MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG BORNO CƠ BẢN

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN
********

PHAM TH± LAN

M®T SO PHƯƠNG PHÁP XÂY DUNG BORNO CƠ
BÁN

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC
Chuyên ngành: Giái tích

Ngưòi hưóng dan khoa hoc

TS. TRAN VĂN BANG

Hà N®i - 2013



LèI CÁM ƠN
Đe có the hoàn thành đưoc bài khóa lu¾n tot nghi¾p này, em xin
bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Tran Văn Bang - Ngưòi thay đã trnc
tiep t¾n tình hưóng dan và giúp đõ em trong suot quá trình hoc t¾p tai
trưòng cũng như trong quá trình hoàn thành khóa lu¾n tot nghi¾p. Đong
thòi em xin chân thành cám ơn các thay cô trong to Giái tích, các thay cô
trong khoa Toán - Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 và Ban chn nhi¾m
khoa Toán đã tao đieu ki¾n thu¾n loi cho em hoàn thành khóa lu¾n tot
nghi¾p cna mình.
Trong khuôn kho có han cna m®t bài khóa lu¾n do đieu ki¾n ve m¾t thòi
gian, do trình đ® có han và đây cũng là lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc

nên bài khóa lu¾n cna em cũng không tránh khói nhung han che, thieu sót
nhat đ%nh. Vì v¾y, em rat mong nh¾n đưoc nhung góp ý cna quý thay cô
và ban đoc.
Em xin chân thành cám ơn!
Hà N®i, tháng 05 năm
2013 Sinh viên

Pham Th% Lan

i


LèI CAM ĐOAN

Dưói sn hưóng dan, chí báo t¾n tình cna thay Tran Văn Bang thì
khoá lu¾n này là ket quá cna bán thân em trong quá trình hoc t¾p và
nghiên cúu. Đe hoàn thành đưoc bán khóa lu¾n tot nghi¾p này em đã có
sú dung m®t so tài li¾u tham kháo cna các nhà khoa hoc.
Em xin khang đ%nh ket quá cna đe tài "M®t so phương pháp xây dNng
borno cơ bán" không có sn trùng l¾p vói ket quá cna các đe tài khác.
Hà N®i, tháng 05 năm
2013 Sinh viên

Pham Th% Lan

ii


Mnc lnc

Mé ĐAU

v

1 Kien thNc chuan b%

1

1.1. Không gian véctơ............................................................................... 1
1.2. M®t so khái ni¾m liên quan đen borno........................................... 3
2 M®t so phương pháp xây dNng borno cơ bán

9

2.1. Borno đau..................................................................................... 9
2.2. Borno tích................................................................................... 13
2.3. Borno cám sinh: Không gian borno con.................................... 14
2.4. Borno sinh bói m®t ho t¾p con......................................................15
2.5. Giói han xa ánh................................................................................16
2.5.1. Ho xa ánh borno............................................................. 16
2.5.2. Borno giói han xa ánh....................................................18
2.6. Borno cuoi........................................................................................ 18
2.7. Borno thương....................................................................................19
2.8. Giói han quy nap borno..............................................................20
2.8.1. Ho quy nap borno........................................................... 20
2.8.2. Borno giói han quy nap..................................................22
2.9. Tong trnc tiep borno: Borno huu han chieu...............................22

5

2.9.1. Tong trnc tiep borno....................................................... 22
2.9.2. Borno tong trnc tiep và borno tích..............................23
2.9.3. Tong trnc tiep là giói han quy nap đ¾c bi¾t.................24
2.9.4. Borno huu han chieu.......................................................24
2.9.5. Không gian con bù borno...............................................24
2.10. Sn on đ%nh cna tính chat tách...................................................25
2.11. T¾p đóng borno: Tính chat tách cna thương borno...................27
2.12. Không gian véctơ borno tách liên ket........................................ 29
KET LU¾N

31

TÀI LIfiU THAM KHÁO

32

6


Mé ĐAU

1. Lý do chon đe tài
Ra đòi tù đau the ký 20 đen nay Giái tích hàm đã đat đưoc nhieu
thành tnu quan trong và tró thành chuan mnc trong vi¾c nghiên cúu và
trình bày các kien thúc toán hoc. Giái tích hàm đã đưoc đưa vào chương
trình Đai hoc như m®t phan bat bu®c, tuy nhiên vói lưong thòi gian có
han chúng ta khó có the nghiên cúu sâu vào m®t van đe nào đó. Trong
giái tích hàm thì lý thuyet topo đã và đang phát trien rat sâu r®ng và gan
đây có xuat hi¾n thêm m®t lý thuyet mói có tên là lý thuyet Borno. Cu

