Ứng dụng của bất đẳng thức vào giải một số bài toán và sáng tạo một số dạng toán đại số sơ cấp

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình toán phổ thông, các bài toán liên quan đến bất đẳng
thức luôn là bài toán hấp dẫn, lôi cuốn tất cả người học Toán và làm toán. Các
bài toán này rất phong phú và đa dạng vì vậy các bài toán về bất đẳng thức
thường xuyên có mặt trong các kỳ thi phổ thông trung học, cũng như trong các
kỳ thi học sinh giỏi và các kì thi đại học, cao đẳng.
Để giải quyết nó đòi hỏi người học Toán và làm toán phải linh hoạt và vận
dụng một cách hợp lý trong từng bài toán. Tất nhiên đứng trước một bài toán về
bất đẳng thức thì mỗi người đều có một xu hướng phát triển riêng cuả mình. Nói
như vậy có nghĩa là có rất nhiều cách để đi dến kết quả cuối cùng của bài toán
này. Điều quan trọng là ta phải lựa chọn phương pháp nào cho lời giải tối ưu
của bài toán. Thật là khó nhưng thật thú vị nếu ta tìm được đường lối đúng đắn
để giải quyết nó.
Với những lý do trên cùng với sự đam mê của bản thân và cùng với sự
hướng dẫn tận tình của thầy giáo - Thạc sỹ Phạm Lương Bằng, em mạnh dạn
thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình với đề tài: “ Ứng dụng của bất đẳng
thức vào giải một số bài toán và sáng tạo một số dạng toán đại số sơ cấp ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu ứng dụng của bất đẳng thức vào giải một số bất đẳng thức
và sáng tạo bất đẳng thức.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán liên quan đến bất đẳng thức.

Dương Thị Phúc

1


4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc, nghiên cứu tài liệu.

So sánh, phân loại, tổng hợp kiến thức.
Tổng hợp, sắp xếp, giải bài tập.


CHƯƠNG 1: BẤT ĐẲNG THỨC ỨNG DỤNG VÀO GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN
1.1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki trong bài toán
cực trị của hàm số
1.1.1. Bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki
- Bất đẳng thức Cauchy: cho a1 , a2 ,..., an  0 , khi đó ta có:
a1  a2  ...  an

n

n

a1.a2 ...an

(1)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ...  an .
- Bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Cho hai dãy số a1; a2 ;...; an  và b1; b2 ;...; bn  . Khi đó ta có:

a  a  ...  a  b  b  ...  b   a b  a b  ...  a b 
2

1

2

2

2

2

n

2

1

2

2

n

1 1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2


b1

2 2

an

 ... 

b2

2

n n

(2)

, b  0, i  1, n

bn

i

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 dãy số:
a
1

;

a2 ;...;


 b
 1

an 


và

b ; b ;...; b



1

2

n



bn 


b2

Ta được bất đẳng thức:
 a2
1


 b1

2 2

a 2   a1  a2  ...  an

n

b2

bn

 a ... 





(3)



2

n,b  0, i  1,
i

b1  b2  ...  bn


Đẳng thức (3) xảy ra khi và chỉ khi a1 a2


 ... 

an

b
1 0 bnên
2
n
(3) btương
đương với

thì
a2

Đặt
n bi  ai .ci , i  1,

a2
a



1

1

b1

ai .ci

i

ci

2

a1

2



c1

a  ... 

an

c2

cn

a1  a2



 ...  an 

a1c1  a2c2  ...  ancn

aici

1.1.2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Bài 1.1.1: Cho hàm số f  x; y; z 


1

2



, với

 0, i  1, n

2

2

x y z



1



xy

1



yz

(4)



1

xác định trên

zx

D   x; y; z  : x  0, y  0, z  và x  y  z  1 . Tìm giá trị bé nhất của
0
f  x; y; z  trên D

. Lời giải:
Với mọi  x; y; z  

và theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

D

 xy  yz  zx
Hay

 1 1 1
 9
  

x
z
zx
y



1

 1 1
xy yz  zx

9
xy  yz  zx

Suy ra :   x; y; z   D ta có:
1
2

2

x y z

Hay   x; y; z   D

2



1

xy



1
1
1
9

 2 2 2 
yz zx x  y  z
xy  yz  zx

thì f  x; y; z  

1
x2  y 2  z 2



9
xy  yz  zx

(5)


Lại theo bất đẳng thức Cauchy thì   x; y; z  
D

ta có:

