các mẫu hạt nhân và ứng dụng

TIỀU LUẬN

GVHD: BÙI ĐÌNH HỢI

Các mẫu hạt và ứng dụng

Sinh viên thực hiện: TRẦN QUANG
SANG


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng
LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành được bài tiểu luận này, em xin bày tỏ lời cảm
ơn chân thành đến thầy giáo – T.S Bùi Đình Hợi đã tận tình, chu
đáo giúp đỡ em trong suốt quá trình em viết tiểu luận này.
Em xin cảm ơn quý Thầy, Cô của khoa Vật Lý trường Đại Học
Sư Phạm Huế đã truyền cho em những vốn kiến thức trong suốt
quá trình em học tại trường. Vốn kiến thức đó không chỉ giúp em
hoàn thành tốt bài tập lớn này, mà còn là hành trang giúp em vững
bước, tự tin hơn để bước vào đời. Em cũng xin cảm ơn tất cả các
bạn trong lớp và trong khoa đã luôn đồng hành, giúp đỡ để em
hoàn thành tốt.
Tuy đã cố gắng để hoàn thành tốt, nhưng tiểu luận này của
em cũng không tránh khỏi những sai sót, mong nhận được sự góp ý
của thầy.
Em xin chân thành cảm ơn!!!

Sinh viên thực hiện

TRẦN QUANG SANG

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU


TIỀU LUẬN
I.

Các mẫu hạt và ứng dụng

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Vật lý học là môn khoa học tự nhiên nghiên cứu nh ững d ạng v ận
động tổng quát nhất của thế giới vật chất. Từ đó tìm ra nh ững quy lu ật
tổng quát về cấu tạo và vận động của vật chất. Một cách quy ước , v ật lý
học được chia làm nhiều lĩnh vực nghiên cứu về sự vận động cơ h ọc, nhi ệt
học, điện – điện tử, quang học, nguyên tử và hạt nhân.
Trong đó, Vật lý hạt nhân là một môn học về cấu trúc, tính chất và các
quá trình biến đổi của hạt nhân nguyên tử, là một trong những lĩnh vực còn
mới mẻ. Cuối thế kỷ XIX người ta chưa biết gì về hạt nhân nguyên tử và cho
rằng nguyên tử là một phần nhỏ của vật chất. Tuy nhiên, cho đến khi các nhà
vật lý phát hiện ra hạt nhân nguyên tử, những tính chất, đặc điểm của hạt
nhân nguyên tử thể hiện qua hiện tượng vật lý và các vấn đề có liên quan
đến hạt nhân như : các nuclon chuyển động và tương tác với nhau như thế
nào với nhau trong hạt nhân, làm thế nào để giải thích được những đặc điểm
bên trong của hạt nhân. Các nhà nhà khoa học vật lý đã cố gắn xây dựng các lý
thuyết về mẫu hạt nhân , mong rằng sẽ đưa ra được một mẫu hạt nhân hoàn
chỉnh, có thể giải thích tất cả các đặc tính mà hạt nhân nguyên tử thể hiện

qua các hiện tượng vật lý mà chúng ta thường gặp, hay ít nhiều cũng giải
thích được đa số các hiện tượng vật lý trong tự nhiên.
Bên cạnh đó, trong suốt thế kỷ XX ngành vật lý hạt nhân ngày càng
phát triển,cho tới các kỹ thuật hạt nhân ngày càng thâm nh ập mạnh vào
nhiều ngành vật lý ứng dụng như: y học, kỹ thuật , quân sự, nông nghi ệp và
đặc biệt trong lĩnh vực năng lượng thì vật lý hạt nhân đ ược quan tâm đ ặc
biệt. Để giải thích đặc tính hay quy luật của một hiện tượng vật lý, ng ười
ta đưa ra các giả thuyết nêu lên bản chất hiện tượng đó. Nh ưng hi ện nay
chưa có lý thuyết nào hoàn chỉnh có thể giải thích được tất cả các tính
chất, các cấu trúc cũng như các hiện tượng phân rã c ủa hạt nhân. Đ ể gi ải
thích những số liệu lý thuyết cũng như thực nghiệm và tiên đoán người ta
xây dựng những mô hình đơn giản hóa gọi là các mẫu hạt nhân.
Chính vì những lý do trên nên e đã chọn đề tài này .


TIỀU LUẬN
1.

Các mẫu hạt và ứng dụng

MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI.
Tìm hiểu một số mẫu hạt nhân và ứng dụng.

2.

GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI.
Vật lý hạt nhân là môn học khó, rất phức tạp thậm chí nó là m ột lĩnh
vực có nội dung tương đối rộng, đòi hỏi phải có sự nghiên c ứu lâu dài. V ới
trính độ còn nhiều hạn chế nên đề tài chỉ nghiên cứu một số mẫu nh ư:

•

Mẫu giọt chất lỏng

•

Mẫu vỏ hạt nhân

•

Mẫu khí Fermi

3.

PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN THỰC HIỆN
Sưu tầm, phân tích, tổng hợp các dữ liệu những thông tin có liên quan
trong sách, giáo trình, các phương tiện truyền thông đại chúng nh ư: báo,
đài, tìm tài liệu trên mạng internet,...

4.

CÁC BƯỚC THỰC HIỆN

•

Nhận đề tài.

•

Nghiên cứu những tài liệu có liên quan và viết đề cương.

•

Viết tiểu luận và nộp cho giáo viên hướng dẫn để kiểm tra và chỉnh s ửa.

•

Hoàn thành tiểu luận và nộp cho giáo viên hướng dẫn.


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng
PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG 1. SỰ CẦN THIẾT CỦA CÁC MẪU HẠT NHÂN
1.1.