the lý thuyet Borno là lý thuyet "đoi ngau" vói lý thuyet Topo, trong khi
lý thuyet topo đưoc xây dnng xuat phát tù khái ni¾m t¾p mó (hay lân
c¾n) thì lý thuyet borno lai đưoc xây dnng xuat phát tù khái ni¾m t¾p b%
ch¾n.Tuy nhiên hưóng nghiên cúu ve 2 lý thuyet này là tương đoi giong
nhau. Sau khi đưa ra khái ni¾m topo ngưòi ta tiep tuc đi xây dnng các
khái ni¾m cơ bán khác như: khái ni¾m topo đau xác đ%nh bói ho ánh xa,
topo cuoi xác đ%nh bói ho ánh xa, topo cám sinh, không gian topo con,
không gian topo tích, không gian topo thương và tong trnc tiep các không
gian topo. Tương tn như v¾y sau khi đưa ra khái ni¾m borno và các khái
ni¾m khác có liên quan đen borno ngưòi ta cũng đi xây dnng các khái ni¾m
trên gan vói borno. Dưói góc đ® cna m®t sinh viên sư pham khoa Toán vói
mong muon có đưoc sn hieu biet ve lý thuyet borno đ¾c bi¾t là các cách
xây dnng m®t borno mói tù nhung borno đã biet gan vói các phương pháp
xây dnng không gian cơ bán trong giái tích hàm nên em đã chon đe tài
"M®t so phương pháp xây dNng borno cơ bán" làm khóa lu¾n tot
nghi¾p đai hoc cna mình. Bo cuc cna khóa lu¾n bao gom 2 chương:


Chương 1: Khóa lu¾n trình bày m®t so khái ni¾m cơ bán trong không
gian véctơ và m®t so khái ni¾m liên quan tói borno.
Chương 2: Khóa lu¾n trình bày m®t so phương pháp xây dnng
borno cơ bán tù nhung borno đã biet.
2. Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu
- Nghiên cú ve lý thuyet borno.
- Nghiên cúu ve m®t so phương pháp xây dnng borno cơ bán.
3. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
T¾p chung nghiên cúu ve borno và các phương pháp xây dnng borno
cơ bán tù nhung borno đã biet.
4. Phương pháp nghiên cNu
Đoc tài li¾u, phân tích, so sánh và tong hop kien thúc.

vi


Chương 1

Kien thNc chuan b%
1.1.

Không gian véctơ

Đ%nh nghĩa 1.1. Cho I ƒ= ∅ là m®t t¾p chs so sap thú tn và có đ
%nh hưóng. Túc là trên I đưoc trang b% m®t quan h¾ thú tn và vói moi
c¾p
(i, j) ∈ I × I thì đeu ton tai k ∈ I : k ≥ i, k ≥ j.
Đ%nh nghĩa 1.2. Giá sú (Ei)i∈I là m®t ho các không gian véctơ xác đ
%nh
trêntuyen
trưòng
sú vói moi c¾p (i, j) ∈ I × I: i ≤ j ton tai
ánh
tínhK.uGiá
ji : Ei −→ Ej sao cho ho các ánh xa tuyen tính
(uji ) xa
thóa
mãn các đieu ki¾n đây:
(i) Vói moi i ∈ I, uii : Ei −→ Ei là ánh xa đong nhat trên Ei.
(ii) Vói moi i, j, k ∈ I: i ≤ j ≤ k ta có uki = ukj ◦ uji.
Khi đó ho (Ei, uji) đưoc goi là ho quy nap các không gian véctơ.
Đ%nh lý 1.1. Giá sú (Ei, uji) là m®t ho quy nap các không gian véctơ

xác đ%nh trên trưòng K. Khi đó ton tai m®t không gian véctơ E trên K
và các
ánh xa tuyen tính ui : Ei −→ E thóa mãn các đieu ki¾n sau đây:
(i) ui = uj ◦ uji, ∀i ≤ j.
(ii) Vói moi không gian véctơ F bat kỳ và ho các ánh xa tuyen tính
vi : Ei −→ F sao cho vi = vj ◦ uji, ∀i ≤ j thì ton tai duy nhat m®t ánh
xa tuyen tính v : E −→ F thóa mãn: vi = v ◦ ui, ∀i ∈ I.
Khi đó E là duy nhat, sai khác m®t đang cau vói F và E đưoc goi là giói
han quy nap cúa ho quy nap các không gian véctơ (Ei, uji).
Đ%nh nghĩa 1.3. Giá sú (Ei)i∈I là m®t ho các không gian véctơ xác đ%nh

9


trên trưòng K. Giá sú vói moi c¾p (i, j) ∈ I × I: i ≤ j ton tai ánh
xa tuyen tính pij : Ej −→ Ei và ho các ánh xa tuyen tính (pij ) thóa
mãn các
đieu ki¾n sau:
(i) Vói moi i ∈ I, pii là ánh xa đong nhat trên Ei.
(ii) Vói moi i, j, k ∈ I : i ≤ j ≤ k ta có pik = pij ◦ pjk.
Khi đó ho (Ei, pij ) đưoc goi là ho xa ánh các không gian véctơ.
Đ%nh lý 1.2. Giá sú (Ei, pij ) là m®t ho xa ánh các không gian véctơ
xác đ%nh trên trưòng K. Khi đó ton tai m®t không gian véctơ E trên K
và các
ánh xa tuyen tính pi : E −→ Ei thóa mãn các đieu ki¾n sau đây:
(i) pi = pij ◦ pj , ∀i ≤ j.
(ii) Vói moi không gian véctơ F bat kỳ và ho các ánh xa tuyen tính
qi : F −→ Ei sao cho qi = pij ◦ qj , ∀i ≤ j thì ton tai duy nhat ánh xa
tuyen tính q : F −→ E thóa mãn: qi = pi ◦ q, ∀i ∈ I.
Khi đó không gian véctơ E là duy nhat, sai khác m®t đang cau vói