1
2

2

x y z

1


2

1



xy  yz  zx



xy  yz  zx

3
3

x

2

(6)

 y2  z2   xy  yz  zx 2

Từ (5) và (6) ta suy ra:
f  x; y; z 


3
3

 x  y  z   xy  yz  zx
2

2

2



2

(7)

21
3  xy  yz  zx 

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có   x; y; z   D
2

3

x

2

 y2  z2   xy  yz  zx2

2

2

x  y  z  2 xy  yz  zx
3



 xyz
3
3

2



1

Và 3 xy  yz  zx   x  y  z 2  1

(9)

Từ (7), (8), (9) suy ra f  x; y; z   3  21 hay f x; y; z  30  x; y; z  D
, 



1

3


1 1 1
; ;
D

và



 333 

f

1 1 1
; ;
 30  min f  x; y; z   30


333



D

Bài 1.1.2: Tìm giá trị lớn nhất của shàm số f  x; y; z  
xyz



D  x  0; y  0; z  0; 1
1 y 11 z  2
1



1 x




Lời giải:

(8)

trên


Lấy  x; y; z  tùy ý thộc D . Khi đó từ định nghĩa của D ta có:
1
1 x

 1 
 1
1 
  1
1 y
1 z 


 

Theo bất đẳng thức Cauchy

1 y



z
1 z


1
1x

Lập luận tương tự ta có:

y



1

1
1 y

 2.

1y
1
1 z

 2.



1
1z

 2.

xz

1 x  1 z 
xy
1 x 1 y 

yz

1 y  1 z 

(10)

(11)

(12)


Nhân từng vế (10), (11), (12) suy ra:
1
hay xyz 

8xyz
8
1 x 1 y  1 z 

1

1 x 1 y  1 z 
Vậy

1
f  x; y; z   ,  x; y; z   D
8

Mặt khác
1 1 1
mà  ; ;  
1 1 1
f1 ; ;
 D





2 2 2
 2 2 2  8


nên max f  x; y; z  

1

8

D



Nhận xét: bài toán trên có thể phát biểu dưới dạng tổng quát hóa. Chứng minh
rằng:
max f  x1; x2 ;...; xn 


1 ,  x ; x ;...;
 1 2
n
1
  n xn

 D

trong đó:
f  x1 ; x2 ;...; xn   x1.x2 ....xn và

D
x


x ; x ;...;
 1


n
2

i



,

: x  0 i  1, n





1

x1



1  ... 

1
 n 1

x2

xn





Bài 1.1.3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
f  x; y; z 


z
x
y
 1 x 1 y  1 z 


x

y 1
y  z 1 x  z  1

D   x; y; z  : 0  x  1, 0  y  1, 0  z  1 .

Lời giải:

trên miền


Lấy tùy ý  x; y; z   D . Khi đó ta có: 0  x  1, 0  y  1, 0  z  1 . Do x; y; z giữ
vai trò như nhau nên ta có thể giả sử x  y  z .
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

1  y    1  z    1  y  z 
3



3

1  y  1 z  1  y  z 
(13)

1
 1 y  z  1 y  1 z 

Do 1  x   0 nên từ (13) suy ra:
1x
1  y   1  x  1  y  1  z 
z

(14)

Vì x  y  z và x  0, y  0, z  0 nên ta có:
y
1 y  z
z
1yz

y
 1 z  x

(15)

z
 1 y  x

(16)

Cộng từng vế (14), (15), (16) ta có:
1   1 x 1  y  1 z  

x
1y
z

y
z
 1 z  x  1 x  y

Hay f  x; y; z   1,   x; y; z   D
Do 1;1;1  D mà

f 1;1;1  1 nên ta có max f  x; y; z   1
D

Bài 1.1.4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

(17)


f  x; y; z  

2
2
2
 3
 3
z  x  y
x  y  z  y  z  x
3

trên miền D   x; y; z  : x  0, y  0, z  0; xyz  1
Lời giải:
Đặt X  1 ,Y  1 , Z  1 . Khi đó:
x

y

z

2

YZ

2

3

x

3

yz


y

3

2

 z  x


z

3

2X


 xy

YZ



2Y
XZ

3

XZ

3

2Z XY


Mặt khác: do xyz  1 nên XYZ  1 . Vì thế ta có:
min f x; y; z




 x; y;zD

min F  X ;Y; Z 

 X ;Y ;Z D

2

2
2
Với F  X ;Y ; Z   2  X  Y  Z 


 YZ


XY 

ZX

D '   X ;Y ; Z  : X  0,Y  0, Z  0; XYZ  1 .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:   X ;Y ; Z   D ' thì:
X2



