Một số phương pháp xây dựng phương trình và hệ phương trình

Phương trình, hệ phương trình là một chuyên đề quan trọng trong chương trình
toán THPT, bài toán giải phương trình, hệ phương trình thường xuyên xuấ t hiện trong
các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp và trong đề thi tuyển sinh vào đại học cao đẳng.
Phương pháp giải phương trình, hệ phương trình rất phong phú và đã được trình bày
trong rất nhiều tài liệu khác nhau, trong bài viết này sẽ đề cập đ ế n một số phương pháp
cơ bản để xây dựng một số bài toán phương trình và hệ phương trình.

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Đào Văn Lương
TTCM trường THPT chuyên Lào Cai

§ 1: Xây dựng phương trình, hệ phương trình từ các đẳng thức.

1. Đặt vấn đề.
i)
=−=
""
⇔
$$
%%
21
y=1 2x-y=3
xxy

ii)
!
!
−= −
−=
#

#
!!
=−= −+= −=
!!
####
⇔⇒ ⇔ ⇒ ⇔
&& & & & &
##
''
''
##
+
##
'
'
22 2
22 2
86
8
32
212x132x8 y
-6
y=1 2x-y=3 8 6
4x -4xy+y =9 3y -4xy=-6
3y-4x=
7x-5y=
y
y
yx
xy

xxyxyy xy x
x
x

2. Áp dụng.
Bài 1: Giải hệ phương trình.
!
−=
#
$
+=
#
%
33
22
35
2x 3 4x-9y
xy
y

Hướng dẫn:
!! !
−= −= −=
## #
⇔⇔
%% %
+= + +
## #
&& &
33 33 33

22 32 32 3 3
35 35 35
6x 9 12x-27y x - 6x 12x-8=y 9 +27y+27 (x-2) = (y+3)
xy xy xy
yy

Nhận xét:
Hệ phương trình trên nhận được bằng cách sau:
Xuất phát từ: x-y=5
⇔−=+⇔ − = + ⇔ − + + + +
3332 32
2 3 ( 2) ( 3) 4x 8x-8=y 6 18 27
xy x y x yy

⇔−− + − −=
33 2 2
4x 8x-6 18 35 0
xy y y

Đến đây để có hệ phương trình liên hệ giữa hai ẩn x;y ta chỉ việc:
Chọn cho x
3
-y
3
= 35 và liên hệ còn lại là:
−+ − =⇔ + =
22 22
4x 8x-6 18 0 2x 3 4x-9y
yy y
.

Kết hợp hai liên hệ giữa x;y ta có hệ phương trình đã cho.
Một bài toán được xây dựng theo ý tưởng tương tự.
Bài 2: Giải hệ phương trình:
!
−=
#
$
−= − −−
#
%
44
33 22
240
23(4)4(8)
xy
xy xy xy
(VMO-2010)
Lời giải.
Nhân phương trình thứ 2 với -8 rồi cộng với phương trình thứ nhất, ta được:
x
4
-8x
3
+24x
2
-32x+16 = y
4
-16y
3
+96y

2
-256y+256
⇔− =−
44
( 2) ( 4)
xy

Đáp số: (-4;-2); (4;2)

Bài 3: Giải hệ phương trình:
!
+= +
"
"
#
"
=
"
%
22
22
11
2( )
2
11
2
xy
xy
yx
xy

Hng dn:
Bi toỏn gc:
!
+=
"
#
=
"
%
3
3
()3
()1
xy
xy

!
+=
"
!!
+++= +=
"""

$$$
+= +=
""
&&
"
+=

"
&
22
32 23 3 2
32 23 32
22
2
3
3x 3xy 3 3x 2
1
3x 3xy 1 3x 1
3x
xy
xy y xy
x
xy y yy
y
y
!
+= +
"
"

$
"
=
"
&
22
22

11
2( )
2
11
2
xy
xy
yx
xy

Bi 4: (x
2
-3)
3
-(4x+6)
3
+216 = 18(4x+6)(3-x
2
)
Hng dn: ta ó bit n bi toỏn phõn tớch thnh nhõn t:
a
3
+b
3
+c
3
-3abc = 0

(a+b+c)[(a-b)
2

+(b-c)
2
+(c-a)
2
] = 0


!
"
#
=++
=++
0)ac()cb()ba(
0cba
222

Bng cỏch chn: a = x
2
-3 ; b = -4x-6 ; c = 6, ta nhn c bi toỏn trờn.