không gian véctơ F và E đưoc goi là giói han xa ánh cúa ho xa ánh
các không gian véctơ (Ei, pij ).
Đ%nh nghĩa 1.4. Giá sú E là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng
K và A ⊂ E. Khi đó ta nói:
(i) A là m®t t¾p tròn neu ∀λ ∈ K : |λ| ≤ 1 thì ta có λA ⊂ A.
(ii) A là m®t t¾p loi neu ∀λ, µ ∈ R+ : λ + µ = 1 thì ta có λA + µA ⊂ A.
(iii)A là m®t t¾p đĩa neu A vùa loi, vùa tròn.
(iv)
Bao tròn (tương úng: bao loi, tương úng: bao đĩa) cna t¾p A là m®t
t¾p tròn (tương úng: t¾p loi, tương úng: t¾p đĩa) nhó nhat chúa A.
M¾nh đe 1.1. Giá sú E là không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng K và
A ⊂ E. Khi đó bao loi cúa A trong E là t¾p:
.
.
n
n
.
.
coA
λixi, λi ≥ 0, xi ∈ A, ∀i = 1, n,
λi = 1
=
.
i=1

i=1

M¾nh đe 1.2. Cho E là m®t không gian véctơ xác đ%nh
trên trưòng K.
S

Khi đó bao tròn cúa t¾p A ⊂ E là t¾p hop có dang:
λA.
|λ|≤1

Đ%nh nghĩa 1.5. Giá sú E là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng
K. M®t núa chuan trên E là m®t ánh xa p : E −→ R thóa mãn 3 tiên đe


sau:
(i) ∀x ∈ E ⇒ p(x) ≥ 0.
(i) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ p (λx) = |λ|p(x).
(ii) ∀x, y ∈ E ⇒ p(x + y) ≤ p(x) + p(y).
Đ%nh nghĩa 1.6. Giá sú E là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng
K và p là m®t núa chuan trên E. Khi đó c¾p (E, p) đưoc goi là không gian
véctơ núa chuan.
1.2.

M®t so khái ni¾m liên quan đen borno

Đ%nh nghĩa 1.7. Cho X là m®t t¾p hop bat kỳ. M®t borno trên X là
m®t ho các t¾p con cna X thóa
S mãn 3 tiên đe:
(i) ß phn X. Túc là, X =
B.
B∈ß

(ii) ß có tính chat lưu giu t¾p con. Túc là, neu A ∈ ß, B ⊂ A thì B ∈ ß.
(iii) ß on đ%nh đoi vói phép hop huu han.
n
S

Bi ∈ ß.
Túc là, neu B1, B2, ..., Bn ∈ ß
i=1
thì
Ví dn 1.1. Cho X là m®t t¾p hop bat kỳ. Khi đó ß = P(X) là m®t borno
trên X và ß đưoc goi là borno tam thưòng trên X.
Ví dn 1.2. Goi ß là ho tat cá các t¾p con b% ch¾n trong R2. Túc là
.
.
ß = A ⊂ R2 : ∃M > 0 : ||x|| ≤ M, ∀x ∈ A . Khi đó ß là m®t borno trên
R2 và đưoc goi là borno thông thưòng trên R2 đoi vói chuan trong R2.
Đ%nh nghĩa 1.8. Cho X là m®t t¾p hop bat kỳ và ß là m®t borno trên
X. Khi đó c¾p (X, ß) đưoc goi là m®t t¾p borno. Các phan tú cna ß
đưoc goi là các t¾p con b% ch¾n.
Đ%nh nghĩa 1.9. M®t cơ só cúa borno ß trên X là m®t ho con ß0
cna ß sao cho vói moi phan tú cna borno ß đeu chúa trong m®t phan tú
cna ß0. Ví dn 1.3. Cho X là m®t t¾p hop bat kỳ và ß = P(X) là m®t
borno trên
X. Khi đó cơ só cna borno ß là ß0 = {X}.
Chúng minh. Vì ß = P(X) ⇒ ∀A ∈ P(X) ⇒ A ⊂ X. V¾y ß0 = {X} là
m®t cơ só cna borno ß.


Đ%nh nghĩa 1.10. Giá sú X là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng
K và ß là m®t borno trên X. Khi đó borno ß đưoc goi là borno véctơ (hay
borno tương thích vói cau trúc véctơ) neu ß on đ%nh đoi vói 3 phép toán
sau:
(i) Phép c®ng. Túc là, ∀A, B ∈ ß ⇒ A + B ∈ ß.
(ii) Phép v% tn. Túc là, ∀A ∈ ß, ∀λ ∈ K ⇒ λAS ∈ ß.
(iii) Phép lay bao tròn. Túc là, ∀A ∈ ß ⇒