LÝ DO XUẤT HIỆN CÁC MẪU HẠT NHÂN
Cho đến ngày nay chúng ta chưa xây dựng được một lý thuy ết hoàn
chỉnh để giải thích toàn diện và đứng đắn tất cả các số liệu th ực nghiệm
về hạt nhân, các vấn đề liên quan đến lý thuyết hạt nhân có th ể phân
thành hai loại là cấu trúc hạt nhân và phản ứng hạt nhân. Tuy nhiên, khi
xây dựng lý thuyết hạt nhân ta vấp phải 3 khó khăn chính là :
+ Không biết chính xác về lực tương tác giữa các nucleon trong h ạt
nhân.
+ Số lượng các phương trình miêu tả sự chuy ển động c ủa các nucleon
trong hạt nhân rất lớn.
+ Không thể quan niệm hạt nhân như một môi trường vĩ mô liên tục.
Để tránh những khó khăn trên, người ta phải xây dựng các mẫu h ạt

nhân, trong đó hạt nhân được thay bằng một hệ vật lý nào đó có kh ả năng
miêu tả các tính chất của hạt nhân với cách giải thích toán h ọc đ ơn gi ản có
thể chấp nhận được. Mẫu hạt nhân cần giải thích được các tính ch ất c ơ
bản của các trạng thái hạt nhân như spin , độ chẵn lẻ, momen t ừ, monmen
tứ cực diện, các tính chất của trạng thái kích thích, mà tr ước tiên là ph ổ
kích thích hạt nhân, và các tính chất động lực học c ủa hạt nhân nh ư xác
suất phóng gamma của các mức kích thích của h ạt nhân. M ỗi m ẫu h ạt
nhân chỉ giải thích được một số tính chất của hạt nhân, do đó có nhi ều
mẫu hạt nhân khác nhau.

1.2.

PHÂN LOẠI CÁC MẪU HẠT NHÂN
Mỗi mẫu chỉ giải thích một số tính chất về hạt nhân. Chưa có m ẫu nào
có thể giải thích toàn diện các hiện tượng hạt nhân. Chính vì v ậy các m ẫu
riêng lẻ vẫn cứ song song tồn tại.
Cơ sở để xây dựng mẫu hạt nhân là giả thuyết về sự độc lập của một
tập hợp nào đó các bậc tự do của hạt nhân. Các bậc t ự do c ủa hạt nhân
được chia làm hai loại là: bậc tự do một hạt mô tả sự chuy ển động c ủa các


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng

hạt riêng biệt, và bậc tự do tập thể mô tả sự chuyển động của m ột s ố l ớn
hạt. Một cách tương ứng, mẫu hạt nhân cũng được phân thành hai lo ại là
mẫu tập thể và mẫu một hạt, ngoài ra còn có mẫu suy rộng là tổng h ợp hai
mẫu nói trên.
1.2.1.

Mẫu tập thể
Mẫu tập thể là mẫu dựa trên các bậc tự do tập thể của nhiều hạt và
còn được gọi là mẫu tương tác mạnh giữa các hạt. Mẫu này th ể hiện các
hiệu ứng tập thể trong hạt nhân khi quãng đường tự do trong hạt nhân r ất
bé so với kích thước hạt nhân. Điều đó cũng t ương đ ương v ới khái ni ệm
cho rằng các hạt bên trong hạt nhân tương tác mạnh v ới nhau và v ới m ột
số it hạt bên cạnh. Với ý nghĩa đó mẫu tập thể coi h ạt nhân nh ư m ột gi ọt
chất lỏng hay một vật rắn. Mẫu tập thể gồm mẫu giọt chất lỏng và mẫu
hạt nhân không có dạng hình cầu.

1.2.2.

Mẫu một hạt
Mẫu một hạt dựa trên các bậc tự do của một hạt và đ ược g ọi là m ẫu
các hạt độc lập. Trong mẫu này, quãng đường tự do của các h ạt l ớn h ơn
kích thước hạt nhân, tức là một hạt chuyển động độc lập trong một th ế
năng trung bình nào đó. Mẫu một hạt gồm mẫu vỏ không có t ương tác d ư
và mẫu vỏ có tính đến hiệu ứng cặp.

1.2.3.

Mẫu suy rộng
Mẫu suy rộng tính đến các tính chất chuyển động độc lập lẫn tính
chất chuyển động tập thể của các hạt trong hạt nhân. Mẫu này gồm m ẫu
suy rộng liên kết yếu và mẫu suy rộng liên kết mạnh.
Hai giả thuyết cơ bản của mẫu suy rộng là:
+ Dạng cân bằng của hạt nhân ở xa và các số magic là dạng elipxoit
tròn xoay.
+ Chuyển động tập thể trong đó có chuy ển động dao động và chuy ển

động quay không phá hoại dạng hố thế hạt nhân.


TIỀU LUẬN

1.3.

Các mẫu hạt và ứng dụng

SƠ ĐỒ PHÂN LOẠI VỀ MẪU HẠT NHÂN
Mấu có dáng
điệu tập thể và
hạt

Mẫu các hạt
độc lập

Mẫu các hạt
tương tác mạnh

Mẫu tập thể

Các mẫu
hạt

Mẫu
fermi

Mẫu lớp

Mẫu thống
kê

Mẫu lớp một hạt
(không có tương
tác dư)

Mẫu hạt nhân
hợp nhất với
tương tác lỗi hạt:
+ Nối kết yếu
+ Nối kết mạnh
+Nối kết trung
bình

Mẫu lớp nhiều hạt
( có tương tác dư
giữa các nucleon ở
những lớp vỏ phía
ngoài được chiếm
đầy từng phần)

Mẫu quay

Mẫu giọt

Mẫu dao
động

Mẫu giọt với

sự hiệu chỉnh
lớp vỏ
Mẫu có dáng điệu
tập thể và hạt

Hình 1.1 Sơ đồ phân loại về mẫu hạt nhân


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng

CHƯƠNG 2. MẪU GIỌT CHẤT LỎNG
2.1. KHÁI NIỆM
Mẫu giọt chất lỏng là mẫu điển hình nhất của các mãu tương tác mạnh
(mẫu tập thể). Trong mẫu giọt chất lỏng, các nucleon được xem là tương tác
mạnh với nhau giống như các phân tử trong một giọt chất lỏng. Một nucleon
đã cho thường xuyên va chạm với các nucleon khác ở bên trong hạt nhân,
quãng đường tự do trung bình tự do của nó nhỏ hơn nhiều so với bán kính
bán kính hạt nhân. Sự chuyển động “zic-zắc” thường xuyên như thế gợi cho
chúng ta hình ảnh về sự thật chuyển động nhiệt hỗn loạn của các phân tử
trong một giọt chất lỏng.
Mẫu giọt giả thuyết rằng các nucleon va chạm thường xuyên với
nhau và hạt nhân phức hợp có thời gian sống dài trong các ph ản ứng h ạt
nhân. Mẫu giọt cho phép chúng ta thiết lập được sự t ương quan của nhiều
sự kiện về khối lượng và năng lượng liên kết của hạt nhân; nó rất tiện ích
trong việc giải thích sự phân hạch và các phản ứng h ạt nhân.
Theo mẫu này thì hạt nhân là một giọt chất lỏng hình cầu mang điện
và không nén được. Các phần tử tạo nên chất h ạt nhân là các nucleon ch ỉ
tương tác với những nucleon bên cạnh. Những chuy ển động riêng lẻ của

