Ứng dụng giải tích lồi giải các bài toán đại số và giải tích

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học này, em đã nhận
được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán – Trường ĐHSPHN 2,
các thầy cô đã tận tình dạy dỗ em trong 4 năm học vừa qua và đã tạo điều kiện
để em hoàn thành đề tài này.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới GVC, Ths. Phùng Đức
Thắng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá
trình thực hiện đề tài nghiên cứu này.
Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên đề tài này không tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý của thầy cô và các
bạn để đề tài nghiên cứu được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên
Nguyễn Thị Luyến

Nguyễn Thị Luyến

1

K32 CN - Toán


MỤC LỤC

Trang

Mở đầ u

4

Chương 1. Các kiến thức có liên quan

6

1.1. Tập hợp lồi.

6

1.1.1. Định nghĩa tập lồi.

6

1.1.2. Một số bài tập.

6

1.2. Hàm số.

8

1.2.1. Định nghĩa hàm lồi.

8

1.2.2. Một số tính chất của hàm lồi.

8

Chương 2. Ứng dụng của giải tích lồi giải các bài toán
đại số và giải tích
2.1. Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức.

16
16

2.1.1. Chứng minh các bất đẳng thức kinh điển.

16

2.1.2. Chứng minh các bất đẳng thức đại số.

22

2.1.3. Chứng minh các bất đẳng thức lượng giác.

27

2.2. Sử dụng hàm lồi tím giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.

34

2.3. Sử dụng hàm lồi để giải hệ phương trình và bất phương
trình có tham số.

40

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

43


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn
tận tình của thầy giáo Ths. Phùng Đức Thắng, cùng với đó là sự cố gắng của
bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành
quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và
lòng biết ơn.
Em xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là kết
quả nghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các tác
giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên
Nguyễn Thị Luyến


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích lồi là một môn học nghiên cứu các tính chất của tập hợp lồi và
hàm lồi. Các kết quả của giải tích lồi được áp dụng trong nhiều lĩnh vực.
Trong chương trình toán ở nhà trường phổ thông, các em học sinh đã
được làm quen với khái niệm “lồi” ngay từ cấp 2 khi học môn Hình học. Hầu
hết chương trình Hình học ở bậc Trung học cơ sở và Trung học phổ thông đều

giới hạn trong các hình lồi: tam giác, hình thang, hình bình hành, hình tròn,…
Trong đại số, tính lồi, lõm của hàm số được giảng dạy trong các chương trình
học về hàm số bậc hai và dùng để khảo sát hàm số.
Sử dụng các kết quả cơ bản về hàm lồi cho phép chúng ta thành công
trong việc giải nhiều lớp các bài toán của đại số và giải tích sơ cấp như: Chứng
minh các bất đẳng thức, giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
hàm số cũng như biện luận một số lớp của các hệ phương trình và bất phương
trình chứa tham số.
Với lý do trên em đã chọn đề tài “Ứng dụng giải tích lồi giải các bài
toán đại số và giải tích”, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, GVC, Ths. Phùng
Đức Thắng.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy
logic đặc thù của bộ môn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về ứng dụng của giải tích lồi vào các bài toán đại số và giải
tích.
4. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên đại học, giáo viên phổ thông.
+ Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của giải tích lồi vào các bài toán đại số


và giải tích.
5. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm hai chương:
Chương 1. Các kiến thức có liên quan.
Chương 2. Ứng dụng của giải tích lồi giải các bài toán đại số và giải tích.
Các khái niệm cơ bản cũng như các tính chất cơ bản của tập lồi và hàm lồi
được trình bày trong chương 1.
Chương 2 trình bày cách sử dụng tính lồi để giải một số lớp bài toán đại

số và giải tích. Lớp các bài toán này bao gồm: Các bất đẳng thức kinh điển, các
bất đẳng thức đại số và lượng giác, các bài toán cực trị, các bài toán về phương
trình và bất phương trình chứa tham số.