YZ
4 X

Y
ZX
ZY2  4 Y
ZX
2

Z
XY



XY
4 Z

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên ta được:

XY


1
2

F  X ;Y ; Z  

XYZ 1 3
 .3. XYZ
2
2

 F  X ;Y ; Z   3,   X ;Y ; Z   D '

Mặt khác F 1;1;1  3 và 1;1;1  D '


min F  X ;Y; Z   3

 X ;Y ;Z D '

Vậy min f  x; y; z  3 .
 x; y;zD

Bài 1.1.5: Cho hàm số f  x; y; z   x2  y 2  z 2
xét trên miền
D   x; y; z  : x  0, y  0, z  và x
0

2002

y

2002

z

2002

 3 . Tìm giá trị lớn nhất

của f  x; y; z  trên miền D
. Lời giải:
Lấy  x; y; z   D . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2000 số 1 và 2

x2002 ta

số có:
1  1 ...  1 x

2002

2002

Hay 2000 

2002

2.x

x

2

x

2002



2002

x2002 .x2002

(18)

2002

Tương tự ta có:

2000 

2.y
2002

2002

2000  2.z

2002

2002

y

2

z

2

Cộng từng vế (18), (19), (20) ta có:

(19)

(20)
y2002 
z2002 


2002
 x2  y 2  z 2

(21)

Vì  x; y; z   D  x2002  y2002  z2002  3 nên từ (21) ta có:
f  x; y; z   3,   x; y; z   D

Mặt khác f 1;1;1  3 và do 1;1;1  D

nên suy ra max f  x; y; z   3 .

Bài 1.1.6: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

D

 1  1  1 
f  x; y; z   1
1
1




x
y
z





D   x; y; z  : x  0, y  0, z 
và x  y  z  1 .
trên miền 0


Lời giải:
Lấy  x; y; z  
D

tùy ý. Ta có:

 1  1  1   1 x 1 y  1 z 
f  x; y; z   1 1 1 




x
y
z
xyz





(22)

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
1 x  x  y  z  x  4 4 x2 yz

(23)

1 y  x  y  z  y  4 4 y2 xz

(24)

1 z  x  y  z  z  4 4 z2 xy

(25)

Nhân từng vế của (23), (24), (25) ta được:

1  x  1 y  1 z   64xyz

(26)

Từ (22) và (26) suy ra f  x; y; z   64
Mặt khác: f  1 ; 1 ; 1  

1 1 1
và  ; ;   D . Từ đó ta có:


 333 

64


 333 

max f  x; y; z   64,  x; y; z   D

Chú ý: Để f  x; y; z  

thì các dấu bằng ở (23), (24), (25) xảy ra khi và

64

1
chỉ khi x  y  z . Từ đó ta có:  1 




1 1 1
; ;




333





1
 1
 64  1

4xyz



x
x
3

hay
3

lớn nhất.

Dương Thị Phúc

10





là phần tử duy nhất thuộc D làm cho hàm số đã cho nhận giá trị




Ta có kết quả tổng quát sau: max f  x1; x2 ;..; xn    n 1 n , x ; x ;...; x   D ,
1 2
n
trong đó D   x; y; z  : x  0, i  1,

i

và x1  x2  ...  xn  1

n

Bài 1.1.7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
f  x; y; z   1 x  1 y  1 z

trên miền D   x; y; z  : x  0, y  0, z  0; x  y  1
Lời giải:
Lấy  x; y; z   D . Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
1 x 

1 x 2 
3

3

2

2

2

3

2

(28)

3

1 z 

1 z  2

(27)

3

1 y 

1 y  2 

2

2

(29)

3

Cộng từng vế của (27), (28), (29) ta có:

1 x 2 1 y  2 1 z  2
3

Dương Thị Phúc

3

3

3 x y z 2
2

2

11


Vì x  y  z  1 

2
3

f  x; y; z   2  f  x; y; z   6

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ở các bất đẳng thức (27), (28), (29) xảy ra
khi và chỉ khi x  y  z 
1 1 1
; ;
D

và


f

 3 3 3

1
3

1 1 1
; ;
  
 333 

6 mà  max f  x; y; z  

6.