từng nucleon không gây các tính chất của nhân. Chỉ có nh ững t ương tác
mạnh của các nucleon mới tạo nên các tính chất của h ạt nhân.
Trong tất cả các mẫu hạt nhân, mẫu giọt là mẫu là mẫu đơn giản
nhất. Mẫu giọt do N.Bohr đề ra năm 1936. Tuy đơn gi ản nh ưng m ẫu gi ọt
được ứng dụng hiệu quả trong việc giải thích nhiều tính chất của hạt nhân
và phản ứng hạt nhân.
2.2. CƠ SỞ XÂY DỰNG MẪU GIỌT CHẤT LỎNG
Mẫu giọt chất lỏng của hạt nhân được xây dựng trên cơ s ở giống
nhau giữa hạt nhân và giọt chất lỏng. Đó là:


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng

2.2.1. Tính không chịu nén của hạt nhân và giọt chất l ỏng
Mật độ hạt nhân không phụ thuộc số khối lượng A, tức là không ph ụ
thuộc vào kích thước hạt nhân, và bằng cỡ g/cm 3. Giọt chất lỏng tuy có
mật độ bé hơn nhưng cũng không phụ thuộc vào kích th ước của nó. Đó là
tính không chịu nén của hạt nhân và giọt chất lỏng.
Mật độ hạt nhân là một hằng số, không đổi với mọi hạt nhân.
= nucleon/cm3
g/cm3
Đối với chất lỏng thì mật độ cũng không ph ụ thuộc vào kích th ước
của nó( thể hiện tính không thể nén được của chất lỏng).
2.2.2. Tính bão hòa của các lực tương tác
Năng lượng liên kết trung bình trên một nucleon tuy có thay đổ theo
số lượng A nhưng dao động trong khoảng từ 7,4 MeV đến 8,6 MeV , v ới giá
trị trung bình khoảng 7,6 MeV. Điều đó cho thấy một nucleon trong h ạt
nhân không thể tương tác không tương tác với tất cả các nucleon còn lại

mà chỉ tương tác với một số hữu hạn các nucleon ở gần nó. Hiện tượng này
xuất phát từ tính bão hòa của lực hạt nhân. Giọt chất lỏng cũng có tính
chất tương tự. Trong một giọt chất lỏng các phân tử tương tác với nhau
bằng các lực tác dụng gần, nghĩa là mỗi phân t ử ch ỉ tác d ụng v ới m ột s ố
phân tử ở gần nó. Các phân tử nằm trên bề mặt của giọt chất lỏng chỉ liên
kết về một phía với các phân tử khác. Vì vậy phía còn l ại sẽ t ạo nên m ột
sức căng bề mặt.

Hình 2.1: Các nucleon chứa bên trong hạt nhân.
Dựa vào các đặc tính giống nhau đó mà N.Bohr và J.Frenkel đã xây
dựng mẫu giọt chất lỏng. Mẫu giọt chất lỏng coi hạt nhân là một giọt chất


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng

lỏng mang điện tích và không nén được. Các phần tử tạo nên h ạt nhân là
các nucleon, chúng tương tác với các nucleon bên cạnh. Năng lượng liên k ết
của các hạt nhân gồm năng lượng thể tích, năng lượng bề mặt và năng
lượng Coulomb, tương ứng với 3 số hạng đầu trong công th ức bán th ực
nghiệm Weizsacker (1). Phạm vi ứng dụng của mẫu giọt chất lỏng là miêu
tả năng lượng liên kết trung bình của hạt nhân là hàm của A và Z, kh ảo sát
các dao động bề mặt của các hạt nhân hình cầu và giải thích định tính quá
trình phân hạch hạt nhân.
2.3. ỨNG DỤNG CỦA MẪU GIỌT CHẤT LỎNG
2.3.1. Mô tả năng lượng liên kết của hạt nhân
Công thức bán thực nghiệm Weizsacker:
(1)
Ba số hạng đầu của công thức (1) có thể giải thích trên c ơ s ở mẫu

giọt chất lỏng.
•

Số hạng thứ nhất tương ứng với năng lượng khối. Đối v ới m ột gi ọt n ước,
nhiệt lượng cần thiết để nó bay hơi tỉ lệ với nhiệt độ bay hơi. Nhiệt đ ộ này
tỉ lệ với năng lượng chuyển động của các phân tử tạo nên giọt n ước. Cũng
như vậy một hạt nhân muốn tách thành các nucleon riêng biệt ph ải đ ược
cung cấp bởi một năng lượng thắng thắng được năng l ượng liên k ết gi ữa
các nucleon. Năng lượng liên kết đó bằng tổng các năng l ượng liên k ết c ủa
từng nucleon, bằng , trong đó là năng lượng liên k ết trung bình c ủa
nucleon trong hạt nhân.

•

Số hạng thứ hai tương ứng với năng lượng mặt. Đối với một giọt n ước ta
có sức căng mặt ngoài. Đối với hạt nhân cúng tương t ự nh ư v ậy, các
nucleon trên bề mặt hạt nhân chỉ chịu sức hút về phía trong vì ở phía ngoài
không có chất hạt nhân nữa. vì vậy năng l ượng liên kết c ủa h ạt nhân ph ải
trừ đi một lượng tỉ lệ với diện tích bề mặt hạt nhân, tức là tỉ lệ v ới .

