Phương pháp chặt cân bằng cho hệ động lực rời rạc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

VŨ THỊ MAI HƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP CHẶT CÂN
BẰNG CHO HỆ ĐỘNG LỰC RỜI
RẠC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
TS. HÀ BÌNH MINH

HÀ NỘI - 2013


Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy HÀ BÌNH MINH - Người
thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khóa
luận của mình.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới anh PHẠM VĂN DUẨN, người đã
tận tình giúp đỡ chỉ bảo và hướng dẫn em trong quá trình gõ Tex và
hoàn thành bài khóa luận. Anh cũng là người cung cấp thêm tư liệu
và kiến thức giúp em giải đáp được những điều còn chưa hiểu.
Đồng thời em xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô trong tổ Toán ứng
dụng và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn
thành tốt bài khóa luận này.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời gian,

do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên
không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em
kính mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn.
En xin chân thành cảm ơn!


Lời cam đoan
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập
và nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo
trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ HÀ
BÌNH MINH.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảo
một số tài liệu ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài " Phương pháp chặt cân
bằng cho hệ động lực rời rạc" không có sự trùng lặp với kết quả
của các đề tài khác.


Mục lục
Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc
1.1
1.2

1.3

1

Hệ động lực tuyến tính rời rạc..................................................1
Hàm truyền................................................................................3
1.2.1 Phép biến đổi z...................................................................3

1.2.2 Hàm truyền....................................................................5
1.2.3 Một số phép toán với ma trận hàm truyền....................6
Tính điều khiển được, quan sát được và biểu diễn tối thiểu
của hệ động lực tuyến tính, rời rạc, bất biến............................7
1.3.1 Tính điều khiển được.....................................................7
1.3.2 Tính quan sát được........................................................9
1.3.3 Biểu diễn tối thiểu.......................................................10

Chương 2: Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc 13
2.1 Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc . . . . . . 13
2.2 Phương trình Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Ma trận Grammian điều khiển, Grammian quan sát . . . 16
Chương 3: Mô hình rút gọn bằng phương pháp chặt cân
bằng
20
3.1 Biểu diễn cân bằng.......................................................................20
3.2 Mô hình rút gọn bằng phương pháp chặt cân bằng................25
Tài liệu tham khảo................................................................. 31


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Điều khiển là bài toán có ý nghĩa ứng dụng quan trọng trong đời
sống, đặc biệt là trong lĩnh vực điện tử, viễn thông và xử lý tín hiệu
nói riêng. Các vấn đề trong các lĩnh vực này thường được mô hình
hóa bởi một mô hình toán học. Có rất nhiều vấn đề cơ bản cần
nghiên cứu trong lĩnh vực điều khiển. Một trong số những vấn đề
có tính chất kinh điển là bài toán điều khiển. Nó có ứng dụng rộng
rãi trong ngành toán ứng dụng, nên từ trước đến nay, nó vẫn luôn
là đề tài mà các nhà khoa học rất quan tâm và nghiên cứu. Để có

thể hiểu rõ hơn về bài toán này em đã chọn đề tài “Phương pháp
chặt cân bằng cho hệ động lực rời rạc” để làm đề tài nghiên
cứu cho khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu
Bài toán điều khiển tuyến tính là phần nền tảng cơ bản và quan
trọng của lý thuyết điều khiển nói chung: các phát triển mới về khái
niệm điều khiển nâng cao đều có sự gợi ý về tư tưởng từ lý thuyết
điều khiển tuyến tính.
Khóa luận này em trình bày về phương pháp chặt cân bằng cho hệ
động lực rời rạc.
Nội dung bao gồm phần sau:
• Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc.
• Chương 2: Tính ổn định của hệ động lực rời rạc tuyến tính.


• Chương 3: Mô hình rút gọn bằng phương pháp chặt cân bằng.
3. Mục đích- Yêu cầu
• Đây là một dịp để có thể tập dượt nghiên cứu (với sự định
hướng của giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học.
• Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết (Các khái
niệm, các tính chất, các bài toán đã được đặt ra, một số ứng
dụng, ...).
• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình.
4. Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp chặt cân bằng cho hệ động lực rời rạc và các kiến
thức liên quan.