*) Nếu a+b+c =0 thì khi đó ta có: x
2
-3 - 4x-6+ 6 = 0

x
2
- 4x - 3 = 0


!

!
"
#
+=
=
72x
72x
2
1

*) Nếu a = b = c thì khi đó ta có hệ :
!
"
!
#
$
=
=
=++
12x4
9x
03x4x
2
2


x = -3
Vậy ph"ơng trình đã cho có 3 nghiệm:
!
!

!
!
"
#
=
+=
=
3x
72x
72x
3
2
1

Bi 5: Gii h phng trỡnh:
33 3
23
3
(2 2 )
2 3z=15
3
xy xyzz
xy z
y
x
!
"
++ =
"
"

+=
#
"
"
++
"
$

Hng dn:
Đặt z = -t ta có: ph"ơng trình (1) trở thành: x
3
+y
3
+t
3
- 3xyt = 0


!
"
#
=++
=++
)'2(0)xt()ty()yx(
0tyx
222

)(1'

Dễ thấy ph"ơng trình (2') có nghiệm: x = y = t = -z < 0 (loại)

Ta xét ph"ơng trình (1')

x+y = z thay vào ph"ơng trình (2) của hệ ta đ"ợc: z = 4

x+y = 4
Kt hp vi pt(3) suy ra nghim ca h phng trỡnh.

BI TP TNG T
Bài tập 1: Giải$hệ$phương$trình:$
4
4
2
1
()2
4
2
1
()1
4
xy
x
xy
xy
y
xy
!
+
+=
"
+

"
#
+
"
−=
"
+
%
$
Bài tập 2: Giải hệ phương trình:
!
+= + +
"
"
#
"
−= −
"
%
222 2
44
11
(3 )( 3 )
2
11
2( )
2
xyx y
xy
yx

xy

Bài tập 3: Giải hệ phương trình:
!
−=
#
+
#
$
#
+=
#
+
%
12
(1 ) 2
3
12
(1 ) 6
3
x
xy
y
xy

Bài tập 4: Giải hệ phương trình:
!
+=
"
+

"
#
"
−=
"
+
%
1
3(1 ) 2
1
7(1 ) 4 2
x
xy
y
xy
(VMO 1996)
Bài tập 5: Giải hệ phương trình.
!
+=
"
#
+=
"
$
33
22
9
x2 x+4y
xy
y

§ 2: Xây dựng phương trình, hệ phương trình từ các bất đẳng thức.

1. Một số mệnh đề cơ bản:
a) A
2

+B
2
+…+C
2
=0
b)
() (())
() (())
fx Chx
gx Chx
≥
"
#
≤
%
$điều$kiện$để$f(x)=g(x)?$
c)$
() ()fx gx≥
để$có$phương$trình$f(x)=g(x)?
2. Ví dụ mở đầu.
Ta muốn xây dựng một phương trình có nghiệm là: x=2.
a) Xuất phát từ các bình phương có dấu bằng xảy ra khi x=2.
Ví dụ:
22
( 2) ( 2x-3 1) 0x −+ −=
. Từ đây ta có bài toán:
Giải phương trình:
2
2x+2=2 2x-3x −

Phức tạp hơn ta có thể xuất phát từ:
223
( 2) ( 2x-3 1) 8 0xx−+ −+ −=
. Ta có bài toán.
Giải phương trình:
23
2x+2=2 2x-3 8xx−−−

b) Muốn xây dựng một hệ phương trình có nghiệm là:
1
2
xyz===

Ta làm như sau: Xuất phát từ:
222 222
(2x-1) (2 1) (2z-1) 0 4x 4 4z 4x-4y-4z+3=0yy+−+ =⇔ + +−