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CÓ LIÊN QUAN
1.1. Tập hợp lồi
1.1.1. Định nghĩa tập hợp lồi
Tập D được gọi là tập hợp lồi nếu như với mọi hai phần tử a 
D,bD,
với mọi số

0  thì phần tử a 1 b cũng thuộc tập hợp
D.
1

1.1.2. Bài tập
Bài 1. Cho A và B là các tập hợp lồi. Chứng minh rằng

A B cũng là tập
hợp

lồi.
Lời giải
Lấy a,b tùy ý thuộc A B , và là số thực tùy ý sao cho 0
 1.
Do A, B là hai tập lồi,
mà

a,
b

A; B nên
a, b

 a 1  b A

1  b B.
  a 
Từ đó a  1 A

 b  B .
Vậy

A B là tập lồi.

Bài 2. Cho A và B là các tập hợp lồi. Chứng minh rằng A B cũng là tập
hợp
lồi.
Lời giải
Đặt C A
B , thì

C  c a b với a A, b B.

:c


Lấy c ,

1
c
Vì 2

tùy ý thuộc C , và 0
 1

Từ đó

c1 C 
 a1
c1

c2 C a2
c

là số thực tùy ý.


b với a1 A, b1 B
1



b

với a2 A, b2 B.

2

2

c1 1  c2  a1 b1

1  a2 b2 


a1 ,
a2

Do A, B lồi
mà

a1 1  a2

(1)

 b1 1  b2
 .
A; b1 , b2 B nên

a1 1 A, b1  B .
a2 1 b2
Từ (1) suy ra

c1 1 C.
c2

Điều đó có nghĩa là C lồi, tức A B lồi.
Bài 3. Cho hệ phương trình

a1 x b1 y c1 0

a2 x b2 y c2 0

.. .

 an x bn y cn 0

Giả sử hệ trên có nghiệm và D là tập hợp nghiệm của hệ. Chứng minh
rằng D là tập lồi trong  2 .
Giả sử
và

x1; y1  x2 ;
y2 

tùy ý sao cho 0


Lời giải
là hai phần tử tùy ý của D , và
thực

là số

1.

Ta có
ak x1 bk y1 ck 0 và ak x2
 bk y2 ck

với mọi
k

hay

0 với
mọi

k 1, n . Từ đó suy
ra
1,n cũng có

(ak x1 bk
y1 ck )


1


0 ,

(
ak x2
bk
y2
ck
)
ak  x1 1 x2 bk
y1 1 y2 ck


0.

Bất đẳng thức (1) chứng tỏ rằng với mọi k 1,n thì phần tử

 x1; y1 1
  x2 ; y2 
Theo định nghĩa D là tập lồi trong  2 .
Ta có điều cần chứng minh.

D .

(1)


1.2. Hàm số
1.2.1. Định nghĩa hàm lồi

□ 1 . Hàm số f : D
Giả sử D là tập hợp lồi trong

1


lồi trên D , nếu như với
mọi
f

x1, x2 D,
với mọi

x

1

1

 x2 
Chú ý. 1) D là tập hợp lồi
trong

được gọi là hàm

0 1, thì

f  x1 1 f  x2 .
1

□ . Hàm số f : D  1 được gọi là
hàm lõm

trên D nếu như f là lồi trên D.
2) Tương tự, ta có thể định nghĩa hàm lồi hai biến như sau:
Giả sử D là tập lồi trong □ 2 . Hàm số
D , nếu như với mọi
y2

x1; y1  ,  x2 ;



1

f : D  được gọi
là lồi trên

D; với , 0 
mọi
1,

f   x1 1 x2
; y1 1 y2 
1.2.2. Một số tính chất của hàm lồi
Tính chất 1. Cho D là tập hợp lồi trong

ta có

f  x1; y1 1 f

 x2 ;

y 2 .

□ 1 . Giả
sử

f
f
1

x,  x  ,..., x là
f

2

n

các hàm lồi xác định trên D. Cho i với mọi i = 1, n. Khi đó hàm số
0

1 f1 x2 f2  x ... n fn  x 
cũng là hàm lồi trên D
.
Chứng minh


Đặt

F

i fi x.

x
Lấy

x1 , x2 D và

Ta có

n

i1

là số thực sao cho 0 1.
i fi   x1 

F   x1 1

1 x2 .

 x2 
Vì
fi

i 1

: D
là các hàm lồi với
 i
1

f i   x1
1

(1)

n

1, n , nên ta có với
mọi i

1, n , thì

fi  x1 1fi (x2 ) .
(2)

x2 
Do


i 0, 1, n nên từ (2) ta có
i

i fi  x1 1 i fi x1 i 1 fi (x2 )
,i = 1, n .
x2 


Từ đó đi đến
n

n

i

1

i

1

n

 i fi  x1    i fi x1 1
  i fi  x2 
1 x2 

hay

i fi   x1 
n

1x2 

F

i1

x1

1 F
x2 .

i1

Từ (1) và (3 ), đi đến
F   x1 1

F

 x2 
Vậy

F xlà hàm lồi
trên

(3)

 x1 1  F  x2 .

