Phép biến đổi Laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân thường

Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi có vai trò
quan trọng trong giải tích. Qua phép biến đổi Laplace, các phép toán giải
tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các các
phép toán đại số. Nhờ một số tính chất riêng của nó mà biến đổi Laplace
đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân thường, phương
trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân... Phép biến đổi Laplace
biến mỗi hàm gốc theo biến thành hàm ảnh theo biến. Với phép biến đổi
này việc tìm hàm gốc thỏa mãn các biểu thức chứa đạo hàm tích phân
(nghiệm của phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương tình
đạo hàm riêng) được quy về tính toán các biểu thức đại số trên các hàm
ảnh. Khi biết hàm ảnh ta sử dụng phép biến đổi Laplace ngược để tìm
hàm gốc.
Ngoài ra, phép biến đổi Laplace còn được nghiên cứu trong vật lý
và nhiều môn học khác.
Phương trình vi phân là một trong những lĩnh vực quan trọng của
toán học. Để giải trực tiếp loại phương trình này nói chung là rất khó, do
đó người ta đã sử dụng phép biến đổi Laplace để giải loại phương trình
này. Để tiếp cận với lý thuyết này và hiểu biết phần nào về những ứng
dụng của nó, được sự định hướng của thầy hướng dẫn em chọn đề tài
"Phép biến đổi Laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi
phân thường" để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành
Toán giải tích.

Vũ Thị Mai

1

K35D - SP Toán


2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace và ứng dụng của nó trong
việc giải phương trình vi phân trình thường.
3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace và phương trình vi phân
thường.
Ứng dụng của biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân
thường.
4. Phương pháp nghiên cứu
Tra cứu tài liệu, tổng hợp và theo sự chỉ đạo của thầy hướng dẫn để
hoàn thành mục đích đặt ra.
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, phụ lục, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận
gồm:
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Phép biến đổi Laplace
Chương 3. Ứng dụng của phép biến đổi Laplace trong việc giải
phương trình vi phân thường.


CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Sơ lược về giải tích phức
1.1.1. Số phức
Định nghĩa. Một số phức là một biểu thức dạng

x  iy , trong đó x

2

và y là những số thực và số i thỏa mãn i  1. Kí hiệu số phức là z và
viết là z  x  iy .
i được gọi là đơn vị ảo, x được gọi là phần thực, y là phần ảo của
số phức z  x  iy .
Tập hợp các số phức được kí hiệu là □ . Tập hợp các số phức được
đồng nhất với mặt phẳng

□ 2 bởi phép tương ứng:
□ →□

2

z  x  iy   x, y  □

2

Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo.
Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách
thông thường như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng
2

i  1. Ta có:
z1  z2   x1  x2   i  y1  y2 
2

z1z2   x1  iy1   x2  iy2   x1x2  ix1 y2  iy1x2  i y1 y2
  x1 x2  y1 y2   i  x1 y2  y1 x2 

Với mỗi số phức ta xác định module của số phức z là
z

x2  y 2


Số phức liên hợp của z  x  iy là x  iy và được kí hiệu là
z  x  iy  x  iy.
Không khó khăn ta có thể kiểm tra được
Re z 

và

2

zz

z  zz,

2
1
z



; Im z 
z
z

zz

2i

, với z  0.
2

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z  rei với r  0 là
module,  □

được gọi là argument của số phức z (argument của số

phức z được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của

2 )
và

i

e  cos  i sin . Do

ei  1 nên r  z và  là góc hợp bởi

chiều dương của trục Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi
qua điểm z .
Nếu z  rei và w  sei

thì zw  rse

i(    )

.

1.1.2. Hàm số biến số phức
Cho hàm số f của một biến số phức z . Khi đó ta có thể viết dưới
dạng sau:

f  z  u  x, y  iv x, y  , trong đó u, v là các hàm số 2 biến số
thực.
Tính khả vi của hàm số biến số phức
Cho hàm số f xác định trong miền G  □
và một điểm z thuộc
miền G , khi đó hàm f được gọi là khả vi tại điểm z nếu tồn tại một số
phức   z 

sao cho

f  z  z  


f  z     z  z  R
trong đó R  0 khi z  0 .
z

(1.1)


Khi đó,   z  gọi là đạo hàm của f tại z .
Hàm f được gọi là khả vi trong miền G nếu f khả vi tại mọi điểm
trong miền G .
Hàm giải tích
Cho hàm f xác định trong miền G và z  , z □