•

Số hạng thứ 3 ứng với năng lượng đẩy tĩnh điện Coulomb. Hạt nhân là một
giọt chất lỏng tích điện dương. Lực tương tác tĩnh điện trong hạt nhân có
giá trị dương và làm giảm lực liên kết. Năng lượng Coulomb tỉ lệ v ới bình


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng

phương số proton Z2 và tỉ lệ nghịch với kích thước hạt nhân A1/3 , nghĩa là tỉ
lệ với .
•

Hai số hạng cuối của công thức (1) không được giải thích trong khuôn kh ổ
mẫu giọt chất lỏng mà phải tính đến vai trò của số các nucleon, tính đ ối
xúng của Z và N, và tính chẵn lẻ của số nucleon trong hạt nhân. Nói khác đi.
Hai số hạng đó được miêu tả bởi mẫu vỏ hạt nhân.
2.3.2. Tính khối lượng của hạt nhân
Từ công thức năng lượng liên kết (1) có thể nh ận đ ược kh ối l ượng
hạt nhân như sau:
(1)
(2)
Công thức bán thực nghiệm (2) cho phép tính khối lượng của bất c ứ
hạt nhân nào với A,Z mp và mn cho trước với sai số tương đối không vượt
quá 10-4 .
Công thức (2) biểu diễn sự phụ thuộc khối lượng hạt nhân và điện
tích Z và số khối lượng A. đối với các hạt nhân đồng khối, kh ối l ượng M ch ỉ
phụ thuộc vào Z và biến thiên theo hàm parabol (hình 2.2).

Hình 2.2. Các hạt đồng khối với A lẻ. Các hạt nhân phân rã để
chuyển về hạt nhân hạt nhân bền nhất có khối lượng bé nhất ứng
với số điện tích, số proton Z0.


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng

Trên hình 2.2, khối lượng cực tiểu tại giá trị Z 0 ứng với hạt nhân
bền nhất. Giá trị Zo được xác định bằng cách lấy đạo hàm khối lượng M
theo Z đối với A cố định và cho đạo hàm này bằng 0:
Trong công thức bán thực nghiệm thì số hạng hiệu chỉnh trong
năng lượng liên kết là:
Trên hình 2.2 hạt nhân có khối lượng M(Z 0) là hạt nhân bền nhất
trong các số hạt nhân đồng khối với A lẻ. Do với A lẻ thì theo công th ức (1)
nên M(Z) là hàm đơn trị theo Z, do đó đối với mỗi giá trị A chỉ có một giá tr ị
Z0 tương ứng với hạt nhân đồng khối bền. Hạt nhân với Z= Z 0 +1 ở nhánh
bên phải của parabol có khối lượng lớn hơn M(Z 0) nên phân rã để chuyển
về hạt nhân này. Hạt nhân đồng khối với Z=Z 0-1 ở nhánh bên trái của
parabol cũng có khối lượng lớn hơn M(Z0) và phân rã để chuyển về hạt
nhân bền. Cũng tương tự như vậy, hạt nhân (A,Z0+2) phân rã để chuyển về
hạt nhân (A,Z0+1) và hạt nhân (A,Z0-2) phân rã

để chuyển về hạt

nhân(A,Z0-1). Ví dụ với A=25 thì Z0=12, đó là hạt nhân bền , với A=43 thì
Zo=20, đó là hạt nhân bền ),...
Đối với hạt nhân đồng khối đối với A chẵn, khối lượng M(Z)lag hàm
lưỡng trị vì số hạng trong công thức (1) nhận hai giá trị khác nhau đ ối v ới
các hạt nhân chẵn-chẵn và lẻ-lẻ. Khi đó khối lượng M khi A không đ ổi
được miêu tả bởi hai đường parabol thể hiện trên hình 2.3.


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng

Hình 2.3. Các hạt nhân đồng khối với A chẵn

Hình 2.3a: ứng với các hạt nhân lẻ-lẻ không bền còn các h ạt nhân
chẵn-chẵn bền.
Hình 2.3b. ứng với các hạt nhân lẻ-lẻ bền còn các hạt nhân chẵnchẵn không bền.
Trên hình 2.3a, đường parabol dưới ứng với các hạt nhân bền h ơn, đó
là các hạt nhân với Z chẵn, còn đường parabol trên ứng v ới h ạt nhân kém
bền hơn, đó là các hạt nhân với Z lẻ. T ừ hình 2.3a th ấy r ằng các h ạt nhân
cạnh nhau trên cùng một parabol khác nhau về Z đến 2 đ ơn vị và t ồn t ại
một vài hạt nhân bền đối với các hạt nhân đồng khối chẵn-ch ẵn. Đó là s ự
chuyển đổi hạt nhân với điện tích Z0 +2 hay Z0-2 thành hạt nhân với Z0+1
hay Z0-1 bị cấm về mặt năng lượng còn sự chuyển đổi trực tiếp bằng phân
rã kép từ hạt nhân Z0 +2 hay Z0-2 sang hạt nhân Z0 có xác suất rất bé, coi
như không thể xảy ra. Mặt khác mỗi hạt nhân trên parabol có hai h ạt nhân
nhẹ hơn với điện tích cách nằm ở parabol dưới nên tất cả hạt nhân đ ồng
khối lẻ-lẻ đều không bền, trừ bốn hạt nhân

.

Bốn hạt nhân này thuộc trường hợp được minh h ọa trên hình 2.3b,
khi đó hạt nhân lẻ-lẻ bền còn hạt nhân chẵn –chẵn không bền. Ví dụ v ới
hạt nhân lẻ -lẻ ) do các hạt nhân chẵn-chẵn ) và ) chuy ển thành.
2.3.3. Khảo sát dao động bề mặt của hạt nhân hình c ầu
Ta hãy xem xét sự kích thích các bậc tự do khả dĩ c ủa giọt ch ất l ỏng
hạt nhân. Trong trạng thái tự do, nghĩa là không bị kích thíc, gi ọt ch ất l ỏng


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng

có dạng hình cầu. ở trạng thái kích thích, giọt chất l ỏng không b ị nén

nhưng có thể thay đổi dạng hình học, do đó các bậc t ự do b ị kích thích sẽ
tương ứng với các dao động bề mặt.