D. Ta có điều cần chứng minh.

Tính chất 2. (Mối liên hệ giữa tập lồi và hàm lồi)

Đặ
t

Giả sử
f

1
1
: D  , ở đây D là tập lồi trong  .

epi f :x;  :
2

y

f x

y, D
x

(epi f gọi là tập hợp trên đồ thị của hàm f).
Hàm f là lồi trên D khi và chỉ khi epi f là tập lồi
trong

2

 .

Chứng minh
1) Giả sử
f
Lấy
y1 

x1 ,

1

: D  là hàm lồi trên D .

epi f ;

 x2 , y2 

epi f và
(0 

Theo định nghĩa của tập hợp epi f , ta có

1) .


x1, x2 D và
f  x1 
Do f là hàm lồi trên D , và do 0
 

y1, f

 x2 


y2 .

(1)

1, nên từ (1) ta có

f   x1 1x2 f  x1

(2)

1f  x2 y1 1y2.
Do x1 , x2 D , mà D là tập lồi nên

 x1 1 x2 D .

Kết hợp với (2) suy ra điểm
tập lồi.

x1; y1 1
 x2 ; y2 

epi f , tức là epi f
là


2) Bây giờ giả sử epi f là tập lồi. Giả thiết trái lại f


x

không phải là

hàm lồi trên D . Điều đó có nghĩa là tồn tại x , x D , 
sao cho
1
2
tồn tại
0;
1
f

 x

 f

1





 1  x2



(3)

x1

1 f x2
.

Theo định nghĩa thì

 x ; f x 
1

1

epi f ;  x2 ; f epi f .

 x2  
Do epi f là tập lồi , mà


 0;1 , nên
epi f

 x1; f x1

 + 1  x2 ;



f x2 





 x1  1 x2 ;


epi f .

(4)

f (x1) 1 f (x2 )
Từ (4) và theo định nghĩa của epi f , suy ra

f (x1)



 1

)

f (x

f
2

 x

1



 1

 

 x2 .

(5)


Từ (3), (5) suy ra mâu thuẫn. Vậy giả sử sai, suy ra f là hàm lồi trên D .
Ta có điều cần chứng minh.
Tính chất 3. (Bất đẳng thức Jen-xen)
Cho D là tập lồi trong  1 ,
f

1

: D  là hàm số xác định
trên D . Khi

đó f là hàm lồi trên D khi và chỉ khi với mọi số n nguyên dương, với mọi
x1 , x2 ,...,
xn

thuộc D , với mọi
số

thức
f

 0i 1, n 
i

 

 x 


x f.

n


i i
i1

và

n

ta có bất đẳng

i 
1
i1
(1)

n

i

i

i1

Bất đẳng thức (1) gọi là bất đẳng thức Jen-xen.
Chứng minh
1) Giả sử (1) thỏa mãn, khi đó ứng với n 2, theo định nghĩa f là
hàm
lồi trên D .
2) Bây giờ giả sử f là hàm lồi trên D . Ta phải chứng minh (1) là đúng.
Điều này được chứng minh bằng quy nạp như sau:


- Với n 1, thì (1) hiển nhiên đúng.
- Với n 2, theo định nghĩa hàm lồi thì (1) cũng đúng.
- Xét với

n k 1

 0 , với mọi  1,k 1 mà

Lấy x1 , x2 ,..., xk , xk 1
D , lấy



i


k 1

i 1.

i 1

Ta có
k 1

k 1

i xi  i xi k
i1
xk k 1xk 1.