0
0

f được gọi là hàm giải tích tại điểm

. Khi đó hàm

z0 nếu hàm f khả vi trong một lân

cận nào đó của điểm z0 . Điểm mà tại đó hàm f không giải tích gọi là
điểm kì dị hay f được gọi là có điểm kì dị.
Nhận xét
Hàm f z
  giải tích tại điểm z0 thì khả vi tại điểm đó. Tuy nhiên
điều ngược lại nói chung không đúng.
Trên miền G mở hàm f z
  giải tích trên G khi và chỉ khi f khả
vi trên đó.
1.1.3. Khai triển Laurent
Tại một cực điểm cấp n ta có hàm
  z    z  a

n

f z

là hàm giải tích trong miền z  a   vì vậy ta khai triển được thành
chuỗi Taylor



  z    k  z  a 
k 0

k



, f  z    ai  z  a
i0

k

, ai  i1, i  1, 2...

Như vậy, một khai triển được biết như là chuỗi Laurent, nó có thể là
độ phân giải đơn giản nhất của một điểm kì dị.
1.2. Một số vấn đề cơ bản của phương trình vi phân
Định nghĩa. Phương trình vi phân là một phương trình chứa hàm
cần tìm và các đạo hàm của nó. Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một


biến độc lập thì phương trình đó gọi là phương trình vi phân thường. Nếu
hàm cần tìm phụ thuộc hai hoặc nhiều biến độc lập thì phương trình đó
gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng. Trong khuôn khổ của đề tài
này, ta chỉ xét phương trình vi phân thường.
Phương trình vi phân thường có dạng tổng quát
F

 x, y, y, y ,..., y   0

 n

(1.2)

trong đó F là hàm xác định trong một miền G nào đó của không gian
□

n2

gồm biến độc lập x và y là hàm của biến độc lập cùng các đạo

hàm cấp một đến cấp n của nó.
Cấp của phương trình vi phân thường được xác định bởi cấp cao
nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình đó.
Nếu từ phương trình (1.2) ta tìm được biểu diễn của đạo hàm cấp
 n qua các biến còn lại thì ta nói phương trình giải được đối
cao nhất y
với  n
y

hoặc còn gọi là phương trình dạng chính tắc, tức là phương

trình (1.2) có dạng :  n
y 
f

 x, y, y,..., y  
n1

Nghiệm của phương trình (1.2) cũng như (1.3) là hàm

khả vi n lần trên khoảng  a,b 
với mọi x thuộc khoảng  a,b  .
Đường cong

(1.3)

y  y  x

nào đó thỏa mãn các phương trình đó

y  y  x , x   a,b

gọi là đường cong tích phân của

phương trình đã cho.
Để giải phương trình vi phân ta cũng dùng thuật ngữ ''tích phân
phương trình vi phân''.


y  y  x

Bài toán Cauchy
Bài toán tìm nghiệm

của phương trình (1.2) xác định trên

khoảng  a,b  nào đó thỏa mãn điều kiện :
y0  y  x0  , y0  y  x0  ,..., y(n1)  y(n1)  x0 

(1.4)

0

được gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện (1.4) gọi là điều kiện ban đầu.
Vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
Định lý 1.1. (Tồn tại và duy nhất nghiệm)
Cho phương trình vi phân cấp n dạng chính tắc:
y  
n

f

 x, y, y, y ,..., y  
n1

Nếu vế phải của phương trình vi phân trên là một hàm liên tục của n  1
n1
biến trong một miền nào đó của □ n1 chứa điểm x , y , y ,..., y



f

và các đạo hàm riêng
chứa điểm

f

0

0

0



0

f

,
,...,
liên tục thì tồn tại khoảng  a,b 
y y '
y(n)

x0 để trên khoảng này tồn tại và duy nhất một hàm y  y  x

khả vi n lần trên khoảng và thỏa mãn điều kiện đầu (1.4).


CHƯƠNG 2
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

2.1. Phép biến đổi Laplace thuận
2.1.1. Hàm gốc

f  t  được gọi là hàm gốc nếu

Định nghĩa. Hàm số biến số thực

thỏa mãn 3 điều kiện sau đây:

 i  f  t  liên tục từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của trục thực t.
 ii f  t   0 khi t  0.
iii f  t 

không tăng nhanh hơn hàm số mũ, nghĩa là tìm được các số

M  0 và   0 sao cho với mọi t ta đều có:

t

f (t)  Me .

Số  0 = inf  với tất cả các số  thỏa mãn  iii

được gọi là tỷ số

tăng của f .
Ví dụ 2.1. Chứng minh rằng hàm đơn vị sau là hàm gốc
khi t  0
0
 t   
1 khi t  0.
Giải
Điều kiện  i  và  ii rõ ràng được thỏa mãn.
Đối với điều kiện  iii ta có thể lấy

M  2;   0 có  (t)  2e0t  2
Vậy   t  là hàm gốc.