Nội dung chính
1. Tên đề tài

Phương pháp chặt cân bằng cho hệ động lực tuyến tính rời rạc.
2. Kết cấu của nội dung
Gồm 3 chương:
• Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc.
- Hệ động lực tuyến tính rời rạc.
- Các khái niệm về hàm truyền.
- Tính điều khiển được, quan sát được và biểu diễn tối thiểu
của hệ rời rạc.
• Chương 2: Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc.
- Tính ổn định.
- Phương trình Lyapunov.
- Ma trận Grammian điều khiển, Grammian quan sát.
• Chương 3: Mô hình rút gọn bằng phương pháp chặt cân bằng
- Biểu diễn cân bằng.
- Mô hình rút gọn bằng phương pháp chặt cân bằng.
3. Phương pháp nghiên cứu
• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu.
• Sử dụng phương pháp nghiên cứu của lý thuyết điều khiển.
• Phương pháp quan sát, đọc sách.


Chương 1

Hệ động lực tuyến tính rời rạc
1.1

Hệ động lực tuyến tính rời rạc

Định nghĩa 1.1.1. Một hệ động lực tuyến tính rời rạc bất biến được
biểu diễn qua hệ sau:

xk+1 = Axk + Buk ,

(1.1)

yk = Cxk + Duk.

(1.2)

trong đó:
Phương trình (1.1) và (1.2) được gọi là phương trình trạng thái.
xk là một vectơ thực n chiều được gọi là vectơ trạng thái của hệ.
uk là một vectơ thực m chiều được gọi là vectơ đầu vào.
yk là một vectơ thực r chiều được gọi là vectơ đầu ra.
vectơ x0 là trạng thái ban đầu của hệ, các thành phần của xk là các
biến trạng thái.
Các ma trận A, B, C, D là ma trận thực có kích thước tương ứng là
n × n, n × m, r × n, r × m.
Định lý 1.1.2. Hệ động lực tuyến tính rời rạc bất biến (1.1) và (1.2) có

8
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI
RẠC

nghiệm:
k

xk = A x0 +

k−1
.

Ak−1−i,

(1.3)

i=0
k−1

yk = CAk x0 +

.

CAk−i−1Bui

+
Duk

.

(1.4)

i=0

Chứng minh. Từ:

xk+1 = Axk + Bu k.
Ta có:

xk = A[Axk−2 + Buk−2] + Buk−1,
= A2xk −2 +
k− +
k−1 ,
2
Bu
ABu
=
k− ] +
k− +
−3 +
2
3 ABu
2
Bu
A [Axk Bu
..
.

k−1 ,

k−1

= A kx
0+

.

i=0

Ak−1−iBui.
k−1

Thay
k

xk = A x0 +

.

i=0

Ak−1−iBui.

vào (1.2) ta có
(1.4).
Ví dụ 1.1.3. Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc cho bởi phương trình:
xk+1 = 3xk + 4uk, x0 =
2, yk
6uk.

= 5xk +


Tính x3 và y3:

CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI
RẠC

Ta có:
x3 = [3x2 + 4u2]
= 32x1 + 3.4u.
1 + 4u2
2
x0 +
= 3333−1−
i
4ui.
i=0

Thế x3 ta được:
2
3

y3 = 5.3 x0 +

.

i 3− −1
5.3
4ui + 6u3.

i=0

1.2
1.2.1

Hàm truyền
Phép biến đổi z

Định nghĩa 1.2.1. Biến đổi z hai phía của một dãy x(n) được định
nghĩa như sau:
∞
.
X(z)
x(n)z−n.
n=−∞
=
Chú ý:
Ta sẽ có biến đổi z một phía nếu thay đổi cận n chạy từ 0 đến ∞ :
.∞
X(z) =
x(n)z−n.
n=0

Ký hiệu bởi toán tử:

ZT [x(n) =
X(z)]
x(n) −→ X(z)

Vùng hội tụ của biến đổi z (ROC)


ROC là tập hợp những giá trị của Z làm cho X(z) có giá trị hữu hạn.
ROC = {z ∈ C|X(z) ƒ= ∞}
Tính chất 1.2.2. Một số tính chất cơ bản của phép biến đổi z
(1) Tuyến tính:
. x1n

↔ X1(z)

x2n ↔ X2(z)
⇒ a1x1(n) + a2x2(n) ↔ a1X1(z) + a2X2(z), ∀a1, a2
(2) Dịch chuyển trong miền thời gian rời rạc:
x(n) ↔ X(n) ⇒
. x(n