D

Bằng cách lập luận tương tự ta có kết quả tổng quát sau: Với n  2 thì
max f  x1; x2 ;...; xn   n n 1
D

trong đó: f  x1; x2 ;...; xn   1 x1  1 x2  ... 
D

1 xn và

 x ; x ;...; x  : x  0, i  1, n; x  x  ...  x  1 .
1

2

n

i

1

2

n

Bài 1.1.8: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1 1 1 x y z
f  x; y; z    xyz 1       x  y  z


 x y z
y z x

trên miền D   x; y; z  : x  0, y  0, z  0.
Lời giải:
Ta có

y 
x 
z 1 1 1

f  x; y; z   yz   xy   xz       x  y  z 

 
 

x
x y z
z
y

 

 

Lấy  x; y; z  tùy ý thuộc D . Áp dụng bất dẳng thức Cauchy ta có:
y
yz   2 y
z

Dương Thị Phúc

12


x
xy   2x
y
z
xz   2z
x

Từ đó ta suy ra:

Dương Thị Phúc

13


1 1 1
f  x; y; z   x  y  z   
x y z
 1  1  1
f  x; y; z   x   y   z   6

 
 

x
y 
z




Như vậy ta có f  x; y; z   6,  x; y; z   D
Vì 1;1;1  D và

f 1;1;1  6

nên ta có min f  x; y; z   6
D

Ta có bài toán tổng quát sau: min f  x1; x2 ;...; xn  

trong đó:

2n
D

f  x ; x ;...;
x
1

   x .x ...x

2n

1

1 1
 
n 
 x1 x 2

2



... 

1

x2




xn  x3 .x4 ...xn

xn
x3
x1
 ... 
 x1  x2  ...  xn
x4 .x5 ...xn
x1.x2 ...xn2  x2 .x3 ...xn1

Và D   x1 ; x2 ;...; xn  : xi  0, i  1, n .
1.1.3. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
Bài 1.1.9: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x; y; z   x3  y3  z3 và giá trị
lớn nhất của hàm số g  x; y; z   4 
x

4

y



4

z trên cùng một miền

D   x; y; z  : x  0, y  0, z  0; x  y  z  1

Lời giải:

1. Lấy  x; y; z   D tùy ý. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 dãy số
x x,y y,z z

và

z ta có:

x, y
,

x  y  z  x  y  z    x  y
3

3

3

Do  x; y; z   D nên x  y  z  1

2

2

z

2

2

 f  x; y; z    x  y  z
2

2

2

2

(30)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
3  x 2  y2  z2   1.x 1.y 1.z 2  1 hay 3  x  y  z

 1

(31)

Từ (30) và (31) suy ra f x; y; z  1 , x; y; z 





(32)

2

2

2

D
9

Dấu bằng xảy ra ở đẳng thức (32) xảy ra khi và chỉ khi:
1
 x  y  z
 3 3 3 1 x y z
x y z 
3

9
1
1
1
1
1
1



Mà
;
;

D,
f
;
;


1
1
nên min f  x; y; z   ,  x; y; z   D




9
 333 
 333  9

2. Lấy  x; y; z   D . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 dãy số




4

x; 4 y ; 4 z

và 1;1;1 ta có:

3
f

2

 x

 

y  z 

 x; y; z   3

4

x
y

x



4
y z 2

4

z



(33)

Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai dãy số

 x;



y ; z và 1;1;1

ta được:
3 x  y  z 

Do x  y  z  1 nên suy ra  x 


y

 x

y

z



2



(34)

z 2  3.1 
3

Từ (33) và (34) suy ra: f 2  x; y; z   3 3 

27

 f  x; y; z   4 27,   x; y; z   D

 x  y  z

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

4

y

4
 x 
4

z






xyz

1

 1 1 1
 f  ; ;   4 27

 3 3 3 
 max f  x; y; z  
Do 
1
1
1
 ; ;    D
 3 3 3 

4

4

27

Bài 1.1.10: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

27

3



x  y  z  t  0

f  x; y; z; t   xy  yz  zt  tx trên miền D   x; y; z;t  : 

2
2
2

2
 x  y  z  t  1


Lời
giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 dãy số  x; y; z; t và  y; z;t; x  ta



có:

 x  y  z  t  y  z  t  x    xy  yz  zt  tx 2
 z  t   f  x; y; z;t 
2

Hay  x2  y2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Vì thế   x; y; z; t   D ta có: 1  f  x; y; z; t   1
 1 1 1 1 
 ; ; ;  
D2 2 2 2 


