Các định lí giới hạn và ứng dụng

Khoa Toán

CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Lời cảm ơn
Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới
thầy giáo hướng dẫn T.s. Trần Minh Tước. Thầy đã giao đề tài và tận
tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này. Nhân
dịp này em xin gửi lời cảm ơn tới toàn bộ các thầy cô giáo trong khoa
Toán đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập
tại khoa.
Đồng thời em xin cảm ơn các bạn trong lớp K35 CN Toán, khoa
Toán đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quá trình học tập tại lớp.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Đỗ Thị Minh Thu

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

1


Khoa Toán

CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

2

Lời cam đoan
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy
giáo Trần Minh Tước, cùng với sự cố gắng của bản thân trong quá
trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, em có tham khảo một số tác
giả(đã nêu trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan đây những kết quả trong khóa luận là kết quả
nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Đỗ Thị Minh Thu



Mục lục
1 Các định lí giới hạn
6
1.1 Các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên....................... 6
1.1.1 Hội tụ theo xác suất....................................................6
1.1.2 Hội tụ theo bình phương trung bình...........................7
1.1.3 Hội tụ theo phân bố.................................................... 7
1.1.4 Hội tụ hầu chắc chắn.................................................. 9
1.2 Một số bất đẳng thức............................................................10
1.2.1 Bất đẳng thức Chebyshev......................................... 10
1.2.2 Bất đẳng thức Kolmogorov...........................................11
1.3 Hàm đặc trưng...................................................................... 13
1.3.1 Định nghĩa hàm đặc trưng........................................ 13
1.3.2 Tính chất của hàm đặc trưng....................................14
1.4 Luật số lớn................................................................................. 15
1.4.1 Định nghĩa hàm đối xứng......................................... 15

1.4.2 Luật số lớn dạng yếu................................................ 15
1.4.3 Luật mạnh số lớn.......................................................... 20
1.5 Định lí giới hạn trung tâm.................................................... 23
1.5.1 Định lí Poisson.............................................................. 23
1.5.2 Định lí giới hạn địa phương......................................... 24
1.5.3 Định lí giới hạn Moivre-Laplace..................................25
1.5.4 Định lí giới hạn trung tâm........................................ 26
2 Ứng dụng của các định lí giới hạn
28
2.1 Ứng dụng của luật số lớn..................................................... 28
2.1.1 Bài toán 1...................................................................... 28
2.1.2 Bài toán 2...................................................................... 28
2.1.3 Bài toán 3...................................................................... 29
2.2 Ứng dụng của định lí giới hạn............................................. 30
3


2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.2.6
2.2.7
2.2.8
2.2.9

Bài
Bài
Bài

Bài
Bài
Bài
Bài
Bài
Bài

toán
toán
toán
toán
toán
toán
toán
toán
toán

1...................................................................... 30
2...................................................................... 31
3...................................................................... 32
4...................................................................... 33
5...................................................................... 34
6...................................................................... 35
7...................................................................... 35
8...................................................................... 37
9...................................................................... 38

3

Lời nói đầu
Xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu về các hiện
tượng ngẫu nhiên. Lý thuyết xác suất nhằm tìm ra những quy luật
trong những hiện tượng tưởng chừng không có quy luật này; và nó
được ra đời đầu tiên ở nước Pháp vào nửa cuối thế kỷ 17.
Vào năm 1933, Kolmogorov cho ra đời cuốn sách "Foundation of
the Theory of Probability" thì giới Toán học mới công nhận Xác suất
là một lĩnh vực toán học chặt chẽ. Các định lí giới hạn là một trong
những thành tựu quan trọng nhất của Xác suất.
Với vấn đề là " Các định lí giới hạn và ứng dụng" khóa luận
này được trình bày theo bố cục:
Chương 1: Các định lí giới hạn.
Chương 2: Ứng dụng của các định lí giới hạn.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn
nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và
không thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày. Mong
được sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn. Em xin chân thành
cả ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Đỗ Thị Minh Thu


Chương 1
Các định lí giới hạn
1.1

Các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên

Giả sử (X , X2, ..., Xn) là dãy các biến ngẫu nhiên (b.n.n) cùng

xác định trên 1không
gian xác suất cố định (Ω, F, P ).
1.1.1

Hội tụ theo xác suất

Định nghĩa 1.1.1. Dãy (Xn)n≥1 các b.n.n cùng xác định trên không
gian xác suất (Ω, F, P ) được gọi là hội tụ theo xác suất đến b.n.n
X khi n → ∞ nếu ∀ε > 0 thì
lim
n→∞

P (|Xn − X| ≥ ε) = 0.