Ví dụ 2.2. Chứng minh rằng hàm số sau đây là hàm gốc
2

f (t)  t  (t) 

t

2

khi t  0

0 khi t  0.


Giải
Điều kiện  i  và  ii rõ ràng được thỏa mãn.
Đối với điều kiện  iii ta thấy rằng
t

e 1t

t

Nên khi t  0 rõ ràng e 

t

2

2!

t

 ...

2

3
t

2!

3!
2

t

hay t  2e .
2

f (t)  t  (t)  2e

t

Từ đó suy ra với mọi t đều xảy ra đẳng thức:

có nghĩa là điều kiện  iii được thỏa mãn với M  2;   1.
Ví dụ 2.3. Hàm sau đây có phải là hàm gốc hay không
 t 2 khi
t0

t2
e
f (t)  e  (t)  

t  0.
0

khi

Giải
Điều kiện  i  và  ii

iii

rõ ràng được thỏa mãn. Đối với điều kiện

ta thấy rằng:
Khi t  0 thì tồn tại tại M  0 và   0 sao cho
2
t

t

t

2

t  0
M
Bất đẳng thức này sẽ không xảy ra với t khá lớn vì

e

 Me

lim
t

Do đó điều kiện  iii
không là hàm gốc.

e

Met
et

2

 

 t

M;

không được thỏa mãn và hàm f (t) 
t
e

2

 (t)

2.1.2. Định nghĩa phép biến đổi Laplace
Cho hàm số gốc f t
  ta gọi hàm số phức F  p của biến số phức

p    i được xác định bằng công thức sau đây:


F ( p)   f (t)e

 pt

0

là hàm ảnh của hàm

f  t  hay là phép biến đổi Laplace của hàm f  t  .

Kí hiệu là L f (t)  F ( p).
Chú ý.

F(
+) Hàm ảnh p)

chỉ xác định trong miền Re p  s 
s0

giải tích trong miền đó.
+) Còn có thể chứng minh được khi Re p  s  

Cho nên những hàm F  p

và là hàm

thì F( p)  0 .

nào đó không thỏa mãn điều kiện này sẽ

không phải là hàm ảnh của một hàm gốc nào cả, chẳng hạn  ( p)  cos p
không phải là hàm ảnh của hàm gốc nào cả vì nếu lấy p  2k thì khi

k   ta sẽ có Re p  2k   , nhưng khi đó
lim  ( p)  lim cos 2k  1  0.
p

k 

p

Tương tự cũng dễ thấy các hàm sin p, e ,

2

p 1

phải là hàm ảnh của hàm gốc nào cả.

,1
p,...

p2

Ví dụ 2.4. Tìm biến đổi Laplace của hàm đơn vị Heaviside
2

f (t)  t  (t) 

t 2
khi t  0

0 khi t  0.

không


Giải
Biến đổi Laplace của  là:
F ( p)   e

1 
dt   e





pt

với Re p  0.


pt
0

p

0

t

f (t)  e .

Ví dụ 2.5. Tìm biến đổi Laplace của hàm số
Giải
Biến đổi Laplace của f t
  là:
1


 (  p)t
F
 ( p)
dt 
ete ptdt  e





0

(  p)t

e

1



0

p

0



p

1



p 

với Re(  p)  0.
Ví dụ 2.6. Tìm biến đổi Laplce của hàm số

f (t)  t



Giải
Biến đổi Laplace của f t
  là:
F ( p)






  pt

t e

0

u 

dt 




0

e

u u 

du

 p

p



1
p 1





u 

e u du 

(  1)

0

p 1

với ( )   e u du.
0

Định lý 2.1. Cho f là hàm gốc có chỉ số tăng là  0 . Khi đó biến

đổi Laplace F của hàm giải tích f là hàm giải tích trong miền

Re p   0 .