222
(4x 4 1) (4 4z+1) (4z 4x+1)=0yy⇔−++− +−

1
x= y-
4
2x= 4y-1
1
24z-1y=z-
4
24x-1
1
z= x-

4
y
z
!
"
!
"
"
"
""
⇔= ⇔
$$
""
=
""
%
"
"
%

Hoặc.
Xuất phát từ:
222
(4 11) (4 11) (4 11) 0xyz−− + −− + −− =

2x+2y +2z - 4 1 4 1 4 1xyz−− −− −
. Ta sẽ có hệ phương trình.
!
!
"

!
!
#
$
−=+
−=+
−=+
1y4xz
1x4zy
1z4yx

Bằng cách làm này ta có thể xây dựng ra các lớp hệ phương trình không còn đối xứng.

c) Hoặc các hệ phương trình mà một phương trình chính là dấu bằng của một bất đẳng thức, các
phương trình còn lại chỉ nhằm mục tiêu làm cho BĐT tồn tại.
Giải hệ phương trình sau:

2
11
1
51116
3
11
xy
xy
yx
xy
xy
!
+=

"
++
+
"
#
"
+=
"
−−
%

Hướng dẫn: Điều kiện: x,y>1
Biến đổi phương trình (1) như sau:
22
11 2
11 1 1
11
xy xy
xy x y
yx y x
xy xy
+= +++= +
++ + +
++

2(2 1)
11
(1)( )
11
1

xy
xy
xx
xy
+
++ + =
++
+

Vỡ
2121
Cauchy
xy xy xy xy+ ++ +

V
11 2
11
1
xy
xy
+
++
+

Thc t l vic nhn dng phng phỏp gii cỏc phng trỡnh v h phng trỡnh l khụng d.
3. p dng.
Bi 6: Giải hệ pt:
2
2
x43x2102y

y64y311x
!
+=
#
$
+=
#
%

Hng Dn:
Cộng hai vế của hệ rồi biến đổi thành:
22 22
(3x 2 2) (x 2) (4y 3 3) (y 3) 0 + + + =

Bi 7: Giải ph"ơng trình
2
2
11
224xx
xx
!"
+ =+
$%
&'
.
HD: Đk
2
2
2
2

2
2
x
x
!

$
$
$

$
%
. Với đk đó, ph"ơng trình đã cho t"ơng đ"ơng với
ph"ơng trình
2
2
11
22 4(1)xx
xx
+ ++=
.
theo BĐT Bunhiacopxki, ta đ"ợc
22 2 2
22
22
(2 ) (2 .1 .1) 4
11 1 1
22.1.14
xx x x
xx x x

!
+ = +
$
$
%
&'& '
+ = +
$
()( )
()( )
$
*+* +
,
.
Suy ra Vt
(1) 4
= Vp
(1)
. Do đó
2
2
22
(1)
11
22
xx
xx
!
+=
#

%
+=
#
&
, nghĩa là dấu bằng trong hệ xảy ra. Từ
đó ph"ơng trình có nghiệm duy nhất là
1x =
.
Bi 8: : Gii h phng trỡnh

!
!
"
!
!
#
$
=+
+
=
+
+
+
9
2
)21()21(
21
2
21

1
21
1
22
xyxx
xy
yx
(VMO-2009)
Gii
Bỡnh phng hai v ca bt ng thc, ta c bt ng thc tng ng
xy
y
yx
x
+

+
+
++
+
+
1
4
1
1
11
2
1
1
2

22
2

Theo bất đẳng thức CBS, ta có
xy
yx
xyyx
+
≤
++
⇒+≥++
1
2
1.1
2
11.1
22
22
. Như vậy ta
chỉ cần chứng minh
xy
yx
+
≤
+
+
+
1
2
1

1
1
1
22
(**) là xong. Nhưng (**), qua các phép biến đổi đại
số đơn giản, tương đương với
0
)1)(1)(1(
))(1(
22
2
≥
+++
−−
yxxy
yxxy
đúng do x, y thuộc [0, 1].
1. Ta có thể làm khác đi một chút bằng cách áp dụng CBS ngay từ đầu:

xy
yx
yx
+
≤
"
"
#
$
%
%

&
'
+
+
+
≤
"
"
#
$
%
%
&
'
+
+
+
1
4
1
1
1
1
2
1
1
1
1
22
2

22
(theo (**)). Từ đó suy ra điều phải
chứng minh. Rõ ràng trong hai cách chứng minh trên, ta chỉ cần điều kiện -1 < xy ≤ 1.
Bài 9: Giải$hệ$phương$trình$
22
232
8
16
2
83 342
xy
xy
xy
xxxxy
yy
!
++ =
"
+
"
#
"
+= +−
"
%
$