λA ∈ ß.
|λ|≤1

Đ%nh nghĩa 1.11. Cho X là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng
K và ß là m®t borno trên X. Khi đó c¾p (X, ß) đưoc goi là không
gian véctơ borno.
Đ%nh nghĩa 1.12. Cho X là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng
K và ß là m®t borno véctơ trên X. Khi đó ß đưoc goi là borno véctơ loi
neu ß on đ%nh đoi vói phép lay bao loi. Túc là, neu A ∈ ß thì coA ∈ ß.
Đ%nh nghĩa 1.13. Giá sú X là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng
K và ß là m®t borno véctơ loi trên X. Khi đó c¾p (X, ß) đưoc goi là
không gian véctơ borno loi.
Đ%nh nghĩa 1.14. Không gian véctơ borno (X, ß) đưoc goi là không
gian véctơ borno tách (hay ß tách) neu {0} là không gian véctơ con b%
ch¾n duy
nhat cna X.
Ví dn 1.4. Giá sú E là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng K và
p là m®t núa chuan trên E. M®t t¾p con A ⊂ E đưoc goi là b% ch¾n theo
núa chuan p neu p(A) b% ch¾n trong R theo borno thông thưòng.
Khi đó ho ß tat cá các t¾p con b% ch¾n trong E theo núa chuan p l¾p thành
m®t borno loi trên E và đưoc goi là borno chính tac cna không gian núa
đ%nh chuan (E, p). Borno này là borno tách khi và chí khi p là m®t chuan.
Chúng minh. Ta có ß = {A ⊂ E : ∃M > 0 : p(x) ≤ M, ∀x ∈ A}.
(1) Ta chúng minh ß là m®t borno.
(i) ß phn E. Th¾t v¾y ta có:
[
[
E=
{x} ⊂
B.

x∈E

B∈ß


(ii) ß có tính chat lưu giu t¾p con.Túc là, giá sú ∀A ∈ ß, B ⊂ A ta phái
chúng minh: B ∈ ß.
Th¾t v¾y, ∀x ∈ B ⊂ A ⇒ x ∈ A, A b% ch¾n trong E
⇒ p(A) b% ch¾n trong R ⇒ p(x) ≤ M (vói M là m®t so nào đó).
⇒ p(x) ≤ M, ∀x ∈ B ⇒ p(B) b% ch¾n trong R
⇒ B b% ch¾n trong E hay B ∈ ß.
(iii)ß kín đoi vói phép hop huu han. Túc là, giá sú B1, B2, ..., Bn
n
S
phái chúng minh:
Bi ∈ ß.

∈ ß ta

i=1

Th¾t v¾y, vì Bi ∈ ß, ∀i = 1, n ⇒ p(Bi) b% ch¾n trong R, ∀i = 1, n
⇒ p(x) ≤ Mi, ∀x ∈ Bi (vói Mi là m®t so nào đó).
Đ¾t M = max Mi Mi
M, i = 1, n.
⇒
≤
∀
1≤i≤n
n

S
Bi ⇒ ∃i0 : x ∈ Bi0 , mà Bi0 ∈ ß
M¾t khác, ∀x
i=1

∈
⇒ p(x) ≤ Mi0 ≤ M, ∀x ∈
n

⇒

Sn

n
S
i=1

Bi b% ch¾n trong E ⇒

i=1

Bi ⇒ p(
S

Sn

Bi)-b% ch¾n trong R

i=1

Bi ∈ ß.

i=1

V¾y ß là m®t borno.
(2) Ta chúng minh ß là m®t borno véctơ.
(i) ß on đ%nh đoi vói phép c®ng. Túc là, giá sú ∀A, B ∈ ß ta phái chúng
minh: A + B ∈ ß.
Th¾t v¾y, ∀(x + y) ∈ (A + B), x ∈ A, y ∈ B.
Vì x ∈ A, A ∈ ß ⇒ p(x) ≤ M (vói M là m®t so nào đó).
Tương tn, vì y ∈ B, B ∈ ß ⇒ p(y) ≤ N (vói N là m®t so nào đó).
Khi đó ta có: p(x + y) ≤ p(x) + p(y) = M + N = P
⇒ p(x + y) ≤ P, ∀(x + y) ∈ (A + B) ⇒ A + B ∈ ß.
(ii) ß on đ%nh đoi vói phép v% tn. Túc là, giá sú ∀A ∈ ß, ∀λ ∈ K ta phái
chúng minh: λA ∈ ß.
Th¾t v¾y, ∀(λx) ∈ λA, x ∈ A.
Vì x ∈ A, A ∈ ß ⇒ p(x) ≤ M (vói M là m®t so nào đó).
⇒ p(λx) = |λ|p(x) ≤ |λ|.M = N, ∀x ∈ A.
⇒ λA b% ch¾n trong E hay λA ∈ ß.
(iii)

ß on đ%nh đoi vói phép lay bao tròn. Túc là, giá sú ∀A ∈ ß ta phái


chúng minh:

S
|λ|≤1

λA ∈ ß.

Th¾t v¾y, ∀x λA ⇒ ∃λ0 : |λ0| ≤ 1, ∃y ∈ A : x = λ0y.
∈
S
|λ|≤1

Vì y ∈ A, A b% ch¾n trong E ⇒ p(y) ≤ M (vói M là
m®t so nào đó).
⇒ p(x) = p(λ0y) = |λ0|p(y) ≤ p(y) ≤ M ⇒
λA.
p(x)
S ≤ M, ∀x ∈
|λ|≤1

λA b% ch¾n trong E
hay ⇒
S

⇒
S
|

λA ∈ ß.
|λ|≤1

λ|
≤
1

V¾y ß là m®t borno véctơ.
(3) Ta chúng minh ß là m®t borno loi. Túc là ß on đ%nh

đoi vói phép lay bao loi.
Th¾t v¾y, giá sú ∀A ∈ ß ta phái chúng minh: coA ∈ ß.
n
n .
.
∀x ∈ coA ⇒ x =
λixi, λi ≥ 0, xi ∈ A :
λi =
1.
i=1

i=1

Vì xi ∈ A, A b% ch¾n trong E ⇒ p(xi) ≤ M, ∀i = 1,
n (vói M là m®t so
nào đó). Khi đó ta có:
n

.

n

p(x)
.= p( λixi) ≤
≤
λiM
i=1

i=1

.

n

λip(xi)

i=1

⇒ p(x) ≤ M, ∀x ∈ coA ⇒ coA b% ch¾n trong E hay
coA ∈ ß.
V¾y ß là borno loi.
(4) Cuoi cùng ta đi chúng minh: ß là borno tách ⇔ p là
m®t chuan.
Đieu ki¾n can: Giá sú ß là borno tách ta phái chúng
minh: p là m®t chuan. Đ¾t A = {x ∈ E : p(x) =
0}, ta se đi chúng minh A là không gian con cna E.