Do   1 1 1 1 


f
; ; ;
 1


  2 2 2 2 

Lấy  x; y; z; t  
D

 min f  x; y; z;t   1
D

tùy ý ta có:

x  y  z  t  0  x  z   y  t 

(35)

Ta có:
f  x; y; z; t   xy  yz  zt  tx  y  x  z   t  x  z    y  t  z  x 

(36)

Từ (35) và (36) suy ra: f  x; y; z;t     y  t 2  0
 f  x; y; z; t   0,   x; y; z; t   D
1 1 1 1

Mặt khác:
; ; ;
D


2
2
2
2
và




f

1 1 1 1
; ; ;
 nên max f  x; y; z;t   0
D
0


 2 2 2 2 

Nhận xét : Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên miền D ta không
thể áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki (cụ thể là thường không tìm
được phần tử  x; y; z; t   sao cho f  x; y; z; t   1)
D


Bài 1.1.11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
3

f  x; y; z  

3

3

y



z



x
x  2 y  3z

y  2z  3x

z  2x  3y

2
2
2
trên miền D   x; y; z  : x  0, y  0, z  0; x  y  z  1

Lời giải:
tùy ý. Ta có:

Lấy  x; y; z  
D

3

f  x; y; z  

3

3

y



z



x
x  2 y  3z

y  2z  3x

z  2x  3y

x4
y4
z4
 2
 2
x  2xy  3xz y  2zy  3xy z  2xz  3yz



2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai dãy số:
2

y  2 yz  3xy
;

 x  2xy  3xz ;
2

và



x
2




y

;

2

x  2xy  3xz

2
2

y  2 yz  3yx

2

z  2xz  3zy



z

;



2


z  2xz  3zy 

2

Ta có:  x2  y2  z 2  5  xy  yz  zx   . f  x; y; z    x2  y2  z 2 2

(37)

Do x2  y2  z2  1 nên từ (37) ta có:
1
f  x; y; z  
1 5  xy  yz  zx

(38)

Mặt khác: xy  yz  zx   x 2  y 2  z 2 2  1
Từ (38) ta có:

1
f  x; y; z   ,  x; y; z   D .
6

Ta lại có: f  3

3

;
 3; 3

3
 D nên ta có kết quả sau:
3   1 và  3 3
;

 3; 3 3 
3  6










1
min f  x; y; z   .

D
6

Bài 1.1.12: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
f  x; y; z   1 t anx. tan y  1 tan y. tan z  1 tan z. t anx

Trên miền
D



 x; y; z  : x  0, y  0, z  0; x  y  z 




Lời giải:
Lấy  x; y; z  


2

tùy ý. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai

D

dãy số 1;1;1



1  t anx. tan y ; 1  tan y. tan z ; 1  tan z. t

và 

anx

ta được:



3 1 t anx.tan y   1 tan y.tan z   1 tan z. t anx   


 1 t anx. tan y 

1 tan y.tan z  1 tan z. t anx



2



x  y  z 
2
Do 
 t anx. tan y  tan y. tan z  tan z. t anx  1


 x, y, z  0; 




 2


Nên suy ra f  x; y; z   2 3,  x; y; z   D
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
 f  x; y; z   2 3

 1 t anx. tan y  1 tan y. tan z  1 tan z. t anx

 t anx  tan y  tan
z

2
3 1 t an x  2 3

xyz


6

do  x; y; z   D

Vậy max f  x; y; z   2 3 .
D

Bài 1.1.13: Tim giá trị nhỏ nhất của hàm số: f  x; y  


miền D   x; y  : y  k





2

sin2002 x
cos
y

2



cos2008 x
sin
y

2

trên


Lời giải:
Lấy  x; y   D

tùy ý. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

 1004 2
2
2
2
  sin
x   cos1001   cos y  sin y



x

sin y 
 cos y







Từ đó suy ra:

f  x; y    sin

1004

  sin

1004

x  cos

1004

x



2

x  cos x 2
1004

(39)

Ta có bổ đề: cho a  0, b  0 và a  b  1. Khi đó với mọi n nguyên ta có:
a n  bn 

1
2n1

( chứng minh bằng phương pháp quy nạp).