1)$Từ$phương$trình$thứ$hai$của$hệ$ta$suy$ra:$
!
++≥

#
>
!
##
⇔
%%
+≥
##
&
+≥⇔ +≥
#
&
2
32 2
2
0
0
832
3
0
2
4
0()0
34 832
xxy
y
y
xy
xx xxy
yy

.$
Mặt$khác,$do$
223
0
323 4
xy
xy
!"
+= + >
#$
%&
$nên$áp$dụng$bất$đẳng$thức$AMRGM$ta$có:$
2232
22
2
832 83234
xxy xxyxx
yyy
!" !"
++≥ += +
$% $%
&' &'
$
Suy$ra$phương$trình$thứ$hai$của$hệ$
2
2
832
xxy
y
⇔=+

$
Từ$phương$trình$(1)$
Ta$có$
22 2
88
16 ( ) 16 2 0
xy xy
xy xy xy
xy xy
++ =⇔+ −− + =
++
$
( )
2
4( ) 4( )2 0xy xy xy xy
!"
⇔+− + + +− =
%&
'(
$
( )
22
44()0xy x y xy
!"
⇔+− + + + =
%&
'(
$(*)$
Do$
3

0(*) 4
4
xyx y xy+>+ ≥⇒ ⇔+=
$thay$vào$phương$trình$thứ$nhất$của$hệ$ta$có$
Do$đó$hệ$đã$cho$
2
22
4
4
4
2
2
6,
31612 0
3
832
xy
xy
xy
xxy
xyx y
x xy y
y
!
+=
!
+=
!
+=
"

""
⇔⇔ ⇔
$$ $
==−
=+
−− =
"
""
&
&
&
$
24
7
4
7
x
y
!
=
"
"
⇔
$
"
=
"
%
$hoặc$
8

12
x
y
!
=−
#
=
$
$là$nghiệm$của$hệ.$
Bài 10: Giải phương trình:$
++
++=
+
++ +
2
22
12 13
2
3
23
xxx
xx
xxx x


Hướng dẫn: Bài toán gốc là bất đẳng thức Nesbits
Cho a, b, c >0. Chứng minh rằng:
++ ≥
++ +
3

2
ab c
bc ca ab
.$Dấu$“=”$có$khi$a=b=c.$
Chọn:$a=x
2
+1;$b=2;$
=+1cxx

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài tập 6:$Gi¶i ph"¬ng tr×nh:
11x6xx42x
2
+−=−+−
.
Bài tập 7: Gi¶i ph"¬ng tr×nh
2
43 2
3
27332
2
xx
xx x x
−
+−+−+=
.
Bài tập 8: Gi¶i ph"¬ng tr×nh
22
9
1

xx
x
+=+
+
.
Bài tập 9: Gi¶i ph"¬ng tr×nh
24 24
13 9 16xx xx−+ +=
.
Bài tập 10: Giải phương trình:
22
2
22
2
1
1214
xx xx
x
xx xx
−+ +
−=−
+− ++ +− −+

Bài tập 11: Giải phương trình:
32 32 2
3x 2x 2 3x 2x-1 2x 2x+ 2x+++−++ =+


Bài tập 12: Giải hệ phương trình:
3

3
(1 )(1 )(1 ) (1 z )
x3
xyz xy
yz
!
+++=+
"
#
++=
"
$

Bài tập 13: Giải hệ phương trình:
222 22
(2 )(1 2x)(2 )(1 2 ) 4 10z+1
2xz+2yz+x 1 0
xyy
xyz y
!
−− ++=
#
$
+++ +=
#
%

Bài tập 14:
2
2

2x-y+ x-1 2( 1) 2(2x-y)
4x x-1 17 0
x
y
!
≥−+
$
%
$
+−=
&

Bài tập 15 : Giải hệ phương trình:
3
3
3
3 x -12
-y+4z 6
9z+2x z 32
xy
y
!
+=
"
"
=−
$
"
=+
"