,


Chứng minh
Đặt

Fn là hàm định bởi
n

Fn   e

 pt

f  t  dt,

0

với Re p  0 , dãy  Fn n1,2... hội tụ đều về F trên miền

Re   0  2 ,

với   0 bất kì. Thật vậy, với mọi p thuộc miền Re  0  2 , ta có

 Re p t



Fn  p  F  p   e

 Re p t     t
f  t  dt  M  e   e 0 dt

n

n



M



 t

e

n

dt 

M



n

e

.

và bất đẳng thức trên không phụ thuộc vào p trong miền Re  0  2 ,
suy ra sự hội tụ đều trong miền đó.
giải tích trên miền Re p  0 . Thật
Ngoài ra, với mỗi n □ ,
Fn
vậy, xét p cố định sao cho Re p   , sử dụng định lý hội tụ bị chặn của
0
Lesbesgue, ta có
F  p  h   Fn  p 
n  pt e
ht
 lim  tf  t  e
F  p  lim n
1
n
h0
h
h0
ht
0
n
ht
n
1
e
 pt

 pt
  tf  t  e lim
   tf  t  e dt .
0

h0

Theo định lý Weierstrass hàm

ht
0
f cũng giải tích trên miền Re p   0.

2.1.3. Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Tính chất 2.1. Tính chất tuyến tính
Cho hàm gốc f có các chỉ số tăng là  , biến đổi Laplace là Fk ,
k
k
k  1,
Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợp tuyến tính của các
2...
hàm fk


n

f (t) 



ck fk (t) , ck là hằng

số
là hàm F xác định bởi

k 1

(2.1)
n

F ( p)   ck Fk (
p)
k 1

với miền xác định Re p  maxk .
Chứng minh
n

Từ L  f  t    L   ck fk  t   , Re p  max  k


 k 1



F  p 

pt



e
0

 n
n

  ck fk  t   dt 
e




 k 1

0 k 1



n

  ck

e

k 1

 pt

pt

ck fk  t  dt

n

fk  t  dt   ck Fk  p .
k 1

0

Ví dụ 2.7. Ta có biến đổi Laplace của các hàm thông dụng sau đây:
t
a) L  e  



1

, Re p  p     0.

p 

b) L cos  t  L

1



 e
2

i t

e

it


p
 1   1
1




2
p 
p  i 
 2  p  i



Re p  Im  .
c) Tương tự ta có Lsin  t  
d) L cosh  t  

p
2

p 

2


2

p 

2

, Re p  Im  .

, Re p  Re  .

,
2




e) L sinh  t  
2

p 

2

, Re p  Re  .


Tính chất 2.2. Tính chất đồng dạng

Cho hàm gốc f có chỉ số tăng là 0 , L f   F và c  0 là hằng
số.
Khi đó L t 

1

f (ct)  p 

Chứng minh



F

c

p
 c
 

pt

L  f  ct     e f  ct  dt 

(2.2)

, Re p   .
0

1

1 p
f
u
du

F
.


p
 





u

e
c

c

0

c

0

Ví dụ 2.8.

n!

Hàm lũy thừa f  t   t

n

có ảnh là F  p  pn1
nn

Vậy nên ảnh của hàm f  ct   c t

là

1

n!

 n!

c  p n1
 
c
với
0.

c

cn

,

pn1

Re p 
Tính chất 2.3. Tính chất dời (Chuyển dịch ảnh)
Cho L f  F , f có chỉ số tăng là  , là hằng số. Khi đó:
 
0 
t

L e f  t    F  p   



Re p  0  Re

(2.3)

Chứng minh
t

L e f (t) 








e

   p t

f  t  dt  F  p   .

0

Ví dụ 2.9. Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng sau đây:
 t




p
f) L e


cos  t 
 ( p   )2   2

Re p  Im   Re.



 t

sin  

 ( p   )2   2
g) L e

t n
h) L  e t  



Re p  Im   Re.

n!

 p

Re p  Re.

n1

Tính chất 2.4. Tính chậm trễ của gốc
Cho L  f t   F p , Re p   . Đặt
 
0
   
t
khi
0
f  t   
Khi đó

khi t   .

 f  t  


L  f  p    e p F  p  , Re p   0 .

(2.4)

Chứng minh



 pt

 pt


 p u 

L  f  p    e f  t  dt   e f  t   dt   f  u e
0

0

du  e

 p

F  p .

0

Tính chất 2.5. Tính chất hàm ảnh của hàm tuần hoàn
Nếu khi t  0
hàm gốc f  t  là một hàm tuần hoàn chu kỳ T thì
hàm ảnh của nó được tính theo công thức sau:
L f (t)  F  p 

e

T

trong đó

 p 
 pT

(2.5)
1

 pt

 p   e f  t  dt.

(2.6)

0

Ví dụ 2.10. Tính

L sin t .
Giải

Hàm sin là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 trước hết ta tính   p 
  p   2



0

e

 pt

1
sin t dt  
p

2

0 sin t d  e

 pt




1





 pt

   e sin t



–  e

p




2

t 2
t 0

2

e
dt. p

 pt

 pt


cos t dt 


0

cos t

0

Ta tính
2

e

 pt

cos t dt  

0

1

2

p

0 cos t d  e

 pt



2


t 2
 pt
 pt
  e
 e
sin t dt 

1

 

p

t 0


 2 p
  1 e
1  
p




0
2

0

e

 pt


sin  t dt .