P

Kí hiệu Xn −→ X.
Khẳng định (Xn)n≥1 hội tụ theo xác suất tới X nghĩa là:
∀ε > 0, ∀n ≥ 1 thì P (|Xn − X| ≥ ε) + P (|Xn − X| < ε) = 1 .
P

thì
⇒ X −→ X ⇔ ∀ε > 0
lim P (|Xn − X| < ε) = 1 .
n→∞
n

Ví dụ 1.1.1. Cho Xn là b.n.n rời rạc được xác định như sau:
1
1

P (Xn = 0) = 1 −

; P (Xn = n) = .
n
n
Khi đó, Xn hội tụ tới 0 theo xác suất. Thật vậy

6


Khoa Toán

CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Ta có P (|Xn| > ε) = P (Xn = n) 1
=
→ 0, n → ∞ .
n
P
Do đó X − 0.
n
→
1.1.2
Hội tụ theo bình phương trung bình
Định nghĩa 1.1.2. Ta nói dãy (Xn)n≥1 các b.n.n hội tụ theo
bình phương trung bình tới b.n.n X nếu
lim (E|Xn − X| 2) = 0.

n →∞

Như vậy khi Xn hội tụ tới X theo nghĩa bình phương trung bình
thì khoảng cách giữa Xn và X lấy " trung bình" sẽ nhỏ tùy ý khi n
khá lớn.
Ví dụ 1.1.2. Cho Xn là b.n.n rời rạc được xác định như sau:
P (Xn = 1)
=

1
n

1

; P (X = 2) = 1
n

n

.

Khi đó, Xn hội tụ tới 2 theo nghĩa bình phương trung bình.
Thật vậy ta có
1
E( | X − 2|2 ) = (1 − 2)2 + (2 − 2)2(1
n
=
n
−
1.1.3

1

n

)

1
n

→ 0, n → ∞.

Hội tụ theo phân bố

Định nghĩa 1.1.3. Cho (Xn)n≥1 là dãy các b.n.n và X là một
b.n.n khác. Ta định nghĩa sự hội tụ theo phân bố của (Xn)n≥1 tới X
như sau:
1. Trường
và X, clà ,các
b.n.n rời rạc nhận giá trị
n)n≥1
trên tập hợp
đếm(X
được
K={c
1
2 ...}.
(Xn)n≥1 được gọi là hội tụ phân bố tới X nếu ∀ci ∈ K
lim P (X = c ) = P (X = c )
n
i
i

n→∞

Như vậy, nếu n khá lớn thì có thể xấp xỉ P( Xn = c) bởi P(X =
c).
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

7


2. Trường hợp (Xn)n≥1 là dãy b.n.n bất kì (liên tục hoặc rời rạc),
X là b.n.n liên tục.
(Xn)n≥1 được gọi là hội tụ theo phân bố tới X nếu ∀ x ∈ R
lim P (Xn < x) = P (X < x)

n→∞
d

Kí hiệu X −
n
→X.
Mệnh đề 1.1.1.

P

d

Nếu
Xn −→ X thì
Xn −→ X.
Chứng minh. ∀ x ∈ R sao cho F(x) liên tục, ∀ε > 0 ta có

P (X < x − ε) = P (X < x − ε, Xn ≥ x) + P (X < x − ε, Xn
< x)
Ta có {X < x − ε, Xn ≥ x} ⊂ {|Xn − X| ≥ ε}.
{X < x − ε, Xn < x} ⊂ {Xn < x} .
⇒ P (X < x − ε) ≤ P (|Xn − X| ≥ ε) + P (Xn < x), ∀x.
⇒ P (X < x − ε) ≤ lim

n →∞

P (|Xn − X| ≥ ε) + P {Xn < x}.
lim
n→∞

hay P (X < x − ε) ≤ lim P {Xn < x}
n→∞

(1)