%

Bài tập 16: Giải hệ phương trình:
3
3
3x+4
262
yx
xy y
!
=− +
#
$
=−−
#
%

Bài tập 17: Giải hệ phương trình:
3
3
3
3x+4
2y 6 6
2z 9z+8
xy
zy
x
!
+=
"

"
+= +
#
"
+=
"
$

Bài tập 18: Giải hệ phương trình:
3
3
3
3x-12y+50
y1232
z2727z
x
yz
x
!
=
"
"
=+−
$
"
=+
"
%

§ 3: Xây dựng phương trình, hệ phương trình bằng cách sử dụng tính đơn
điệu của hàm số.

1. Cơ sở:
Mệnh đề 1: Hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên (a;b) và y=f(x) đơn điệu trên (a;b) . Khi đó
phương trình dạng:
=⇔= ∈() () , u,v (a;b)
fu fv u v

Chứng minh:
Không mất tính tổng quát, giả sử y=f(x) là hàm số đồng biến trên (a;b).
<=) Nếu u=v thì hiển nhiên f(u)=f(v).
=>) Nếu f(u)=f(v) ta phải chứng minh u=v. Phản chứng giả sử
≠
uv

*) u > v
*) u < v đều dẫn đến vô lý. Vậy u = v.
Mệnh đề 2: hai hàm số y = f(x) và y=g(x) có tính đơn điệu trái ngược nhau trên (a;b).
Nếu phương trình f(x) = g(x) có nghiệm x
0
thuộc (a;b) thì nghiệm đó là duy nhất.
Chứng minh:
2. Ví dụ mở đầu.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
−+=
3
3
12x-1
xx

Nhận xét: Xét hàm số f(t)=t
3
+t,
∈ °
t
, ta có hàm số là đồng biến trên R.
Chọn
==
3
;2x-1
uxv
ta xây dựng được phương trình.
=⇔+= ⇔−+=
33
333

() (2x-1) 2x-1+ 2x-1 1 2x-1
fx f x x x x
.Ta có bài toán:
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
!
++− −=
#
$
++ − =
#
%
2
22
(4x 1) ( 3) 5 2 0
4234x7
xy y
xy
(Đại học khối A-2010)
Xét hàm:
=+=+
23
() ( 1)
ft t t t t
là hàm đồng biến; chọn u=2x; v=
=−52
vy
ta nhận được
phương trình (1), việc nhân 2 vế phương trình (1)với 2 là không tự nhiên và khó phát hiện.
Ví dụ 3: y=2
x

và y=2-log
3
x ta có phương trình: 2
x
=2-log
3
x.
Nhận xét: Bằng cách chọn những hàm f(x) khác nhau và các biến u, v khác nhau ta sẽ nhận được
các phương trình hệ phương trình tương ứng.
3. ÁP DỤNG.
Bài 11: Giải phương trình:
22
(1)(2 2x+4)2x(2+4x3)=0xx++ + " +

Hướng dẫn: f(x+1)=f(2x), với
2
() (2 3)ft t t=+ +

Bài 12: Giải phương trình::
3
2( 3)( 4x-8 2x-4) 3x-4x −+=

Bài 13: Giải hệ phương trình :
332
2
342
121
yyx x x
xy y
Ï

Ô
+= + + +
Ô
Ô
Ì
Ô
&& =&&
Ô
Ô
Ó

Giải
Điều kiện xác định của hệ phương trình là
!
"
#
≤≤
≤≤−
20
11
y
x
(*)
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
!
"
!
#
$
−+=+−

+++=+
)2(211
)1()1()1(
2
33
yyx
xxyy

Từ(*) ta có
[ ]
[ ]
10;2
0; 2
x
y
!
+∈
#
$
∈
#
%
. Xét:
tttf +=
3
)(
; có
tttf ∀>+= 013)('
2

Hàm số
tttf +=
3
)(
đồng biến trên đoạn
[ ]
2;0
nên pt(1)
1+=⇔ xy
,
thế vào pt(2) ta được:
xxx −++=+− 1111
2