Áp dụng bổ đề này với a  sin2 x, b  cos2 x ta có:
1
1
 50
sin1004 x  cos1004 x   sin2 x502   cos2 x502
25021 21



(40)

Từ (39) và (40) suy ra:
f  x; y    sin

1004

x  cos

1004

x 2 

1



(41)

2

1
 2 501  

21002

Dấu bằng ở (41) xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng ở (39) và (40) xảy ra
1004

sin1004 x
cos x

 cos 2 y 
2
sin y

1
 2
2
sin x  cos x 

2

 
;

 4 4 

Hệ này có nghiệm, giả sử ta lấy nghiệm
Ta
có:

  1
f  ; 
 4 4
210
02

1

(42)


Từ (41) và (42) ta có kết luận min f  x;
y 

21002

D

Bài 1.1.14: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f  x; y; z;t 


trên

x

y



y  2z  3t

z



z  2t  3x



t  2x  3y

t
x  2 y  3z

D   x; y; z; t  : x  0, y  0, z  0

miền
Lời
giải:
Lấy  x; y; z; t   D . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 dãy số sau:
x

y

,

z ,2t  3x

y  2z  3t

và

x  y  2z  3t

t ,2x  3 y

y  z  2t  3x , z  t  2x  3y ,

,

t

z

x  2 y  3z

t  x  2 y  3z ta được:



f  x; y; z;t  x  y  2z  3t   y  z  2t  3x  z  t  2x  3y   t  x  2 y  3z     x  y  z  t


2

Vì x  0, y  0, z  0, t  nên ta có:
0

 x  y  z  t 2

f  x; y; z;t  

(43)

4  xy  yz  zt  tx  xz  ty 

Hiển nhiên ta có:

 x  y  2   x  z  2   x  t  2   y  z 2   y  t 2   z  t 2 
0
 3 x  y  z  t
2

2

2

2

  2  xy  xz  xt  yz  yt  zt 

 3 x  y  z  t 2  8 xy  xz  xt  yz  yt  zt 

 xy  xz  xt  yz  yt  zt 

3

 x  y  z  t 2

8


(44)
2

Từ (43) và (44) suy ra f  x; y; z;t   ,  x; y; z;t   D

3

2

Mặt khác chẳng hạn f 1;1;1;1   min f  x; y; z;t  
3

2
3

D

Nhận xét: lập luận tương tự cho kết quả sau:
2

min  x1; x2 ;...; x  
D

x1

f x x
x 
Với  1; 2 ;...; n  x  2x  ...   n 1 x

n

n 1



x2




...

 2x  ...   n 1 x

x
2

3
n

và D   x1 ; x2 ;...; xn  : xi  0, i  1,



n

3

4



1

xn

x1  2x2 ...   n 1 xn1

1.2. Ứng dụng bất đẳng thức trong giải phương trình, bất phương trình
và hệ.
1.2.1. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
Với a, b, c, d là các số thực ta luôn có:
Tính chất 1: Nếu a  b  b  a
a  b

ac
Tính chất 2: Nếu
b  c

Tính chất 3: Nếu a  b  a  c  b  c


Tính chất 4: Nếu

a  b  ac  bc
nếu c  0 hoặc ac  bc nếu c  0
a  b
acbd
Tính chất 5: Nếu 
c  d

Tính chất 6: Nếu a  b  0  ac  bd

c  d  0

1

Tính chất 7: Nếu a  B  

1

nếu ab  0

a

1

hoặc 
a

b

b

Tính chất 8: Nếu

1 nếu ab  0

n
n
a  b  0  a  b , với n  N \ 0

Tính chất 9: Nếu a  b  0  n a  n b, với n  N \ 0
1.2.2. Bất đẳng thức liên quan đến trị tuyệt đối
1.2.2.1.Các tính chất cơ bản
Tính chất 1: Với mọi số thực a luôn có:

a 2 | a |

Tính chất 2: Với 2 số thực a, b tùy ý
2

2

a  b | a || b |

Tính chất 3: Nếu b  a  b | a | b
a  b

Tính chất 4: Nếu 

a  b

 a | b |

Tính chất 5: Ta có: | ab || a |  | b |
1.2.2.2. Giải phương trình, bất phương trình và hệ
Với phương trình ta sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu | a  b || a |  | b | ab  0
Tính chất 2: Nếu | a |  | b | a  b  
Tính chất 3: Nếu | a |  | b | a  b  
Dương Thị Phúc

a  0
b  0
a  0
b  0

23