Th¾t v¾y, ∀x, y
∈ A ⇒ p(x) =
0, p(y) = 0
⇒ 0 ≤ p(x + y)
≤ p(x) + p(y)
= 0 + 0 = 0,
∀x, y ∈ A
⇒ p(x + y) =
0, ∀x, y ∈ A ⇒
x + y ∈ A (1).
Tương tn,
∀x ∈ A, ∀λ ∈ K

⇒ p(x) = 0 ⇒
p(|λx|) = |λ|p(x)
=0
⇒ λx ∈ A, ∀λ
∈ K, ∀x ∈ A
(2). Do đó tù
(1), (2) suy ra
A là không gian
con cna E. M¾t
khác, ß là borno
tách ⇒ A =
{0}.
Túc là neu p(x)
= 0 ⇒ x = 0.
Do đó p là m®t
chuan.
Đieu ki¾n đn:
Giá sú p là m®t
chuan ta phái
chúng minh ß là
borno tách.
Th¾t v¾y, giá
sú A là không
gian con b%
ch¾n bat kỳ cna
E. Vì A là không
gian con nên ∀x
∈ A, ∀λ ∈ K thì
ta có λx ∈ A.
M¾t khác, vì A b

% ch¾n

trong E ⇒ p(λx) ≤ M (vói M là m®t so nào đó).


⇒ |λ|p(x) ≤ M ⇒ p(x)
≤

M , ∀x ∈ A, ∀λ ∈ K.
|λ| Cho λ → ∞ ⇒ p(x) = 0, ∀x ∈ A.
Vì p là m®t chuan ⇒ x = 0, ∀x ∈ A ⇒ A
= {0}.
V¾y ß là borno tách.
Đ%nh nghĩa 1.15. Cho X, Y là các
t¾p borno. Khi đó ta nói ánh xa
u : X −→ Y là ánh xa b% ch¾n neu u
ánh xa moi t¾p b% ch¾n trong X
thành t¾p b% ch¾n trong Y .
Đ%nh nghĩa 1.16. Giá sú X, Y là các
không gian véctơ borno. Khi đó ta nói
ánh xa u : X −→ Y là ánh xa tuyen tính
b% ch¾n neu u vùa là ánh xa
tuyen tính vùa là ánh xa b% ch¾n.
Đ%nh nghĩa 1.17. Cho E là m®t không
gian véctơ borno. Dãy (xn) trong
E đưoc goi là h®i tn theo borno tói 0 neu
ton tai m®t t¾p con tròn, b% ch¾n B
cna E và m®t dãy (λn) các vô hưóng tien

n

−→
n

n

−→

tói 0 sao cho xn ∈ λnB, ∀n ∈ N.
Sn h®i tu theo borno còn
đưoc goi là sn h®i tn theo
Mackey. Ký hi¾u là: x
M
0.
Dãy (x ) đưoc goi là h®i tu ntheo borno
M
tói x ∈ E neu dãy (x − x) −→0.
Ký hi¾u là: x

M

x.

M¾nh đe 1.3. Giá sú E là m®t không
gian véctơ borno và (xn) là m®t dãy
trong E. Khi đó các khang đ%nh sau là
tương đương:
(i) Dãy (xn) h®i tn theo borno tói 0.
(ii) Ton tai m®t t¾p tròn, b% ch¾n B ⊂ E
và m®t dãy giám (αn), αn → 0

sao cho xn ∈ αnB, ∀n ∈ N.


(iii) Ton tai m®t t¾p tròn, b%
ch¾n B ⊂ E sao cho: ∀ε
> 0, ∃N (ε) sao cho
xn ∈ εB, ∀n ∈ N.
Neu borno cúa E là
borno loi thì (i), (ii), (iii)
còn tương đương vói
khang đ%nh sau:
(iv) Ton tai m®t đĩa b% ch¾n
B ⊂ E sao cho (xn) chúa
trong không gian
núa chuan EB và h®i tn
tói 0 trong EB.
M¾nh đe 1.4. Không
gian véctơ borno E là
tách khi và chs khi moi
dãy h®i tn theo borno
trong E đeu có giói han
duy nhat.
Chúng minh. Đieu ki¾n
can: Giá sú E là không
gian tách, (xn) ⊂ E h®i