0=⇔ x
1=⇒ y
(thỏa mãn (*)).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
( )
yx;
là
( )
1;0
.
Bài%14:%Giải$hệ$phương$trình$:$
a)
22
2
(x+ 1+x )(y+ 1+y )=1

x6x+2x 1 4xy+6x+1
!
"
#
"
+=
$
b)
2242
x
2y(4y +3x )=x ( 3)
2 ( 2 2x+5 1) 4
x
yx
!
+
"
#
−−+=
"
%
$
Hướng dẫn: a) Từ pt(1) dùng PP hàm suy ra x=-y.Thay vào (2):
2
2
22 2
1
25x
x6x+2x 1 4x+6x+1 6x+2x 1
311

24
2
x
x
x
=
!
"#
$
+=− ⇔ +− = ⇒
()
−
$
*+
=
$
,

b)
2242
x
2y(4y +3x )=x ( 3)
2 ( 2 2x+5 1) 4
x
yx
!
+
"
#
−−+=

"
%

Hướng dẫn: ĐK:
22x+50y −≥
. Nhận thấy x=0 không thỏa mãn phương trình (1). Ta chia cả
hai vế pt(1) cho x
3
ta có phương trình.
33
22
()3. 3x
yy
x
xx
+=+
, xét hàm f(t)=t
3
+3t đây là hàm đồng biến, khi đó từ (1) ta sẽ nhận được:
2
33
22 2y 2y
()3. 3x f( )=f(x)
xx 2
yy x
xxy
xx
+=+⇔ ⇔=⇔=
, thay vào pt(2) ta nhận được phương
trình:

(
)
12
2(1)4(1)2
x
xx
−
−+−−=
(*)
Xét hàm
(
)
2
() 2 4 2;
u
fu u u u R=+−−∈
có
(
)
2
2
1
'( ) 2 4 ln 2 0
4
u
fu u u
u
!"
=+−− >
$%

+
&'

Vậy f(u) đơn điệu tăng, do vậy nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất:
Thấy u=0 là nghiệm, suy ra x=1, suy ra y=1/2.
Bài 15: Giải hệ phương trình sau:
( )
332 2
2
8312126 21 1(1)
22 1 6 4 1 (2)
xyx y yx y x
xxy yx y
!
−−+ −+= −−−
#
$
+= + +
#
%

Giải. ĐK:
1
1
2
x
y
≥
"
#

$
≥
#
%

Phương trình (1):
( ) ( ) ( ) ( )
33
13 1 121321 21xxxy yy−+ −+−= −+ −+ −
(3)
Xét hàm số:
( )
3
3ft t t t=++
với
0t ≥
. Vì
( )
2
1
'33 0 0
2
ft t t
t
=++ >∀>
nên hàm số f(t)
đồng biến trên
[
)
0; +∞

. Từ pt (3) suy ra
( ) ( )
121 2fx f y x y−= −⇔=
.
Thay vào phương trình (2) :

( )
( )
22
11
4134 414 34 404yy yy y y y
yy
+= + +⇔ +− ++=

+ Đặt
( )
1
44ay a
y
=+ ≥
thay vào (4) ta được pt :
34aa=+
, giải được a = 12
Với a = 12 ta tìm được
322
322
2
yx
+
=⇒=+

+ KL : Hệ có nghiệm :
322
322;
2
!"
+
+
#$
#$
%&

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bi tập 19: Gi¶i hÖ ph"¬ng tr×nh:
xy
22
sin x
e
sin y
38x 3 1 62y 2y 1 8y
x,y 0;
4
−
"
=
#
#
#
++= − ++

$
#
π
&'
#
∈
)*
#
+,
-

Bi tập 20: Giải hệ phương trình: a)
3
22 1 2 1 2 3 2
42 246
() ( )xxyy
xy
!
+++= − −
#
$
++ +=
#
%

b)$Giải$hệ$phương$trình:$
33 2
22 2
3320
132 20

xy y x
xxyy
−+ −−=
+−− −+=
"
#
$
#
%
$
Bi tập 21:: Giải hệ phương trình:
( )
2
1
2
2
22
3
22
2
22140
x
y
xy
xy x xy x
−
"
−=−−
#
$

#
+−+−=
%

Bài tập 22: Giải hệ phương trình:
−
−
"
+− =+
#
$
+− =+
#
%
21
21
2x+2 3 1
2+2 3 1
y
x
xx
yy y

Bài tập 23: Giải hệ phương trình:
!
−−
#
$
+=
#

%
33
84
5x=y 5
1
xy
xy

Bài tập 24: Giải phương trình:
22
3(2 9 3) (4 2)(1 1) 0xx x xx+++++++=

Bài tập 25: Giải các phương trình sau:
1.
xx
x
xxx
62
5
log24
2
3
53
2
−
−
=−
−−

2.