(2)

i1

Đặt

k 1


i .
i1

k 1
Do i
0 với mọi i = 1, 2, …, k+1 mà 



1, nên

i



i 1

0
Ta viết lại (2) dưới dạng sau
1 x
k 

1.

  1


x 
 k
k 1



ii

i1

D ;

Do x ,
x

k
1

k
k

i

i
i1


0;


1 
0 và



k 1

1

x 
x

.
k

 k 1

k 1

1 

(3)




1




1 =1 ,
k 

+

1

k
1


mà D là tập lồi, nên



x 

1


1






k

+
1 

x

k 1

k

x
1
k

D .

1

Bây giờ vế phải của (3) có dạng

1x1 2 x2 ... k
xk 1 1x.

(4)

1

Ta thấy   ...
1
2
k 1 (1
)

giả thiết quy nạp suy ra

 (1
 ) 1

nên từ (4) và theo


f

 x

1

1

1

2 x2 ... k

xk 1 (1  )x



1 f

Do f là hàm lồi, nên


1


k

f x


(5)

x1 2 f x2 ... k 1 f xk

 (1 )

k 1



f x .

k 1



k

f 
xk 
1


1

xk 1 
 

f (xk
1).

f (xk )

1






(6)

1



Kết hợp (3), (4), (5), (6), suy ra

k 1

f(
i
Vậy (1) cũng đúng khi xi ) 

k 1

i f xi .

i1

i1

n k
1.
Theo nguyên lý quy nạp suy ra (1) đúng với mọi n .
Đó là điều cần chứng minh.
Chú ý. Nếu ở (1) ta lấy

 2  n
1



... 



1

n

thì ta có dạng đặc biệt của bất

đẳng thức Jen-xen sau đây:
Nếu f : D

1


1

là hàm lồi trên tập lồi D  . Khi đó với mọi
số n

nguyên dương, với mọi x1 , x2 ,..., thuộc D , ta có
xn
x x2 ...
f 1
 xn 


n
1 
f xi .




n

n


i1

Tính chất 4. (Điều kiện đủ cho tính lồi của hàm số)
Cho

điểm x



x
f

a;b.

là hàm số xác định trên a;bvà có đạo hàm cấp hai tại mọi

f ''x> với
mọi
0

Nếu

như

x
a;b ,

thì


x
f

là hàm lồi

trên a;b.
Chứng minh
Lấy

Lấy 
1

x1 ,
x2

0,

2

tùy ý thuộc a;bvà có thể giả
sử

a
x1


x2 b.

0 sao cho 1 2 1.

 

Ta phải chứng minh

 1x1 
2 x2 
f

1 f (x1 ) 
2 f (x2 ).

(1)


Rõ ràng (1) đúng nếu như có một trong hai số  hoặc bằng 0. Vì thế ta có
1

2

thể cho là

0 , 0 và 1 1.
2
2

1

Áp dụng định lý Lagrange với hàm số

tồn tại 1 ,
mà

1 x1
2 x2

x1 

1

 1x1 2 x2
 f (x1 ) 
f


x
f

trên  x1 ; 1 x1 2 x2  ,
ta thấy

, sao cho

 1x1 2 x2
x1  f '1 .

(2)

Vì

1x1 2
x2 x1

x1  1 12 x2
2 x1 2 x2
2 x2 x1 .

Do đó từ (2) suy ra

'
f ()  f ( x
f (x1 )
1 1
1
.
2 x2 ) 
2 (x2 x1 )
Áp dụng định lí Lagrange với hàm số

tồn tại 2
mà

trên  1 x1 2 x2 ; x2  ,
ta thấy

1x1 2 x2 sao cho
 2 x2
f (x2 ) f  1x1

 2 x2 

Dễ thấy


x
f

(3)

x2 1 x1
2 x2

  x2 1x1

2 x2 f '2 
1 x2 x1  , vì thế từ (4) suy ra

(4)


x
"x
Do 1
2

0,
x


f

 x

2

Vì f

1

a;b, do
đó

f ’
x

2

1

là hàm đồng biến trên a;b.

f
nên f
.
'(1 '(2 )
)

(6)

Từ (3), (5), (6) suy ra f   x  f   x 
1 1
1 1
2
f (x2 )  x 
2 x2 
2


1 x2 x1 
Do x2
x1 

hay

(5)

 1x1 
2 x2 

f '   f (x2
)

0 ; 1 0 ;
2


f (x1 )
.