M

M

tu theo borno
tói 2 phan tú x và y. Túc là, xn −→ x, xn −→
y
M
M
⇒ xn − xnM−→ x − y. Đ¾t
zn = xn − xn , z = x − y ⇒ zn −→ z
M
⇒ zn − z −→ 0 hay z − zn −→ 0. Khi đó, ton tai m®t t¾p con tròn, b%
ch¾n
B ⊂ E và m®t dãy các vô hưóng (λn) tien tói 0 sao cho:
z − zn ∈ λnB, ∀n > 1. Do đó z ∈ λnB, ∀n > 1 (vì zn = 0). Giá sú
neu z ƒ= 0 ⇒ đưòng thang sinh bói z (hay không gian con sinh bói
Kz) chúa trong B, mà B ⊂ E. Đieu này mâu thuan vói giá thiet E là
không gian tách (túc là, {0} là không gian con b% ch¾n duy nhat cna
E). Do đó z = 0 ⇒ x − y = 0 ⇒ x = y. V¾y giói han cna moi dãy
(xn) h®i tu theo
borno là duy nhat.
Đieu ki¾n đn: Giá sú giói han cna moi dãy h®i tu theo borno là duy nhat.
Giá sú ton tai z ƒ= 0, z ∈ E sao cho không gian Kz b% ch¾n. Khi đó,
ton
.
.
1
tai m®t t¾p b% ch¾n B ⊂ E : z
B, ∀n > 1.
M
n
∈

Suy ra, dãy (zn = z) h®i tu tói 0. M¾t khác, rõ ràng zn = −→ z. Do
z
đó
theo tính duy nhat cna giói han thì z = 0 (mâu thuan vói z ƒ= 0).
Như
v¾y, không ton tai z ∈ E, z ƒ= 0 sao cho không gian con Kz b% ch¾n.
Túc là E là không gian tách.


Chương 2

M®t so phương pháp xây dNng
borno cơ bán
Chương này trình bày các phương pháp cơ bán đe xây dnng m®t
borno mói tù nhung borno đã biet gan vói các phương pháp xây dnng
không gian cơ bán trong giái tích hàm.
2.1.

Borno đau

Đ%nh lý 2.1. Cho I ƒ= ∅ là m®t t¾p chs so, (Xi, ßi)i∈I là m®t ho các
t¾p borno và X là t¾p hop bat kỳ. Giá sú vói moi i ∈ I, ui : X −→ Xi
là ánh
xa cho trưóc. Goi ß là ho tat cá các t¾p con A cúa X có các tính chat
sau đây: "Vói moi i ∈ I, ui(A) b% ch¾n trong Xi ". Khi đó:
(i) ß là m®t borno trên X, và là borno thô nhat trên X sao cho moi ánh
xa ui đeu b% ch¾n.
(ii) Neu X là không gian véctơ và vói moi i ∈ I, Xi là không gian véctơ, ßi
là borno véctơ (tương úng: borno loi) trên Xi, ui là ánh xa tuyen tính thì ß
là borno véctơ (tương úng: borno loi) trên X.

Chúng minh. Ta có ß = {A ⊂ X : ui(A) ∈ ßi, ∀i ∈ I}.
(1) Ta chúng minh ß là m®t borno trên X.
(i) Vói moi t¾p borno (Y, ß) bat kỳ thìSt¾p m®t điem {y} ∈ ß, y ∈ Y .
Th¾t v¾y, vì ß phn Y nên Y =
B.
B∈ß


Khi đó, vói moi {y} ∈ Y ⇒ ∃B0 ∈ ß: y ∈ B0. Mà ß có tính chat lưu giu
t¾p con nên neu y ∈ B0 ∈ ß ⇒ {y} ∈ ß, ∀y ∈ Y .
Do đó, ∀x ∈ X ta có {x} ∈ ß.
Th¾t v¾y, vì ui{x} = {ui(x)} (do ui là ánh xa). Mà (Xi, ßi) là các
t¾p borno ⇒ {ui(x)} ∈ ß
Si, ∀i ∈ I ⇒ ui{x} ∈ ßi, ∀i ∈ I
⇒ {x} ∈ ß. V¾y X =
{x} hay ß phn X.
x∈ß

(ii) Giá sú A ∈ ß, B ⊂ A ta phái chúng minh: B ∈ ß.
Th¾t v¾y, ∀A ∈ ß ⇒ ui(A) ∈ ßi, ∀i ∈ I.
M¾t khác, B ⊂ A ⇒ ui(B) ⊂ ui(A), ∀i ∈ I. Mà ßi là các borno nên ßi
có tính chat lưu giu t¾p con ⇒ ui(B) ∈ ßi, ∀i ∈ I ⇒ B ∈ ß.
V¾y ß có tính chat lưu giu t¾p con.
n
S
(iii)Giá sú A1, ..., An ∈ ß ta phái chúng minh:
Aj ∈ ß. Th¾t v¾y, ta có
ui

.S

n

j=1

.
Aj

n

=

j=
1

S ui(Aj ). Vì Aj ∈ ß, ∀j = 1, n ⇒ ui(Aj ) ∈ ßi, ∀i ∈ I.

j=
1

Mà ßi là các borno do đó ßi kín đoi vói phép hop huu han
n
.
.
u
(A
)
∈
ß
,

∀i
∈
I
hay
∈ ßi, ∀i ∈ I.
n
i
S i j
S j
⇒ j= ui
j=1 A
1
n

⇒

S Aj ∈ ß. Túc là ß kín đoi vói phép hop huu han.