Hình 2.4. a) Giọt chất lỏng có dạng hình cầu.
b) Dao động tứ cực của giọt ch ất l ỏng.
c) Dao động bát cực của gi ọt ch ất l ỏng.
Lý thuyết phi lượng tử của các dao động bé bề m ặt c ủa giọt ch ất
lỏng tự do đã phát triển trước khi có lý thuyết lượng t ử. Theo lý thuy ết này
thì tần số thấp nhất ứng với các dao động riêng t ứ c ực, khi đó gi ọt ch ất
lỏng có dạng hình ellipsoid căng hay dẹt (hình 2.4b). T ấn s ố cao h ơn ứng
với các dao động bát cực, khi đó giọt ch ất lỏng có d ạng hình qu ả lê (hình
2.4c). Các dao động riêng khác tương ứng với các biến dạng ph ức t ạp h ơn.
Khi chuyển sang lý thuyết lượng tử thì các dao động riêng c ủa h ạt nhân
được lượng tủ hóa. Việc lượng tử hóa không làm thay đổi các tần s ố riêng
nhưng các phổ năng lượng và momen động lượng c ủa các tr ạng thái dao
động kích thích trở thành gián đoạn. Khi đó các năng lượng dao đ ộng t ứ
cực và bát cực nhận các giá trị sau:
(3)
Trong đó là số các lượng tử tứ cực và bát cực, đồng th ời M ỗi
lượng tử tứ cực có spin J=2 và độ chẵn lẻ dương, còn mỗi lượng t ử bát c ực
có spin J=3 và độ chẵn lẻ âm. Sử dụng công th ức Weizsacker (1) có th ể tính
được năng lượng của lượng tử tứ cực bằng :
(4)
Lượng tử bát cực có năng lượng cỡ hai lần năng lượng lượng t ử t ứ
cực với cùng một giá trị A. Các công th ức (3) và (4) phù h ợp v ới th ực
nghiệm đối với các mức thấp nhất khi Bây giờ ta hãy xem xét mẫu gi ọt


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng

chất lỏng miêu tả các mức năng lượng thấp nhất như thế nào. Nếu mức cơ
bản có đặc trưng 0+ thì mức kích thích th ứ nhất là 2+ có năng l ượng tính
theo công thức (4). Mức 3 liên tiếp sẽ có năng l ượng gấp đôi. G ần m ức 3 là
ba mức nằm rất gần nhau tương ứng với trạng thái kích thích c ủa hai
lượng tử tứ cực với các đặc trưng 0+,2+và 4+ . chú ý r ằng khi c ộng hai
vector với ta được vector tổng cộng với các độ lớn 0,1,2,3,4 ,nh ưng các
trạng thái 1+ và 3+ bị cấm do các lượng tử kích thích (3) tuân theo th ống kê
Bose.
Tiên đoán về việc mức kích thích đầu tiên có đặc trưng 2+ đ ược th ực
hiện hầu như đối với tất cả các hạt nhân chẵn-chẵn. Tuy nhiên năng l ượng
của mức này thấp hơn giá trị tính theo công th ức (4). Ch ẳng h ạn m ức 2+
đối với hạt nhân có năng lượng 1,3 MeV trong khi tính toán cho năng l ượng
cao hơn hai lần so với mức kích thích đầu tiên(hình 2.4). và cu ối cùng h ầu
như ở tất cả các hạt nhân chẵn-chẵn đều có mức 3- được giải thích do kích
thích bát cực.
Trong mẫu giọt chất lỏng còn có bậc tự do riêng dao động c ủa toàn
bộ khối lượng các neutron đối với toàn bộ khối lượng các proton. V ới gi ả
thuyết này ta coi hạt nhân gồm hai giọt chất lỏng neutron và proton tr ộn
với nhau. Khi kích thích bậc tự do này, hạt nhân trở thành một t ứ cực diện,
nghĩa là bị phân cực. Kích thích phân cực ứng với sự thay đ ổi c ấu trúc bên
trong hạt nhân. Do đó năng lượng kích thích khá lớn, c ỡ 15 -20 MeV đ ối v ới
hạt nhân nặng và 20-25 MeV đối với hạt nhân nhẹ.
2.4.GIẢI THÍCH ĐỊNH TÍNH QUÁ TRÌNH PHÂN HẠCH HẠT NHÂN
Ngay sau khi phát hiện ra hiện tượng phân hạch.Năm 1939,NielsBohr
Và John Wheeler đã phát triển thành mẫu giọt hạt nhân, dựa trên sự
tương tự giữa hạt nhân và một giọt chất lỏng tích điện để giải thích những
đặc điểm chủ yếu của quá trình phân hạch.
Hình (2.5) cho thấy quá trình phân hạch đ ược di ễn ra nh ư th ế nào

theo quản điểm đó. Khi một hạt nhân nặng ( giả sử là ) h ấp th ụ m ột
notron chậm, như trên hình 2.5a, notron này rơi vào một giếng thế gắn
liền với lực hạt nhân mạnh tác dụng ở bên trong hạt nhân và chuy ển hóa


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng

thành hạt nhân ở trạng thái kích thích. Năng lượng kích thích mà notron
chậm đưa vào hạt nhân đúng bằng công cần thiết để bứt m ột notron ra
khỏi hạt nhân đó, tức là bằng năng lượng liên kết của notron đó. Hình 2.5b
cho thấy rằng hạt nhân giống như một giọt chất lỏng tích điện dao đ ộng
mạnh. Sớm hay muộn gì cũng sẽ phát triển thành hình th ắt c ổ chai ng ắn
(hình 2.5c) và bắt đầu tách xa dần ra thành hai “kh ối cấu” tích đi ện. N ếu
các điều kiện là thích hợp thì lực đẩy tĩnh điện giữa hai khối cầu đó sẽ
buộc chúng tách ra xa nhau và làm đứt chỗ th ắt c ổ chai. Hai m ảnh đó v ẫn
còn mang một số năng lượng kích thích còn dư rồi bay ra xa nhau. Nh ư v ậy,
sự phân hạch đã xảy ra.