14217
542
3
log
2
2
2
3
++=
!
!
"
#
$
$
%
&
++
++
xx
xx
xx

Bài tập 26: Giải phương trình:
3
2( 2)( 4x-4 2x-2) 3x-1x −+=


Bài tập 27: Gi¶i hÖ ph"¬ng tr×nh:
3

(3 x) 2 x 2y 2y 1 0
22 x (2y1) 1
!
−−− −=
#
$
#
−− − =
%

Bài tập 28: Giải hệ phương trình:
22
2
2
22
1
1
3262 21log ( ) log ( )
yx
x
e
y
xy xy
−
"
+
=
#
+
$

#
++= +++
%

Bài tập 29: Giải$hệ$phương$trình:$
3
2
22x1-x31-x
2x 1 2xy 1+x
yy
y
!
+=−
#
$
=−+
#
%
$
Bài tập 30: Giải phương trình:
32
3
22x-1 27x 27x 13x-2=−+
$
Bài tập 31: Giải phương trình:
92
3
9x 1
2x+1
3

x −+
=
$
Bi tập 32:
222)1
2
1
(32
12
28
log
2
1
12
2
+++=++
+
+
+
+
x
x
x
x
xx

Bi tập 33. Giải hệ phương trình:
33 2
22
866920

4143(1)(3)10
xy y x y
xxyy
!
−+ −−+=
#
$
+− − − −+=
#
%

Bi tập 34: Giải hệ phương trình sau :
( )
( )
( )
2
1
91
25 522
5
2
21
2
yx
xy
xx y
xx
!
=
"

"
#
−+ −+ = +−
%&
"
−−+
'(
"
)*
+

Bi tập 35:%Giải$hệ$phương$trình$:$
1
2
2
2
(1)
296
41820 1
298
yx
xy
xx
xx y
xx
+
!
=+
"
"

#
−+
−+ −+ =+
"
"
−+
%
$

§ 4: Xây dựng phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp tam thức bậc hai.

1. Đặt vấn đề:
a) Xuất phát từ x=y và x=2y ta xây dựng nên phương trình bậc hai:
(x-y)(x-2y)=0 tương đương với x
2
-3xy+2y
2
=0 (Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai).
Kết hợp với một phương trình 2 biến x; y khác ta có được một hệ phương trình.
Nếu x=y và x=y+1, ta xây dựng phương trình bậc hai ẩn x nhận y và y+1 làm nghiệm.
(x-y)(x-y-1)=0 tương đương x
2
-2xy+y
2
-x+y=0,… và kết hợp với 1 phương trình 2 biến x, y khác
ta cũng nhận được hpt tương ứng.
b) Trong một số trường hợp khác khi xem 1 phương trình của hệ là 1 phương trình bậc
hai với 1 ẩn x hoặc y ta có biểu thị giữa x và y thông qua công thức nghiệm, trong một số trường
hợp khi đặt điều kiện để tồn tại nghiệm x, y, tức delta không âm. ta tìm được miền bị chặn của
biến còn lại và đó lại là cơ sở để giải quyết bài toán.
2. Ví dụ mở đầu.
VD1: Giải hệ phương trình:
22

=x 2
21=2x-2y
xy x y y
xyyx
!
++ −
#
$
−−
#
%
(D-2009)
VD2: Giải hệ phương trình:
2
22
(5x+4)(3 )
5x 4 xy+16x-8y+16=0
yx
y
!
=−
#
$
−−
#
%

3. Áp dụng:
Bài 16: Giải hệ phương trình:
!