Tương tự ta có ∀ε > 0,
P (X < x + ε) = P (X < x + ε, Xn ≥ x) + P (X < x + ε, Xn <
x).
Ta có {X < x + ε, Xn ≥ x} ⊃ {|Xn − X| ≥ ε}.
{X < x + ε, Xn < x} ⊃ {Xn < x}.
⇒ P (X < x + ε) ≥ P (|Xn − X| ≥ ε) + P (Xn < x), ∀x.
⇒ P (X < x + ε) ≥ lim

n →∞

P (|Xn − X| ≥ ε) + P {Xn < x}.
lim

hay P (X < x + ε) lim P {X < x}
≥ n→∞
n

n →∞

(2)


Từ (1) & (2) ta có
P (X < x−ε) ≤ lim
n→∞

⇒

lim
n→∞
d

P {Xn < x} ≤ P {Xn < x} ≤ P (X <
lim
n →∞ x+ε)

P {Xn < x} = P {X < x}.

hay Xn −→ X.
Ví dụ 1.1.3. Cho X là b.n.n rời rạc xác định bởi:
1
1

P {X = 1}
2 ; P {X = −1} = .
2
=
Dãy Xn xác định như
sau: Với n chẵn Xn = X;
Với n lẻ Xn = -X.
Khi đó, hiển nhiên với mọi n Xn nhận hai giá trị 1 và -1 với
1
Do đó

P {X = 1} = P {X = −1} = .
2
lim P {Xn = 1} = P {X = 1}
lim P {Xn = −1} = P {X =
−1}.

Như vậy dãy Xn hội tụ tới X theo phân bố.
Tuy nhiên Xn không hội tụ tới X theo xác suất. Thật vậy
Với n = 2m + 1:
1

P {|X2m+1 − X| > 1} = P {|2X| > 1} =
P {|X| >
Do đó

lim
n→∞

P {|X2m+1 − X| > 1} = 1

̸=

2

}=1

0.

Như vậy điều ngược lại của mệnh đề 1.1 không đúng.
1.1.4

Hội tụ hầu chắc chắn

Định nghĩa 1.1.4. Cho (Xn)n≥1 được gọi là hội tụ hầu chắc
chắn (h.c.c) đến b.n.n X nếu tồn tại tập A có xác suất 0 sao cho


Kí hiệu

h.c.c

Xn (ω) −→ X(ω) với ω ∈/ A

X n −−→


h.c.c

Định lí 1.1.1. X n −

X khi và chỉ khi, với ε > 0 bất kì
−→
P {sup |Xk − X| > ε} −→ 0, n → ∞.
k≥n

Zn = sup |Xk − X| .

Chứng minh. Đặt

k≥n

h.c.c

h.c.c

Rõ ràng Xn −−→ X ⇔ Zn −−→ 0.
h.c.c

P

Nhưng (Zn ) là dãy giảm nên Zn −−→ 0 tương đương với Zn −→ 0
Hay tương đương với P {sup |Xk − X| > ε} −→ 0, n → ∞.
k≥n

Nhận xét: Từ hệ thức {|Xn − X| > ε} ⊂ {sup |Xk − X| > ε}.
h.c.c

k≥n

P

Ta suy ra, nếu Xn −−→ X thì Xn −→ X.

1.2
1.2.1

Một số bất đẳng thức
Bất đẳng thức Chebyshev

Định lí 1.2.1. Cho X là b.n.n không âm, tức là P (x ≥ 0) = 1 và
tồn tại EX. Khi đó, ∀a > 0 ta có
EX
P (X > a) ≤

.
a
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh cho trường hợp X là b.n.n rời
rạc.
Giả sử C là tập các giá trị của X. Kí hiệu
C1 = {c ∈ C, c ≤ a}
C2 ∑
= {c ∈ C, c > a}.
Khi đó EX =
ci P {X = ci}
ci∈C

ci P {X = ci}

∑ ci P {X = ci} +
=

∑
ci∈C1

ci∈C2

∑ ci P {X = ci} ≥ a
≥ci∈C2 ∑

P {X = ci}

ci∈C2

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

10


= aP (X > a).