Hình 2.5. Cơ chế phân hạch
Cuối cùng, chúng ta có những nhận xét sau:
Lý thuyết phân hạch được trình bày đơn giản như trên, mô tả đúng
bức tranh chung nhất của hiện tượng phân hạch trên các hạt nhân n ặng,
nhất là U, Pa, Th. Nó cho phép giải thích một loạt các quy lu ật quan sát
trong thực nghiệm, cũng như tiên đoán nhiều hiện tượng mới. Tuy nhiên, lý
thuyết cũng có nhiều thiếu sót cơ bản như không giải thích đ ược m ột
trong những điểm quan trọng nhất của hiện tượng phân h ạch đó là tính
chất bất đối xứng rõ rệt của các mảnh có khối lượng. H ơn nữa, theo lý
thuyết trên đây thì phân hạch thành hai mảnh có khối lượng bằng nhau

phải xảy ra với xác suất lớn, tuy nhiên trong thực tế không ph ải nh ư v ậy.


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng

2.5. HIỆN TƯỢNG PHÓNG XẠ TỰ NHIÊN
Phóng xạ là hiện tượng mà hạt nhân tự phóng ra các h ạt , các b ức x ạ.
Sau khi phân rã, hạt nhân biến thành hạt nhân khác có tính ch ất v ật lý và
hóa học khác hạt nhân ban đầu. Sự phóng xạ các hạt ở h ạt nhân gi ống nh ư
sự bốc hơi của một giọt chất lỏng. Do các nuclon th ường xuyên va ch ạm
với nhau. Khi một hạt nào đó ở bề mặt được tập trung năng l ượng. N ếu
năng lượng này lớn hơn năng lượng liên kết của hạt nhân thì h ạt này sẽ
bức ra khỏi hạt nhân.
2.6. THÀNH CÔNG VÀ HẠN CHẾ CỦA MẪU GIỌT CHẤT LỎNG
2.6.1. Thành công
Mẫu giọt chất lỏng đã giải thích nhiều hiện tượng nh ư: năng l ượng
liên kết của hạt nhân, khối lượng hạt nhân, sự phân bố, spin và đ ộ chẵn lẻ
của một vài mức năng lượng đầu tiên của hạt nhân chẵn-chẵn, gi ải thích
định tính quá trình phân hạch và nhiều hiện tượng tượng khác trong ph ản
ứng hạt nhân...
2.6.2. Hạn chế
Mẫu giọt chất lổng không giải thích đầy đủ các số hạng trong công
thức bán thực nghiệm về khối lượng và năng lượng liên kết của hạt nhân,
không cung cấp được các số liệu định lượng về tr ạng thái kích thích c ủa
hạt nhân...
Ngoài ra, còn một loạt các vấn đề mà mẫu giọt chất lỏng ch ưa đề
cập đến, đó là các đặc trưng cá biệt của các trạng thái c ơ bản và kích thích
của hạt nhân như năng lượng liên kết, spin, moment t ừ và tính ch ẵn lẻ, các

tính chất phân rã alpha và beta ...
Nhận xét: mẫu giọt chất lỏng được hạn chế trong việc mô tả tính
chất của hạt nhân có liên quan đến vai trò của nucleon và s ự biến thiên
tuần hoàn của chúng. Thiếu sót chính của mẫu giọt chất lỏng là số ph ổ
kích thích ít, không tính đến các tính chất riêng biệt ủa tùng h ạt nhân cũng
như không thể giải thích các moment tứ cực của trạng thái kích thích đ ầu
tiên.


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng

CHƯƠNG 3. MẪU VỎ HẠT NHÂN
3.1. CƠ SỞ XÂY DỰNG MẪU VỎ
Chúng ta đã trình bày các thành tựu của mẫu giọt ở ch ương 2. M ẫu
này thể hiện khá tốt khối lượng và năng lượng liên kết của h ạt nhân, s ự
phân bố, spin và tính chẵn lẻ của một vài mức năng l ượng đ ầu tiên c ủa các
hạt nhân chẵn-chẵn, giải thích định tính phản ứng hạt nhân. Tuy đ ạt nhi ều
thành tựu nhưng mẫu giọt vẫn không tỏ ra hoàn chinh. Ch ẳng h ạn, m ẫu
này không giải thích đầy đủ các số hạng trong công th ức bán th ực nghiệm
vể khối lượng và năng lượng liên kết của hạt nhân, không cung c ấp đ ược
các số liệu định tính về các trạng thái kích thích của h ạt nhân, không gi ải
thích được tính bất đối xứng trong phân bố khối l ượng c ủa hai m ảnh v ở
phân hạch trong phản ứng hạt nhân,... Ngoài ra còn hàng lo ạt các v ấn đ ề
mà mẫu giọt chất lỏng chưa đề cập tới. Đó là các đặc trưng cá biệt của
trạng thaias cơ bản và kích thích của hạt nhân, nh ư năng l ượng liên k ết,
spin và moment từ và tính chẵn lẻ, các tính chất của phân rã alpha và beta;
độ phổ biến khác nhau của các hạt nhân trong tự nhiên;... th ực nghiệm cho
thấy rằng các đặc trưng này phụ thuộc khá rõ vào các nucleon trong h ạt

nhân và sự biến thiên tuần hoàn của chúng. Chẳng hạn, tất cả các hạt nhân
chẵn-chẵn ở trạng thái cơ bản đều có spin và moment bằng không và có
năng lượng liên kết lớn. Các hạt nhân magic, là các hạt nhân có s ố proton
hoặc neutron trùng với các số magic 2, 8, 20, 50, 82, 126 là r ất b ền v ững.
Còn các hạt nhân magic kép có số proton magic và số neutron magic là bền
nhất, tính chất này của hạt nhân magic giống nh ư tính bền v ững c ủa các
nguyên tử khí trơ chứa số electron bằng 2, 10, 18, 36, 54, 86.
Như vậy mẫu giọt chất lỏng bị hạn chế trong việc mô tả các tính
chất của hạt nhân có liên quan đến vai trò của các nucleon và sự biến thiên
tuần hoàn của chúng. Điều đó dẫn đến ý tưởng xây dựng mẫu v ỏ h ạt nhân.