"
!
#
$
=−+++
=++−−+
04
0252
22
22
yxyx
yxyxyx

Hướng dẫn:
Coi phương trình (1) là 1 phương trình bậc hai với ẩn x:
22
2(5) 20xyxyy+− − ++=
có
22 2 2
(5)8( 2)9 189(33)yyyyyyΔ= − + − − = − + = −

Từ đây:
22
533 1
42
2(5) 20
533
2
4
yy y

x
xyxyy
yy
xy
−+ − +
"
==
#
+− − ++=⇔
#
−− +
#
==−
#
%

Nhận xét: Xuất phát từ liên hệ: 2x-y-1=0 và x+y-2=0 ta nhận được phương trình (1).
Bài 17: Giải hệ phương trình:
2
2
22 1342xy+x
22 134xy+2y
xxy
yxy
!
+−+−−=
#
$
+−+−−=−
#

%

Hướng dẫn:
Trừ vế với vế ta được: 2x
2
-2y
2
=3xy+x-2y, coi đây là phương trình bậc hai với ẩn x hoặc y; ta có:
x=2y hoặc 2x+y=1.
*) TH1: x=2 thì dựa và điều kiện, đánh giá ta nhận được x=2; y=1 không thỏa mãn hệ.
*) TH2: Với 2x+y=1 thay vào pt(1). Ta nhận được:
2
6x 3x-34+ 2-x 2x 0( 0)x−+−=<

Nhẩm thấy có nghiệm x=-2, ta biến đổi đưa dạng tích:
( ) ( )
22(2) 1 2
3( 2) 2x-5 0 ( 2)[3 2x-5 ] 0
2222 2222
xx
xx
xx xx
++
+− − =⇔+ − − =
−+ − + −+ − +

Do x<0 nên
( )
12
32x-5 0

2222xx
−−=
−+ − +
vô nghiệm.
KL: x = -2; y = 5 là nghiệm của hệ.
Bài 18: Giải hệ phương trình:
2
2
22
121
2x= 27
9
3x-4y+4=0
x
x
xyxy
!
"
+−
$
"
++−
%

HD: Từ PT(2) coi đó là PT bậc hai với ẩn y, điều kiện để phương trình có nghiệm y là

4
00
3
xΔ≥ ⇔ ≤ ≤

. Từ đây đánh giá được
2
2
121 4 4
2x+27
933
x
xxy+≤⇒=⇒=

Bài 19: Giải hệ phương trình:
22
22
7
(2 1)(2 1) (1)
2
7x-6y+14=0(2)
xy xy
xyxy
!
−−=
#
$
#
++−
%

Hướng dẫn:
Coi (2) là phương trình bậc hai với ẩn x thì điều kiện để phương trình này có nghiệm là:
7
0[1;]

3
x
yΔ≥ ⇔ ∈

Tương tự coi phương trình (1) là phương trình ẩn y ta cũng nhận được:
10
0[2;]
3
y
xΔ≥ ⇔∈

Nhận thấy x=0; y=0 không là nghiệm của pt(1). Ta chia 2 vế của (1) cho xy. Ta có:
117
(2 )(2 )
2
xy
xy
−−=
. Xét hàm
1
() 2ft t
t
=−
; hàm này đồng biến t>0, mà phương trình
117 7
(2 )(2 ) ( ). ( )
22
xy fxfy
xy
−−=⇔ =

, do điều kiện của x và y nên ta có:
7
(). () (2).(1)
2
fxfy f f≥=
. Hệ phương trình có nghiệm (2;1).
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài tập 36: Giải hệ phương trình:
22
22
(2x 3x+4)(2 3 4) 18
7x-6y+14=0
yy
xyxy
!
−−+=
#
$
++−
#
%

Bài tập 37: Giải hệ phương trình:
42
22
698
81
3x-4y+4=0
xy
xyxy

!
+=
"
#
"
++−
%

Bài tập 38: Giải hệ phương trình:
222
22
2xy-zx-zy 3
x-2x=-1
xyz
xyyzz
!
+++ =
"
#
++−
"
%

Bài tập 39: Giải hệ phương trình:

22
12
2
( 1 1) 3x 3
yx

xy
x
yx
!
+= +
"
#
"
+− = +
%