(7)

2 x2 x1 

0. Nên từ (7) suy ra

2 f (x2 ) 2 f  1 1 f  1 x1 2 x2 1 f
x1 2 x2 
 x1 


f (x )  f  x
1

1

2



f

 x

x

1 1



2 2

2

Vậy (1) đúng hay ta có điều phải chứng minh.
Trước khi xét tính chất 5 của hàm lồi, ta nhắc lại một số khái niệm sau:
1
Cho D
f : D 
1

và

- Hàm số f


x

gọi là đạt cực tiểu toàn cục trên D tại x0 D , nếu
như
f x f x , x D.
 0

- Hàm số


x
f

gọi là đạt cực tiểu địa phương tại x0 D , nếu như

tồn tại

lân cận V của x0 sao cho

f  x


f  x0 , x D V.

Tính chất 5. Cho D là tập lồi trong □ 1
và
như f đạt cực tiểu địa phương
tại

f:D

1


là hàm lồi. Khi đó nếu

x0 D , thì nó cũng đạt cực tiểu
toàn cục

tạ x0 .
i
Chứng minh
D , nên tồn tại lân cận V của x0
Vì f đạt cực tiểu địa phương tại x0


sao cho
f x

f  x0 


, x D

 V. (1)

Giả thiết phản chứng f đạt cực tiểu toàn cục trên D tại x1 D , ngoài ra

f  x1  f

(2)

 x 0 .
Với mọi  0 1, do tính lồi của f , ta có
f

  x1

(1  )x0


Thay (2) vào (3), ta có

  x1 (1
 )x0 
f

hay

f

  x1

f (x1 )
(1  ) f  x0 .
f (x0 ) (1
  ) f  x0  ,

(1 )x0

f

 x0 .


(4) đúng với mọi 0 1.
Trong (4) cho

(3)



thì


0

(4)


 x1 (1  )x0 x0 .
Như vậy, trong mọi lân cận của x0 luôn tìm được điểm
x



f x

D sao cho

f x0  .

Điều này mâu thuẫn với (1). Vậy giả thiết phản chứng sai, tức f cũng
đạt cực tiểu tại x0 .
Ta có điều phải chứng minh.
Chú ý. Tính chất trên cho ta một đặc trưng quan trọng nhất của hàm lồi là: Với
hàm lồi thì mọi cực tiểu địa phương đều là cực tiểu toàn cục.


CHƢƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH LỒI VÀO
CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
2.1. Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức
Một trong những ứng dụng của hàm lồi là chứng minh các bất đẳng thức
sơ cấp. Lược dồ chung của phương pháp này như sau: Trước hết xây dựng một
hàm số tương thích với các biểu thức trong bất đẳng thức cần chứng minh. Sau
đó dùng các tiêu chuẩn để chứng minh hàm số vừa xây dựng là hàm lồi (hoặc

lõm), và cuối cùng áp dụng bất đẳng thức Jen-xen để đưa ra lời giải.
2.1.1. Chứng minh các bất đẳng thức kinh điển
Lớp các bất đẳng thức kinh điển đóng một vai trò quan trọng trong lí
thuyết bất đẳng thức. Các bất đẳng thức kinh điển thông dụng hay gặp nhất là:
bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Buniakowski, bất đẳng thức Schwartz, bất
đẳng thức Min-kop-xki.
Bất đẳng thức kinh điển quan trọng ở chỗ, vì nó là cơ sở để chứng minh
rất nhiều bất đẳng thức khác, và đó là những bất đẳng thức hay gặp nhất.
Để chứng minh các bất đẳng thức này, người ta có rất nhiều phương
pháp.Trong đề tài này phương pháp được đưa ra là: Dựa vào tính lồi của hàm số
mà thực chất là dựa vào bất đẳng thức Jen-xen.
Bài 1. (Bất đẳng thức Cauchy)
Cho n số thực không âm a1 ,a2 ,..., an . Chứng minh rằng
a1 a2
...
an
n

 n
a1a2

...an .

Lời giải
1) Nếu tồn tại
Khi đó

ak


0 1 k 
n.

n

a1a2 ...ak 1ak ak 1...an 0.