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng

3.2. KHÁI NIỆM VỀ HẠT MAGIC
Người ta đã biết rằng các hạt nhân trong tự nhiên có những tính ch ất
sau:
Các hạt nhan bền hất: là các hạt nhân chẵn-chẵn dến hạt nhân chẵnlẻ rồi mới đến hạt nhân lẻ-chẵn, ít bền nhất là hạt nhân lẻ-lẻ.
Khi A chẵn: tồn tại hai hoặc ba đồng khối bền.
Khi A lẻ: nếu có một giá trị xác định của A chỉ có m ột đ ồng v ị kh ối
bền trừ năm cặp đồng khối, hai trong năm cặp đó là:

Chu kỳ phân rã lớn
Tính đặc biệt đối với hạt nhân chẵn còn được phản ánh trong công
thức bán thực nghiệm về năng lượng liên kết.
Các sự kiện trên dẫn đến: nơtron và proton có khuynh h ướng ghép
đôi khi đó, spin của từng cặp (n,p) là ph ản song v ới nhau do đó h ạt nhân có
tính bền đặc biệt.

Các hạt nhân đồng vị, đồng neutron(isotone)
Ngoài ra người ta thấy khi Z có những giá trị 20, 50; Z=20 (Calci) có
năm đồng vị bền (N= 20, 22, 23, 26, 28), Z=50(Sn)có 10 đ ồng v ị b ền.
Khi:
•

N=20: có năm đồng vị bền.

•

N=28: có năm isotone bền.

•

N=50: có sáu isoton bền.

•

N=82: có bảy isoton bền.
Nếu xét hàm lượng tương đối, người ta thấy các nguyên tố có: Z hoặc
N =2, 8, 20, 50, 82, 126 (số Magic) thì hàm lượng ph ổ bi ến tăng v ọt.
Phân tích năng lượng liên kết riêng của các nuclon: ta thấy

•

E của proton 82 lơn hơn proton 83, 84

•

E của neutron 126 lớn hơn neutron 127, 128

Sự phát tán của các neutron trễ: các san phẩm phân hạch có khuynh
hướng phát n trễ đi về số neutron bằng các số 8, 20, 28, 50, 82, 126.


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng

Các hạt nhân có N= 50, 82, 126 có tiết diện bắt rất nh ỏ c ỡ milibar,
người ta giải thích khi hạt nhân này bắt neutron thì mang năng l ượng kích
thích rất nhỏ do đó mật độ mức nhỏ vì vậy bé.
Khi nghiên cứu tiết diện tán xạ không đàn hồi: người ta thấy các h ạt
nhân N=50, 82, 126 có tiết diện không đàn hồi bé.
Năng lượng các mức kích thích thấp của hạt nhân chẵn-ch ẵn sẽ tăng
vọt khi N=50, 82, 126.
Moment từ cực điện của hạt nhân có Z= 2, 8, 20, 28, 52,...,126 có giá
trị cực tiểu.
Tất cả các dẫn chứng thực nghiệm trên chúng ta đi đến k ết lu ận là:
các hạt nhân có số Z, N =2, 8, 20, 28, 52,..., 126 là nh ững h ệ b ền v ững đ ẵ
biệt và có một số tính chất đặc biệt so với các h ạt nhân khác ng ười ta gọi
chúng là các hạt nhân magic.
3.3. NGUYÊN TẮC XÂY DỰNG MẪU VỎ
Để xây dựng mẫu vỏ hạt nhân người ta áp dụng mô hình nguyên t ử.
Mẫu nguyên tử dựa trên ba điều kiện:
Thứ nhất: các electron chuyển động trong một từ trường thế xuyên
tâm nào đó.
Thứ hai: các nucleon tương tác với nhau rất yếu.
Thứ ba: Tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli.
Thực tế, không thể xây dựng mẫu vỏ vì các nucleon tương tác v ới
nhau rất mạnh với nhau trên những bán kính tương tác nhỏ nên ta có th ể

xét gần đúng tạo nên trường đối xứng được và do đó có tâm l ực t ương tác
được. Trong mẫu hạt nhân người ta giả thuyết rằng các nucleon chuy ển
động trong một trường thế trung bình tự hợp nào đó tạo bởi tất cả các h ạt
nucleon còn lại. Vì hạt nhân trong dạng gần đúng có d ạng hình c ầu, nên
tương tác của giả thuyết có dạng đối xứng cầu. Theo c ơ h ọc l ượng t ử các
nucleon chuyển động trong hố thế này có thể nằm ở các trạng thái năng
lượng khác nhau.
Như vậy ta có đủ cơ sở để xây dựng mẫu vỏ hạt nhân. Khi đó có th ể
chuyển bài toán nhiều hạt nhân thành bài toán một hạt chuy ển động trong


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng

trường thế xuyên tâm tự hợp. Giải bài toán schrodinger đối với sự chuy ển
động của các nucleon trong trường thế nào đó ta sẽ nhận được m ột hệ các
trạng thái liên kết, mỗi trạng thái ứng vơi một mức năng lượng xác định.
3.4. NỘI DUNG MẪU VỎ
Theo lý thuyết mẫu vỏ, các nucleon bên trong hạt nhân có sự sắp xếp
theo từng lớp. Mỗi nuclen chỉ chứa một số nhất định các nucleon theo
nguyên lý loại trừ Pauli và số nucleon tăng dẫn và lấp đầy lớp thứ nhất,
tiếp tục chuyển sang lớp thứ hai và lấp đầy lớp này, nh ững l ớp sau t ương
tự như vậy,.., mối khi nucleon chuyển động trong m ột tr ường t ạo b ởi các
nucleon còn lại và khi chuyển về trạng thái cơ bản, chúng gi ải phóng các
lượng tử .
2.5. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO HẠT NHÂN
Theo lý thuyết của mẫu vỏ, các nucleon bên trong hạt nhân có s ự s ắp
xếp thành từng lớp tương tự như lớp điện tử. Do đó nhằm đ ưa ra các v ỏ,
việc giải các phương trình schrodinger dẫn đến ch ọn bi ểu th ức th ế năng

tương tác giữa các nuclon.
Nếu mô tả giếng thế năng là giếng thế của dao tử điều hòa

Trong đó:
: là bán kính tác dụng của lực hạt nhân
: là tần số dao động điều hòa
Do hạt nhân có kích thước không gian, ta xét theo tọa đ ộ ba chi ều
vá để đơn giản, xét trong hệ tọa độ deecartes thì ph ương trình
Schrodinger:

Là trạng thái dao động ứng với dao động tử điều hòa theo xyz


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng

Việc giả phương trình Schrodinger cho ta:

Suy ra:

là năng lượng phụ thuộc độ sâu và bán kính tác dụng của lực hạt
nhân.
Với hai giả thuyết trên, nếu ta lựa chọn độ sâu của giếng thế thích
hợp ta có thể thu được các giá trị của các mức năng lượng phù h ợp v ới th ực
nghiệm.
, N là số lượng tử dao động
Cứ mỗi giá trị của N ta có một vài giá trị của I và tính chẵn c ủa N
bằng tính chẵn của I ( Mức độ suy biến 2l+1).
Khi N= 0, l=0: Mức độ suy biến bằng không, trạng thái s.