j=
1

V¾y ß là m®t borno trên X.
(2) Ta đi chúng minh ß là borno thô nhat trên X sao cho các ánh xa ui
đeu b% ch¾n.
Giá sú ß1 là m®t borno bat kỳ trên X đe chúng minh ß là borno thô
nhat trên X ta phái chúng minh: ß1 ⊂ ß.
Th¾t v¾y, ∀B ∈ ß1, vì ui là ánh xa b% ch¾n vói moi i ∈ I nên
⇒ ui(B) ∈ ßi, ∀i ∈ I ⇒ B ∈ ß ⇒ ß1 ⊂ ß.
V¾y ß là borno thô nhat trên X.
(3) Tiep theo, ta giá sú ui : X −→ Xi là các ánh xa tuyen tính và ßi là

các borno véctơ, ∀i ∈ I thì borno ß là m®t borno véctơ.
(i) Ta đi chúng minh ß on đ%nh đoi vói phép c®ng. Túc là, giá sú A, B ∈ ß
ta phái chúng minh: A + B ∈ ß.
Th¾t v¾y, vì A, B ∈ ß ⇒ ui(A) ∈ ßi, ui(B) ∈ ßi, ∀i ∈ I.


Ta có: ui(A + B) = ui(A) + ui(B) (vì ui là ánh xa tuyen tính, ∀i ∈ I).
M¾t khác, vì ßi là borno véctơ, ∀i ∈ I ⇒ ßi on đ%nh đoi vói phép c®ng
⇒ ui(A) + ui(B) ∈ ßi, ∀i ∈ I ⇒ ui(A + B) ∈ ßi, ∀i ∈ I.
⇒ A + B ∈ ß. V¾y ß on đ%nh đoi vói phép c®ng.
(ii) Ta đi chúng minh ß on đ%nh đoi vói phép v% tn.
Túc là, giá sú ∀A ∈ ß, ∀λ ∈ K ta phái chúng minh: λA ∈ ß.
Th¾t v¾y, ta có: ui(λA) = λui(A) (vì ui là ánh xa tuyen tính, ∀i ∈ I). Mà
ßi là borno véctơ ⇒ ßi on đ%nh đoi vói phép v% tn, ∀i ∈ I
⇒ λuiA ∈ ßi, ∀i ∈ I ⇒ ui(λA) ∈ ßi, ∀i ∈ I
⇒ λA ∈ ß, ∀A ∈ ß, ∀λ ∈ K. V¾y ß on đ%nh đoi vói phép v% tn.
(iii) Ta chúng minh ß on đ%nh
S đoi vói phép lay bao tròn. Túc là, giá sú
∀A ∈ ß ta phái chúng minh:
λA ∈ ß. Th¾t v¾y, ta có:
u i(

[
|λ|≤1

|λ|≤1

λA) =
[

ui(λA) = λui(A).
[

|λ|≤1

|λ|≤1

Vì A ∈ ß ⇒ ui(A) ∈ ßi, ∀i ∈ I, mà ßi là các borno véctơ nên ßi on đ
%nh đoi vói phép lay bao tròn, ∀i ∈ I. Do đó
[
λui(A) ∈ ßi, ∀i ∈ I ⇒ ui( λA) ∈ ßi, ∀i ∈ I ⇒ λA ∈ ß.
[
[
|λ|≤1
|λ|≤1

|λ|≤1

Túc là ß on đ%nh đoi vói phép lay bao tròn.
V¾y ß là m®t borno véctơ.
(4) Cuoi cùng ta đi chúng minh: Neu ßi là các borno véctơ loi thì ß cũng là
m®t borno véctơ loi. Túc là ta phái chúng minh: ß on đ%nh đoi vói phép
lay bao loi.
n
n .
.
Th¾t v¾y, ∀x ∈ coA ⇒ x =
λjxj, λj ≥ 0, xj ∈ A,
λj = 1.
n.

n
.

j=1

j=1

Ta có: u i( λjxj )
λjui(xj ). M¾t khác A ∈ ß ⇒ ui(A) ∈ ßi, ∀i
=
∈ I.
j=1

j=1

Mà ui(xj ) ∈ ui(A), ∀i ∈ I ⇒ ui(xj ) ∈ ßi, ∀i ∈ I (vì ßi có tính chat lưu
giu t¾pn con).
n
.
.
⇒ u i ( λ jx j )
λjui(xj ) ∈ co(ui(A)).
j=1

=
j=1


Vì ui(A) ∈ ßi mà ßi là borno loi ⇒ co(ui(A)) ∈ ßi, ∀i ∈ I.

M¾t khác ui(coA) = co(ui(A)) ∈ ßi, ∀i ∈ I ⇒ ui(coA) ∈ ßi, ∀i ∈ I.


⇒ coA ∈ ß. Túc là ß on đ%nh đoi vói phép lay bao loi.
V¾y ß là m®t borno véctơ loi trên X.
Đ%nh nghĩa 2.1. Borno ß trên X xác đ%nh bói Đ%nh lý 2.1 đưoc goi là
borno đau trên X xác đ%nh bói các ánh xa ui.
. Vói các ký hi¾u. trong Đ%nh lý 2.1 ta đ¾t: T
M¾nh đe 2.1.
(ß
)
=
ui (Ai) : Ai ∈ ßi , ∀i ∈ I. Khi đó ho ß0 =
ui (ßi) là
i
i
m®t
−1
u−1
i∈I
−1

cơ só cúa borno đau ß trên X xác đ%nh bói các ánh xa ui.
Chúng minh. Theo đ%nh nghĩa đe chúng minh ß0 là m®t cơ só cna borno ß
ta phái chúng minh: ß0 ⊂ ß và vói moi phan tú cna ß đeu chúa trong
m®t
phan tú cna ß0.