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

10


EX
Suy ra P (X > a) ≤
.
a
Bây giờ giả sử X là b.n.n liên tục có hàm mật độ f (x).
∞

Ta có

EX =

∫a
∫ xf (x)dx =
0

≥

∫
∞

xf (x)dx ∫∞
xf (x)dx
+
a

0

xf (x)dx ≥

∫∞

f (x)dx

a

a

a

= aP (X > a).
EX
Suy ra

P (X > a) ≤

.
a
Hệ quả 1.2.1. Giả sử X là b.n.n với µ = EX. Khi đó với mọi ε > 0
DX
P {|X − µ| > ε}
.
ε2
≤
Một cách tương đương ta có với mọi ε > 0
DX
P {|X − µ| ≤ ε} ≥ 1
.
ε2
−
Chứng minh. Xét b.n.n Z = (X − µ)2.
Khi đó

E
Z

P {|X − µ| > ε} = P {Z > ε2} ≤
DX

E(|X − µ|)2

ε

2

=

ε

2

=

.
ε2
Ta thường sử dụng bất đẳng thức Chebyshev dưới dạng hệ quả trên.
Bất đẳng thức Chebyshev và hệ quả của nó có nhiều ứng dụng. Trước
hết nó cho phép ta đánh giá cận trên hoặc cận dưới xác suất để b.n.n
X nhận giá trị sai lệch so với kì vọng EX không quá ε, từ đó lí giải các
sai số trong đo lường vật lí.
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

11


1.2.2

Bất đẳng thức Kolmogorov

Định lí 1.2.2. a) Giả sử (Xn)n≥1 là dãy b.n.n độc lập và EXk =
0,
DXk < ∞, k = 1, n
Khi đó với ε > 0 tùy ý ta có
P {max |Sn| ≥ ε} DSn
ε2
≤
.
k≤n

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

11


trong đó Sn = X1 + ... + Xn.
b) Nếu có một số c > 0 nào đó mà P {|Xk | ≤ c} = 1, k = 1, n thì
(c + ε)2
.
P {max |Sn| ≥ ε} ≥ 1
−
DSn
k≤n

Chứng minh. a)
Kí hiệu A = {max |Sk| ≥ ε}
k≤n

Ak = {ω : |S1| < ε, ..., Sk−1 < ε, |Sk| ≥ ε}, k = 1, n.

∑
∑
n
n
Ak và ES 2 ≥ ES 2 IA
ES 2 IA .
Ta có A
=
=
n

k=1

n

k=1

n

k

Mặt khác ESn2 = E(Sk + Sn − Sk)2kIA
= ES 2 IA + 2E(Sn −
Sk)SkIA
k

+ E(Sn − Sk)2IA
.

k

k

k

≥ ES 2IA .
k

k

vì Sn − Sk và SkIAk độc lập, E(Sn − Sk)= 0 nên E(Sn − Sk)SkIAk =
0.
≥

Do đó, ES 2
n

n
∑

n

ESk2 IAk
k=1

≥ε

2

∑

k=1

P (Ak ) = ε2P (A).

Chứng minh. 2b)
Ta có ES IA = ES 2 − ES 2 IA ≥ ES 2 − ε2P (A).
n

n

n

n

= ES n2 − ε2 + ε2P (A).

(1.1)

Trên Ak ta có |Sk−1| ≤ ε , |Sk| ≤ |Sk−1| + |Xk| ≤ ε + c, nên
∑
n
ES 2 IA
ES 2 IA
=
n

k=1
n
∑

=
ES 2 IA
k=1

n

k

k

k

+

n
∑

E(Sn − Sk)2kIA

k=1

n

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

n

12

≤ (c + ε)2

∑

k=1

P (Ak) + D(Sn)

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

k=1

∑

P (Ak)

12


[
]
2
≤ P (A) (c + ε) + D(Sn) .
Từ (1.1) & (1.2) suy ra

(1.2)
D(Sn) − ε2

−

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

13


(c + ε)2
P (A)
≥

=1

ε)2

ε2

(c +
+
D(Sn

(c + ε)2 +

)−
D(Sn

) − ε2

(c + ε)2
.
≥1−

D(Sn)

1.3

Hàm đặc trưng

1.3.1

Định nghĩa hàm đặc trưng

Định nghĩa 1.3.1. Hàm số φX (t) := EeitX = Ecos(tX)+i.Esin(tX),
với t ∈ R được gọi là hàm đặc trưng của b.n.n X.
∑
∑
• φX (t) = cos(txn).pn + i. sin(txn).pn nếu X là b.n.n rời
rạc.
n

• φX (t)
=

n

+∞
∫

+∞
∫

i.

−∞

cos(tx).fX (x)dx +

sin(tx).fX (x)dx nếu X là

−∞

b.n.n liên tục.
Ví dụ 1.3.1. Cho X ∼

e−λλk

Poi(λ)
∑∞
Ta có φX (t) = EeitX
=

eitk

k=
0

k!

it
= e−λ ∑ (λe ) = e−λ.eλit
k
∞

k=
0

= eλ(e

it

k!

