . Giải:
a. Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3).

0

+ Tổng số đo các góc trong của đa giác là (n - 2).180 .


0

+ Tổng số đo các góc ngoài của 1 đa giác là 360 .
0

0

Theo giả thuyết ta có: (n - 2).180 = 360  n = 4
Vậy số cạnh của đa giác đó là n = 4.
b. Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3).
Số đường chéo của đa giác gấp 2 lần sô cạnh của đa giác nên ta
có:
n(n-3) = 2n  n2 – 3n = 4n  n = 7.
2
Vậy đa giác đó có 7 cạnh.
0

c. Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 2570 nên:
0

(n - 2).180 A□
 A□
0

Vì 0 <

A□

0

= 2570 .
0

0

= (n - 2).180 – 2570 .

0

< 180  0  (n  2)180  2570  180

 14, 2  n  15, 2
Vì n  N  n = 15.
Vậy đa giác đó có 15 cạnh.
Bài 3: Một mảnh giấy hình vuông được cắt bởi một đường cắt thẳng
thành 2 mảnh. Một trong hai mảnh lại được cắt làm 2. Ta làm như vậy
nhiều lần. Hỏi số lần cắt ít nhất là bao nhiêu để có thể nhận được 100 đa
giác 20 cạnh.
Giải:
+ Giả sử sau n lần cắt ta nhận được 100 đa giác 20 cạnh
Sau mỗi lần cắt số đỉnh tăng nhiều nhất là 4 đỉnh.
Vậy sau n lần cắt số đỉnh sẽ không vượt quá 4n + 4 đỉnh.

Hoàng Thị Liên

16

Lớp K35 - CN Toán


+ Sau mỗi lần cắt số mảnh giấy tăng thêm 1  Sau n lần cắt số
mảnh giấy là n + 1.

Hoàng Thị Liên

17

Lớp K35 - CN Toán


+ Số mảnh giấy không phải là hình 20 cạnh bằng n + 1 – 100 = n –
99  Tổng số đỉnh của các đa giác này là 3(n - 99) đỉnh.
+ Ta có 4n + 4  100.20 + 3 (n - 99)  n  1699.
Vậy số lần cắt ít nhất là 1699.
+ Trước hết cắt 99 lần bởi đường thẳng song song với 1 cạnh của
hình vuông để được 100 hình chữ nhật.
Sau đó với mỗi hình chữ nhật ta cắt đúng 16 lần để được 1 hình đa
giác 20 cạnh.
Vậy tổng số lần cắt là: 99 + 100.16 = 1699 (lần cắt).
Bài 4: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đôi một cắt nhau và không
có 3 đường thẳng nào đồng quy. Chứng minh rằng:
a. Khi n  1 thì đường thẳng đó chia mặt phẳng thành Pn =
2

n +n+2
2

phần.

n 2 - 3n +
b. Khi n  3 thì trong Pn phần nói trên có Qn =

2

đa giác.

2
Chứng minh:
a. n = 1 ta có: P1 =

1+ 1 + 2

= 2, tức là một đường thẳng chia mặt

2

phẳng thành 2 phần  mệnh đề nói đúng với n = 1.
Giả sử mệnh đề đúng khi có n – 1 đường thẳng và ta chứng minh
mệnh đề đúng cho trường hợp n đường thẳng.
Giả sử ta có n đường thẳng d1, d2, …dn, thoả mãn điều kiện bài
toán.
Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đường thẳng d1, d2, …dn- 1 nên n -1
đường thẳng đó chia mặt phẳng thành Pn phần với Pn =
2

2

(n - 1) + (n - 1) + 2 n - n + 2
=
.


2

2


Đường thẳng dn bị n – 1 đường thẳng nói trên chia thành n phần
(trong đó có n – 2 đoạn thẳng và 2 tia), ta gọi các phần đó là  ,  ,….
1
2

Δn .
Mỗi Δ i

đều nằm trong một và chỉ một Dj nào đó và chia Dj thành

2 phần bởi vậy số phần mà n đường thẳng phân chia là:
2
2
n -n+2 n +n+2
Pn = Pn-1 + n=
=
2
2
Vậy mệnh đề đúng với trường hợp n đường thẳng  đpcm.

2

b. Khi n = Q3 =
3 ta có

3 - 3.3 + 2

= 1 tức là trong số phần mà là 3 đường

2

thẳng (đôi một cắt nhau và không đồng quy) chia mặt phẳng thì có một
phần là tam giác  Mệnh đề b đúng khi n = 3.
Bây giờ ta giả sử mệnh đề b, đúng với n – 1 đường thẳng (n  4)
và ta chứng minh b, đúng cho trường hợp n đường thẳng.
Giả sử ta có n đường thẳng d1, d2, …dn (đôi một cắt nhau và không
có 3 đường thẳng nào đồng quy). Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đường
thẳng d1, d2, …dn -1 nên trong số phần chúng phân chia mặt phẳng có :
2

Qn - 1 =

(n - 1) - 3(n - 1) + 2
2

2

=

n - 5n + 6

phần là đa giác mà ta kí hiệu

2

các phần đó là : D1,D2 ,...Dk (với k =

n 2 - 5n + 6
2

).

Đường thẳng dn bị n – 1 đường thẳng nói trên chi thành n phần
trong đó có n – 2 đoạn thẳng mà ta sẽ ký hiệu là

Δ1,Δ2 ,...Δn-2 . Mỗi một

đoạn 1 nằm trong một đa giác Dj nào đó và chia Dj thành đa giác, bởi
vậy số đa giác mà n đường thẳng phân chia là:
n 2 -5n+6
Qn = Qn-1 + n-2
=

2

+n-2=

n2 - 3n + 2
2

 Mệnh đề đúng cho trường hợp n đường thẳng  đpcm.