− n0) ↔ z−n0 X1(z)

x(n + n0) ↔
z

n0

X2(z)

(3) Vi phân trong miền Z:

zdX(z)
− dz
x(n) ↔ X(z) ⇒ nx(n) ↔

Ví dụ 1.2.3. Xác định biến đổi z của các tín hiệu sau:
a, x1(n) = {2, 5, 7, 3, 9, 1}.
b, x2(n) = 2nu(n).
Lời giải:
a, Từ định nghĩa:
X1(z) = 2z2 + 5z + 7 + 3z−1 + 9z−2 + z−3.

b, Ta có:
+∞

X2(z)
=

.

+∞

x(n)z

n=−∞ n

−

=.

+∞
n

2 u(n)z

n=−∞ n

−

=

.

2nz −n
n=0

+∞

= .
(2z
n=
0

−1 n

)


với: |z| > 2.


1.2.2

Hàm truyền

Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc bất biến:
xk+1 = Axk +
=

Buk , yk
Cxk + Duk.

Giả sử X(z), Y (z) và U (z), lần lượt là các biến đổi z của xk, yk, uk.
Lấy phép biến đổi z ta được:
zX(z) = AX(z) + BU (z),

(1.5)

Y (z) = CX(z) + DU (z).

(1.6)

Từ (1.5) và (1.6) ta có:

Trong đó
:

X(z) = RX(z).U (z),

(1.7)

Y (z) = (CR(z) + D)U (z).

(1.8)

R(z) = (zI − A)−1,

(1.9)

G(z) = C(zI − A)−1B + D.

(1.10)

Vậy ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.2.4. Ma trận G(z) xác định như trên được gọi là ma
trận hàm truyền. Ma trận hàm truyền G(z) có kích thước r × m.
Nhân tử thứ (i, j) của G(z) biến đầu vào thứ j thành đầu ra thứ i.
Do đó mà được gọi là ma trận hàm truyền hoặc đơn giản là hàm
truyền. Tiện cho việc tính toán, ma trận hàm truyền G(z) được viết như
sau:
G(z) = .

.
A B
C D

.

Các mô hình không gian trạng thái (A, B, C, D) như trên là biểu diễn


của G(z).
Ví dụ 1.2.5. Cho hệ động lực tuyến tính rời rạc:
xk+1 = xk + 2uk,

x0 = 1

yk = 3xk + 4uk

(1.11)
(1.12)

Khi đó hàm truyền G(z) của hệ (1.11), (1.12) được xác định bởi công
thức: G(z) = 3(z − 1)−1.2 + 4.
1.2.3

Một số phép toán với ma trận hàm truyền

Gọi G1(z) và G2(z) là hàm truyền của 2 hệ S1 và S2. Khi đó ta có:
Tổng của 2 hàm truyền G1(z) + G2(z) biểu diễn hàm truyền của các
kết nối song song S1và S2:

. 1 1. . 2 2.
A1
1

A B
B
A B
0

G1(z)+G2(z)
+
=
0
B2
.
=
 A2

C1 D1
C2

D1 + D2
C1
D2

C2

Tích của 2 hàm truyền là hàm truyền khi tác động nối tiếp vào S1 và
S 2:

. A1
. . 2 2 .
A2
0
1 


A B
= B1 C2
BB
.
G1(z)G2(z)
1D 2
B1
=
A1


C1 D1
C2
D1C C1 D1D2

2
D2
Ma Trận hàm truyền G(z) có chuyển vị như sau:


GT (z) = BT (zI − AT )−1CT + DT
Tương đương:
GT (z)
=

.

AT
T

C

BT
T

D

.
.


Chuyển vị liên hợp của G(z):
G∼(z) ≡ GT (−z) = BT (−zI − AT )−1CT + DT
Tương đương:
∼

G (z) =

. −A T −C T .
−B

T

−D

T

.

Nghịch đảo của ma trận hàm truyền G(z) kí hiệu là Gˆ (z).
Ta có G(z)Gˆ (z) Gˆ(z)G(z) = I nếu G(z) là ma trận vuông và D là
=
khả nghịch khi đó:
Gˆ(z) ≡ G−1 (z)
=
1.3

.A

− BD−1C −BD−1 .
D

−1

C

−1

D

.