−1)

.

Ví dụ 1.3.2. Cho Z ∼ N(0,1). Tìm φZ (t).
+∞
1
Z2
itZ
itZ
2
Ta
có
φ
(t)
=
Ee
=
e
.√

.e
−
dz
∫
Z
2π
+∞

1

−∞
Z2

t2

−t2

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

14


=
.e

∫

−∞
+∞

√
2π
1

.e−2

+itZ+

−Z

= ∫ √
−
.e [(
2π
−∞

2

it

2

z

dz
it

t2
2

√
2

)−2 √2 √2 +(√2 )].e
dz−

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

15


+∞

z−it
t2
2
1
−(
√ .e √2 ) .e −2 dz
=
2π
−∞
−t2
−(z−it)2
+∞ 1
2
∫
. 2 dz
√
=

e
.e
2π
−∞

∫

+∞

= e− t22 ∫ √ 1 .e −u2 dz (Đặt u = z - it).
2
2π

−∞

1.3.2

Tính chất của hàm đặc trưng

1. φX (0) = 1.
2. |φX (t)| ≤ φX (0) = 1.
3. φX (t) là hàm liên tục.
4. φX+d(t) = eitd.φX (t) , d là hằng số.
5. φaX+b(t) = eitb.φX (at) , a, b là hằng số.

6.

∂nφ
. X
(t)

.
.

∂tn

= in .EX n , n ∈ N.

t=0

Ví dụ 1.3.3. Tìm φX (t) với X ∼ N (µ, σ2)
X−µ
2
X ∼ N (µ, σ ) ⇔ Z =
∼ N (0, 1)
σ
⇒ X = σZ + µ
⇒ φX (t) = φσZ+µ(t)
(σt)2

φX (t) = eitµ.φZ (σt) =
eitµ.e−

σ2t2
2

=

2

.

eitµ−
Mệnh đề 1.3.1. Cho X1, X2, ..., Xn là các b.n.n độc lập.
Khi đó φ n
∑

i=1 X

(t)
i=

n
∏

φX i

(t).

it

i=1

Chứng minh. Ta có φ n

∑

i =i

X

n
∑

Xi

(

)
1


(t) = Ee
= EeitX1 .EeitX2 ....EeitXn
=

i=1

n
∏

i=1

φXi (t).

= E eitX1 .eitX2 ...eitXn


1.4
1.4.1

Luật số lớn
Định nghĩa hàm đối xứng

Định nghĩa 1.4.1. Hàm n biến f (x1, x2, ..., xn) được gọi là hàm
đối xứng nếu f (x1, x2, ..., xn) = f (xσ1 , xσ2 , ..., xσn ) với mọi σ
là hoán vị
của {1, 2, ..., n}.
1.4.2

Luật số lớn dạng yếu

Định nghĩa 1.4.2. Luật yếu số lớn
Cho dãy b.n.n (Xn)n≥1. Nếu tồn tại dãy số {an}n≥1 và hàm
đối
xứng Xn = fn(X1, X2, ..., Xn) thỏa mãn với mỗi ε > 0 cho trước
có
lim
n→∞

P (|Xn − an| < ε) = 1

thì dãy {Xn} được gọi là tuân theo luật số lớn dạng yếu với hàm fn
đã
cho.
Trong lý thuyết xác suất cổ điển người ta lấy
1
fn = (X1, ..., Xn)
=

n

∑
nX
i
i=1

và giả sử các Xi có kì vọng với mọi i an
=

n
1∑

EXi nên dãy
{Xn}

n i=1
được gọi là tuân theo luật số lớn dạng yếu nếu ε > 0 cho trước
.
(.
)
n
n
..
lim P .. ∑
∑
1
−
EX
= 1.

i
i <
X
.1
ε .
.n
.
n→∞
n i=1
i=1


Định lí 1.4.1. Định lí Chebyshev
(Xn)n≥1
dãy các
b.n.n một
độc hằng
lập từng
đôi một,
có phương
sai Nếu
hữu hạn
và bịlàchặn
bởi cùng
số D(X
k) ≤ c, ∀k thì với
mọi
o > 0 cho trước, ta luôn có
.
(.

)
n
n
1∑
lim P .
k. < ε
X
∑
= 1.
k−
n→∞
EX ..
..n1
k=1
nk=1