Suy ra

1  e   



2 p

e2 p 1     p     p  
  p  

p2 

2

p 

2

.

Theo công thức (2.5) suy ra:
1  e  


 p   1  e  
2 p

L sin t   F  p

2

2

Tương tự ta cũng tính được: L cos t  



2 p


.
2
p 
2


2 .
p 
2

Tính chất 2.6. Tính chất về đạo hàm của hàm gốc
Cho L f   F giả sử

k
f   tồn tại và là hàm gốc,

tại với mọi k  1, 2..., n thì ta có:

 

k 1
f   0

tồn


n

Lf 
n
f 0
 p  F  p 





p







f 0

ở đây

 
n1
f  0 
 ...
n



2




 



p
lim

 

f

k 1
f   0

t 0

 k 1

p

(2.7)



 t  , n  1, k  1, n.



Chứng
minh



Với n  1 ta

có

L  f    e

 pt

0

f   t  dt
– pt

 – pt

 e

d  ft   e

f t 

t 0

– pt



t 

f  t  dt

  pe

0

0

 pF  p 

 

f 0 .

Vậy công thức đúng với n  1.
Giả sử quy nạp đúng với n  1, N , khi đó
N 1
 N
L  f     L  f   





L



f

1 

N






p

N



f 0

   


L f



f

0 






p


...

 N 1
p

N

p2

p

 


và L f   pF  p  f 0

Suy ra
 N



N 1 

 



f 0





 





0 

f 



f 0



N
f   0 

 









L



f

1



p



p


F




p

 ... 

p2

p

N 1

Theo nguyên lý quy nạp, ta suy ra định lý được chứng minh.

.




Ví dụ 2.11. Tìm nghiệm của phương trình y   2 y   y  4
thỏa mãn điều kiện y  0  1, y  0  2, y   0  2.
Giải
Đặt Y  p   L  y  t  

theo tính chất đạo hàm của hàm gốc trình bày

ở trên ta có:
L  y  t    Y  p  , L  y  t    pY  p   1, L  y   t    p 2Y  p   p  2
L  y   t    p 3 Y  p   p 2  2 p  2
và
e L  4 



4e – ptdt  


0

4

– pt





0

p

4
.
p

Thay vào phương trình đã cho ta được:


Suy ra Y  p  

3



2

p  2 p  p Y  p 

4
p

2

p 5

p

3

p
Vậy y  t   3  4t 

2

5p4

 p 1

2



3
p



4
p

2
 p 1
2

là nghiệm cần tìm thỏa mãn điều kiện ban đầu.

t

3e

Tính chất 2.7. Tính chất về đạo hàm của hàm ảnh
Cho hàm L f  F f
  , có chỉ số tăng là αO, ta có:
n
L[(t) f (t)]   n ( p)
n  □ , Re p   0
,
F

(2.8)

n  n
n
Hay L  t f (t)  1 F
 p .




Chứng minh
Dễ thấy rằng hàm t   t



n

f  t  có cùng chỉ số tăng với f . Ta có:




F   p   e
0

 pt

 t  f  t  dt


Do đó L   t  f  t   =F   p  , Re p   .
0


Bằng phép quy nạp ta suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.12.
L  t sin  t   L  t  sin  t   

d
2



dp p  

L  tcos  t   L  t  cos  t   

d



dp p  

2



d


p
dp p2   2

2

p 



2

L  tch t   L  t  ch t   

2

2

dp p2   2

.

 p   2
2

d

p

L  t s h t   L  t  s h t   

2 p



2

.

 p2   2  2
2 p

 p   2
2

2

2

2

p 

.

.

 p   2
2

2

Tính chất 2.8. Tính chất tích phân của hàm gốc
t

Cho L f   F và f liên tục khi đó ánh xạ t  f   d cũng là

0

hàm gốc (nếu như f liên tục thì ánh xạ này là nguyên hàm của f ) và
t
F p


 
L   f   d  
(2.9)

p

0
Chứng
minh
t

Đặt g  t   f   d thì g liên tục, suy ra đo được.

0

Gọi  0 là chỉ số tăng của f thì 0    1 ta có:

t

t


gt 



0

 f   d  M  e0


0

M
d 

0  

 0  
e

 t
 0


 M 1e

  t

0