Khi N = 1, l =0, 1 do N lẻ suy ra l=1: tr ạng thái p, m ức suy bi ến
2l+1=3, có 3 trạng thái.
Khi N=2, l = 0, 1, 2 do tính chẵn l=0, 2: (s,d) l=0 tr ạng thái s không suy
biến, l=2 trạng thái d suy biến bậc 5.
Khi N =3 suy biến bằng 10
Khi N = 4 suy biến bằng 15
Tổng quát:


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng

Mỗi giá trị của N số suy biến sẽ là:
Vì tương tác của nuclon là tương tác mạnh, tức là có liên kết spin quỹ
đạo, do đó số trạng thái phải được đặc trung bởi
Như vậy kể thêm tương tác Spin quỹ đạo thì số suy biến sẽ tăng gấp
hai lần, và ứng với N thì số suy biến là:
(N+1)(N+2)
Bảng 3.1: Sắp xếp các trạng thái theo số lượng tử N

3.6. HÀM THẾ HỢP TRONG MẪU VỎ
Trạng thái của các electron trong trường thế tự hợp được đặc tr ưng
bởi 4 số lượng tử n, l, j, .
Trong đó:
n: là số lượng tử n=1, 2, 3,.., xác định phân bố các m ức năng l ượng, n
càng lớn thì mức năng lượng càng cao.
l: là số lượng tử quỹ đạo, l nhận giá trị 0, 1, 2, 3, 4,... các tr ạng thái
ứng với l= 0, 1, 2, 3,... được kí hiệu là s, p, d, f, g, h...
j: momen toàn phần của nucleon có thể nhận các giá trị bán nguyên

½, 3/2, 5/2, ...


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng

Cuối cùng là hình chiếu của j, j nhận giá trị = -j , -j+1, ..., j-1, j... m ột
mức năng lượng của nucleon trong hạt nhân thường được ký hiệu b ởi ba
số lượng tử n, l, j.
Tính chẵn lẻ của mức năng lượng được xác định bởi số lượng tử quỹ
đạo l.
Cơ sở xây dựng mẫu vỏ là trường thế hạt nhân t ự h ợp và hàm th ế
đơn giản nhất là hố thế chữ nhật với bề rộng bằng bán kính hạt nhân R và
chiều sâu được xác định theo điều kiện là năng lượng liên kết của neutron
hạt nhân vào khoảng 8MeV. Giải phương trình Schrodinger trong h ố th ế
cho phép xác định được các trạng thái khác nhau.
Bảng 3.2: Các trạng thái nhận được từ việc giải phương trình
schrodinger với hố thế chữ nhật làm tròn các góc cạnh

Các mức trong bảng 4.2 sắp xếp theo thứ tự tăng dần và được đ ặc
trưng bởi 2 số lượng tử n và l. Theo nguyên lý loại tr ừ Pauli, m ỗi m ức có
thể chứa N = 2(2l+1) nucleon mối loại proton hay neutron. Khi thay đổi
dạng hố thế thì các mức đổi chỗ dọc theo thang năng l ượng và nhóm l ại
với nhau thành các mức tách biệt nhau, bởi các khoảng trống năng l ượng
rất lớn, các nhóm mức năng lượng này có thể so sánh v ới các v ỏ h ạt nhân.
Trong mẫu chính xác thì số tổng cộng phải trùng với số magic. Khoảng
cách lớn giữa các mức làm cho hạt nhân magic bền vững, nghĩa là khó thêm
hoặc bớt một nucleon vào hạt nhân magic. Sự thay đổi dễ dàng trong h ố
thế chữ nhật là làm tròn các góc cạnh. Các tính toán cho th ấy sự thay đổi

này không cải tiến thứ tự các mức nhưng nhóm m ức sau đây thành các
nhóm mức: 2s và 1d; 1f và 2d; 1f và 2p; 1g, 2d và 3s; 1h, 2f và 3p. Nh ư v ậy,
các lớp vỏ đối với hố thế chữ nhật với các góc cạnh được làm tròn k ết thúc


TIỀU LUẬN

Các mẫu hạt và ứng dụng

ở các số 2, 8, 20, 40, 70 và 112. So sánh với các số magic 2, 8, 20, 50,82 và
126 thì sơ đồ này chỉ đúng với 3 số magic đầu tiên 2, 8, 20.
Sau khi giải phương trình thế parabol cũng không nh ận đ ược kết
quả như thực nghiệm.
Năm 1949, để giải thích điều này M.Mayer và J.Jensen độc lập v ới
nhau đã đưa vào tương tác spin quỹ đạo.
Tương tác Spin quỹ đạo trong hạt nhân: Quan sát th ực nghiệm người
ta thấy rằng: mức j= l +1/2 nằm thấp hơn mức j= 1-1/2.
Mayer đưa vào khái niệm tương tác Spin quỹ đạo qua toán t ử năng
lượng sau:
f(r) chỉ phụ thuộc vào vị trí của Nuclon ta có thể giả thiết f(r) = const.

Trị riêng

Để xác định khoảng cách mức ta viết phương trình sóng theo thành
phần xuyên tâm trong hai trường hợp: có tương tác Soin và không có t ương
tác Spin quỹ đạo.
Đặt /r
Không kể tương tác spin quỹ đạo:

Có kể tương tác spin quỹ đạo:

Ta thấy hai trường hợp chỉ khác nhau ở số hạng:

Chứng tỏ hàm sóng u(r) = , các giá trị năng lượng sẽ là: