chuyen de dinh li con nhim va ung dung

Sở GD-ĐT Đăk Lăk
Trường THPT chuyên Nguyễn Du
ĐỀ TÀI: ĐỊNH LÍ CON NHÍM VÀ ỨNG DỤNG
1. Định lí con nhím :
Phát biểu: cho đa giác lồi A
1
A
2
…A
n
và các vectơ đơn vị e
i
(
1 i n≤ ≤
) theo thứ tự vuông góc với
1i i
A A
+
uuuuur
(xem A
n+1
≡
A
1
), hướng ra phía ngoài đa giác. Lúc đó ta có:
1 2 1 2 3 2 1
... 0
n n
A A e A A e A A e+ + + =
ur uur uur r
Chứng minh:

+ xét trường hợp n=3, đa giác chính là tam giác, đặt là
ABCV
Gọi (I) là đường tròn nội tiếp
ABCV
, lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC, AC, AB tại D; E; F. Đặt
AE=AF=x; BF=BD=y; CD=CE=z.
Như vậy ta có: y+z=a; z+x=b; x+y=z.
Vì D
∈
BC, DB=y; CD=z nên
y
DB DC
z
−
=
uuur uuur
Hay D chia vectơ
BC
uuur
theo tỉ số
y
z
−
.
Với I bất kì thì
1
.
y
IB IC
zIB y IC

z
ID
y
a
z
a ID zIB yIC
+
+
= =
+
⇒ = +
uur uur
uur uur
uur
uur uur uur
Tương tự ta có:
bIE xIC zIA
cIF yIA xIB
= +
= +
uur uur uur
uur uur uur

( ) ( ) ( )aID bIE cIF IA y z IB x z IC x y aIA bIB cIC⇒ + + = + + + + + = + +
uur uur uur uur uur uur uur uur uur
Trong một tam giác nếu I là tâm đường tròn nội tiếp thì 0aIA bIB cIC+ + =
uur uur uur r
1
0aID bIE cIF⇒ + + =
uur uur uur r

Lấy các vectơ
; ;ID IE IF
uur uur uur
lần lượt bằng các vectơ
≥
thì suy ra được định lí con nhím đúng với n=3.
+ giả sử định lí con nhím đúng với (n-1)- giác lồi( n
≥
4) (2)
Dựng vectơ đơn vị vuông góc với a
n
a
n-1
, hướng ra phía
ngoài tam giác A
1
A
n-1
A
n
.
Vì định lí con nhím đúng với tam giác và (n-1) - giác nên
áp dụng tương ứng cho
V
A
1
A
n-1
A
n

và (n-1) - giác A
1
A
2
…
A
n-1
, ta có:
1 1 1 1 1
1 2 1 2 3 2 1 1
0
... ( ) 0
n n n n n n
n
A A e A A e A A e
A A e A A e A A e
− − −
−

+ + =


+ + + − =


uuur uur r r
ur uur uuuur r
⇒ A
1
A

2
+ A
2
A
3
+ …+ a
n
a
1
=
Như vậy định lí con nhím đúng với n-giác lồi.
Vậy theo nguyên lí quy nạp định lí con nhím đúng với mọi đa giác lồi.

Cách phát biểu khác của định lí con nhím: cho đa giác lồi A
1
A
2
…A
n
. Gọi vectơ ( 1
≤
i
≤
n) là
vectơ vuông góc với cạnh a
i
a
i+1
( xem A
n+1

≡
A
1
), hướng ra ngoài đa giác và = a
i
a
i+1
thì :
+ +…+ = .( người ta còn gọi các vectơ là các lông nhím).
2. Một số bài tập ứng dụng:
Bài 1: cho
ABCV
. I là tâm đường tròn bàng tiếp
·
ACB
của tam giác. Gọi M; N; P lần lượt là hình
chiếu vuông góc của I lên BC; CA; AB. Chứng minh rằng:
A/ a + b - c =
B/ a + b - c =

Chứng minh:
Xét
ABCV
có
Và hường vào
ABCV
nên ta chọn -.
Áp dụng định lí con nhím cho
ABCV
ta có:

A + b+ c(-)= hay a.+ b.- c.= (đpcm)
B/ ta có a + b - c = a.( + )+ b.( + )- c.( + )
2
= ( a. + b. - c. ) + (a. + b. - c. )
= a. + b. - c. ( vì c/m (a) a + b - c = )
Lại có =
1
MB
AB AC
MC
MB
MC
−
−
uuur uuur
=
.MC AB MB AC
a
−
uuur uuur
( vì M chia theo tỉ số )
⇒ a. = - ( MC. - MB. )
Tương tự : b. = - ( NC. - NA. )
Và c. = - ( PA. + PB. ) ( vì P chia theo tỉ số )
⇒ a + b - c = - ( MC. - MB. ) - ( NC. - NA. )+ ( PA. + PB. )
= .( NC - MC) + .( NA - PA) + .(PB - MB)
= .0 + .0 + .0= (đpcm)
Bài 2: cho
ABCV
có góc

·
BAC
nhọn. Vẽ bên ngoài tam giác các tam giác vuông cân đỉnh A là
ABE và ACD. M là trung điểm BC. Chứng minh rằng AM ⊥ DE
Chứng minh:
Xét
AEDV
có
AB AE
AC AD
⊥


⊥

Gọi vectơ là vectơ đơn vị vuông góc với ED và hướng ra
ngoài
AEDV
.
Áp dụng định lí con nhím vào
AEDV
ta có:
. + . + ED.=
Lại có AD=AC và AB=AE
V
ABE,
V
ACD vuông cân tại
A)
⇒ + + ED.=

⇔ 2 + ED.=
⇔ = ED.
⇒ và cùng phương ⇒ AM ⊥ DE (đpcm).
3
Bài 3:cho
V
ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm AB và G là trọng
tâm của
V
ACD. Chứng minh rằng: OG ⊥ CD.
Chứng minh: xét
V
ABC cân tại A và nội tiếp
đường tròn tâm O nên:
Gọi vectơ là vectơ vuông góc với DC, hướng ra
ngoài miền
V
ACD và có độ lớn bằng OD=OE.
Áp dụng định lí con nhím ta có: AD. + AC. + CD.
=
⇔ AB. + AC.( + ) + CD. =

⇔ AC + AC.( + ) + CD.=
⇔ AC.( + + ) + CD .=
⇔ AC. = - CD.
⇔ =
⇒ cùng phương với ⇒ OG ⊥ DC.
(đpcm)
Bài 4: cho
V

ABC không đều. BC là cạnh
nhỏ nhât.đường tròn nội tiếp (I) của tam
giác theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA, AB tại X,Y,Z. Gọi G
là trọng tâm của
V
XYZ. Trên tia BA, CA theo thứ tự lấy
các diểm E, F sao cho BE=CF=BC. Chứng minh rằng: IG
⊥ EF.
Chứng minh: không mất tính tổng quát , giả sư r
(I)
=1.
Dựng vectơ đơn vị vuông góc với EF.
Áp dụng định lí con nhím cho tứ giác
◊
EBCF ta có:
EB. + BC. + CE. + EF. =
⇒ BC( + + )= -EF. ⇒ 3BC. = -EF.
4
⇒ = ⇒ cùng phương với .
⇒ IG ⊥ EF
Bài 5: cho
ABCV
vuông tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy các điểm B
1,
C
1
trên AB, AC
sao cho AB.AB
1
=AC.AC

1
. Chứng minh rằng: AM ⊥ B
1
C
1.
Chứng minh:
Gọi N
1
, N
2
lần lượt là trung điểm AB, AC.
⇒ MN
1
⊥ AB, MN
2
⊥ AC.
Gọi là vectơ đơn vị vuông góc với B
1
C
1
và hướng ra phía ngoài

B
1
AC
1
.
Áp dụng định lí con nhím vào

B

1
AC
1
ta có:


+

+ B
1
C
1
=
⇔

. +

. + B
1
C
1
. =
Lại có AB.AB
1
= AC.AC
1
⇒

=

⇒

( + ) + B
1
C
1 .
=


⇒
.
+ B
1
C
1
. =
⇒ cùng phương với ⇒ MA ⊥ B
1
C
1
. (đpcm)
Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD. K là hình chiếu vuông góc của B trên AC. M, N lần lượt là
trung điểm của AK và CD. Chứng minh rằng:
BM MN
⊥
.
Chứng minh:
Gọi là vectơ đơn vị vuông góc vơi MN và hướng ra
ngoài

MNC.
Áp dụng định lí con nhím vào

MNC ta có:
. 0
MC NC
BK BC MN e
BK BC
− + + =
uuur uuur r r
Lại có = +
⇒ - - + + MN.=
Mà = = tan
·
ABK
= tan
·
CAD
= = =
5