Tính điều khiển được, quan sát được và biểu diễn
tối thiểu của hệ động lực tuyến tính, rời rạc, bất biến

1.3.1

Tính điều khiển được

Định nghĩa 1.3.1. Hệ động lực tuyến tính rời rạc (1.1) và (1.2) được
gọi là điều khiển được nếu cho bất kỳ hai trạng thái x0, x1 luôn tồn
tại một chuỗi hữu hạn của đầu vào {u0, u1, . . . , uN −1} chuyển từ
x0 tới x1, sao cho xN = x1.
Đặc biệt nếu x0 = 0 thì hệ trên gọi là kiểm soát được.
Định lý 1.3.2. Hệ động lực tuyến tính rời rạc (1.1) và (1.2) hoặc
cặp (A, B) gọi là điều khiển được khi và chỉ khi ma trận điều khiển
được CM = (B, AB, . . . , An−1B) có hạng bằng n.
Chứng minh. Từ định lý (1.1.1), ta biết rằng nghiệm của hệ động lực
tuyến tính rời rạc là:
1


x N = AN
−1
Bu

0+ A
−2

N

Bu

+...+
Bu

N −1.


Vì vậy, xN có thể được biểu diễn như một sự tổ hợp tuyến tính của
Ak−1B, k = N, . . . , 1.
Vì vậy, nếu chọn u0, . . . , uN thích hợp sao cho xN được thực hiện khi
và chỉ khi dãy {AiB} có hữu hạn các cột sinh ra Rn, điều này của tính
điều khiển được.
Tương đương với rank(CM ) = n.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.3.3.
Xét hệrời rạc cho bởi phương trình trạng thái:

 
1 0 2 3
3 5 0 4
2
0
xk+1 =




 xk +  
 uk.
1 3 5 2
1
1 2 3 1
3
Hệ này
 có:

 
1 0 2 3


3 5 0 4 , B = 0.



2

A=
1 3 5 2
 1
 
 75
 787 
1 2 3 1
3

11

22
183
1604
Khi đó ta có: AB =   ,
A2B = 
,
A3B = 
.
 




17
182
1766
10
116
1103

0 11 75 787

2 22 183



1604
CM = 

.
⇒
1 17 182 1766
3 10 116 1103
Mặt khác, hạng của ma trận: rank (CM ) = 4.
Vậy hệ đã cho là điều khiển được.


1.3.2

Tính quan sát được

Định nghĩa 1.3.4. Hệ động lực tuyến tính rời rạc (1.1) và (1.2) được
gọi là quan sát được nếu có tồn tại một chỉ số N mà trạng thái ban đầu
x0 có thể được xác định hoàn toàn từ chuỗi đầu vào u0, u1, . . . , uN −1
và các đầu ra y0, y1, . . . , yN .
Bằng cách chứng minh tương tự Định lý (1.3.4), ta có kết quả sau:
Định lý 1.3.5. Hệ động lực tuyến tính rời rạc (1.1) và (1.2) hoặc cặp
(A, C) là quan sát được khi và chỉ khi ma trận quan sát được OM =



C 

 CA
2
có hạng bằng n.
 CA 



. 
.. 

CAn−1
Ví dụ 1.3.6. Xét hệ rời rạc cho bởi phương trình trạng thái:
1 0 0 0
 
1 2 0 0
1
2

xk+1 =




 x +  ,
1 2 3 0 k 3
1 2 3 4
4
yk = .1 1 0 2. xk + uk.
Hệ này
 có:
1 0 0

1 2 0
A==

1 2 3
1 2 3

Khi đó ta có:


0

0
 ,

0
4

CA = .4 6 6 8. ,

.
C

.
1 1 0 2 .

4 40 42
CA2 = . 232

.

, CA3
=

.

.

138 228 222 128
.