Bài tập đề nghị:
Bài 1: Chứng minh rằng ngũ giác có 5 cạnh bằng nhau và 3 góc liên tiếp
bằng nhau là ngũ giác đều.
Bài 2: Chứng minh rằng trong đa giác đều 9 cạnh, hiệu giữa đường chéo
lớn nhất và nhỏ nhất bằng cạnh của nó.
Bài 3: a. Tìm số n sao cho trong mặt phẳng có thể được phủ kín bởi đa
giác đều có n cạnh.
b. Có tồn tại các ngũ giác bằng nhau để phủ kín mặt phẳng không?
Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi A’, B’,C’,D’,E’,F’ lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB,BC,CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng
A’B’C’D’E’F’ là lục giác đều.
Bài 5: Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của đa giác
0

là 2225 . Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
Bài 6: Tìm số cạnh của một đa giác biết rằng các đường chéo của nó có
độ dài bằng nhau.
Bài 7: Người ta đánh dấu mỗi đỉnh của một đa giác đều 1995 cạnh bởi
màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn luôn tìm được 3 đỉnh của đa
giác là 3 đỉnh của 1 tam giác cân được đánh dấu cùng một màu.
2. Tính số đo góc trong đa giác.
Bài tập mẫu:
Bài 1: Tính số đo góc của hình 5 cạnh đều, 9 cạnh đều, 15 cạnh đều.
Giải:
+ Số đo góc của hình 5 cạnh đều là:

(5 - 2).1800
5

0
+ Số đo góc của hình 9 cạnh đều là: (9 - 2).180

9

= 1080 .
0

= 140 .

0
+ Số đo góc của hình 15 cạnh đều là: (15 - 2).180

15

0

= 156 .


Bài 2: Cho ngũ giác lồi ABCDE.
a. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB,BC,DE,EA; I
và K lần lượt là trung điểm của QN, MP. Chứng minh rằng IK=

1

CD.

4

b. Chứng minh rằng tồn tại 2 đường chéo của ngũ giác tạo với nhau 1
0

góc không vượt quá 36 .

Giải:
a. Gọi F là trung điểm của EC.
QM =//

1
2 EB ; FN =//

1
2

EB,  QM = FN  QMNF là hình

bình hành.
Mà IQ = IN  I là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành.
 I,M,F thẳng hàng và IM = IF.
IM

1
Ta có:
 IF
 IK = PF.


KM  KP
2


Mà

PE  PD



 PF =

EF  FC 

Từ (1), (2)  IK =

1 CD

(1)

(2)

2
1

CD .
4

b. Lấy một điểm 0 bất kì trong mặt phẳng của ngũ giác. Vẽ năm đường
thẳng song song với các đường chéo của ngũ giác, chúng tạo thành 10

0

góc không có điểm chung, có tổng bằng 360 . Vì vậy tồn tại một góc nhỏ
0

hơn hoặc bằng 36 .
Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm E thuộc miền trong của
hình vuông sao cho

E□AB

Chứng

E□BA =

minh rằng ΔCDE đều. =

A

0.

15

B

15o

E

Giải:

F
+ Dựng Δ đều EFB sao cho F và C ở cùng

D

phía đối với EB.
0
0
F□BC = 90 – ( E□BA + E□BF ) = 15 .



+


15



AB = BC

A□BE = C□BF =   Δ ABE =  CBF
BE  BF




 AE = CF mà AE = EB = FB  Δ CBF cân tại F.

0
C□FB = 150  E□FC = 150 ,  CEF cân tại F

0
 C□ EF = 15

 Δ CBE cân tại C  CE = CB = CD. Vậy ΔCDE đều.

Bài 4: Chứng minh một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn.
Giải:
Giả sử đa giác lồi có K  4 góc nhọn. Nếu đa giác lồi có góc trong một
đỉnh đó là góc nhọn thì góc ngoài tương ứng tại đỉnh đó là góc tù. Vì vậy
nếu đa giác có K  4 góc nhọn thì sẽ có K  4 góc ngoài là góc tù 
0

tổng các góc ngoài của nó sẽ lớn hơn 360 (vô lí vì trong một đa giác lồi
0

bất kì tổng các góc ngoài chỉ bằng 360 ).
Vậy một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn.

C


Bài 5: Cho ngũ giác lồi ABCDE có tất cả các cạnh bằng nhau và
A□BC = 2D□BE . Hãy

A□BC .

tính
Giải: Ta có D□BE =

1

2

 B□ 1 +B□
2

=

1

A□BC

A□BC . (1)

2

Vì EA = AB  ΔEAB cân 
0

E□ 2 = B□ 1 .

□EAB

 B□ 1 = 90 -

□BCD

2
0

Vì CB = CD  B = 90 □

2

2

BCD
1
0
+ 90 - □
= A□BC

0

Thay vào (1) ta được: 90 □EAB

2

2

2

0
 E□AB + A□BC + B□CD = 360 .

 C□DE + D□EA = 540 – 360 = 180 .
0

 D□ 1 + E□ 1 =
0

90 -

C□
D
E
2

0

0

+ 90 -

0

D□E
0
= 90  AD  CE.
A
2

Mặt khác ΔEAD cân tại E, ΔCDE cân tại D  AD và CE cắt nhau tại
trung điểm mỗi đường  AEDC là hình bình hành.
 AC = DE  AB = BC = CA  ΔABC đều 

0

A□BC = 60 .

Vậy A□BC = 60 .
0

Bài 6: Lục giác ABCDEF có số đo các góc (tính theo độ) là một số
nguyên và
A□

- B =
□ B□

của A□

- C =
□ C□

- D =
□ D□

- E =
□ E□

- F□ . Giá trị lớn nhất