T
Th¾y v¾y, giá sú ∀B ∈ ß0 ⇒ ∃Bi ∈ ßi : B = ui−1(Bi).

T
i∈I T
⇒ uk(B) = uk( ui −1(Bi)) ⊂ uk(u−1(Bk)) (vì i u−1(Bi) ⊂ u−1(Bk))
k

i∈I
uk(u−1
(Bk))
k

⇒ uk(B) ⊂
⊂ Bk, ∀k ∈ I.
Mà Bk ∈ ßk, ßk có tính chat lưu giu t¾p con

i∈I

k

⇒ uk(B) ∈ ßk, ∀k ∈ I ⇒ B ∈ ß. Do đó ß0 ⊂ ß.
Tiep theo ta đi chúng minh: Moi phan tú cna ß đeu chúa trong m®t phan
tú cna ß0.
Th¾t v¾y, ∀A ∈ ß ⇒ ui(A) ∈ ßi, ∀i ∈ I.
⇒ ∃Bi ∈ ßi : ui(A) = Bi, ∀i ∈ I ⇒ A ⊂ u−1
i (Bi), ∀i ∈ I.
T −1
T −1
ui (Bi),
ui (Bi) ∈ ⇒ A ∈ ß0 .
⇒A⊂
i∈

i∈
mà
ß0
I

I

Như v¾y vói moi phan tú cna ß đeu chúa trong m®t phan tú cna ß0.
Do đó ß0 là m®t cơ só cna borno ß trên X.
M¾nh đe 2.2. Giá sú Y là m®t t¾p borno, X đưoc trang b% vói borno đau
xác đ%nh bói các ánh xa ui. Khi đó ánh xa u : Y −→ X b% ch¾n ⇔ ui ◦ u
b% ch¾n, vói moi i ∈ I.
Chúng minh. Đieu ki¾n can: Ta có u : Y −→ X và ui : X −→ Xi
⇒ ui ◦ u : Y −→ Xi. Giá sú u là ánh xa b% ch¾n ta phái chúng minh: ui
◦u
là ánh xa b% ch¾n.


Th¾t v¾y, giá sú ∀A ∈ ßY ⇒ u(A) ∈ ßX (vì u b% ch¾n).


⇒ ui(u(A)) ∈ ßXi, ∀i ∈ I (vì ui b% ch¾n, ∀i ∈ I) hay ui(u(A)) ∈ ßi, ∀i ∈ I.
⇒ (ui ◦ u)(A) ∈ ßi, ∀i ∈ I ⇒ ui ◦ u b% ch¾n.
Đieu ki¾n đn: Giá sú ui ◦ u b% ch¾n ta phái chúng minh u b% ch¾n.
Th¾t v¾y, giá sú ∀A ∈ ßY ⇒ (ui ◦ u)(A) = ui(u(A)) ∈ ßi, ∀i ∈ I.
⇒ u(A) ⊂ u−1
(Bi), Bi ∈ ßi, ∀i ∈ I.
Ti
⇒ u(A) ⊂
i (Bi ) ∈ ß0 ⇒ u(A) ∈ ß0 .

−1
u
i∈I

Mà ß0 ⊂ ß và borno ß có tính chat lưu giu t¾p con nên u(A) ∈ ß.
V¾y u là ánh xa b% ch¾n.
2.2.

Borno tích

Đ%nh nghĩa 2.2. Cho I ƒ=Q∅ là m®t t¾p chí so, giá sú (Xi, ßi)i∈I là
ho các t¾p borno. Đ¾t Xi∈I
=
Xi là tích cna các t¾p Xi. Vói moi i ∈ I,
goi
pi : X −→ Xi là phép chieu chính tac tù X lên Xi. Khi đó borno tích trên
X là borno đau trên X xác đ%nh bói các ánh xa pi.
T¾p hop X đưoc trang b% borno tích đưoc goi là tích borno cna các t¾p
borno (Xi, ßi)i∈I ·
M¾nh đe 2.3. Vói các ký hi¾u trong Đ%nh nghĩa 2.2.
Q Khi đó borno tích
trên X có m®t cơ só gom các t¾p hop có dang B =
i∈I Bi trong đó
Bi ∈ ßi, ∀i ∈ I.
Q
Chúng minh. Đ¾t ß0 = ßi và goi borno tích trên X là borno ß.
i∈I

⇒ ß = {A ⊂ X : pi(A) ∈ ßi, ∀i ∈ I}. Khi đó ta phái chúng minh: ß0 là
m®t cơ só cna borno ß trên X. Mà theo đ%nh nghĩa đe chúng minh ß0 là

cơ só cna borno ß ta phái chúng minh: ß0 ⊂ ß và vói moi phan tú cna
borno
ß đeu chúa trong m®t phan tú cna ß0.
Q
Th¾t v¾y, ∀B ∈ ß0 ⇒ ∃Bi ∈ ßi : B = Bi
i∈I
Q
⇒ pi(B) = pi( Bi) = Bi ∈ ßi, ∀i ∈ I
i∈I

⇒ pi(B) ∈ ßi, ∀i ∈ I ⇒ B ∈ ß. Do đó ß0 ⊂ ß.
Tiep theo ta đi chúng minh: Moi phan tú cna ß đeu chúa trong m®t phan
tú cna ß0.