C
 CA 

⇒ OM = CA2
=

 1
1
0
2

6
6
8
 4

.
24 40 42 3
2
138 228 222 128
CA3
Mặt khác, hạng của ma trận rank (OM ) = 4.
Vậy hệ đã cho là quan sát được.
1.3.3

Biểu diễn tối thiểu

Định nghĩa 1.3.7. Một biểu diễn không gian trạng thái (A, B, C, D)
của hàm truyền G(z) được gọi là biểu diễn tối thiểu của G(z) nếu ma
trận A có kích thước nhỏ nhất có thể, nghĩa là nếu (Ao, Bo, Co, Do)
là bất kỳ biểu diễn khác của G(z) thì hạng của Ao là lớn hơn hoặc
bằng hạng của A.
Một biểu diễn bất kỳ của hàm G(z) về biểu diễn tối thiểu, phân tích
đó được gọi là phân tích Kalman.
Định lý 1.3.8. (Định lí Kalman). Cho G(z) được biểu diễn dưới dạng:
xk+1 = Axk +
Buk yk = Cxk +
Duk
luôn tồn tại một phép biến đổi tọa độ không suy biến x¯ = T x sao cho:





x¯co¯(k+1)
A¯c A¯ A¯ A¯14
B¯co¯



12
13
x¯
o¯

co¯(k)





¯
¯
x¯co(k+1)
A
x¯co(k)
24
0
A co
B ¯ 
co
0





(1.13)

 = 
 x
 +


x¯c¯o¯(k+1)

A¯ A34  ¯c¯o¯(k)  0 
0

c¯o
0
¯
x¯c¯o(k
A¯c¯o
0
0
+1)
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN

0

21


x¯c¯o(k)
0



x¯co¯(k)
x¯co(k)
 + Du
y = (0, C¯co, 0, C¯c¯o )

x¯c¯o¯(k) 
x¯c¯o(k)

22
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN


x¯co¯(k) là điều khiển được nhưng không quan sát được.
x¯co(k) là điều khiển được và quan sát được.
x¯c¯o¯(k) là không điều khiển được và không thể quan sát được.
x¯c¯o(k) là không điều khiển được nhưng quan sát
được. Hơn nữa ma trận hàm truyền từ u tới y được
cho bởi:
G(z) = C¯co (sI − A¯co )−1 B¯co + D
Tức là (A¯co , B¯co, C¯co , D) là biểu diễn tối thiểu của G(z).
Định lý 1.3.9. Một biểu diễn không gian trạng thái (A, B, C, D)
của G(z) là tối thiểu khi và chỉ khi (A, B) điều khiển được và (A, C)
quan sát được.
Chứng minh. Ta chứng minh điều kiện cần bằng phương pháp phản
chứng.
Giả sử nếu G(z) là biểu diễn tối thiểu nhưng (A, B) không điều khiển
được hoặc (A, C) không quan sát được, từ phân hoạch Kalman ta
thấy tồn tại một biểu diễn khác của G(z) có kích thước nhỏ hơn mà
có tính điều khiển được và quan sát được. Điều này mâu thuẫn với
giả thiết G(z) là biểu diễn tối thiểu.
Ngược lại, gọi (A, B, C, D) và (A0, B0, C0, D0) là hai biểu diễn tối
thiểu của G(z).
Giả sử rằng bậc của A0 là n0 < n. Khi hai biểu diễn cùng một
hàm truyền và ta cần phải có các thông số đó là:
CAi−1B = C0(A )i−1B ,
0

Nghĩa là:

0

OM CM = O0M C0M .

Với OM , CM tương ứng biểu thị các ma trận quan sát được và điều
khiển được của biểu diễn (A, B, C, D).
O0M , C0M tương ứng biểu thị khả năng quan sát và khả năng điều khiển


được của biểu diễn (A0, B0, C0, D0).
Mặt khác: rank (OM CM ) = n và rank (O0M C0M ) = n0 < n.
Điều này là mâu thuẫn, vì rank (OM CM ) = rank (O0M C0M )
. Vậy ta có điều phải chứng minh.


Chương 2

Tính ổn định của hệ động lực
tuyến tính rời rạc
2.1

Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc

Định nghĩa 2.1.1. Trạng thái cân bằng của hệ động lực
xk+1 = Axk,

(2.1)

là vectơ xe thỏa mãn Axe = 0.
Định nghĩa 2.1.2. Trạng thái cân bằng xe gọi là ổn định tiệm cận nếu
với mọi trạng thái ban đầu , vectơ xk luôn hội tụ về xe khi k tiến
đến dương vô cùng, nghĩa là x(k) → xe, k → +∞ .
Định lý 2.1.3. Hệ (2.1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các
giá trị riêng của A nằm trong đường tròn đơn vị.
Chứng minh. Hệ (2.1) có nghiệm tổng quát là:
xk = Akx0 .
Do đó:
x(k) −→ 0 ⇐⇒
A

k

−→ 0(k −→ ∞)

25
Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN